2017-2018版高中數(shù)學(xué)第二章基本初等函數(shù)（Ⅰ）2.1.2函數(shù)的表示方法學(xué)案版

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精PAGE24學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精PAGE2．1.2函數(shù)的表示方法學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解函數(shù)的三種表示方法。2.能根據(jù)需要選擇恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)表示方法.3。了解分段函數(shù)，并能進(jìn)行簡(jiǎn)單應(yīng)用．知識(shí)點(diǎn)一解析法思考一次函數(shù)如何表示？梳理用等式來(lái)表示兩個(gè)變量之間函數(shù)關(guān)系的方法稱(chēng)為解析法．這個(gè)等式通常叫做函數(shù)的解析表達(dá)式，簡(jiǎn)稱(chēng)解析式．知識(shí)點(diǎn)二圖象法思考要知道林黛玉長(zhǎng)什么樣,你覺(jué)得一個(gè)字的描述和一張二寸照片哪個(gè)更直觀？梳理用圖象表示兩個(gè)變量之間函數(shù)關(guān)系的方法稱(chēng)為圖象法．知識(shí)點(diǎn)三列表法思考在街頭隨機(jī)找100人，請(qǐng)他們依次隨意地寫(xiě)一個(gè)數(shù)字．設(shè)找的人序號(hào)為x,x＝1，2,3,…，100。第x個(gè)人寫(xiě)下的數(shù)字為y，則x與y之間是不是函數(shù)關(guān)系？能否用解析式表示？怎樣表示這種對(duì)應(yīng)關(guān)系?梳理用列表來(lái)表示兩個(gè)變量之間函數(shù)關(guān)系的方法稱(chēng)為列表法．三種表示法的優(yōu)缺點(diǎn)：知識(shí)點(diǎn)四分段函數(shù)思考某市規(guī)定出租車(chē)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)：起步價(jià)(不超過(guò)2km）為5元．超過(guò)2km時(shí),前2km依然按5元收費(fèi)，超過(guò)2km部分，每千米收1。5元．按此規(guī)定乘坐出租車(chē)行駛?cè)我庖欢温烦?，是否都有一個(gè)唯一的收費(fèi)額與之對(duì)應(yīng)？收費(fèi)額y元是行駛里程xkm的函數(shù)嗎？當(dāng)x∈［0,2］時(shí)的計(jì)費(fèi)方法與x∈(2,＋∞)時(shí)計(jì)費(fèi)方法一樣嗎？梳理在定義域內(nèi)不同部分上，有不同的解析表達(dá)式．像這樣的函數(shù)，通常叫做分段函數(shù)．類(lèi)型一解析式的求法例1根據(jù)下列條件，求f(x）的解析式．（1）f（f（x))＝2x－1，其中f(x）為一次函數(shù)；(2)f（x＋eq\f（1,x)）＝x2＋eq\f(1,x2)；（3)f(x）＋2f(－x）＝x2＋2x。反思與感悟(1）如果已知函數(shù)類(lèi)型，可以用待定系數(shù)法．(2）如果已知f（g（x）)的表達(dá)式，想求f（x)的解析式，可以設(shè)t＝g（x），然后把f(g（x))中每一個(gè)x都換成t的表達(dá)式．（3)如果條件是一個(gè)關(guān)于f（x）、f(－x)的方程,我們可以用x的任意性進(jìn)行賦值．如把每一個(gè)x換成－x,其目的是再得到一個(gè)關(guān)于f(x)、f(－x)的方程，然后消元消去f(－x）．跟蹤訓(xùn)練1根據(jù)下列條件，求f(x)的解析式．（1）f(x)是一次函數(shù)，且滿(mǎn)足3f(x＋1)－f(x）＝2x＋9；（2)f（x＋1）＝x2＋4x＋1;(3)2f(eq\f（1,x))＋f（x）＝x（x≠0)．類(lèi)型二列表法及函數(shù)表示法的選擇例2下表是某校高一（1)班三名同學(xué)在高一學(xué)年度六次數(shù)學(xué)測(cè)試的成績(jī)及班級(jí)平均分表．測(cè)試序號(hào)成績(jī)姓名第1次第2次第3次第4次第5次第6次王偉988791928895張城907688758680趙磊686573727582班級(jí)平均分88.278。