概率論第七章7-2

§2估計(jì)量的評選標(biāo)準(zhǔn)

對于同一參數(shù)，用不同的估計(jì)方法求出的估計(jì)量可能不相同。

問題：采用哪一個(gè)估計(jì)量好?1X1,X2,…,Xn為來自該總體的樣本。設(shè)總體X~F(x,

),其中

為未知參數(shù)。為

的一個(gè)估計(jì)量。2估計(jì)量而當(dāng)樣本(X1,…,Xn)有觀測值(y1,…,yn)時(shí)，估計(jì)值為

是一個(gè)隨機(jī)變量，當(dāng)樣本(X1,…,Xn)有觀測值(x1,…,xn)時(shí)，估計(jì)值為3由不同的觀測結(jié)果，就會求得不同的參數(shù)估計(jì)值.

因此評價(jià)一個(gè)估計(jì)量的好壞，不能僅僅依據(jù)一次試驗(yàn)的結(jié)果來判斷，而必須根據(jù)估計(jì)量的分布從整體上來做評價(jià)。當(dāng)樣本值取不同的觀測值時(shí)，希望相應(yīng)的估計(jì)值在未知參數(shù)真值附近擺動，而它的均值與未知參數(shù)的真值的偏差越小越好.當(dāng)這種偏差為0時(shí)，就導(dǎo)致無偏性這個(gè)標(biāo)準(zhǔn).4（一）無偏性則稱為的無偏估計(jì)量.5作為的估計(jì)的系統(tǒng)誤差,無偏估計(jì)的意義就是無系統(tǒng)誤差。在科學(xué)技術(shù)中,將稱為以

例如，用樣本均值作為總體均值的估計(jì)時(shí)，雖無法說明一次估計(jì)所產(chǎn)生的偏差，但反復(fù)將這一估計(jì)量使用多次，平均來說其偏差為0.67證明：8試證明不論總體服從什么分布k階樣本矩例2設(shè)總體X的k階原點(diǎn)矩存在，記其為k

X1,X2,…,Xn為來自總體的樣本，是k階總體矩k的無偏估計(jì)量.解：由于因此樣本k階矩是總體k階矩的無偏估計(jì)量910例3

設(shè)總體X

N(，

2)，其中參數(shù)，

2未知，試用最大似然估計(jì)法求，

2的估計(jì)量，并問是否是無偏估計(jì)？11例4

設(shè)總體X的概率密度為其中,參數(shù)>0

為未知,X1,…,Xn為來自總體的樣本.試證,和nZ=n{min(X1,…,Xn)}都是的無偏估計(jì)量.解：因?yàn)楣适堑臒o偏估計(jì)X的分布函數(shù)為12先求Z的分布函數(shù)13對其求導(dǎo)數(shù)得到Z的密度函數(shù)為：指數(shù)分布即Z的分布函數(shù)14故因此,nZ也是的無偏估計(jì)量.1516

例5設(shè)X1,X2,…,Xn是來自總體X的樣

本，且E(X)=。以下兩個(gè)估計(jì)是否為

的無偏估計(jì)（答：是）（答：是）

無偏估計(jì)以方差小者為好,這就引進(jìn)了有效性這一概念.的大小來決定二者和一個(gè)參數(shù)往往有不止一個(gè)無偏估計(jì),若和都是參數(shù)

的無偏估計(jì)量，比較我們可以誰更優(yōu).17舉個(gè)例子說明有效性18到商店購買電視機(jī)，看中了其中兩種品牌，分別由甲乙兩廠生產(chǎn)，外觀、音質(zhì)和畫面都不錯.根據(jù)市場調(diào)查，甲乙兩廠生產(chǎn)的兩種電視機(jī)平均使用壽命相同，都是20年.甲廠生產(chǎn)的電視機(jī)質(zhì)量較穩(wěn)定，最低使用壽命18年，最高可以使用22年；乙廠生產(chǎn)的電視機(jī)質(zhì)量穩(wěn)定性差一些，最差的使用10年就壞了，但是最好的可以使用30年.選用哪一個(gè)廠家生產(chǎn)的電視機(jī)呢？19若將電視機(jī)的使用壽命視為隨機(jī)變量，甲乙兩廠生產(chǎn)的電視機(jī)使用壽命均值相等，但是乙廠的質(zhì)量不穩(wěn)定，即方差較大.從穩(wěn)健的角度出發(fā)，顯然愿意購買甲廠生產(chǎn)的電視機(jī)，其風(fēng)險(xiǎn)較小，即方差較小，質(zhì)量穩(wěn)定.20集中或分散程度用DX

