2017-2018版高中數學第二章推理與證明2.2.1綜合法與分析法學案1-2

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE12學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE2。2。1綜合法與分析法明目標、知重點1.了解直接證明的兩種基本方法——綜合法和分析法.2.理解綜合法和分析法的思考過程、特點，會用綜合法和分析法證明數學問題。1。綜合法從已知條件出發(fā)，經過逐步的推理，最后達到待證結論.2.分析法從待證結論出發(fā)，一步一步尋求結論成立的充分條件，最后達到題設的已知條件或已被證明的事實。[情境導學]證明對我們來說并不陌生，我們在之前學習的合情推理，所得的結論的正確性就是要證明的,并且我們在以前的學習中，積累了較多的證明數學問題的經驗,但這些經驗是零散的、不系統的,這一節(jié)我們將通過熟悉的數學實例，對證明數學問題的方法形成較完整的認識.探究點一綜合法思考1請同學們證明下面的問題,總結證明方法有什么特點？已知a，b>0，求證：a(b2＋c2)＋b(c2＋a2）≥4abc.證明因為b2＋c2≥2bc，a〉0，所以a（b2＋c2）≥2abc.又因為c2＋a2≥2ac，b>0，所以b（c2＋a2)≥2abc。因此a（b2＋c2)＋b（c2＋a2)≥4abc。總結：此證明過程運用了綜合法。一般地，利用已知條件和某些數學定義、公理、定理等，經過一系列的推理論證，最后推導出所要證明的結論成立.思考2綜合法又叫由因導果法,其推理過程是合情推理還是演繹推理？答因為綜合法的每一步推理都是嚴密的邏輯推理,因此所得到的每一個結論都是正確的，不同于合情推理中的“猜想"，所以綜合法是演繹推理.例1在△ABC中,三個內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且A,B，C成等差數列,a,b，c成等比數列，求證：△ABC為等邊三角形。證明由A，B，C成等差數列,有2B＝A＋C，①由于A，B,C為△ABC的三個內角，所以A＋B＋C＝π。②由①②，得B＝eq\f(π,3),③由a，b，c成等比數列，有b2＝ac，④由余弦定理及③,可得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac，再由④，得a2＋c2－ac＝ac，即（a－c)2＝0,從而a＝c，所以A＝C。⑤由②③⑤，得A＝B＝C＝eq\f（π，3），所以△ABC為等邊三角形。反思與感悟綜合法的證明步驟如下：（1）分析條件，選擇方向：確定已知條件和結論間的聯系，合理選擇相關定義、定理等;(2)轉化條件，組織過程：將條件合理轉化,書寫出嚴密的證明過程.跟蹤訓練1在△ABC中，eq\f(AC，AB)＝eq\f（cosB，cosC)，證明：B＝C。證明在△ABC中，由正弦定理及已知得eq\f（sinB，sinC)＝eq\f（cosB，cosC）.于是sinBcosC－cosBsinC＝0，即sin（B－C）＝0,因為－π<B－C<π，從而B－C＝0，所以B＝C。探究點二分析法思考1回顧一下:基本不等式eq\f（a＋b,2)≥eq\r(ab）(a〉0，b>0)是怎樣證明的？答要證eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab），只需證a＋b≥2eq\r（ab）,只需證a＋b－2eq\r(ab）≥0，只需證（eq\r（a)－eq\r(b）)2≥0，因為（eq\r(a)－eq\r(b））2≥0顯然成立，所以原不等式成立。思考2證明過程有何特點？答從結論出發(fā)開始證明，尋找使證明結論成立的充分條件,最終把要證明的結論變成一個明顯成立的條件。小結一般地,從要證明的結論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結論歸結為判定一個明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理）為止，這種證明方法叫做分析法.思考3綜合法和分析法的區(qū)別是什么？答綜合法是從已知條件出發(fā),逐步推向未知，每步尋找的是必要條件;分析法是從待求結論出發(fā)，逐步靠攏已知,每步尋找的是充分條件.例2求證：eq\r(a)－eq\r（a－1）〈eq\r(a－2)－eq\r(a－3)(a≥3）.證明方法一要證eq\r(a）－eq\r（a－1)<eq\r（a－2）－eq\r（a－3)，只需證eq\r(a）＋eq\r(a－3)<eq\r（a－2)＋eq\r(a－1）,只需證(eq\r(a)＋eq\r（a－3)）2<(eq\r（a－2）＋eq\r（a－1)）2，只需證2a－3＋2eq\r（a2－3a)<2a－3＋2eq\r(a2－3a＋2），只需證eq\r（a2－3a)<eq\r（a2－3a＋2)，只需證0<2，而0<2顯然成立，所以eq\r(a)－eq\r(a－1）<eq\r(a－2)－eq\r(a－3)(a≥3).