第8章 參數(shù)估計(jì)2012修改(統(tǒng)計(jì)學(xué)PPT)

第8章參數(shù)估計(jì)PowerPoint統(tǒng)計(jì)學(xué)2/5/20231第8章參數(shù)估計(jì)一、參數(shù)估計(jì)概述二、參數(shù)估計(jì)的基本方法三、總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)四、樣本容量的確定五、Excel在參數(shù)估計(jì)中的應(yīng)用2/5/20232本章學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解參數(shù)估計(jì)的概念與特點(diǎn)。2.掌握參數(shù)估計(jì)的方法。3.重點(diǎn)掌握總體均值及總體比例的區(qū)間估計(jì)方法。4.掌握樣本容量的確定方法。2/5/20233一、參數(shù)估計(jì)概述（一）參數(shù)估計(jì)的意義（二）抽樣誤差的測(cè)定2/5/20234（一）參數(shù)估計(jì)的意義也叫抽樣估計(jì)，就是根據(jù)樣本統(tǒng)計(jì)量去估計(jì)總體參數(shù)。

參數(shù)估計(jì)估計(jì)量：用于估計(jì)總體參數(shù)的隨機(jī)變量。如樣本均值，樣本比例、樣本方差等例如:樣本均值就是總體均值的一個(gè)估計(jì)量估計(jì)值：估計(jì)參數(shù)時(shí)計(jì)算出來(lái)的統(tǒng)計(jì)量的具體數(shù)值。即估計(jì)量的具體數(shù)值。如果樣本均值x

=80，則估計(jì)量樣本均值的估計(jì)值為80。2/5/20235總體樣本樣本均值統(tǒng)計(jì)量參數(shù)是唯一的，但估計(jì)量（統(tǒng)計(jì)量）是隨機(jī)變量，取值是不確定的。同一個(gè)參數(shù)可以有多個(gè)不同的估計(jì)值。

參數(shù)2/5/20236特點(diǎn)1、以隨機(jī)抽樣為前提2、以概率估計(jì)推斷總體參數(shù)3、存在抽樣誤差，但可以計(jì)算和控制2/5/20237作用1、用于不可能或不必要進(jìn)行全面調(diào)查的總體數(shù)量特征的估計(jì)

2、用于全面調(diào)查資料的評(píng)價(jià)和驗(yàn)證

3、用于生產(chǎn)過(guò)程的質(zhì)量控制2/5/20238（二）抽樣誤差的測(cè)定

是指樣本統(tǒng)計(jì)量與總體參數(shù)之差。主要包括樣本均值與總體均值之間的抽樣誤差，樣本比例與總體比例之間的抽樣誤差。抽樣誤差抽樣誤差實(shí)際抽樣誤差——無(wú)法一一計(jì)算抽樣平均誤差——可以計(jì)算

抽樣極限誤差——可以控制2/5/20239實(shí)際抽樣誤差樣本估計(jì)值與總體參數(shù)真實(shí)值之間的離差稱為實(shí)際抽樣誤差。由于在實(shí)踐中總體參數(shù)的真實(shí)值是未知的，因此實(shí)際抽樣誤差是不可知的。由于樣本估計(jì)值隨樣本而變化，因此實(shí)際抽樣誤差是一個(gè)隨機(jī)變量。2/5/202310抽樣平均誤差樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)差，又稱抽樣標(biāo)準(zhǔn)誤差，簡(jiǎn)稱標(biāo)準(zhǔn)誤。用來(lái)反映樣本均值（或比例）與總體均值（比例）的平均差異程度。

抽樣平均誤差可衡量樣本對(duì)總體的代表性大小根據(jù)定義公式無(wú)法計(jì)算抽樣平均誤差2/5/202311抽樣方法樣本均值的抽樣平均誤差樣本比例的抽樣平均誤差重置抽樣不重置抽樣數(shù)理統(tǒng)計(jì)證明，隨機(jī)抽樣的抽樣平均誤差可以使用以下公式計(jì)算。由上面的公式可知影響抽樣誤差的因素包括：總體標(biāo)志值的差異程度；樣本容量的大??；抽樣方法以及抽樣的組織形式。2/5/202312應(yīng)用上述公式，需要注意以下二點(diǎn)：1、當(dāng)N很大時(shí)，。若

