隨機(jī)變量及其分布(一)

2.1.1離散型隨機(jī)變量高二數(shù)學(xué)選修2-3

在必修3中,我們學(xué)習(xí)了概率有關(guān)知識(shí).知道概率是描述某個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的量.

同時(shí)我們還研究了一些的隨機(jī)事件的概率,下面我們作一個(gè)簡(jiǎn)單的回顧.1.定義：隨機(jī)事件：在條件S下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件叫隨機(jī)事件。必然事件：在條件S下必然要發(fā)生的事件叫必然事件。不可能事件：在條件S下不可能發(fā)生的事件叫不可能事件。確定事件和隨機(jī)事件統(tǒng)稱為事件,一般用大寫字母A,B,C…表示。

一般地，對(duì)于事件A與事件B，如果事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生，這時(shí)稱事件B包含事件A（或稱事件A

包含于事件B）.2.事件的關(guān)系和運(yùn)算：（1）包含關(guān)系（2）相等關(guān)系

一般地，對(duì)事件A與事件B，若，那么稱事件A與事件B相等.A=B（3）并事件（和事件）

若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生或事件B發(fā)生，則稱此事件為事件A和事件B的并事件（或和事件）.（4）交事件（積事件）

若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生且事件B發(fā)生，則稱此事件為事件A和事件B的交事件（或積事件）.（5）互斥事件

若為不可能事件（），那么稱事件A與事件B互斥，其含義是：事件A與事件B在任何一次試驗(yàn)中都不會(huì)同時(shí)發(fā)生。（6）互為對(duì)立事件

若為不可能事件，為必然事件，那么稱事件A與事件B互為對(duì)立事件，其含義是：事件A與事件B在任何一次試驗(yàn)中有且僅有一個(gè)發(fā)生。3.概率的基本性質(zhì)4、古典概型的兩個(gè)特點(diǎn):(1)試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè).(2)每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等.計(jì)算古典概型的公式：定義：如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度(面積或體積)成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型.5.幾何概型：幾何概型的公式:新課引入:問(wèn)題1：擲一顆骰子,結(jié)果有哪些?發(fā)生的概率各是多少?若用X表示出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，X有哪些取值？X可取1、2、3、4、5、6，共6種結(jié)果問(wèn)題2：某紡織公司某次檢驗(yàn)產(chǎn)品，在可能含有10次品的100件產(chǎn)品中任意抽取4件，其中可能含有幾件次品？若用Y表示所含次品數(shù)，Y有哪些取值？Y可取

0、1、2、3、4,共5種結(jié)果問(wèn)題3：把一枚硬幣向上拋，可能會(huì)出現(xiàn)哪幾種結(jié)果？能否用數(shù)字來(lái)刻劃這種隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果呢？X=0，表示正面向上；X=1，表示反面向上正面朝上反面朝上01

在問(wèn)題1、2、3中，我們確定了一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系，使得每一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果都用一個(gè)確定的數(shù)字來(lái)表示。出現(xiàn)1點(diǎn)出現(xiàn)2點(diǎn)……出現(xiàn)6點(diǎn)12……60件次品1件次品……4件次品01……4

在以上的各例說(shuō)明，在隨機(jī)試驗(yàn)中，我們可以確定一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系，使得每一個(gè)試驗(yàn)的結(jié)果都用一個(gè)確定的數(shù)字來(lái)表示。

在這種對(duì)應(yīng)關(guān)系下，數(shù)字是隨著試驗(yàn)結(jié)果的變化而變化的。

象這種隨著試驗(yàn)結(jié)果變化而變化的變量稱為隨機(jī)變量.

注:這種對(duì)應(yīng)事實(shí)上是一個(gè)映射。思考1：隨機(jī)變量與函數(shù)有類似的地方嗎？

隨機(jī)變量和函數(shù)都是一種映射，隨機(jī)變量把隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果映為實(shí)數(shù)，函數(shù)把實(shí)數(shù)映為實(shí)數(shù)。在這兩種映射之間，試驗(yàn)結(jié)果的范圍相當(dāng)于函數(shù)的定義域，隨機(jī)變量的取值范圍相當(dāng)于函數(shù)的值域。

例如，在含有10件次品的100件產(chǎn)品中，任意抽取4件，可能含有的次品件數(shù)X將隨著抽取結(jié)果的變化而變化，是一個(gè)隨機(jī)變量。其取值范圍是{0,1,2,3,4}.(1)從10張已編號(hào)的卡片（從1號(hào)到10號(hào)）中任取1張，被取出的卡片的號(hào)數(shù)X．(2)一個(gè)袋中裝有5個(gè)白球和5個(gè)黑球，從中任取3個(gè)，其中所含白球數(shù)X．(3)拋擲兩個(gè)骰子，所得點(diǎn)數(shù)之和X．(4)某單位的某部電話在單位時(shí)間內(nèi)收到的呼叫次數(shù)η．練習(xí):寫出下列各隨機(jī)變量的取值范圍:{1、2、3、···、10}{0、1、2、3}{2、3、···、12}{1、2、3……}離散型隨機(jī)變量：

