第5章 機(jī)械振動(dòng)

第2篇機(jī)械振動(dòng)機(jī)械波機(jī)械振動(dòng)機(jī)械波2/5/2023第5章機(jī)械振動(dòng)5.1簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)5.2簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量表示法5.3單擺和復(fù)擺5.4振動(dòng)的能量5.5簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成5.6阻尼振動(dòng)受迫振動(dòng)共振內(nèi)容提要2/5/2023振動(dòng):任何一個(gè)物理量(物體的位置、電流強(qiáng)度、電場(chǎng)強(qiáng)度、磁場(chǎng)強(qiáng)度等)在某一定值附近的反復(fù)變化.機(jī)械振動(dòng):

物體在一定位置(中心)附近作的周期性往復(fù)運(yùn)動(dòng).簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng):是最基本、最簡(jiǎn)單的振動(dòng).

振動(dòng)的分類(lèi):受迫振動(dòng)自由振動(dòng)阻尼自由振動(dòng)無(wú)阻尼自由振動(dòng)無(wú)阻尼自由非諧振動(dòng)(簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng))無(wú)阻尼自由諧振動(dòng)2/5/2023

5.1簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)5.1.1簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的特征及其運(yùn)動(dòng)方程彈簧振子——理想模型令:2.簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)特征:1.簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的基本依據(jù):由牛頓第二定律:2/5/20233.簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)微分方程微分方程的解：——振動(dòng)表達(dá)式(簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)位移)

任何一個(gè)物理量，如果它隨時(shí)間的變化規(guī)律滿足簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的微分方程，或遵從余弦(或正弦)規(guī)律，則廣義地說(shuō)，這一物理量在作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng).4.簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程2/5/20235.簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的速度與加速度2/5/20235.1.2簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程中的三個(gè)基本物理量1.角頻率

:

2秒內(nèi)往復(fù)振動(dòng)的次數(shù).

單位：弧度/秒(rad·s-1)完成一次完整的振動(dòng)所需要的時(shí)間.周期T:單位時(shí)間內(nèi)所完成的振動(dòng)次數(shù).頻率ν：?jiǎn)挝唬汉掌?Hz)(s-1)2/5/20232.振幅A:

描述物體振動(dòng)強(qiáng)弱的物理量(離開(kāi)平衡位置的最大位移，取絕對(duì)值).單位：m、cm、mm、nmt=0時(shí)的相位，與初始條件有關(guān)；3.初相位、相位和相位差初相

：描述質(zhì)點(diǎn)在t時(shí)刻振動(dòng)狀態(tài)的物理量.相位ωt+

：相位差

Δ

：則相位差:設(shè)有同頻率兩振子的振動(dòng)方程分別為:單位：弧度（rad）2/5/2023同相和反相當(dāng)=2k,(k=0,1,2,…),兩振動(dòng)步調(diào)相同,稱(chēng)同相.當(dāng)=(2k+1),(k=0,1,2,…),兩振動(dòng)步調(diào)相反,稱(chēng)反相.x2TxoA1-A1A2-A2x1t反相txoA1-A1A2-A2x1x2T同相超前和落后若=2-1>0,則稱(chēng)x2比x1超前(或x1比x2落后).超前、落后以-

<

<

的相位角來(lái)判斷.2/5/2023振幅：初相位：4.振幅和初相位的求法設(shè)t=0時(shí):說(shuō)明(2)振幅和初相位由初始條件決定.(1)不是唯一的,與坐標(biāo)正向有關(guān),需要具體分析.2/5/2023例:一輕彈簧,一端固定,另一端連接一定質(zhì)量的物體.整個(gè)系統(tǒng)位于水平面內(nèi),系統(tǒng)的角頻率為6.0s-1.今將物體沿平面向右拉長(zhǎng)到x0=0.04m處釋放.(1)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)表達(dá)式；(2)物體從初位置運(yùn)動(dòng)到第一次經(jīng)過(guò)A/2處時(shí)的速度.求：解：(1)(為什么不取π)初相位：2/5/2023(2)由(1)中結(jié)果依題意，v＜0則2/5/2023

5.2簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量表示法5.2.1旋轉(zhuǎn)矢量表示法PMOx投影點(diǎn)P的坐標(biāo)為：結(jié)論：投影點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng).模為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅.旋轉(zhuǎn)矢量角速度

為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的角頻率.與x軸的夾角(t+)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的相位.t=0時(shí)，與x軸的夾角

