必修3用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征

2.（5分）甲、乙兩個班級各隨機選出15名同學(xué)進行測驗，成績的莖葉圖如圖所示.則甲、乙兩班的最高成績分別是______,______.從圖中看____班的平均成績較高.9692乙練習(xí)鞏固2.數(shù)據(jù)123，127，131，151，157，135，129，138，147，152，134，121，142，143的莖葉圖中，莖應(yīng)取______.2.為了了解高一學(xué)生的體能情況，某校抽取部分學(xué)生進行一分鐘跳繩次數(shù)測試，將所得數(shù)據(jù)整理后，畫出頻率分布直方圖（如圖所示），圖中從左到右各小長方形面積比為2∶4∶17∶15∶9∶3，其中第二小組頻數(shù)為12.（1）第二小組的頻率是多少？樣本容量是多少？（2）若次數(shù)在110次以上（含110次）為達(dá)標(biāo)，試估計該校全體高一學(xué)生的達(dá)標(biāo)率是多少.用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征2.2.2中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，把處在最中間位置的一個數(shù)據(jù)（或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)）叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．平均數(shù):一組數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)．

眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)．知識探究（一）：眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)思考1：在城市居民月均用水量樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中，你認(rèn)為眾數(shù)應(yīng)在哪個小矩形內(nèi)？由此估計總體的眾數(shù)是什么？月均用水量/t頻率組距0.50.40.30.20.10.511.522.533.544.5O取最高矩形下端中點的橫坐標(biāo)2.25作為眾數(shù).月均用水量/t頻率組距0.50.40.30.20.10.511.522.533.544.5O思考2：在頻率分布直方圖中，每個小矩形的面積表示什么？中位數(shù)左右兩側(cè)的直方圖的面積應(yīng)有什么關(guān)系？取最高矩形下端中點的橫坐標(biāo)2.25作為眾數(shù).思考3：在城市居民月均用水量樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中，從左至右各個小矩形的面積分別是0.04，0.08，0.15，0.22，0.25，0.14，0.06，0.04，0.02.由此估計總體的中位數(shù)是什么？月均用水量/t頻率組距0.50.40.30.20.10.511.5

22.533.544.5O0.5-(0.04+0.08+0.15+0.22)=0.01，

x解：設(shè)中位數(shù)為x則（x-2）×0.5=0.01，∴中位數(shù)x=2.02.說明:

2.02這個中位數(shù)的估計值,與樣本的中位數(shù)值2.0不一樣,這是因為樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖,只是直觀地表明分布的形狀,但是從直方圖本身得不出原始的數(shù)據(jù)內(nèi)容,所以由頻率分布直方圖得到的中位數(shù)估計值往往與樣本的實際中位數(shù)值不一致.思考4：平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，在城市居民月均用水量樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中，各個小矩形的重心在哪里？從直方圖估計總體在各組數(shù)據(jù)內(nèi)的平均數(shù)分別為多少？0.25,0.75,1.25,1.75,2.25,2.75,3.25,3.75,4.25

月均用水量/t頻率組距0.50.40.30.20.10.511.522.533.544.5O思考5：根據(jù)統(tǒng)計學(xué)中數(shù)學(xué)期望原理，將頻率分布直方圖中每個小矩形的面積與小矩形底邊中點的橫坐標(biāo)之積相加，就是樣本數(shù)據(jù)的估值平均數(shù).由此估計總體的平均數(shù)是什么？0.25×0.04+0.75×0.08+1.25×0.15+1.75×0.22+2.25×0.25+2.75×0.14+3.25×0.06+3.75×0.04+4.25×0.02=2.02（t）.

平均數(shù)是2.02.

思考6：從居民月均用水量樣本數(shù)據(jù)可知，該樣本的眾數(shù)是2.3，中位數(shù)是2.0，平均數(shù)是1.973，這與我們從樣本頻率分布直方圖得出的結(jié)論有偏差，你能解釋一下原因嗎？

頻率分布直方圖損失了一些樣本數(shù)據(jù)，得到的是一個估計值，且所得估值與數(shù)據(jù)分組有關(guān).注:在只有樣本頻率分布直方圖的情況下，我們可以按上述方法估計眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)，并由此估計總體特征.(3)試估計總體的眾數(shù)、中位數(shù).（2012廣東高考）三種數(shù)字特征的優(yōu)缺點特征數(shù)優(yōu)點缺點眾數(shù)體現(xiàn)了樣本數(shù)據(jù)的最大集中點無法客觀反映總體特征中位數(shù)不受少數(shù)極端值的影響不受少數(shù)極端值的影響有時也是缺點平均數(shù)與每一個數(shù)據(jù)有關(guān)，更能反映全體的信息.受少數(shù)極端值的影響較大，使其在估計總體時的可靠性降低.方差與標(biāo)準(zhǔn)差（二）設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)

