第2章測量誤差及數(shù)據(jù)處理

2.1測量誤差

2.2測量數(shù)據(jù)的處理

2.3測量不確定度

第2章測量誤差及數(shù)據(jù)處理1220V交流電壓測量結果測量結果表示？測量水平評價？序號12345結果220.1220.3219.8220.2219.6第2章測量誤差及數(shù)據(jù)處理22.1

測量誤差

2.1.1測量誤差的概念及分類根據(jù)測量誤差的性質(zhì)，測量誤差可分為隨機誤差、系統(tǒng)誤差、粗大誤差三類。

1.隨機誤差定義:在同一測量條件下（指在測量環(huán)境、測量人員、測量技術和測量儀器都相同的條件下），多次重復測量同一量值時（等精度測量），每次測量誤差的絕對值和符號都以不可預知的方式變化的誤差，稱為隨機誤差或偶然誤差，簡稱隨差。隨機誤差主要由對測量值影響微小但卻互不相關的大量因素共同造成。這些因素主要是噪聲干擾、電磁場微變、零件的摩擦和配合間隙、熱起伏、空氣擾動、大地微震、測量人員感官的無規(guī)律變化等。3隨機誤差定義：測量結果與在重復性條件下，對同一被測量進行無限多次測量所得結果的平均值之差例：對一不變的電壓在相同情況下，多次測量得到1.235V，1.237V，1.234V，1.236V，1.235V，1.237V。單次測量的隨差沒有規(guī)律，但多次測量的總體卻服從統(tǒng)計規(guī)律?？赏ㄟ^數(shù)理統(tǒng)計的方法來處理,即求算術平均值1.隨機誤差2.1.1測量誤差的概念及分類4定義：在同一測量條件下，多次重復測量同一量時，測量誤差的絕對值和符號都保持不變，或在測量條件改變時按一定規(guī)律變化的誤差，稱為系統(tǒng)誤差。例如儀器的刻度誤差和零位誤差，或值隨溫度變化的誤差。產(chǎn)生的主要原因是儀器的制造、安裝或使用方法不正確，環(huán)境因素（溫度、濕度、電源等）影響，測量原理中使用近似計算公式，測量人員不良的讀數(shù)習慣等。系統(tǒng)誤差表明了一個測量結果偏離真值或實際值的程度。系差越小，測量就越準確。系統(tǒng)誤差定義：在重復性條件下，對同一被測量進行無限多次測量所得結果的平均值與被測量的真值之差:2.系統(tǒng)誤差2.1.1測量誤差的概念及分類5定義：粗大誤差是一種顯然與實際值不符的誤差。產(chǎn)生粗差的原因有：①測量操作疏忽和失誤如測錯、讀錯、記錯以及實驗條件未達到預定的要求而匆忙實驗等。②測量方法不當或錯誤如用普通萬用表電壓檔直接測高內(nèi)阻電源的開路電壓③測量環(huán)境條件的突然變化如電源電壓突然增高或降低，雷電干擾、機械沖擊等引起測量儀器示值的劇烈變化等。含有粗差的測量值稱為壞值或異常值，在數(shù)據(jù)處理時，應剔除掉。3.粗大誤差2.1.1測量誤差的概念及分類6

在剔除粗大誤差后，只剩下系統(tǒng)誤差和隨機誤差各次測得值的絕對誤差等于系統(tǒng)誤差和隨機誤差的代數(shù)和。在任何一次測量中，系統(tǒng)誤差和隨機誤差一般都是同時存在的。系差和隨差之間在一定條件下是可以相互轉化4.系統(tǒng)誤差和隨機誤差的表達式2.1.1測量誤差的概念及分類72.1.3測量誤差的表示方法測量值