一般可忽略有限總體的修正系數(shù)2、由于總體方差通常是未知的，一般可用樣本方差代替。如果樣本方差未知，可用用過(guò)去同類現(xiàn)象的全面調(diào)查或抽樣調(diào)查的歷史方差資料或?qū)嶒?yàn)性調(diào)查估計(jì)方差替代。若可用的方差資料有多個(gè)，應(yīng)選擇方差值最大的。2/5/202313【例】企業(yè)生產(chǎn)某產(chǎn)品1000袋，為檢驗(yàn)其包裝重量情況，檢驗(yàn)員甲按簡(jiǎn)單隨機(jī)重復(fù)抽樣方法，抽取200袋，檢驗(yàn)乙按不重復(fù)抽樣方法抽取100袋,樣本標(biāo)準(zhǔn)差均為2克，試求兩種不同抽樣方法下平均包裝重量的抽樣平均誤差。解：1）重復(fù)抽樣時(shí)抽樣平均誤差2）不重復(fù)抽樣時(shí)抽樣平均誤差2/5/202314【例】機(jī)械廠生產(chǎn)一批零件100000件，現(xiàn)抽取300件進(jìn)行檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)有9件不合格，試求合格率的抽樣平均誤差。解：1）重復(fù)抽樣下合格率的抽樣平均誤差2）不重復(fù)抽樣下合格率的抽樣平均誤差2/5/202315抽樣極限誤差抽樣極限誤差，也稱抽樣允許誤差、抽樣邊際誤差。它是指在一定概率下，樣本統(tǒng)計(jì)量偏離總體參數(shù)的最大可能范圍。通常用“△”表示。最大允許誤差是人為確定的，是調(diào)查者在相應(yīng)的置信度下可以容忍的誤差水平。抽樣的極限誤差通常需要以抽樣的平均誤差為標(biāo)準(zhǔn)單位來(lái)衡量，并且把抽樣極限誤差除以抽樣平均誤差所得的數(shù)值叫做概率度，以測(cè)量估計(jì)的可靠程度。2/5/202316若以z表示概率度，則有：

或

常用的概率度與概率對(duì)照表概率度z11.651.9622.583置信概率φ(z)0.68270.90000.95000.95450.990.99732/5/202317二、參數(shù)估計(jì)的基本方法估計(jì)方法點(diǎn)估計(jì)區(qū)間估計(jì)2/5/202318點(diǎn)估計(jì)以樣本估計(jì)量的實(shí)際值直接作為相應(yīng)總體參數(shù)的估計(jì)值。簡(jiǎn)單，具體明確優(yōu)點(diǎn)缺點(diǎn)無(wú)法控制誤差，僅適用于對(duì)推斷的準(zhǔn)確程度與可靠程度要求不高的情況（一）點(diǎn)估計(jì)2/5/202319的抽樣分布點(diǎn)估計(jì)的最大好處：給出確定的值點(diǎn)估計(jì)的最大問(wèn)題：無(wú)法控制誤差2/5/202320點(diǎn)估計(jì)的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)點(diǎn)估計(jì)的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)無(wú)偏性有效性一致性2/5/202321無(wú)偏性：樣本估計(jì)量的數(shù)學(xué)期望應(yīng)等于被估計(jì)總體未知參數(shù)的真值。P(

)BA無(wú)偏有偏無(wú)偏性2/5/202322學(xué)生ＡＢＣＤ成績(jī)60708090均值＝75方差２＝125從中按重復(fù)抽樣方式抽?。踩?，計(jì)算樣本的均值及方差S２

