第三節(jié)位移法的基本概念

§8-3位移法的基本概念

位移法的基本未知量是結(jié)點(diǎn)角位移和結(jié)點(diǎn)線位移。

1．結(jié)點(diǎn)角位移基本未知量數(shù)目

作為基本未知量的結(jié)點(diǎn)角位移的數(shù)目就等于結(jié)構(gòu)剛結(jié)點(diǎn)的數(shù)目。

一、位移法的基本未知量第8章位移法●本章教學(xué)基本要求：掌握位移法的基本原理和方法；熟練掌握用典型方程法計(jì)算超靜定剛架在荷載作用下的內(nèi)力；會(huì)用典型方程法計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)在支座移動(dòng)和溫度變化時(shí)的內(nèi)力；掌握用直接平衡法計(jì)算超靜定剛架的內(nèi)力●本章教學(xué)內(nèi)容的重點(diǎn)：位移法的基本未知量；桿件的轉(zhuǎn)角位移方程；用典型方程法和直接平衡法建立位移法方程；用典型方程法計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的內(nèi)力?！癖菊陆虒W(xué)內(nèi)容的難點(diǎn)：對(duì)位移法方程的物理意義以及方程中系數(shù)和自由項(xiàng)的物理意義的正確理解和確定?！癖菊聝?nèi)容簡(jiǎn)介:8.1位移法的基本概念8.2等截面直桿的轉(zhuǎn)角位移方程8.3位移法的基本未知量8.4位移法的基本結(jié)構(gòu)及位移法方程8.5用典型方程法計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的內(nèi)力8.6用典型方程法計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)在支座移動(dòng)和溫度變化時(shí)的內(nèi)力8.7用直接平衡法計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力*8.8混合法8.1位移法的基本概念位移法尤其適用于高次超靜定剛架的計(jì)算，而且是常用的漸近法（如第9章將介紹的力矩分配法、無剪力分配法）和第11章將介紹的適用于計(jì)算機(jī)計(jì)算的矩陣位移法的基礎(chǔ)。對(duì)于線彈性結(jié)構(gòu)，其內(nèi)力與位移之間存在著一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，確定的內(nèi)力只與確定的位移相對(duì)應(yīng)。因此，在分析超靜定結(jié)構(gòu)時(shí)，既可以先設(shè)法求出內(nèi)力，然后再計(jì)算相應(yīng)的位移這便是力法；也可以反過來，先確定某些結(jié)點(diǎn)位移，再據(jù)此推求內(nèi)力，這便是位移法。兩種方法的基本區(qū)別之一，在于基本未知量的選取不同：力法是以多余未知力（支反力或內(nèi)力）為基本未知量，而位移法則是以結(jié)點(diǎn)的獨(dú)立位移（角位移或線位移）為基本未知量。為了說明位移法的概念，我們來分析圖示剛架的位移。由于結(jié)點(diǎn)A為剛結(jié)點(diǎn)，桿件AB、AC、AD在結(jié)點(diǎn)A處有相同的轉(zhuǎn)角θA。若略去受彎直桿的軸向變形，并不計(jì)由于彎曲而引起桿段兩端的接近，則可認(rèn)為三桿長(zhǎng)度不變，因而結(jié)點(diǎn)A沒有線位移，而只有角位移。對(duì)整個(gè)結(jié)構(gòu)來說，求解的關(guān)鍵就是如何確定基本未知量θA的值。從剛架中取出桿件AB進(jìn)行分析在位移法分析中，需要解決的三個(gè)問題：第一，確定桿件的桿端內(nèi)力與桿端位移及荷載之間的函數(shù)關(guān)系（即桿件分析或單元分析）。第二，選取結(jié)構(gòu)上哪些結(jié)點(diǎn)位移作為基本未知量。第三，建立求解這些基本未知量的位移法方程（即整體分析）。這些問題將在以下各節(jié)中予以討論。8.2等截面直桿的轉(zhuǎn)角位移方程應(yīng)用位移法需要解決的第一個(gè)問題就是，要確定桿件的桿端內(nèi)力與桿端位移及荷載之間的函數(shù)關(guān)系，習(xí)稱為桿件的轉(zhuǎn)角位移方程。這是學(xué)習(xí)位移法的準(zhǔn)備知識(shí)和重要基礎(chǔ)。利用力法的計(jì)算結(jié)果，由疊加原理導(dǎo)出三種常用等截面直桿的轉(zhuǎn)角位移方程。一、桿端內(nèi)力及桿端位移的正負(fù)號(hào)規(guī)定1、桿端內(nèi)力的正負(fù)號(hào)規(guī)定桿端彎矩對(duì)桿端而言，以順時(shí)針方向?yàn)檎?，反之為?fù)。對(duì)結(jié)點(diǎn)或支座而言，則以逆時(shí)針方向?yàn)檎?，反之為?fù)。桿端剪力和桿端軸力的正負(fù)號(hào)規(guī)定，仍與前面規(guī)定相同。2、桿端位移的正負(fù)號(hào)規(guī)定角位移以順時(shí)針為正，反之為負(fù)。線位移以桿的一端相對(duì)于另一端產(chǎn)生順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)的線位移為正，反之為負(fù)。例如，圖中，ΔAB為正。二、單跨超靜定梁的形常數(shù)和載常數(shù)位移法中，常用到圖示三種基本的等截面單跨超靜定梁，它們?cè)诤奢d、支座移動(dòng)或溫度變化作用下的內(nèi)力可通過力法求得。a)兩端固定b)一端固定一端鉸支c)一端固定一端定向支承由桿端單位位移引起的桿端內(nèi)力稱為形常數(shù)，列入表8-1中。表中引入記號(hào)i=EI/l，稱為桿件的線剛度。由荷載或溫度變化引起的桿端內(nèi)力稱為載常數(shù)。其中的桿端彎矩也常稱為固端彎矩，用和表示；桿端剪力也常稱為固端剪力，用和表示。常見荷載和溫度作用下的載常數(shù)列入表8-2中。a)兩端固定b)一端固定一端鉸支c)一端固定一端定向支承三、轉(zhuǎn)角位移方程