是粗大誤差82.1.3測量誤差的表示方法準確度

表示系統(tǒng)誤差的大小。系統(tǒng)誤差越小，則準確度越高，即測量值與實際值符合的程度越高。精密度

表示隨機誤差的影響。精密度越高，表示隨機誤差越小。隨機因素使測量值呈現(xiàn)分散而不確定，但總是分布在平均值附近。精確度

用來反映系統(tǒng)誤差和隨機誤差的綜合影響。精確度越高，表示正確度和精密度都高，意味著系統(tǒng)誤差和隨機誤差都小。射擊誤差示意圖

92.2測量數(shù)據(jù)的處理2.2.1隨機誤差的統(tǒng)計特性及減少方法在測量中，隨機誤差是不可避免的。隨機誤差是由大量微小的沒有確定規(guī)律的因素引起的，比如外界條件（溫度、濕度、氣壓、電源電壓等）的微小波動，電磁場的干擾，大地輕微振動等。多次測量，測量值和隨機誤差服從概率統(tǒng)計規(guī)律?？捎脭?shù)理統(tǒng)計的方法，處理測量數(shù)據(jù)，從而減少隨機誤差對測量結果的影響。102.2.1隨機誤差的統(tǒng)計特性及減少方法（1）隨機變量的數(shù)字特征①

數(shù)學期望:反映其平均特性。其定義如下：X為離散型隨機變量：

X為連續(xù)型隨機變量：

1.隨機誤差的分布規(guī)律112.2.1隨機誤差的統(tǒng)計特性及減少方法

②方差和標準偏差方差是用來描述隨機變量與其數(shù)學期望的分散程度。設隨機變量X的數(shù)學期望為E(X)，則X的方差定義為：

D(X)=E(X－E(X))2

標準偏差定義為 標準偏差同樣描述隨機變量與其數(shù)學期望的分散程度，并且與隨機變量具有相同量綱。122.2.1隨機誤差的統(tǒng)計特性及減少方法測量中的隨機誤差通常是多種相互獨立的因素造成的許多微小誤差的總和。中心極限定理：假設被研究的隨機變量可以表示為大量獨立的隨機變量的和，其中每一個隨機變量對于總和只起微小作用，則可認為這個隨機變量服從正態(tài)分布。為什么測量數(shù)據(jù)和隨機誤差大多接近正態(tài)分布？(2)測量誤差的正態(tài)分布132.2.1隨機誤差的統(tǒng)計特性及減少方法正態(tài)分布的概率密度函數(shù)和統(tǒng)計特性隨機誤差的概率密度函數(shù)為：測量數(shù)據(jù)X的概率密度函數(shù)為：

隨機誤差的數(shù)學期望和方差為：同樣測量數(shù)據(jù)的數(shù)學期望E(X)＝,方差D(X)＝142.2.1隨機誤差的統(tǒng)計特性及減少方法

隨機誤差和測量數(shù)據(jù)的分布形狀相同，因為它們的標準偏差相同，只是橫坐標相差隨機誤差具有：①對稱性②單峰性③有界性④抵償性

正態(tài)分布時概率密度曲線15標準偏差是代表測量數(shù)據(jù)和測量誤差分布離散程度的特征數(shù)。標準偏差越小，則曲線形狀越尖銳，說明數(shù)據(jù)越集中；標準偏差越大，則曲線形狀越平坦，說明數(shù)據(jù)越分散。標準偏差

意義2.2.1隨機誤差的統(tǒng)計特性及減少方法162.2.1隨機誤差的統(tǒng)計特性及減少方法常見的非正態(tài)分布有均勻分布、三角分布、反正弦分布等。均勻分布：儀器中的刻度盤回差、最小分辨力引起的誤差等；“四舍五入”的截尾誤差；當只能估計誤差在某一范圍內(nèi)，而不知其分布時，一般可假定均勻分布。

概率密度:均值:當時,標準偏差:

當

時，（3）測量誤差的非正態(tài)分布17數(shù)學期望E(X)是當測量次數(shù)有限時，各次測量值的算術平均值2.2.1隨機誤差的統(tǒng)計特性及減少方法2.有限次測量的數(shù)學期望和標準偏差的估計值

求被測量的數(shù)字特征，理論上需無窮多次測量，

但在實際測量中只能進行有限次測量，怎么辦？用事件發(fā)生的頻度代替事件發(fā)生的概率，當

則:令n個可相同的測試數(shù)據(jù)xi(i=1.2…,n)

次數(shù)都計為1,則（1）有限次測量的數(shù)學期望的估計值——算術平均值182.2.1隨機誤差的統(tǒng)計特性及減少方法規(guī)定使用算術平均值為數(shù)學期望的估計值，并作為最后的測量結果。即：