所有取值可以一一列出的隨機(jī)變量，就稱為離散型隨機(jī)變量。

如果隨機(jī)變量可能取的值是某個(gè)區(qū)間的一切值，這樣的隨機(jī)變量叫做連續(xù)型隨機(jī)變量.問(wèn)題6:某林場(chǎng)樹木最高達(dá)30m,那么這個(gè)林場(chǎng)的樹木高度的情況有那些?是否為隨機(jī)變量？(0，30]內(nèi)的一切值可以取某個(gè)區(qū)間內(nèi)的一切值則此林場(chǎng)樹木的高度是一個(gè)隨機(jī)變量。思考4：電燈泡的壽命X是離散型隨機(jī)變量嗎？X取(0,+∞)內(nèi)的一切值,故X并非離散性隨機(jī)變量.

若我們僅關(guān)心該電燈泡的壽命是否超過(guò)1000小時(shí)，并如下定義一個(gè)隨機(jī)變量Y，Y是一個(gè)離散型隨機(jī)變量嗎？0，壽命<1000小時(shí)1，壽命≥1000小時(shí)Y=

與電燈泡的壽命X相比，隨機(jī)變量Y的構(gòu)造顯然比X要簡(jiǎn)單，它只取0和1兩個(gè)不同的值，是一個(gè)離散型隨即機(jī)變量。所以更便于研究，為了我們研究的可操作性，有些問(wèn)題往往可以考慮從不同的角度去構(gòu)造隨機(jī)變量。思考5：（2）如果規(guī)定壽命在1500小時(shí)以上的燈泡為一等品，壽命在1000到1500小時(shí)之間的為二等品，壽命在1000小時(shí)以下的為不合格品。如果我們關(guān)心燈泡是否為合格品，應(yīng)如何定義隨機(jī)變量？如果我們關(guān)心燈泡是否為一等品或二等品，又如何定義隨機(jī)變量？思考6：0，不合格品(壽命<1000小時(shí))1，合格品(壽命≥1000小時(shí))Y=0，一等品(壽命>1500小時(shí))1，二等品(1000<壽命<1500小時(shí))Y=例1、(1)某座大橋一天經(jīng)過(guò)的中華轎車的輛數(shù)為；(2)某網(wǎng)站中歌曲《愛(ài)我中華》一天內(nèi)被點(diǎn)擊的次數(shù)為；(3)一天內(nèi)的溫度為；(4)射手對(duì)目標(biāo)進(jìn)行射擊，擊中目標(biāo)得1分，未擊中目標(biāo)得0分，用表示該射手在一次射擊中的得分。上述問(wèn)題中的是離散型隨機(jī)變量的是（）

A.(1)(2)(3)(4)

B.(1)(2)(4)C.(1)(3)(4)D.(2)(3)(4)B例2、寫出下列隨機(jī)變量可能的取值，并說(shuō)明隨機(jī)變量所取的值表示的隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果：（1）一個(gè)袋中裝有2個(gè)白球和5個(gè)黑球，從中任取3個(gè)，其中所含白球的個(gè)數(shù)；（2）一個(gè)袋中裝有5個(gè)同樣大小的球，編號(hào)為1，2，3，4，5，現(xiàn)從中隨機(jī)取出3個(gè)球，被取出的球的最大號(hào)碼數(shù)。（3）投擲兩枚骰子，所得點(diǎn)數(shù)之和為X，所得點(diǎn)數(shù)之和是偶數(shù)為Y。2.將一顆均勻骰子擲兩次，不能作為隨機(jī)變量的是()(A)兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和(B)兩次擲出的最大點(diǎn)數(shù)(C)第一次減去第二次的點(diǎn)數(shù)差(D)拋擲的次數(shù)D3.袋中有大小相同的5個(gè)小球，分別標(biāo)有1、2、3、4、5五個(gè)號(hào)碼，現(xiàn)在在有放回的條件下取出兩個(gè)小球，設(shè)兩個(gè)小球號(hào)碼之和為X，則X所有可能值的個(gè)數(shù)是___個(gè)；“X=4”表示

．9“第一次抽1號(hào)、第二次抽3號(hào)，或者第一次抽3號(hào)、第二次抽1號(hào)，或者第一次、第二次都抽2號(hào)．1、把一枚硬幣先后拋擲兩次，如果出現(xiàn)兩個(gè)正面得5分，出現(xiàn)兩個(gè)反面得-3分，其他結(jié)果得0分，用X表示得分的分值，列表寫出可能出現(xiàn)的結(jié)果與對(duì)應(yīng)的X值。課堂練習(xí)：課時(shí)小結(jié)：

如果隨機(jī)試驗(yàn)的