1、兩端固定梁利用表8-1和表8-2，由疊加原理可得（8-1）2、一端固定另一端鉸支梁（8-2）3、一端固定另一端定向支承梁(8-3)應(yīng)用以上三組轉(zhuǎn)角位移方程，即可求出三種基本的單跨超靜定梁的桿端彎矩。至于桿端剪力，則可根據(jù)平衡條件導(dǎo)出為(式中，和分別表示相當(dāng)簡(jiǎn)支梁在荷載作用下的桿端彎矩。(8-4)對(duì)上述三種基本的單跨超靜定梁的桿端剪力表達(dá)式，也可根據(jù)疊加原理，直接利用表8-1和表8-2，寫出如下：1）兩端固定梁2）一端固定另一端鉸支梁3）一端固定另一端定向支承梁8.3位移法的基本未知量一、位移法的基本未知量位移法選取結(jié)點(diǎn)的獨(dú)立位移，包括結(jié)點(diǎn)的獨(dú)立角位移和獨(dú)立線位移，作為其基本未知量，并用廣義位移符號(hào)Zi表示。二、確定位移法的基本未知量的數(shù)目1、位移法基本未知量的總數(shù)目位移法基本未知量的總數(shù)目（記作n）等于結(jié)點(diǎn)的獨(dú)立角位移數(shù)（記作ny）與獨(dú)立線位移數(shù)（記作nl）之和，即2、結(jié)點(diǎn)獨(dú)立角位移數(shù)結(jié)點(diǎn)獨(dú)立角位移數(shù)（ny）一般等于剛結(jié)點(diǎn)數(shù)加上組合結(jié)點(diǎn)（半鉸結(jié)點(diǎn)）數(shù)，但須注意，當(dāng)有階形桿截面改變處的轉(zhuǎn)角或抗轉(zhuǎn)動(dòng)彈性支座的轉(zhuǎn)角時(shí)，應(yīng)一并計(jì)入在內(nèi)。至于結(jié)構(gòu)固定支座處，因其轉(zhuǎn)角等于零或?yàn)橐阎闹ё灰浦?；鉸結(jié)點(diǎn)或鉸支座處，因其轉(zhuǎn)角不是獨(dú)立的，所以，都不作為位移法的基本未知量。nY=4如果考慮桿件的軸向變形，則平面內(nèi)一個(gè)結(jié)點(diǎn)有兩個(gè)獨(dú)立的線位移。為簡(jiǎn)化計(jì)算，引入以下假設(shè)(簡(jiǎn)化條件)