有限次測量值的算術平均值比測量值更接近真值？

192.2.1隨機誤差的統(tǒng)計特性及減少方法

故：算術平均值的標準偏差比總體或單次測量值的標準偏差小倍。原因是隨機誤差的抵償性。

*（2）算術平均值的標準偏差202.2.1隨機誤差的統(tǒng)計特性及減少方法算術平均值：殘差：實驗標準偏差（標準偏差的估計值），貝塞爾公式：算術平均值標準偏差的估計值：（3）有限次測量數(shù)據(jù)的標準偏差的估計值21【例2.1】用溫度計重復測量某個不變的溫度，得11個測量值的序列（見下表）。求測量值的平均值及其標準偏差。解：①平均值

②用公式計算各測量值殘差列于上表中③實驗偏差④標準偏差222.2.1隨機誤差的統(tǒng)計特性及減少方法3.測量結果的置信問題（1）置信概率與置信區(qū)間：置信區(qū)間內(nèi)包含真值的概率稱為置信概率。置信限：k——置信系數(shù)（或置信因子）

置信概率是圖中陰影部分面積232.2.1隨機誤差的統(tǒng)計特性及減少方法（2）正態(tài)分布的置信概率當分布和k值確定之后，則置信概率可定

正態(tài)分布,當k=3時置信因子k置信概率Pc10.68320.95530.997區(qū)間越寬，置信概率越大242.2.1隨機誤差的統(tǒng)計特性及減少方法t分布與測量次數(shù)有關。當n>20以后，t分布趨于正態(tài)分布。正態(tài)分布是t分布的極限分布。當n很小時，t分布的中心值比較小，分散度較大，即對于相同的置信概率，t分布比正態(tài)分布有更大的置信區(qū)間。給定置信概率和測量次數(shù)n，查表得置信因子kt。定義自由度：v=n-1（3）t分布的置信限252.2.1隨機誤差的統(tǒng)計特性及減少方法（3）t分布的置信限262.2.1隨機誤差的統(tǒng)計特性及減少方法（4）非正態(tài)分布的置信因子由于常見的非正態(tài)分布都是有限的，設其置信限為誤差極限，即誤差的置信區(qū)間為置信概率為100％。（P=1)反正弦均勻三角分布例：均勻分布

有故:27【例2.2】求例2.1中溫度的測量結果，要求置信概率取0.95。282.2.2

系統(tǒng)誤差的判斷及消除方法1.系統(tǒng)誤差的特征：

在同一條件下，多次測量同一量值時，誤差的絕對值和符號保持不變，或者在條件改變時，誤差按一定的規(guī)律變化。多次測量求平均不能減少系差。292.2.2

系統(tǒng)誤差的判斷及消除方法2.系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)方法（1）不變的系統(tǒng)誤差：校準、修正和實驗比對。（2）變化的系統(tǒng)誤差①

殘差觀察法，適用于系統(tǒng)誤差比隨機誤差大的情況

將所測數(shù)據(jù)及其殘差按先后次序列表或作圖，觀察各數(shù)據(jù)的殘差值的大小和符號的變化。存在線性變化的系統(tǒng)誤差無明顯系統(tǒng)誤差302.2.2

系統(tǒng)誤差的判斷及消除方法②馬利科夫判據(jù)：若有累進性系統(tǒng)誤差，D值應明顯異于零。 當n為偶數(shù)時，

當n為奇數(shù)時，③阿貝－赫梅特判據(jù)：檢驗周期性系差的存在。2.系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)方法312.2.2

系統(tǒng)誤差的判斷及消除方法3.系統(tǒng)誤差的削弱或消除方法（1）從產(chǎn)生系統(tǒng)誤差根源上采取措施減小系統(tǒng)誤差（2）用修正方法減少系統(tǒng)誤差修正值＝-誤差=-（測量值－實際值）

實際值＝測量值＋修正值（3）采用一些專門的測量方法

①替代法②交換法③對稱測量法④減小周期性系統(tǒng)誤差的半周期法322.2.2

系統(tǒng)誤差的判斷及消除方法系統(tǒng)誤差可忽略不計的準則：

系統(tǒng)誤差或殘余系統(tǒng)誤差代數(shù)和的絕對值不超過測量結果擴展不確定度的最后一位有效數(shù)字的一半。3.系統(tǒng)誤差的削弱或消除方法332.2.3粗大誤差及其判斷準則1.粗大誤差產(chǎn)生原因以及防止與消除的方法粗大誤差的產(chǎn)生原因