。方差的抽樣分布A60B70C80D90A60606060006070652550608070100200609075225450B707060652550707070007080752550709080100200C808060701002008070752550808080008090852550D909060752254509070801002009080852550909090002/5/202323有偏無(wú)偏2/5/202324有效性：對(duì)同一總體參數(shù)的兩個(gè)無(wú)偏點(diǎn)估計(jì)量，有更小標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)量更有效。AB的抽樣分布的抽樣分布P(

)有效性2/5/202325學(xué)生ＡＢＣＤＥＦＧ成績(jī)30405060708090按隨機(jī)原則抽選出４名學(xué)生，并計(jì)算平均分?jǐn)?shù)和中位分?jǐn)?shù)。樣本均值4547.55052.55557.560出現(xiàn)次數(shù)1123445樣本均值62.56567.57072.575出現(xiàn)次數(shù)443211樣本中位數(shù)45505560657075出現(xiàn)次數(shù)

43858342/5/202326中位數(shù)的抽樣分布平均數(shù)的抽樣分布2/5/202327一致性：隨著樣本容量的增大，估計(jì)量的值越來(lái)越接近被估計(jì)的總體參數(shù)AB較小的樣本容量較大的樣本容量P(

)一致性2/5/202328為的無(wú)偏、有效、一致估計(jì)量；為的無(wú)偏、有效、一致估計(jì)量；為的無(wú)偏、有效、一致估計(jì)量。結(jié)論：2/5/202329根據(jù)樣本估計(jì)量以一定的可靠程度推斷總體參數(shù)所在的區(qū)間范圍。在點(diǎn)估計(jì)的基礎(chǔ)上，給出總體參數(shù)估計(jì)的一個(gè)區(qū)間范圍，該區(qū)間由樣本統(tǒng)計(jì)量加減抽樣誤差而得到的根據(jù)樣本統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布能夠?qū)颖窘y(tǒng)計(jì)量與總體參數(shù)的接近程度給出一個(gè)概率度量樣本統(tǒng)計(jì)量

(點(diǎn)估計(jì))置信區(qū)間置信下限置信上限（二）區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì)2/5/2023302/5/202331置信區(qū)間由樣本統(tǒng)計(jì)量所構(gòu)造的總體參數(shù)的估計(jì)區(qū)間稱為置信區(qū)間。該區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)，分別稱為置信區(qū)間的置信下限和置信上限。統(tǒng)計(jì)學(xué)家在某種程度上確信這個(gè)區(qū)間會(huì)包含真正的總體參數(shù)，所以給它取名為置信區(qū)間。用一個(gè)具體的樣本所構(gòu)造的區(qū)間是一個(gè)特定的區(qū)間，我們無(wú)法知道這個(gè)樣本所產(chǎn)生的區(qū)間是否包含總體參數(shù)的真值。我們只能是希望這個(gè)區(qū)間是大量包含總體參數(shù)真值的區(qū)間中的一個(gè)，但它也可能是少數(shù)幾個(gè)不包含參數(shù)真值的區(qū)間中的一個(gè)2/5/202332置信區(qū)間(95%的置信區(qū)間)重復(fù)構(gòu)造出的20個(gè)置信區(qū)間點(diǎn)估計(jì)值2/5/202333將構(gòu)造置信區(qū)間的步驟重復(fù)很多次，置信區(qū)間包含總體參數(shù)真值的次數(shù)所占的比例稱為置信水平表示為(1-為是總體參數(shù)未在區(qū)間內(nèi)的比例常用的置信水平值有99%,95%,90%相應(yīng)的為0.01，0.05，0.10置信水平

2/5/202334區(qū)間估計(jì)優(yōu)良性評(píng)價(jià)的基本要求

均值的抽樣分布(1-)區(qū)間包含了

的區(qū)間未包含1-aa/2a/21.置信度高2.精確度高在保證置信度的前提下，盡可能提高精確度。

2/5/202335區(qū)間估計(jì)的一般步驟

抽取樣本，計(jì)算估計(jì)值計(jì)算抽樣平均誤差根據(jù)所要求的置信水平與樣本統(tǒng)計(jì)量的分布形式，計(jì)算極限誤差對(duì)總體參數(shù)作出區(qū)間推斷