：（1）忽略受彎直桿的軸向變形；（2）直桿彎曲時(shí)兩端點(diǎn)距離不變（小變形）。這樣，每一受彎直桿相當(dāng)于一個(gè)約束，使某些結(jié)點(diǎn)的線位移相等或等于零。作為基本未知量的結(jié)點(diǎn)線位移個(gè)數(shù)是獨(dú)立的結(jié)點(diǎn)線位移個(gè)數(shù)。

3．結(jié)點(diǎn)線位移基本未知量數(shù)目怎樣確定結(jié)構(gòu)獨(dú)立的結(jié)點(diǎn)線位移個(gè)數(shù)？

（1）簡(jiǎn)單情況：

觀察確定。

位移法基本未知量個(gè)數(shù)=剛結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)+獨(dú)立的結(jié)點(diǎn)線位移個(gè)數(shù)

nl=2nY=4（2）復(fù)雜情況

采用“鉸化結(jié)點(diǎn)、增設(shè)鏈桿”的方法：把剛架的所有剛結(jié)點(diǎn)和固定支座改為鉸結(jié)點(diǎn)和鉸支座，為使該鉸結(jié)體系成為幾何不變體系所需增設(shè)的最少支承鏈桿數(shù)，即為原結(jié)構(gòu)獨(dú)立的結(jié)點(diǎn)線位移個(gè)數(shù)。

(2)確定方法——鉸化結(jié)點(diǎn)，增設(shè)鏈桿a)原結(jié)構(gòu)b)“鉸化結(jié)點(diǎn)”c)“增設(shè)鏈桿”d)基本未知量n=ny+nl

=4+3=74、兩點(diǎn)說明(1)當(dāng)剛架中有需要考慮軸向變形（）的二力桿時(shí)需要考慮二力桿的軸向變形的二力桿(2)當(dāng)剛架中有的剛性桿時(shí)（柱全部為豎直柱，與基礎(chǔ)相連的剛性柱為固定支座）1）剛性桿兩端的剛結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角，可不作為基本未知量。因?yàn)槿绻摋U兩端的線位移確定了，則桿端的轉(zhuǎn)角也就隨之確定了。2）剛性桿兩端的線位移，仍取決于整個(gè)剛架的結(jié)點(diǎn)線位移。3）剛性桿與基礎(chǔ)固結(jié)處以及與其他剛性桿剛結(jié)處，在“鉸化結(jié)點(diǎn)”時(shí)均不改為鉸結(jié)，以反映剛片無任何變形的特點(diǎn)。綜上所述，對(duì)于有剛性桿的剛架，ny等于全為彈性桿匯交的剛結(jié)點(diǎn)數(shù)與組合結(jié)點(diǎn)數(shù)之和；nl等于使僅將彈性桿端改為鉸結(jié)的體系成為幾何不變所需增設(shè)的最少鏈桿數(shù)。N=2+1=3a)原結(jié)構(gòu)及其基本未知量b)“鉸化結(jié)點(diǎn)，增設(shè)鏈桿”8.4位移法的基本結(jié)構(gòu)及位移法方程