①測量人員的主觀原因：操作失誤或錯誤記錄；②客觀外界條件的原因：測量條件意外改變、受較大的電磁干擾，或測量儀器偶然失效等。防止和消除粗大誤差的方法重要的是采取各種措施，防止產(chǎn)生粗大誤差。342.2.3粗大誤差及其判斷準則2.粗大誤差的判別準則統(tǒng)計學的方法的基本思想是：給定一置信概率，確定相應的置信區(qū)間，凡超過置信區(qū)間的誤差就認為是粗大誤差，并予以逐個剔除。課本P24萊特檢驗法

格拉布斯檢驗法

式中，G值按重復測量次數(shù)n及置信概率Pc確定35【例2.3】對某電爐的溫度進行多次重復測量，所得結果列于表2.11，試檢查測量數(shù)據(jù)中有無粗大誤差。解：①計算得s=0.033

計算殘差填入表2.12，最大，是可疑數(shù)據(jù)。②用萊特檢驗法

3·

s

=3×0.033=0.099

故可判斷是粗大誤差，應予剔除。再對剔除后的數(shù)據(jù)計算得：s

′=0.0163·s

′=0.048各測量值的殘差V′填入表3－7，殘差均小于3s

′故14個數(shù)據(jù)都為正常數(shù)據(jù)。36等精度測量與不等精度測量2.2.4測量結果的處理步驟

等精度測量：即在相同地點、相同的測量方法和相同測量設備、相同測量人員、相同環(huán)境條件（溫度、濕度、干擾等），并在短時間內(nèi)進行的重復測量。不等精度測量：在測量條件不相同時進行的測量，測量結果的精密度將不相同。372.2.4測量結果的處理步驟

①對測量值進行系統(tǒng)誤差修正，將數(shù)據(jù)依次列成表格；②求出算術平均值:③列出殘差，驗證:④按貝塞爾公式計算標準偏差的估計值:⑤按萊特準則，或格拉布斯準則檢查和剔除粗大誤差；⑥判斷有無系統(tǒng)誤差。如有系統(tǒng)誤差，應查明原因，修正或消除系統(tǒng)誤差后重新測量；⑦計算算術平均值的標準偏差:⑧寫出最后結果的表達式，即（單位）。382.2.4測量結果的處理步驟

【例2.4】對某電壓進行了16次等精度測量，測量數(shù)據(jù)中已記入修正值，列于表中。要求給出包括誤差在內(nèi)的測量結果表達式。392.2.4測量結果的處理步驟

402.2.4測量結果的處理步驟

412.2.4測量結果的處理步驟

422.不等精度測量處理方法：權值與標準偏差的平方成反比。

權值

測量結果為加權平均值測量結果方差等精度測量與不等精度測量2.2.4測量結果的處理步驟

43442.2.5誤差的合成分析問題：用間接法測量電阻消耗的功率時，需測量電阻R、端電壓V和電流I三個量中的兩個量，如何根據(jù)電阻、電壓或電流的誤差來推算功率的誤差呢？452.2.5誤差的合成分析462.2.5誤差的合成分析在實際應用中，由于分項誤差符號不定，有時就采用保守的辦法來估算誤差，即將式中各分項取絕對值后再相加.472.3測量不確定度2.3.1不確定度的概念不確定度是衡量測量結果不確定程度的參數(shù)?？捎脴藴势畋硎荆部捎脴藴势畹谋稊?shù)或置信區(qū)間的半寬度表示。1.術語（1）標準不確定度：用概率分布的標準偏差表示的不確定度

①A類標準不確定度：用統(tǒng)計方法得到的不確定度。②B類標準不確定度：用非統(tǒng)計方法得到的不確定度

482.3.1不確定度的概念③合成標準不確定度*由各不確定度分量合成的標準不確定度。（2）擴展不確定度*由合成標準不確定度的倍數(shù)表示的測量不確定度，即用包含因子乘以合成標準不確定度得到一個區(qū)間半寬度。