2/5/202336三、總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)

（一）總體均值的區(qū)間估計(jì)（二）總體比例的區(qū)間估計(jì)2/5/202337（一）總體均值的區(qū)間估計(jì)

(以樣本均值服從正態(tài)分布為例）95%的樣本-1.96x+1.96x99%的樣本-2.58x+2.58x90%的樣本-1.65x+1.65x2/5/202338總體方差已知時(shí)總體均值的估計(jì)1. 假定條件總體服從正態(tài)分布如果是非正態(tài)分布，但n

30樣本均值服從正態(tài)分布，如重復(fù)抽樣條件下，總體均值在1-置信水平下的置信區(qū)間為抽樣極限誤差樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差2/5/202339【例】一家食品生產(chǎn)企業(yè)以生產(chǎn)袋裝食品為主，為對(duì)產(chǎn)量質(zhì)量進(jìn)行監(jiān)測(cè)，企業(yè)質(zhì)檢部門經(jīng)常要進(jìn)行抽檢，以分析每袋重量是否符合要求?，F(xiàn)從某天生產(chǎn)的一批食品中隨機(jī)抽取了25袋，測(cè)得每袋重量如下表所示。已知產(chǎn)品重量的分布服從正態(tài)分布，且總體標(biāo)準(zhǔn)差為10克。試估計(jì)該批產(chǎn)品平均重量的置信區(qū)間，置信水平為95%25袋食品的重量112.5101.0103.0102.0100.5102.6107.595.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.695.497.8108.6105.0136.8102.8101.598.493.32/5/202340解：已知Ｘ~N(，102)，n=25,1-=95%，z/2=1.96。

即：該食品平均重量的置信區(qū)間在101.44—109.28克之間。2/5/202341【例】某企業(yè)生產(chǎn)的燈泡，根據(jù)其積累的歷史資料，燈泡使用壽命的方差為625小時(shí)2。該企業(yè)某一天生產(chǎn)燈泡18000只，從中以簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方式抽取60只檢測(cè)，其平均壽命為2000小時(shí)。試以95%的置信度估計(jì)該天生產(chǎn)的全部燈泡的平均壽命范圍。

分析：在總體方差已知的情況下，雖然不知道燈泡壽命是否服從正態(tài)分布，但由于抽取的樣本容量為60，是一個(gè)大樣本，根據(jù)中心極限定理，樣本均值近似服從正態(tài)分布，即

2/5/202342解：即可以用95%的概率保證該天生產(chǎn)燈泡的平均壽命介于1993.685～2006.315小時(shí)之間。2/5/202343總體方差未知時(shí)總體均值的估計(jì)1. 假定條件總體服從正態(tài)分布如果是非正態(tài)分布，但n

30樣本均值服從t分布，如：重復(fù)抽樣條件下，總體均值在1-置信水平下的置信區(qū)間為抽樣極限誤差樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差2/5/202344【例】已知某種燈泡的壽命服從正態(tài)分布，現(xiàn)從一批燈泡中隨機(jī)抽取16只，測(cè)得其使用壽命(小時(shí))如下。建立該批燈泡平均使用壽命95%的置信區(qū)間16燈泡使用壽命的數(shù)據(jù)15101520148015001450148015101520148014901530151014601460147014702/5/202345解：已知Ｘ服從N(，2)，n=16,1-=95%，t/2=2.131。根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得：

總體均值在1-置信水平下的置信區(qū)間為即：該種燈泡平均使用壽命的置信區(qū)間為1476.8小時(shí)～1503.2小時(shí)2/5/202346【例】一家保險(xiǎn)公司收集到由36投保個(gè)人組成的隨機(jī)樣本，得到每個(gè)投保人的年齡(周歲)數(shù)據(jù)如下表。試建立投保人年齡90%的置信區(qū)間36個(gè)投保人年齡的數(shù)據(jù)2335392736443642464331334253455447243428393644403949383448503439454845322/5/202347解：已知n=36,1-=90%，t/2=1.69。根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得：