一、位移法的基本結(jié)構(gòu)位移法的基本結(jié)構(gòu)就是通過增加附加約束（包括附加剛臂和附加支座鏈桿）后，得到的三種基本超靜定桿的綜合體。所謂附加剛臂，就是在每個(gè)可能發(fā)生獨(dú)立角位移的剛結(jié)點(diǎn)和組合結(jié)點(diǎn)上，人為地加上的一個(gè)能阻止其角位移(但并不阻止其線位移)的附加約束，用黑三角符號(hào)“”表示。所謂附加支座鏈桿，就是在每個(gè)可能發(fā)生獨(dú)立線位移的結(jié)點(diǎn)上沿線位移的方向，人為地加上的一個(gè)能阻止其線位移的附加約束。a)原結(jié)構(gòu)及其基本未知量b)基本結(jié)構(gòu)二、位移法的基本體系圖a所示剛架的基本未知量為結(jié)點(diǎn)A的轉(zhuǎn)角Z1。在結(jié)點(diǎn)A加一附加剛臂，就得到位移法的基本結(jié)構(gòu)（圖b）。同力法一樣，受荷載和基本未知量共同作用的基本結(jié)構(gòu)，稱為基本體系（圖c）。a)原結(jié)構(gòu)c)基本體系b)基本結(jié)構(gòu)d)鎖住結(jié)點(diǎn)e)放松結(jié)點(diǎn)三、位移法方程

基本結(jié)構(gòu)在結(jié)點(diǎn)位移Z1和荷載共同作用下，剛臂上的反力矩F1必定為零（圖c）。c)基本體系式中，F(xiàn)ij表示廣義的附加反力矩（或反力），其中第一個(gè)下標(biāo)表示該反力矩所屬的附加約束，第二個(gè)下標(biāo)表示引起反力矩的原因。設(shè)k11表示由單位位移Z1=1所引起的附加剛臂上的反力矩，則有F11=k11Z1，代入上式，得這就是求解基本未知量Z1的位移法基本方程，其實(shí)質(zhì)是平衡條件。為了求出系數(shù)k11和自由項(xiàng)F1P，可利用表8-2和表8-1，在基本結(jié)構(gòu)上分別作出荷載作用下的彎矩圖（MP圖）和Z1=1引起的彎矩圖（圖）。在圖中取結(jié)點(diǎn)A為隔離體，由，得在MP圖中取結(jié)點(diǎn)A為隔離體，由，得剛臂內(nèi)之反力矩以順時(shí)針為正將k11和F1P的值代入上式，解得結(jié)果為正，表示Z1的方向與所設(shè)相同。結(jié)構(gòu)的最后彎矩可由疊加公式計(jì)算，即MP圖圖M圖例如，圖8-16a所示剛架的基本未知量為結(jié)點(diǎn)C、D的水平線位移Z1。在結(jié)點(diǎn)D加一附加支座鏈桿，就得到基本結(jié)構(gòu)（圖8-16b）。其相應(yīng)的基本體系如圖8-16c所示，它的變形和受力情況與原結(jié)構(gòu)完全相同。位移法方程分別在MP圖和圖中，截取兩柱頂端以上部分為隔離體，如圖8-17所示。由剪力平衡條件，得a)

MP圖(kN·m)b)M1圖

(1/m)c)

M圖(kN·m)將k11和F1P的值代入位移法方程式，解得結(jié)構(gòu)的最后彎矩圖可由疊加公式計(jì)算后繪制，如圖c所示。四、典型方程法和直接平衡法關(guān)于如何建立位移法方程以求解基本未知量的問題，有兩種途徑可循。一種途徑，已如上所述，是通過選擇基本結(jié)構(gòu)，并將原結(jié)構(gòu)與基本體系比較，得出建立位移法方程的平衡條件（即Fi