方法二∵eq\r（a）＋eq\r(a－1)〉eq\r(a－2)＋eq\r（a－3）>0，∴eq\f(1,\r（a）＋\r(a－1））<eq\f（1,\r（a－2）＋\r（a－3)）,∴eq\r(a）－eq\r（a－1）〈eq\r(a－2）－eq\r(a－3）.反思與感悟當已知條件和結論聯系不夠明顯、直接，證明中需要用哪些知識不太明確具體時，往往采用從結論出發(fā)，結合已知條件，用結論反推的方法。跟蹤訓練2求證：eq\r(3）＋eq\r(7）〈2eq\r(5）.證明因為eq\r（3）＋eq\r(7）和2eq\r（5）都是正數，所以要證eq\r（3）＋eq\r（7)<2eq\r(5)，只需證(eq\r（3）＋eq\r（7））2<（2eq\r（5)）2，展開得10＋2eq\r（21）〈20，只需證eq\r（21）<5，只需證21<25，因為21〈25成立，所以eq\r（3）＋eq\r（7)〈2eq\r(5）成立.探究點三綜合法和分析法的綜合應用思考在實際證題中,怎樣選用綜合法或分析法?答對思路清楚，方向明確的題目，可直接使用綜合法;對于復雜的題目，常把分析法和綜合法結合起來,先用分析法去轉化結論,得到中間結論Q；再根據結構的特點去轉化條件，得到中間結論P.若P?Q，則結論得證。例3已知α，β≠kπ＋eq\f（π，2)(k∈Z)，且sinθ＋cosθ＝2sinα，①sinθcosθ＝sin2β。②求證：eq\f（1－tan2α，1＋tan2α）＝eq\f(1－tan2β,21＋tan2β)。證明因為(sinθ＋cosθ)2－2sinθcosθ＝1，所以將①②代入，可得4sin2α－2sin2β＝1。③另一方面，要證eq\f(1－tan2α,1＋tan2α）＝eq\f（1－tan2β,21＋tan2β)，即證eq\f(1－\f(sin2α，cos2α），1＋\f（sin2α,cos2α））＝eq\f（1－\f（sin2β,cos2β),21＋\f(sin2β，cos2β）)，即證cos2α－sin2α＝eq\f(1，2)(cos2β－sin2β)，即證1－2sin2α＝eq\f（1，2）（1－2sin2β)，即證4sin2α－2sin2β＝1。由于上式與③相同，于是問題得證。反思與感悟用P表示已知條件、定義、定理、公理等，用Q表示要證明的結論,則綜合法和分析法的綜合應用可用框圖表示為:跟蹤訓練3若tan（α＋β)＝2tanα，求證:3sinβ＝sin（2α＋β)。證明由tan（α＋β）＝2tanα，得eq\f（sinα＋β,cosα＋β)＝eq\f（2sinα，cosα），即sin（α＋β）cosα＝2cos（α＋β)sinα.①要證3sinβ＝sin（2α＋β），即證3sin［（α＋β)－α］＝sin［(α＋β）＋α]，即證3[sin(α＋β）cosα－cos(α＋β）sinα]＝sin（α＋β）cosα＋cos(α＋β)sinα,化簡得sin(α＋β)cosα＝2cos(α＋β）sinα。這就是①式.所以,命題成立.1。已知y>x〉0，且x＋y＝1，那么（）A。x〈eq\f(x＋y，2）〈y<2xy B。2xy〈x<eq\f（x＋y，2)<yC。x<eq\f(x＋y，2)〈2xy<y D.x<2xy〈eq\f（x＋y,2)<y答案D解析∵y>x>0，且x＋y＝1，∴設y＝eq\f（3，4），x＝eq\f（1,4），則eq\f(x＋y,2)＝eq\f（1,2），2xy＝eq\f（3，8)，∴x<2xy<eq\f(x＋y,2）<y，故選D。2。欲證eq\r(2)－eq\r(3）<eq\r（6)－eq\r(7）成立，只需證（)A。（eq\r（2）－eq\r（3))2〈（eq\r（6)－eq\r（7))2B。（eq\r（2)－eq\r（6))2〈(eq\r(3）－eq\r(7)）2C。（eq\r（2)＋eq\r(7)）2〈（eq\r(3)＋eq\r（6）)2D。(eq\r(2)－eq\r（3）－eq\r(6))2〈（－eq\r（7))2答案C解析根據不等式性質，a〉b〉0時，才有a2>b2，即證：eq\r（2)＋eq\r(7）〈eq\r(6)＋eq\r(3），只需證:（eq\r(2）＋eq\r(7）)2〈（eq\r(3)＋eq\r(6))2。3.要證明eq\r(3)＋eq\r（7）<2eq\r(5），可選擇的方法有很多，最合理的應為________.答案分析法4.已知eq\f（1－tanα,2＋tanα）＝1，求證:cosα－sinα＝3(cosα＋sinα)。證明要證cosα－sinα＝3(cosα＋sinα)，只需證eq\f(cosα－sinα，cosα＋sinα)＝3,只需證eq\f(1－tanα，1＋tanα）＝3，只需證1－tanα＝3（1＋tanα),只需證tanα＝－eq\f(1,2），∵eq\f(1－tanα，2＋tanα)＝1，∴1－tanα＝2＋tanα,即2tanα＝