總體均值在1-置信水平下的置信區(qū)間為即：投保人平均年齡的置信區(qū)間為37.31歲~41.69歲注意：當(dāng)樣本容量足夠大、總體方差未知而用樣本方差代替時(shí)，由樣本均值所構(gòu)造的t統(tǒng)計(jì)量非常接近標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的z統(tǒng)計(jì)量，即臨界值也可以通過(guò)查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得到其近似值。2/5/202348思考：某工廠有1500個(gè)工人，用重復(fù)抽樣的方法抽取50個(gè)工人作為樣本，調(diào)查其工資水平如下表：要求：（1）計(jì)算樣本的平均工資和標(biāo)準(zhǔn)差。（2）以95.45%的保證概率估計(jì)該工廠平均工資和工資總額的區(qū)間。工資水平（元）11241134114011501160118012001260工人數(shù)（人）4691086432/5/202349總體均值區(qū)間估計(jì)小結(jié)總體分布樣本容量正態(tài)總體大樣本小樣本非正態(tài)總體大樣本小樣本——2/5/202350（二）總體比例的區(qū)間估計(jì)假定條件總體服從二項(xiàng)分布是非標(biāo)志的總體方差已知樣本容量n＞30，而且和都大于5

樣本比例可以由正態(tài)分布來(lái)近似總體比例在1-置信水平下的置信區(qū)間為2/5/202351但在實(shí)際工作中，往往是未知的，需要用樣本比例來(lái)代替。在置信度下，總體比例的置信區(qū)間為：2/5/202352【例】某高校有教職工1000人，按隨機(jī)原則以不重復(fù)抽樣方式抽取201名教職工進(jìn)行調(diào)查，其中表示支持某候選人的有110人，試以95%的置信標(biāo)準(zhǔn)估計(jì)該候選人的全校支持率。解：已知N=1000,n=201，

p＝110/201=54.73%,1-=95%查表得z/2=1.96即：以95%的置信度估計(jì)該候選人的全校支持率介于48.21%～60.53%之間。2/5/202353【例】某城市想要估計(jì)下崗職工中女性所占的比例，隨機(jī)抽取了100個(gè)下崗職工，其中65人為女性職工。試以95%的置信水平估計(jì)該城市下崗職工中女性比例的置信區(qū)間解：已知n=100，p＝65%,1-=95%，z/2=1.96即：該城市下崗職工中女性比例的置信區(qū)間為55.65%-74.35%2/5/2023541995.4.10《今日美國(guó)》對(duì)369名有工作的父母的一項(xiàng)調(diào)查表明，他們當(dāng)中有200名承認(rèn)由于工作有約而使得與其子女相處時(shí)間過(guò)少。A.求總體中由于工作有約而使得與其子女相處時(shí)間過(guò)少父母所占的比率的點(diǎn)估計(jì)。B.當(dāng)置信水平為95％時(shí)，邊際誤差為多大？C.求總體中由于工作有約而使得與其子女相處時(shí)間過(guò)少父母所占比率的95％置信區(qū)間估計(jì)。2/5/202355樣本容量調(diào)查誤差調(diào)查費(fèi)用小樣本容量節(jié)省費(fèi)用但調(diào)查誤差大大樣本容量調(diào)查精度高但費(fèi)用較大找出在規(guī)定誤差范圍內(nèi)的最小樣本容量找出在限定費(fèi)用范圍內(nèi)的最大樣本容量確定樣本容量的必要性四、樣本容量的確定

2/5/202356總體方差；置信度（概率保證程度）；估計(jì)的精度，即允許誤差（邊際誤差）的大??；抽樣方法；抽樣的組織方式。調(diào)查費(fèi)用影響樣本容量的因素