=0）。這種方法能以統(tǒng)一的、典型的形式給出位移法方程。因此，稱為典型方程法。另一種途徑，則是將待分析結(jié)構(gòu)先“拆散”為許多桿件單元，進(jìn)行單元分析——根據(jù)轉(zhuǎn)角位移方程，逐桿寫出桿端內(nèi)力式子；再“組裝”，進(jìn)行整體分析——直接利用結(jié)點(diǎn)平衡或截面平衡條件建立位移法方程。因此，稱為直接平衡法。8.5用典型方程法計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的內(nèi)力一、典型方程的一般形式基本未知量為剛結(jié)點(diǎn)B的轉(zhuǎn)角Z1結(jié)點(diǎn)B、C的水平線位移Z2。其基本體系如圖c所示。由于基本體系的變形和受力情況與原結(jié)構(gòu)完全相同，而原結(jié)構(gòu)上并沒有附加剛臂和附加支座鏈桿，因此，基本體系上附加剛臂的反力矩F1及附加支座鏈桿的反力F2都應(yīng)等于零?？山⑶蠼鈀1和Z2的兩個(gè)位移法的典型方程。(a)(c)設(shè)基本結(jié)構(gòu)由于Z1、Z2及荷載單獨(dú)作用，引起相應(yīng)于Z1的附加剛臂的反力矩分別為F11、F12及F1P，引起相應(yīng)于Z2的附加支座鏈桿的反力分別為F21、F22及F2P（圖d、e、f）。根據(jù)疊加原理，可得(d)(e)(f)又設(shè)單位位移Z1=1及Z2=1單獨(dú)作用時(shí)，在基本結(jié)構(gòu)附加剛臂上產(chǎn)生的反力矩分別為k11及k21，在附加支座鏈桿中產(chǎn)生的反力分別為k12及k22，則有將式（b）代入式（a），得(a)(b)上式稱為位移法典型方程其物理意義是：基本體系每個(gè)附加約束中的反力矩和反力都應(yīng)等于零。因此，它實(shí)質(zhì)上反映了原結(jié)構(gòu)的靜力平衡條件。對(duì)于具有n個(gè)獨(dú)立結(jié)點(diǎn)位移的結(jié)構(gòu)，相應(yīng)地在基本結(jié)構(gòu)中需加入n個(gè)附加約束，根據(jù)每個(gè)附加約束的附加反力矩或附加反力都應(yīng)為零的平衡條件，同樣可建立n個(gè)方程如下：上式即為典型方程的一般形式。式中，主斜線上的系數(shù)kii稱為主系數(shù)或主反力；其他系數(shù)kij稱為副系數(shù)或副反力；FiP稱為自由項(xiàng)。系數(shù)和自由項(xiàng)的符號(hào)規(guī)定是：以與該附加約束所設(shè)位移方向一致者為正。主反力kii的方向總是與所設(shè)位移Zi的方向一致，故恒為正，且不會(huì)為零。副系數(shù)和自由項(xiàng)則可能為正、負(fù)或零。此外，根據(jù)反力互等定理可知，kij=kji。二、系數(shù)和自由項(xiàng)的計(jì)算方法將系數(shù)和自由項(xiàng)代入典型方方程，可得聯(lián)解以上兩個(gè)方程求出Z1和Z2后，即可按疊加原理作出彎矩圖。三、典型方程法的計(jì)算步驟1）確定基本未知量數(shù)目：n=ny+nl2）選擇基本體系。加附加約束，鎖住相關(guān)結(jié)點(diǎn)，使之不發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)或移動(dòng)，而得到一個(gè)由若干基本的單跨超靜定梁組成的組合體作為基本結(jié)構(gòu)（可不單獨(dú)畫出）；使基本結(jié)構(gòu)承受原來的荷載，并令附加約束發(fā)生與原結(jié)構(gòu)相同的位移，即可得到所選擇的基本體系。3）建立位移法的典型方程。根據(jù)附加約束上反力矩或反力等于零的平衡條件建立典型方程。4）求系數(shù)和自由項(xiàng)。在基本結(jié)構(gòu)上分別作出各附加約束發(fā)生單位位移時(shí)的單位彎矩圖圖和荷載作用下的荷載彎矩圖MP圖，由結(jié)點(diǎn)平衡和截面平衡即可求得。5）解方程，求基本未知量（Zi）。6）作最后內(nèi)力圖。按照疊加得出最后彎矩圖；根據(jù)彎矩圖作出剪力圖；利用剪力圖根據(jù)結(jié)點(diǎn)平衡條件作出軸力圖。7）校核。由于位移法在確定基本未知量時(shí)已滿足了變形協(xié)調(diào)條件，而位移法典型方程是靜力平衡條件，故通常只需按平衡條件進(jìn)行校核。可以看出，位移法（典型方程法）與力法在計(jì)算步驟上是極其相似的，但二者的原理卻有所不同?！纠?-1】試用典型方程法計(jì)算圖a所示結(jié)構(gòu)，并作出彎矩圖。設(shè)EI=常數(shù)。解：(1)確定基本未知量數(shù)目:其基本未知量只有結(jié)點(diǎn)C的轉(zhuǎn)角Z1