385。480。375。782.6（1)選擇合適的方法表示測(cè)試序號(hào)與成績(jī)的關(guān)系;（2）根據(jù)表示出來(lái)的函數(shù)關(guān)系對(duì)這三位同學(xué)的學(xué)習(xí)情況進(jìn)行分析．反思與感悟函數(shù)的三種表示方法都有各自的優(yōu)點(diǎn),有些函數(shù)能用三種方法表示，有些只能用其中的一種來(lái)表示．跟蹤訓(xùn)練2若函數(shù)f（x）如下表所示:x0123f（x)3210則f(f（1）)＝________.類(lèi)型三分段函數(shù)命題角度1建立分段函數(shù)模型例3如圖所示,已知底角為45°的等腰梯形ABCD，底邊BC長(zhǎng)為7cm，腰長(zhǎng)為2eq\r(2)cm,當(dāng)垂直于底邊BC(垂足為F)的直線l從左至右移動(dòng)(與梯形ABCD有公共點(diǎn)）時(shí)，直線l把梯形分成兩部分，令BF＝x，試寫(xiě)出左邊部分的面積y關(guān)于x的函數(shù)解析式,并畫(huà)出大致圖象．反思與感悟當(dāng)目標(biāo)在不同區(qū)間有不同的解析表達(dá)方式時(shí)，往往需要用分段函數(shù)模型來(lái)表示兩變量間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，而分段函數(shù)圖象也需要分段畫(huà)．跟蹤訓(xùn)練3某市“招手即停”公共汽車(chē)的票價(jià)按下列規(guī)則制定:(1)5公里以?xún)?nèi)(含5公里），票價(jià)2元；（2)5公里以上,每增加5公里，票價(jià)增加1元（不足5公里按照5公里計(jì)算)．如果某條線路的總里程為20公里，請(qǐng)根據(jù)題意，寫(xiě)出票價(jià)與里程之間的函數(shù)解析式，并畫(huà)出函數(shù)的圖象．命題角度2研究分段函數(shù)的性質(zhì)例4已知函數(shù)f（x)＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（2x，x≤2,,x2＋2,x>2.))(1)求f（f(eq\f（3，2）))；(2)若f(x0）＝8，求x0的值；（3）解不等式f(x）〉8。反思與感悟已知函數(shù)值求變量x取值的步驟（1)先對(duì)x的取值范圍分類(lèi)討論．（2)然后代入到不同的解析式中．（3)通過(guò)解方程求出x的解．(4）檢驗(yàn)所求的值是否在所討論的區(qū)間內(nèi)．（5)若解不等式，應(yīng)把所求x的范圍與所討論區(qū)間求交集,再把各區(qū)間內(nèi)的符合要求的x的值并起來(lái)．跟蹤訓(xùn)練4已知f(x)＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x2，－1≤x≤1，,1，x>1或x<－1。)）（1)畫(huà)出f（x）的圖象；(2）若f(x)≥eq\f(1，4)，求x的取值范圍；（3）求f（x)的值域．1．已知函數(shù)f（x）由下表給出，則f(f（3))＝________.x1234f(x）32412。如果二次函數(shù)的圖象開(kāi)口向上頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－1)，且過(guò)點(diǎn)(0,0），則此二次函數(shù)的解析式為_(kāi)_____________．3．已知正方形的邊長(zhǎng)為x,它的外接圓的半徑為y，則y關(guān)于x的解析式為_(kāi)_______．4．如圖所示，函數(shù)圖象是由兩條射線及拋物線的一部分組成，則函數(shù)的解析式為_(kāi)_______．5．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＋4，x≤0,,x2－2x,0〈x≤4,,－x＋2，x〉4。))（1)求f（f（f（5))）的值；(2)畫(huà)出函數(shù)f（x）的圖象．1．如何求函數(shù)的解析式求函數(shù)的解析式的關(guān)鍵是理解對(duì)應(yīng)法則f的本質(zhì)與特點(diǎn)(對(duì)應(yīng)法則就是對(duì)自變量進(jìn)行對(duì)應(yīng)處理的操作方法，與用什么字母表示無(wú)關(guān)），應(yīng)用適當(dāng)?shù)姆椒?