高中數(shù)學(xué)必修1-5新課程創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計案例共50課時

...wd......wd......wd...1集合的概念和表示方法教材分析集合概念的基本理論，稱為集合論．它是近、現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個重要根基．一方面，許多重要的數(shù)學(xué)分支，如數(shù)理邏輯、近世代數(shù)、實變函數(shù)、泛函分析、概率統(tǒng)計、拓撲等，都建設(shè)在集合理論的根基上．另一方面，集合論及其反映的數(shù)學(xué)思想，在越來越廣泛的領(lǐng)域中得到應(yīng)用．在小學(xué)和初中數(shù)學(xué)中，學(xué)生已經(jīng)接觸過集合，對于諸如數(shù)集〔整數(shù)的集合、有理數(shù)的集合〕、點集〔直線、圓〕等，有了一定的感性認識．這節(jié)內(nèi)容是初中有關(guān)內(nèi)容的深化和延伸．首先通過實例引出集合與集合元素的概念，然后通過實例加深對集合與集合元素的理解，最后介紹了集合的常用表示方法，包括列舉法，描述法，還給出了畫圖表示集合的例子．本節(jié)的重點是集合的基本概念與表示方法，難點是運用集合的兩種常用表示方法———列舉法與描述法正確表示一些簡單的集合．教學(xué)目標1.初步理解集合的概念，了解有限集、無限集、空集的意義，知道常用數(shù)集及其記法．2.初步了解“屬于〞關(guān)系的意義，理解集合中元素的性質(zhì)．3.掌握集合的表示法，通過把文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言〔集合語言〕，培養(yǎng)學(xué)生的理解、化歸、表達和處理問題的能力．任務(wù)分析這節(jié)內(nèi)容學(xué)生已在小學(xué)、初中有了一定的了解，這里主要根據(jù)實例引出概念．介紹集合的概念采用由具體到抽象，再由抽象到具體的思維方法，學(xué)生容易承受．在引出概念時，從實例入手，由具體到抽象，由淺入深，便于學(xué)生理解，緊接著再通過實例理解概念．集合的表示方法也是通過實例加以說明，化難為易，便于學(xué)生掌握．教學(xué)設(shè)計一、問題情境1.在初中，我們學(xué)過哪些集合2.在初中，我們用集合描述過什么學(xué)生討論得出：在初中代數(shù)里學(xué)習(xí)數(shù)的分類時，學(xué)過“正數(shù)的集合〞，“負數(shù)的集合〞；在學(xué)習(xí)一元一次不等式時，說它的所有解為不等式的解集．在初中幾何里學(xué)習(xí)圓時，說圓是到定點的距離等于定長的點的集合．幾何圖形都可以看成點的集合．3.“集合〞一詞與我們?nèi)粘Ｉ钪械哪男┰~語的意義相近學(xué)生討論得出：“全體〞、“一類〞、“一群〞、“所有〞、“整體〞，……4.請寫出“小于10”的所有自然數(shù)．0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．這些可以構(gòu)成一個集合．5.什么是集合二、建設(shè)模型1.集合的概念〔先具體舉例，然后進展描述性定義〕〔1〕某種指定的對象集在一起就成為一個集合，簡稱集．〔2〕集合中的每個對象叫作這個集合的元素．〔3〕集合中的元素與集合的關(guān)系：a是集合A中的元素，稱a屬于集合A，記作a∈A；a不是集合A中的元素，稱a不屬于集合A，記作aA．例：設(shè)B＝｛1，2，3｝，那么1∈B，4B．2.集合中的元素具備的性質(zhì)〔1〕確定性：集合中的元素是確定的，即給定一個集合，任何一個對象是否屬于這個集合的元素也就確定了．如上例，給出集合B，4不是集合的元素是可以確定的．〔2〕互異性：集合中的元素是互異的，即集合中的元素是沒有重復(fù)的．例：假設(shè)集合A＝｛a，b｝，那么a與b是不同的兩個元素．〔3〕無序性：集合中的元素?zé)o順序．例：集合｛1，2｝與集合｛2，1｝表示同一集合．3.常用的數(shù)集及其記法全體非負整數(shù)的集合簡稱非負整數(shù)集〔或自然數(shù)集〕，記作N．