，其平均數(shù)為，則稱s2為這個樣本的方差，稱s為這個樣本的標(biāo)準(zhǔn)差。它的算術(shù)平方根x1，x2，…，xn思考1：在一次射擊選拔賽中，甲、乙兩名運動員各射擊10次，每次命中的環(huán)數(shù)如下：甲：78795491074乙：9578768677

甲、乙兩人本次射擊的平均成績分別為多少環(huán)？知識探究（二）：標(biāo)準(zhǔn)差思考2：甲、乙兩人射擊的平均成績相等，觀察兩人成績的頻率分布條形圖，你能說明其水平差異在那里嗎？環(huán)數(shù)頻率0.40.30.20.145678910O（甲）環(huán)數(shù)頻率0.40.30.20.145678910O（乙）甲的成績比較分散，極差較大，乙的成績相對集中，比較穩(wěn)定.思考4：反映樣本數(shù)據(jù)的分散程度的大小，最常用的統(tǒng)計量是標(biāo)準(zhǔn)差，一般用s表示.假設(shè)樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為，則標(biāo)準(zhǔn)差的計算公式是：那么標(biāo)準(zhǔn)差的取值范圍是什么？標(biāo)準(zhǔn)差為0的樣本數(shù)據(jù)有何特點？

S=0，標(biāo)準(zhǔn)差為0的樣本數(shù)據(jù)都相等.

標(biāo)準(zhǔn)差越大離散程度越大，數(shù)據(jù)較分散；標(biāo)準(zhǔn)差越小離散程度越小，數(shù)據(jù)較集中在平均數(shù)周圍.

標(biāo)準(zhǔn)差的意義：

標(biāo)準(zhǔn)差是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離。它用來描述樣本數(shù)據(jù)的離散程度。在實際應(yīng)用中，標(biāo)準(zhǔn)差常被理解為穩(wěn)定性。標(biāo)準(zhǔn)差規(guī)律：標(biāo)準(zhǔn)差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；反之，數(shù)據(jù)的離散程度越小。小結(jié)1.標(biāo)準(zhǔn)差：2.方差:1、已知某樣本的方差是4，則這個樣本的標(biāo)準(zhǔn)差是————。2、已知一個樣本1、3、2、x、5，其平均數(shù)是3，怎么

計算標(biāo)準(zhǔn)差?————3、甲、乙兩名戰(zhàn)士在射擊訓(xùn)練中，打靶的次數(shù)相同，且射擊成績的平均數(shù)x甲=x乙，如果甲的射擊成績比較穩(wěn)定，那么方差的大小關(guān)系是S2甲————S2乙。練習(xí)A18．(09廣東)隨機抽取某中學(xué)甲、乙兩班各10名同學(xué)，測量他們的身高（單位：cm），獲得身高數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖7。（1）根據(jù)莖葉圖判斷哪個班的平均身高較高；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（2）計算甲班的樣本方差；13．（12廣東）由整數(shù)組成的一組數(shù)據(jù)其平均數(shù)和中位數(shù)都是2，且標(biāo)準(zhǔn)差等于1，則這組數(shù)據(jù)為_______________________．(從小到大排列)1，1，3，3

練習(xí)請你用發(fā)現(xiàn)的結(jié)論來解決以下的問題已知數(shù)據(jù)a1，a2，a3，…，an的平均數(shù)為X，方差Y,標(biāo)準(zhǔn)差Z,則①數(shù)據(jù)a1+3，a2+

3，a3+3

，…，an+3平均數(shù)為--------，方差為-------，標(biāo)準(zhǔn)差為----------。②數(shù)據(jù)a1-3，a2-3，a3-3

，…，an-3平均數(shù)為----------，方差為--------，

標(biāo)準(zhǔn)差為----------。③數(shù)據(jù)3a1，3a2，3a3，…，3an的平均數(shù)為-----------，方差為-----------，

標(biāo)準(zhǔn)差為----------。④數(shù)據(jù)2a1-3，2a2-3，2a3-3

，…，2an-3的平均數(shù)為----------，

方差為---------，標(biāo)準(zhǔn)差為----------。X+3YZX-3YZ3X2X-33Z32Y22Y2ZThankyou!2.(2010·北京高考)從某小學(xué)隨機抽取100名同學(xué)，將他們的身高（單位：厘米）數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖（如圖）.由圖中數(shù)值可知a=______.若要從身高在［120，130），［130，140），［140，150］三組內(nèi)的學(xué)生中，用分層抽樣的方法選取18人參加一項活動，則從身高在［140，150］內(nèi)的學(xué)生中選取的人數(shù)應(yīng)為______.0.0303試估計總體的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù).【解析】各矩形的