衡量散集中EXEX(二)有效性都是參數(shù)

的無偏估計(jì)量，若設(shè)和21例6試證當(dāng)n>1時(shí)，例3中無偏估計(jì)量比無偏估計(jì)量nZ=n{min(X1,…,Xn)}有效2223（三）相合性

設(shè)總體X的k階矩存在，則樣本的k階矩是總體k階矩的相合估計(jì)量24我們介紹了參數(shù)點(diǎn)估計(jì)，討論了估計(jì)量的優(yōu)良性準(zhǔn)則.給出了尋求估計(jì)量最常用的矩估計(jì)法和最大似然估計(jì)法.

參數(shù)點(diǎn)估計(jì)是用一個(gè)確定的值去估計(jì)未知的參數(shù).看來似乎精確，實(shí)際上把握不大.為了使估計(jì)的結(jié)論更可信，需要引入?yún)^(qū)間估計(jì).2526可信度：越大越好估計(jì)你的年齡

八成在21－28歲之間被估參數(shù)可信度范圍、區(qū)間區(qū)間：越小越好§3區(qū)間估計(jì)27

引例在估計(jì)湖中魚數(shù)的問題中，若我們根據(jù)一個(gè)實(shí)際樣本，得到魚數(shù)N的最大似然估計(jì)為1000條.實(shí)際上，N的真值可能大于1000條，也可能小于1000條.為此，我們希望確定一個(gè)區(qū)間來估計(jì)參數(shù)真值,并且滿足：28a

使我們能以比較高的可靠程度相信它包含真參數(shù)值.湖中魚數(shù)的真值[]這里所說的“可靠程度”是用概率來度量的b

區(qū)間估計(jì)的精度要高.29一置信區(qū)間的定義(1)當(dāng)X是連續(xù)型隨機(jī)變量時(shí)，對于給定的，按照要求求出置信區(qū)間(2)當(dāng)X是離散型隨機(jī)變量時(shí)，對于給定的，常找不到區(qū)間使得此時(shí)，找區(qū)間使得至少為且盡可能接近303132

2要求以很大的可能被包含在區(qū)間內(nèi)，就是說，概率要盡可能大.3

估計(jì)的精度要盡可能的高.如要求區(qū)間長度盡可能短，或能體現(xiàn)該要求的其它準(zhǔn)則.即要求估計(jì)盡量可靠.可靠度與精度是一對矛盾，一般是在保證可靠度的條件下盡可能提高精度.二構(gòu)造置信區(qū)間的方法1.樞軸量法3334即

此時(shí)是參數(shù)

的一個(gè)置信水平為1-

的置信區(qū)間.2.如何確定a,b希望置信區(qū)間盡可能短.

任意兩個(gè)數(shù)a和b，只要它們的縱標(biāo)包含f(u)下95%的面積，就確定一個(gè)95%的置信區(qū)間.35在樞軸量W概率密度為單峰且對稱的情形，當(dāng)a=-b時(shí)求得的置信區(qū)間的長度為最短.a=-b36

即使樞軸量W的概率密度不對稱的情形，如分布，F(xiàn)分布，習(xí)慣上仍取對稱的分位點(diǎn)來計(jì)算未知參數(shù)的置信區(qū)間.3738求參數(shù)的置信水平為的置信區(qū)間.

例1設(shè)X1,…,Xn是取自正態(tài)總體

的樣本，解：尋找一個(gè)樣本和待估參數(shù)的函數(shù),要求其分布為已知.有了分布，就可以求出W取值于任意區(qū)間的概率.對給定的置信水平對于給定的置信水平,根據(jù)W的分布，確定一個(gè)區(qū)間,使得W取值于該區(qū)間的概率為置信水平.使39對給定的置信水平使從中解得40簡記為的一個(gè)置信水平為的置信區(qū)間4142說明：(2)置信區(qū)間的中心是樣本均值(3)置信水平越大，越大，因此置信區(qū)間越長，精度越低.(4)樣本容量n越大,置信區(qū)間越短,精度越高置信區(qū)間的長度為(1)ln越小，置信區(qū)間提供的信息越精確因?yàn)榉讲钤酱?隨機(jī)影響越大,精度越低43例2

旅游者消