非負整數(shù)集內(nèi)排除0的集合簡稱正整數(shù)集，記作N*或N+；全體整數(shù)的集合簡稱整數(shù)集，記作Z；全體有理數(shù)的集合簡稱有理數(shù)集，記作Q；全體實數(shù)的集合簡稱實數(shù)集，記作R．4.集合的表示方法［問題］如何表示方程x2－3x＋2＝0的所有解〔1〕列舉法列舉法是把集合中的元素一一列舉出來的方法．例：x2－3x＋2＝0的解集可表示為｛1，2｝．〔2〕描述法描述法是用確定的條件表示某些對象是否屬于這個集合的方法．例：①x2－3x＋2＝0的解集可表示為｛x｜x2－3x＋2＝0｝．②不等式x－3＞2的解集可表示為｛x｜x－3＞2｝．③Venn圖法例：x2－3x＋2＝0的解集可以表示為〔1，2〕．5.集合的分類〔1〕有限集：含有有限個元素的集合．例如，A＝｛1，2｝．〔2〕無限集：含有無限個元素的集合．例如，N．〔3〕空集：不含任何元素的集合，記作．例如，｛x｜x2＋1＝0，x∈R｝＝．注：對于無限集，不宜采用列舉法．三、解釋應(yīng)用［例題］1.用適當?shù)姆椒ū硎疽韵录希?〕由1，2，3這三個數(shù)字抽出一局部或全部數(shù)字〔沒有重復(fù)〕所組成的一切自然數(shù)．〔2〕平面內(nèi)到一個定點O的距離等于定長l〔l＞0〕的所有點P．〔3〕在平面a內(nèi)，線段AB的垂直平分線．〔4〕不等式2x－8＜2的解集．2.用不同的方法表示以下集合．〔1〕｛2，4，6，8｝．〔2〕｛x｜x2＋x－1＝0｝．〔3〕｛x∈N｜3＜x＜7｝．3.A＝｛x∈N｜66－x∈N｝．試用列舉法表示集合A．〔A＝｛0，3，5｝〕4.用描述法表示在平面直角坐標中第一象限內(nèi)的點的坐標的集合．［練習(xí)］1.用適當?shù)姆椒ū硎疽韵录希?〕構(gòu)成英語單詞mathematics〔數(shù)字〕的全體字母．〔2〕在自然集內(nèi)，小于1000的奇數(shù)構(gòu)成的集合．〔3〕矩形構(gòu)成的集合．2.用描述法表示以下集合．〔1〕｛3，9，27，81，…｝．〔2〕四、拓展延伸把以下集合“翻譯〞成數(shù)學(xué)文字語言來表達．〔1〕｛〔x，y〕｜y＝x2＋1，x∈R｝．〔2〕｛y｜y＝x2＋1，x∈R｝．〔3〕｛〔x，y〕｜y＝x2＋1，x∈R｝．〔4〕｛x｜y＝x2＋1，y∈N*｝．點評這篇案例注重新、舊知識的聯(lián)系與過渡，以舊引新，從學(xué)生的原有知識、經(jīng)歷出發(fā)，創(chuàng)設(shè)問題情境；從實例引出集合的概念，再結(jié)合實例讓學(xué)生進一步理解集合的概念，掌握集合的表示方法．非常注重實例的使用是這篇案例的突出特點．這樣做，通俗易懂，使學(xué)生便于學(xué)習(xí)和掌握．例題、練習(xí)由淺入深，對培養(yǎng)學(xué)生的理解能力、表達能力、思維能力大有裨益．拓展延伸注重數(shù)學(xué)語言的轉(zhuǎn)化和訓(xùn)練，注重區(qū)分形似而質(zhì)異的數(shù)學(xué)問題，加強了學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解和認識．2集合之間的關(guān)系教材分析集合之間的關(guān)系是集合運算的根基和前提，是用集合觀點理清集合之間內(nèi)在聯(lián)系的橋梁和工具．這節(jié)內(nèi)容是對集合的基本概念的深化，延伸，首先通過類比、實例引出子集的概念，再結(jié)合實例加以說明，然后通過實例說明子集包括真子集和兩集合相等兩種情況．這節(jié)內(nèi)容的教學(xué)重點是子集的概念，教學(xué)難點是弄清元素與子集、屬于與包含之間的區(qū)別．教學(xué)目標1.通過對子集概念的歸納、抽象和概括，體驗數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生和形成的過程，培養(yǎng)學(xué)生的抽象、概括能力．2.了解集合的包含、相等關(guān)系的意義，理解子集、真子集的概念，培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解能力．3.通過對集合之間的關(guān)系即子集的學(xué)習(xí)，初步體會數(shù)學(xué)知識發(fā)生、開展、運用的過程，培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)思維方法．