為初相位.旋轉(zhuǎn)矢量

旋轉(zhuǎn)一周，P點(diǎn)完成一次全振動(dòng).周期：2/5/20235.2.2旋轉(zhuǎn)矢量圖的應(yīng)用1.求初相位t=0時(shí)刻，質(zhì)點(diǎn)位于x=A/2處，且向x軸正向運(yùn)動(dòng).xAOt=0時(shí)刻，質(zhì)點(diǎn)位于x=-A/2處，且向x軸負(fù)向運(yùn)動(dòng).OxA2/5/20232.用旋轉(zhuǎn)矢量圖畫(huà)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的

圖2/5/2023例:一質(zhì)點(diǎn)沿x軸作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng),振幅為12cm,周期為2s.當(dāng)t=0時(shí),

位移為6cm,且向x軸正方向運(yùn)動(dòng).求:

(1)振動(dòng)表達(dá)式；(2)t=0.5s時(shí),質(zhì)點(diǎn)的位置、速度和加速度；(3)若某時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)位于x=-6cm,且向x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng),求從該位置回到平衡位置所需的最短時(shí)間.解：A=12cm,T=2s,x0=6cm.且v0＞0(1)xt=0時(shí)，x0=0.06m,6cmv0>02/5/2023x(2)(3)2/5/2023

5.3單擺和復(fù)擺5.3.1單擺Ol

mgT小球受力矩：根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律:化簡(jiǎn)得:θ為振動(dòng)角位移振幅為θ0單擺的振動(dòng)是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng).結(jié)論：2/5/20235.3.1復(fù)擺hOCmgJ剛體受力矩：根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律:化簡(jiǎn)得:復(fù)擺的振動(dòng)是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng).結(jié)論：θ為振動(dòng)角位移振幅為θ02/5/2023

5.4簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的能量振子勢(shì)能：振子動(dòng)能：系統(tǒng)的總能量：取振子在平衡位置時(shí)的勢(shì)能為零,則：2/5/2023討論：(1)振子在振動(dòng)過(guò)程中，動(dòng)能和勢(shì)能分別隨時(shí)間變化，但任一時(shí)刻總機(jī)械能保持不變.(2)位移最大,勢(shì)能最大,但動(dòng)能最小,在振動(dòng)曲線的峰值;位移為0,勢(shì)能為0,但動(dòng)能最大,在振動(dòng)曲線的平衡位置.2/5/2023

5.5簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成5.5.1同方向、同頻率的兩個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成1.分振動(dòng):

2.合振動(dòng):2/5/2023討論:

(1)若兩分振動(dòng)同相,即21=2k(k=0,1,2,…)(2)若兩分振動(dòng)反相,即21=(2k+1)(k=0,1,2,…)當(dāng)A1=A2時(shí),A=0.則

A=A1+A2

,兩分振動(dòng)相互加強(qiáng);則A=|A1-A2|,兩分振動(dòng)相互減弱;當(dāng)A1=A2時(shí),A=2A1.結(jié)論：合振動(dòng)x

仍是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng).合振動(dòng)振幅不僅與兩分振動(dòng)的振幅有關(guān),與相位差也有關(guān).2/5/2023旋轉(zhuǎn)矢量法處理簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成2/5/2023兩個(gè)同方向同頻率簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成演示2/5/20235.5.2同方向、不同頻率兩個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成拍1.分振動(dòng):

2.合振動(dòng):當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí)，A有最大值A(chǔ)有最小值結(jié)論：合振動(dòng)x

不再是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng).2/5/2023當(dāng)21時(shí),2-12+1,令其中隨

t緩變隨t快變振幅相同、同方向不同頻率的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成

2.合振動(dòng):1.分振動(dòng):合振動(dòng)x

可看作是振幅緩變的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng).結(jié)論：2/5/2023xx2x1ttt3.拍的現(xiàn)象

OOO:振動(dòng)出現(xiàn)時(shí)強(qiáng)時(shí)弱的現(xiàn)象.2/5/2023由于振幅總是正值，余弦函數(shù)的絕對(duì)值以π為周期即合振動(dòng)振幅變化的周期：拍頻:單位時(shí)間內(nèi)合振動(dòng)振幅強(qiáng)弱變化的次數(shù)，即2/5/20232/5/2023*5.5.3相互垂直的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成1.相互垂直的同頻率簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成1)分振動(dòng):2)合運(yùn)動(dòng):討論當(dāng)=2-1=k(k為整數(shù))時(shí):當(dāng)=(2k+1)/2(k為整數(shù))時(shí)：