(a)(b)(2)選取基本體系，如圖c所示。(3)建立典型方程根據(jù)結(jié)點(diǎn)C附加剛臂上反力矩為零的平衡條件，有(c)(b)(4)求系數(shù)和自由項(xiàng)設(shè)，作圖和MP圖，如圖d、c所示。取結(jié)點(diǎn)C為隔離體，應(yīng)用力矩平衡條件，求得(5)解方程，求基本未知量(6)作最后彎矩圖(7)校核f)

M圖(kN·m)【例8-2】試用典型方程法計(jì)算圖a所示結(jié)構(gòu)，并作彎矩圖。設(shè)EI=常數(shù)。解：(1)確定基本未知量數(shù)目可以利用對(duì)稱性取結(jié)構(gòu)的1/4部分（圖b）進(jìn)行計(jì)算，其基本未知量只有結(jié)點(diǎn)A的轉(zhuǎn)角Z1。(a)(b)(2)選擇基本體系c)基本體系d)M1圖e)

MP圖(kN·m)(3)建立典型方程(4)求系數(shù)和自由項(xiàng)(5)解方程，求基本未知量(6)作最后彎矩圖(7)校核【例8-3】試用典型方程法計(jì)算圖a所示連續(xù)梁，并作彎矩圖。解：(1)確定基本未知量數(shù)目基本未知量為結(jié)點(diǎn)B的轉(zhuǎn)角Z1和結(jié)點(diǎn)C的轉(zhuǎn)角Z2。(2)選擇基本體系(3)建立典型方程(4)求系數(shù)和自由項(xiàng)(5)解方程，求基本未知量Z1和Z2

將以上各系數(shù)及自由項(xiàng)之值代入典型方程，解得(6)作最后彎矩圖M圖(kN·m)【例8-4】試用典型方程法求圖8-23a所示結(jié)構(gòu)，并作彎矩圖。解：(1)確定基本未知量數(shù)目(2)選擇基本體系基本體系(3)建立典型方程(4)求系數(shù)和自由項(xiàng)(5)解方程，求基本未知量Z1和Z2(6)作最后彎矩圖(7)校核【例8-5】試用典型方程法求圖8-24a所示結(jié)構(gòu)，并作彎矩圖。解:(1)確定基本未知量數(shù)目此結(jié)構(gòu)的基本未知量為結(jié)點(diǎn)D的轉(zhuǎn)角Z1和橫梁BD的水平Z2。(2)選擇基本體系，如圖b所示。(a)(b)(3)建立典型方程(4)求系數(shù)和自由項(xiàng)c)M1圖e)M2圖d)變形圖DCD=5D/3由圖f的整體平衡條件，可求得f)

MP圖(5)解方程，求基本未知量Z1和Z2(6)作最后彎矩圖g)