注意有的函數(shù)要注明定義域．主要方法有：待定系數(shù)法、換元法、解方程組法(消元法)．2．如何用函數(shù)圖象常借助函數(shù)圖象研究定義域、值域、函數(shù)變化趨勢(shì)及兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)問(wèn)題．3．對(duì)分段函數(shù)的理解（1)分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)而非幾個(gè)函數(shù)．分段函數(shù)的定義域是各段上“定義域”的并集,其值域是各段上“值域”的并集．（2)分段函數(shù)的圖象應(yīng)分段來(lái)作，特別注意各段的自變量取值區(qū)間端點(diǎn)處函數(shù)的取值情況，以決定這些點(diǎn)的虛實(shí)情況．

答案精析問(wèn)題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)一思考y＝kx＋b(k≠0)．知識(shí)點(diǎn)二思考一圖勝千言．知識(shí)點(diǎn)三思考對(duì)于任一個(gè)x的值,都有一個(gè)他寫(xiě)的數(shù)字與之對(duì)應(yīng)，故x，y之間是函數(shù)關(guān)系，但因?yàn)槿耸请S機(jī)找的，數(shù)字是隨意寫(xiě)的，故難以用解析式表示．這時(shí)可以制作一個(gè)表格來(lái)表示x的值與y的值之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系．知識(shí)點(diǎn)四思考因?yàn)槿我恍旭偫锍蘹都對(duì)應(yīng)唯一的收費(fèi)額y，故y是x的函數(shù)；但由于起步價(jià)的規(guī)定,x∈［0，2]時(shí),y＝5，x∈(2，＋∞)時(shí)，y＝5＋(x－2）×1。5.計(jì)費(fèi)方法不一樣．題型探究例1解(1)由題意，設(shè)f（x）＝ax＋b(a≠0)，∵f（f(x))＝af(x)＋b＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝2x－1，由恒等式性質(zhì)，得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（a2＝2，，ab＋b＝－1，））∴eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\r（2)，，b＝1－\r（2)）)或eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－\r(2），，b＝1＋\r(2).))∴所求函數(shù)解析式為f(x）＝eq\r(2）x＋1－eq\r（2）或f(x）＝－eq\r（2）x＋1＋eq\r（2）.(2）∵f(x＋eq\f(1,x））＝x2＋eq\f（1，x2）＝(x＋eq\f(1，x））2－2，∴f（x)＝x2－2.又x≠0，∴x＋eq\f(1,x）≥2或x＋eq\f(1,x)≤－2，∴f(x)中的x與f（x＋eq\f（1，x)）中的x＋eq\f(1，x）取值范圍相同，∴f(x）＝x2－2，x∈(－∞，－2］∪［2，＋∞）．（3)∵f（x）＋2f（－x)＝x2＋2x，將x換成－x,得f（－x）＋2f(x)＝x2－2x,∴聯(lián)立以上兩式消去f(－x)，得3f（x）＝x2－6x,∴f（x)＝eq\f(1,3）x2－2x.跟蹤訓(xùn)練1解（1）由題意,設(shè)f(x）＝ax＋b（a≠0)，∵3f（x＋1）－f(x）＝2x＋9，∴3a（x＋1)＋3b－ax－b＝2x＋9，即2ax＋3a＋2b＝2x＋9，由恒等式性質(zhì),得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（2a＝2，,3a＋2b＝9，））∴a＝1,b＝3。∴所求函數(shù)解析式為f（x)＝x＋3。（2)設(shè)x＋1＝t，則x＝t－1,f（t）＝（t－1）2＋4(t－1）＋1，即f(t）＝t2＋2t－2.∴所求函數(shù)解析式為f(x)＝x2＋2x－2。（3）∵f（x)＋2f（eq\f(1,x)）＝x，將原式中的x與eq\f（1,x）互換，得f（eq\f（1,x））＋2f（x)＝eq\f（1，x)。