2/5/2023

=0(第一象限)

=/2

=

=3/2(第二象限)(第三象限)（第四象限）2/5/2023兩個(gè)相互垂直的同頻率簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成演示2/5/20232.相互垂直的不同頻率簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成兩個(gè)互相垂直、不同頻率的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成時(shí)，如果它們的頻率之比為整數(shù)時(shí)，會(huì)產(chǎn)生的穩(wěn)定的封閉曲線，其形狀與頻率比和相位差有關(guān)，這種圖形叫做李薩如圖.兩個(gè)相互垂直的不同頻率簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成演示2/5/2023

5.6阻尼振動(dòng)受迫振動(dòng)共振5.6.1阻尼振動(dòng)Oxx為阻尼系數(shù)由牛頓第二定律:

稱(chēng)為阻尼因子動(dòng)力學(xué)方程：微分方程的特征方程為：2/5/20231.小阻尼情況:阻力很小方程解：周期:(2)阻尼越大，減幅越迅速;(1)阻尼較小時(shí)，振動(dòng)為減幅振動(dòng)，振幅隨時(shí)間按指數(shù)規(guī)律迅速減少;結(jié)論：(3)振動(dòng)周期大于自由振動(dòng)周期.2/5/20232.過(guò)阻尼情況：阻力很大阻尼較大時(shí)，振動(dòng)從最大位移緩慢回到平衡位置，不作往復(fù)運(yùn)動(dòng).結(jié)論：2/5/2023此時(shí)為“臨界阻尼”的情況，是質(zhì)點(diǎn)不作往復(fù)運(yùn)動(dòng)的一個(gè)極限.3.臨界阻尼情況:結(jié)論：2/5/20235.6.2受迫振動(dòng)共振1.受迫振動(dòng)系統(tǒng)在周期性的外力持續(xù)作用下所發(fā)生的振動(dòng).(1)策動(dòng)力:周期性的外力.(2)振動(dòng)規(guī)律:物體受力：恢復(fù)力+阻力+策動(dòng)力Oxx由牛頓第二定律：令：2/5/2023在阻尼較小時(shí)，其通解為對(duì)應(yīng)齊次方程的通解加上一個(gè)特解，為:其中:第一項(xiàng)為暫態(tài)項(xiàng)，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間以后趨向于零，

為積分常數(shù)，由初始條件確定；第二項(xiàng)為穩(wěn)定項(xiàng)，即:代入原方程求得:2/5/2023(1)受迫振動(dòng)是阻尼振動(dòng)和余弦振動(dòng)的合成;(2)經(jīng)一段相當(dāng)?shù)臅r(shí)間后，阻尼振動(dòng)為零;(3)其周期為策動(dòng)力的周期，振幅、初相位不僅與初條件有關(guān)，而且與策動(dòng)力的頻率和力幅有關(guān).結(jié)論：2/5/20232.共振：當(dāng)策動(dòng)力的頻率接近于固有頻率時(shí)，受迫振動(dòng)的振幅達(dá)到最大值的現(xiàn)象.共振頻率：共振振幅：共振頻率大阻尼小阻尼阻尼阻尼系數(shù)越小，共振角頻率越接近于系統(tǒng)的固有頻率，同時(shí)共振振幅也越大.結(jié)論：2/5/20232/5/2023情景再現(xiàn)1940年7月1日，橋齡僅4個(gè)月的美國(guó)Tocama大橋在一場(chǎng)不算太強(qiáng)的大風(fēng)中坍塌。風(fēng)產(chǎn)生的周期性效果導(dǎo)致大橋共振，大橋在風(fēng)中堅(jiān)強(qiáng)的搖曳了近一天，最終轟然墜下……

2/5/2023

第五章機(jī)械振動(dòng)小結(jié)5.1簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)5.2簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量表示法

5.3單擺和復(fù)擺5.4振動(dòng)的能量5.5簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成5.6阻尼振動(dòng)受迫振動(dòng)共振內(nèi)容提要2/5/20231.振動(dòng)表達(dá)式

2.簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的速度與加速度3.簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程中的三個(gè)基本物理量振幅：初相位：4.振幅和初相位的求法2/5/20235.旋轉(zhuǎn)矢量表示法模為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅.旋轉(zhuǎn)矢量角速度

為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的角頻率.與x軸的夾角(t+)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的相位.t=0時(shí)，與x軸的夾角

為初相位