M圖(kN·m)(7)校核【例8-6】試用典型方程法計(jì)算圖a所示排架。解：(1)確定基本未知量數(shù)目b)基本體系a)原結(jié)構(gòu)只有一個(gè)獨(dú)立的結(jié)點(diǎn)線位移未知量，即A、C、E的水平位移Z1。(2)選擇基本體系，如圖b所示(3)建立典型方程(4)求系數(shù)和自由項(xiàng)(5)解方程，求基本未知量Z1(6)按疊加原理即可作出彎矩圖?！居懻摗咳袅钍街?，ri為當(dāng)排架柱頂發(fā)生單位側(cè)移時(shí)，各柱柱頂產(chǎn)生的的剪力，它反映了各柱抵抗水平位移的能力，稱為排架柱的側(cè)移剛度系數(shù)。于是，各柱頂?shù)募袅樵倭罘Q為第i根柱的剪力分配系數(shù)，則各柱所分配得的柱頂剪力為（i=1，2，3）當(dāng)?shù)雀吲偶軆H在柱頂受水平集中力作用時(shí)，可由各柱的剪力分配系數(shù)(即各柱抗側(cè)剛度占結(jié)構(gòu)整體抗側(cè)剛度的比例)算出各柱頂剪力FQi；最后把每根柱視為懸臂梁繪出其彎矩圖。稱為剪力分配法，是計(jì)算等高排架很有效的方法。(8-13)(8-14)須注意，當(dāng)任意荷載作用于排架時(shí)，則不能直接應(yīng)用上述剪力分配法?？墒紫仍谥敿铀礁郊又ё湕U，并求出該附加反力（圖b）為(a)(b)M圖之一c)

M圖之二d)

M圖【例8-7】彈性支座連續(xù)梁如圖a所示，支座A的抗轉(zhuǎn)動(dòng)彈簧剛度系數(shù)。試作梁的彎矩圖。解：(1)確定基本未知量此結(jié)構(gòu)的基本未知量為抗轉(zhuǎn)動(dòng)彈簧支座A的轉(zhuǎn)角Z1和結(jié)點(diǎn)B的轉(zhuǎn)角Z2。(2)選擇基本體系，如圖b所示。(3)建立典型方程a)原結(jié)構(gòu)b)基本體系

(4)求系數(shù)和自由項(xiàng)a)圖b)圖c)

MP圖(kN·m)(5)解方程，求基本未知量Z1和Z2(6)作最后彎矩圖，如圖d所示。(7)校核：結(jié)點(diǎn)A和結(jié)點(diǎn)B均滿足力矩平衡條件d)

M圖(kN·m)【討論】對(duì)于支座A的彈性支承，也可以理解為在支座A的左側(cè)存在一個(gè)想象的“虛跨”，該虛跨在A端抗彎剛度正好等于彈簧剛度系數(shù)。這樣，就把一個(gè)彈性支座上的梁化為全是剛性支座來處理，不同之處只是延長(zhǎng)了一跨。BA虛跨其抗轉(zhuǎn)剛度為k彈8.6用典型方程法計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)在支座移動(dòng)和溫度變化時(shí)的內(nèi)力一、支座移動(dòng)時(shí)的內(nèi)力計(jì)算特點(diǎn)

:第一，典型方程中的自由項(xiàng)不同。這里的自由項(xiàng)，是基本結(jié)構(gòu)由于支座移動(dòng)產(chǎn)生的附加約束中的反力矩或反力Fic，利用形常數(shù)作出基本結(jié)構(gòu)由于支座移動(dòng)產(chǎn)生的彎矩圖圖，然后由平衡條件求得。第二，計(jì)算最后內(nèi)力的疊加公式不完全相同。其最后一項(xiàng)應(yīng)以Mc替代荷載作用時(shí)的MP，即【例8-8】試用典型方程法作如圖a所示結(jié)構(gòu)在支座移動(dòng)時(shí)的彎矩圖。已知，，。解：(1)確定基本未知量數(shù)目(2)選擇基本體系b)基本體系a)原結(jié)構(gòu)(3)建立典型方程(4)求系數(shù)和自由項(xiàng)(5)解方程，求基本未知量(6)由作最后彎矩圖e)