于是得關(guān)于f（x）的方程組eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（fx＋2f\f（1，x）＝x，,f\f（1，x)＋2fx＝\f(1,x），））解得f(x)＝eq\f(2,3x)－eq\f(x，3)(x≠0)．例2解(1)不能用解析法表示，用圖象法表示為宜．在同一個(gè)坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出這四個(gè)函數(shù)的圖象如下:(2)王偉同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)始終高于班級(jí)平均水平，學(xué)習(xí)情況比較穩(wěn)定而且成績(jī)優(yōu)秀．張城同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)不穩(wěn)定，總是在班級(jí)平均水平上下波動(dòng)，而且波動(dòng)幅度較大．趙磊同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)低于班級(jí)平均水平,但他的成績(jī)曲線呈上升趨勢(shì)，表明他的數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)诜€(wěn)步提高．跟蹤訓(xùn)練21例3解過(guò)點(diǎn)A，D分別作AG⊥BC，DH⊥BC,垂足分別是G，H.因?yàn)樗倪呅蜛BCD是等腰梯形，底角為45°,AB＝2eq\r（2）cm，所以BG＝AG＝DH＝HC＝2cm，又BC＝7cm,所以AD＝GH＝3cm.（1）當(dāng)點(diǎn)F在BG上，即x∈［0，2]時(shí)，y＝eq\f(1，2)x2；(2）當(dāng)點(diǎn)F在GH上，即x∈（2，5]時(shí)，y＝eq\f（x＋x－2,2）×2＝2x－2;（3）當(dāng)點(diǎn)F在HC上，即x∈（5,7］時(shí)，y＝S五邊形ABFED＝S梯形ABCD－SRt△CEF＝eq\f(1,2）（7＋3）×2－eq\f(1，2）(7－x）2＝－eq\f（1,2)（x－7）2＋10.綜合（1）(2）(3），得函數(shù)的解析式為y＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(\f(1，2）x2，x∈[0，2],,2x－2，x∈2，5]，，－\f(1,2)x－72＋10,x∈5，7］.))

圖象如圖所示：跟蹤訓(xùn)練3解設(shè)票價(jià)為y元，里程為x公里，定義域?yàn)椋?，20］．由題意得函數(shù)的解析式為y＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（2，0〈x≤5，,3，5<x≤10，，4，10〈x≤15，,5,15〈x≤20.））函數(shù)圖象如圖所示：例4解(1）∵eq\f（3，2）≤2，∴f（eq\f(3，2）)＝2×eq\f（3,2）＝3，∴f（f（eq\f（3,2)））＝f（3)．∵3＞2，∴f（3)＝32＋2＝11，即f(f（eq\f（3,2))）＝11。（2）當(dāng)x0≤2時(shí)，由2x0＝8，得x0＝4，不符合題意；當(dāng)x0>2時(shí)，由xeq\o\al(2，0）＋2＝8，得x0＝eq\r（6）或x0＝－eq\r（6）（舍去）,故x0＝eq\r（6）.（3）f(x)>8等價(jià)于eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x≤2，,2x〉8,）)①或eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x〉2，,x2＋2〉8，）)②解①得x∈?，解②得x>eq\r（6)。綜合①②，f（x）>8的解集為{x｜x〉eq\r（6)}．跟蹤訓(xùn)練4解(1）利用描點(diǎn)法，作出f(x）的圖象,如圖所示．（2）由于f（±eq\f(1，2））＝eq\f（1，4),結(jié)合此函數(shù)圖象可知，使f（x）≥eq\f（1,4)的x的取值范圍是(－∞，－eq\f（1,2)]∪［eq\f(1,2)，＋∞）．(3）由圖象知，當(dāng)－1≤x≤1時(shí)，f(x)＝x2的值域?yàn)椋?,1］，當(dāng)x>1或x<－1時(shí)，f(x)＝1.所以f(x)的值域?yàn)閇0，1］．當(dāng)堂訓(xùn)練1．12.f（x)＝(x－1)2－13.y＝e