2/5/202357確定方法1.重復(fù)抽樣條件下：通常的做法是先確定置信水平，查找相應(yīng)的臨界值z(mì),然后限定邊際誤差。

①2未知時(shí)，一般采用過(guò)去的經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)；②如果經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)未知，則應(yīng)考慮s2代替2來(lái)計(jì)算。但s2通常也是個(gè)未知數(shù)，解決方法有：第一，利用歷史的樣本資料進(jìn)行計(jì)算；第二，利用同類型的調(diào)查資料計(jì)算求得；第三，組織試驗(yàn)性調(diào)查取得數(shù)據(jù)；第四，若有多個(gè)不同的值，則取其最大值。計(jì)算結(jié)果通常向上進(jìn)位估計(jì)總體均值時(shí)樣本容量的確定

2/5/2023582.不重復(fù)抽樣條件下：確定方法2/5/202359【例】擁有工商管理學(xué)士學(xué)位的大學(xué)畢業(yè)生年薪的標(biāo)準(zhǔn)差大約為2000元，假定想要估計(jì)年薪95%的置信區(qū)間，希望邊際誤差為400元，應(yīng)抽取多大的樣本容量？2/5/202360解:

已知=2000，

=400,1-=95%，z/2=1.96即應(yīng)抽取97人作為樣本2/5/202361【例】某食品廠要檢驗(yàn)本月生產(chǎn)的10000袋某產(chǎn)品的重量，根據(jù)上月資料，這種產(chǎn)品每袋重量的標(biāo)準(zhǔn)差為25克。要求在95.45﹪的概率保證程度下，平均每袋重量的誤差范圍不超過(guò)5克，應(yīng)抽查多少袋產(chǎn)品？2/5/202362【例】某藥廠為了檢查瓶裝藥品數(shù)量，從成品庫(kù)隨機(jī)抽檢100瓶，結(jié)果平均每瓶101.5片，標(biāo)準(zhǔn)差為3片。是以99.73%的把握程度推斷成品庫(kù)該種藥平均每瓶數(shù)量的置信區(qū)間，如果允許誤差減少到原來(lái)1／2，其他條件不變，問(wèn)需要抽取多少瓶？2/5/202363確定方法1.重復(fù)抽樣條件下：通常的做法是先確定置信水平，然后限定邊際誤差（一般少于0.1）。計(jì)算結(jié)果通常向上進(jìn)位通常未知。一般按以下方法確定其估計(jì)值：①過(guò)去的經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)；②試驗(yàn)調(diào)查樣本的；③取方差的最大值0.25,即π=0.5估計(jì)總體比例時(shí)樣本容量的確定

2/5/2023642.不重復(fù)抽樣條件下：確定方法2/5/202365【例】根據(jù)以往的生產(chǎn)統(tǒng)計(jì)，某種產(chǎn)品的合格率約為90%，現(xiàn)要求邊際誤差為5%，在求95%的置信區(qū)間時(shí)，應(yīng)抽取多少個(gè)產(chǎn)品作為樣本？解:已知=90%，=0.05，Z/2=1.96，

=5%

應(yīng)抽取139個(gè)產(chǎn)品作為樣本2/5/202366【例】某企業(yè)對(duì)一批總數(shù)為5000件的產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)量檢查，過(guò)去幾次同類調(diào)查所得的產(chǎn)品合格率為93﹪、95﹪、96﹪，為了使合格率的允許誤差不超過(guò)3﹪，在99.73﹪的概率保證程度下，應(yīng)抽查多少件產(chǎn)品？分析：因?yàn)楣灿腥齻€(gè)過(guò)去的合格率的資料，為保證推斷的準(zhǔn)確程度，應(yīng)選其中方差最大者，即π=93﹪。2/5/202367解:2/5/202368四、EXCEL在參數(shù)估計(jì)中應(yīng)用（一）EXCEL中與參數(shù)估計(jì)有關(guān)的常用函數(shù)（二）案例分