M圖(kN·m)必須注意，計(jì)算支座移動(dòng)引起的桿端彎矩時(shí)，不能用各桿EI的相對(duì)值，而必須用實(shí)際值。（與力法同）二、溫度變化時(shí)的內(nèi)力計(jì)算特點(diǎn)：第一，典型方程中的自由項(xiàng)不同。第二，計(jì)算最后內(nèi)力的疊加公式不完全相同。其最后一項(xiàng)應(yīng)以Mt替代荷載作用時(shí)的MP第三，溫度變化時(shí)，不能再忽略桿件的軸向變形，因而前述受彎直桿兩端距離不變的假設(shè)這里不再適用。軸線平均溫度變化（t0）使桿件產(chǎn)生的軸向變形，會(huì)使結(jié)點(diǎn)產(chǎn)生已知位移，從而使桿兩端產(chǎn)生相對(duì)橫向位移，于是又產(chǎn)生出另一部分固端彎矩。同支座移動(dòng)時(shí)的內(nèi)力計(jì)算一樣，在計(jì)算溫度變化引起的桿端彎矩時(shí)，必須用各桿EI的實(shí)際值?！纠?-9】圖a所示剛架，各桿的內(nèi)側(cè)溫度升高10℃，外側(cè)溫度升高30℃。試建立位移法典型方程，并計(jì)算自由項(xiàng)。設(shè)各桿的EI值相同，截面為矩形，其高度h=0.5m，材料的線膨脹系數(shù)為a。解：(1)確定基本未知量數(shù)目(2)選擇基本體系b)基本結(jié)構(gòu)

a)原結(jié)構(gòu)(3)建立典型方程(4)求系數(shù)和自由項(xiàng)為了便于計(jì)算固端彎矩，可將桿兩側(cè)的溫度變化t1和t2對(duì)桿軸線分解為正、反對(duì)稱的兩部分軸向變形而不彎曲彎曲變形而不伸長(zhǎng)和縮短1）圖d表示平均溫度變化t0的作用。各桿軸向伸長(zhǎng)為d)平均溫度變化t0作用各桿兩端橫向相對(duì)位移為:橫梁AB：利用表8-1形常數(shù)可求得由此引起的桿端彎矩:a)

(a)2）查表8-2載常數(shù)，可求得桿件兩側(cè)溫差Δt（圖e）使桿端產(chǎn)生的桿端彎矩（各桿只發(fā)生彎曲而結(jié)點(diǎn)無線位移時(shí)）b)

e)內(nèi)外兩側(cè)溫差Δt作用(b)3）總的固端彎矩為式（a）與式（b）的疊加據(jù)此，可繪出Mt圖，如圖8-30c所示。c)

a)

b)以下的步驟同前述典型方程法。8.7用直接平衡法計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力借助于桿件的轉(zhuǎn)角位移方程，根據(jù)先“拆散”、后“組裝”結(jié)構(gòu)的思路，直接由原結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)和截面平衡條件來建立位移法方程，這就是本節(jié)將介紹的直接平衡法?！纠?-10】試用直接平衡法計(jì)算圖8-31a所示剛架，并作彎矩圖。已知EI=常量。解：(1)確定基本未知量，并繪出示意圖(2)“拆散”，進(jìn)行單元分析，即根據(jù)轉(zhuǎn)角位移方程，逐桿寫出桿端內(nèi)力：1）對(duì)于左柱BA（視為兩端固定梁）2）對(duì)于橫梁BC（視為B端固定，C端鉸支）3）對(duì)于右柱CD（視為D端固定，C端鉸支）(3)“組裝”，進(jìn)行整體分析，即根據(jù)結(jié)點(diǎn)平衡條件和截面平衡條件建立位移法方程1)2）取橫梁BC為隔離體，由截面平件(a)(b)以上式（a）和式（b）即為用直接平衡法建立的位移法方程，與前面用典型方程法解同一例題（參見圖8-19）所建立的位移法方程（典型方程）完全相同。(4)聯(lián)立求解方程（a）和（b），求基本未知量：(5)計(jì)算桿端內(nèi)力將Z1和Z2代回第（2）步所列出的各桿的桿端彎矩表達(dá)式，即可求得(6)作最后彎矩圖d)

M圖(×ql2/184)【例8-11】試用直接平衡法作圖a所示單跨梁的彎矩圖。b)基本未知量a)解：(1)確定基本未知量，并繪出示意圖(2)根據(jù)轉(zhuǎn)角位移方程式（8-2），寫出AB梁桿端彎矩為(3)根據(jù)彈性支座A