*包含因子的取值決定了擴展不確定度的置信水平。*通常測量結果的不確定度都用擴展不確定度表示。

492.3.1不確定度的概念2.不確定度的分類502.3.2

不確定度的評定方法1.標準不確定度的A類評定方法在同一條件下對被測量X進行n次測量，測量值為xi(i=1,2,…,n)，(A)計算樣本算術平均值：

作為被測量X的估計值，并把它作為測量結果。(B)計算實驗偏差：式中自由度v=n－1。(C)A類不確定度：

自由度意義：自由度數(shù)值越大，說明測量不確定度越可信。512.3.2

不確定度的評定方法2.標準不確定度的B類評定方法B類方法評定的主要

信息來源是以前測量的數(shù)據(jù)、生產(chǎn)廠的技術說明書、儀器的鑒定證書或校準證書等。確定測量值的誤差區(qū)間（α,-α），并假設被測量的值的概率分布，由要求的置信水平估計包含因子k，則B類標準不確定度uB為

其中α——區(qū)間的半寬度；k——置信因子，通常在2～3之間。522.3.2

不確定度的評定方法分布三角梯形均勻反正弦

k(p=1)概率P%5068.27909595.459999.73置信因子0.67611.6451.96022.5763表2.16幾種非正態(tài)分布的置信因子k

表2.15正態(tài)分布時概率與置信因子的關系2.標準不確定度的B類評定方法532.3.2

不確定度的評定方法542.3.2

不確定度的評定方法3.合成標準不確定度的計算方法（1）協(xié)方差和相關系數(shù)的概念描述兩個隨機變量X和Y相關性的參數(shù)為協(xié)方差或相關系數(shù)。①協(xié)方差的概念協(xié)方差協(xié)方差的估計值

552.3.2

不確定度的評定方法②相關系數(shù)Q概念：表示兩隨機變量相關程度 （－1≤Q≤1）相關系數(shù)的估計值r(x，y)正相關負相關完全正相關完全負相關不相關0<Q<1－1<Q<0Q=1Q=－1Q=0562.3.2

不確定度的評定方法（2）輸入量相關時,用不確定度傳播律（3）輸入量不相關時不確定度的合成

可寫出函數(shù)關系式Y＝ｆ（X1，X2，……，XN）

式中稱為靈敏系數(shù)

②不能寫出函數(shù)關系式57582.3.2

不確定度的評定方法4.擴展不確定度的確定方法擴展不確定度U由合成標準不確定度ｕC與包含因子ｋ的乘積得到：

U＝k

·

uC

測量結果表示為

Y＝ｙ±U

，即

Y=y±kuc

y是被測量Y的最佳估計值

,k由置信概率（常取0.95或0.99）和概率分布

（正態(tài)、均勻、t分布等）確定。算術平均值592.3.2

不確定度的評定方法根據(jù)要求的置信概率Pc和計算得到的自由度veff，查t分布的t值，得k

。

自由度的計算步驟如下：

a)求A類不確定度分量的自由度

b)求B類不確定度分量的自由度

c)求合成不確定度的自由度

602.3.3測量不確定度的評定步驟對測量設備進行校準或檢定后，要出具校準或檢定證書；對某個被測量進行測量后也要報告測量結果，并說明測量不確定度。①明確被測量的定義和數(shù)學模型及測量條件，明確測量原理、方法，以及測量標準、測量設備等；②分析不確定度來源；③分別采用A類和B類評定方法，評定各不確定度分量。A類評定時要剔除異常數(shù)據(jù)；④計算合成標準不確定度；⑤計算擴展不確定度；⑥報告測量結果。Y=y±kuc612.3.3測量不確定度的評定步驟【例2.10】

用電壓表直接測量一個標稱值為200Ω的電阻兩端的電壓，以便確定該電阻承受的功率。測量所用的電壓表的技術指標由使用說明書得知，其最大允許誤差為±1％，經(jīng)計量鑒定合格，證書指出它的自由度為10

(當證書上沒有有關自由度的信息時，就認為自由度是無窮大。)。標稱值為200Ω的電阻經(jīng)校準，校準證書給出其校準值為199.99Ω，校準值的