任務(wù)分析這節(jié)內(nèi)容是在學(xué)生已經(jīng)掌握了集合的概念和表示方法以及兩個實數(shù)之間有大小關(guān)系的根基上，進一步學(xué)習(xí)和研究兩個集合之間的關(guān)系，采用從實例入手，由具體到抽象，由特殊到一般，再由抽象、一般到具體、特殊的方法，知識的產(chǎn)生、發(fā)生比較自然，易于學(xué)習(xí)、承受和掌握；采用分類討論的方法闡述子集包括真子集、等集〔兩集合相等〕兩種情況，這可以使學(xué)生更好地認識子集、真子集、等集三者之間的內(nèi)在聯(lián)系．教學(xué)設(shè)計一、問題情境1.元素與集合之間的關(guān)系是什么元素與集合是附屬關(guān)系，即對一個元素x是某集合A中的元素時，它們的關(guān)系為x∈A．假設(shè)一個對象x不是某集合A中的元素時，它們的關(guān)系為xA．2.集合有哪些表示方法列舉法，描述法，Venn圖法．數(shù)與數(shù)之間存在著大小關(guān)系，那么，兩個集合之間是不是也存在著類似的關(guān)系呢先看下面兩個集合：A＝｛1，2，3｝，B＝｛1，2，3，4，5｝．它們之間有什么關(guān)系呢二、建設(shè)模型1.引導(dǎo)學(xué)生分析討論集合A中的任何一個元素都是集合B中的元素．集合B中的元素4，5不是集合A中的元素．2.與學(xué)生共同歸納，明晰子集的定義對于上述問題，教師點撥，A是B的子集，B不是A的子集．子集：對于兩個集合A，B，如果集合A中的任何一個元素都是集合B中的元素，即集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，記作AB〔或BA〕，就說集合A是集合B的子集．用符號語言可表示為：如果任意元素x∈A，都有x∈B，那么AB．規(guī)定：空集是任何集合的子集，即對于任意一個集合A，有A．3.提出問題，組織學(xué)生討論給出三個集合：A＝｛1，2，3｝，B＝｛1，2，3，4，5｝，C＝｛1，2，3｝．〔1〕A是B的子集嗎B是A的子集嗎〔2〕A是C的子集嗎C是A的子集嗎4.教師給出真子集與兩集合相等的定義上述問題中，集合A是集合B的子集，并且集合B中有元素不屬于集合A，這時，我們就說集合A是集合B的真子集；集合A是集合C的子集，且集合A與集合C的元素完全一樣，這時，我們就說集合A與集合C相等．真子集：如果集合A是集合B的子集，即AB，并且B中至少有一個元素不屬于集合A，那么集合A叫作集合B的真子集，記作AB或BA．AB的Venn圖為兩集合相等：如果集合A中的每一個元素都是集合B中的元素，即AB，反過來，集合B的每一個元素也都是集合A中的元素，即BA，那么就說集合A等于集合B，記作A＝B．A＝B的Venn圖為思考：設(shè)A，B是兩個集合，AB，AB，A＝B三者之間的關(guān)系是怎樣的5.子集、真子集的有關(guān)性質(zhì)由子集、真子集的定義可推知：〔1〕對于集合A，B，C，如果AB，BC，那么AC．〔2〕對于集合A，B，C，如果AB，BC，那么AC．〔3〕AA．〔4〕空集是任何非空集合的真子集．三、解釋應(yīng)用［例題］1.用適當?shù)姆枴病?，，＝，，〕填空．?〕3___________｛1，2，3｝．〔2〕5___________｛5｝．〔3〕4___________｛5｝．〔4〕｛a｝___________｛a，b，c｝．〔5〕0___________．〔6〕｛a，b，c｝___________｛b，c｝．〔7〕___________｛0｝．〔8〕___________｛｝．〔9〕｛1，2｝___________｛2，1｝．〔10〕G＝｛x｜x是能被3整除的數(shù)｝___________H＝｛x｜x是能被6整除的數(shù)｝．2.寫出集合｛a，b｝的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集．3.說出以下每對集合之間的關(guān)系．〔1〕A＝｛1，2，3，4，｝，B＝｛3，4｝．〔2〕P＝｛x｜x2＝1｝，Q＝｛-1，1｝．〔3〕N，N*．〔4〕C＝｛x∈R｜x2＝-1｝，D＝｛0｝．［練習(xí)］1.用適當?shù)姆枴病?，，＝，，〕填空．?〕a___________｛a｝．〔2〕b___________｛a｝．〔3〕___________｛1，2｝．〔4〕｛a，b｝___________｛b，a｝．〔5〕A＝｛1，2，4｝___________B＝｛x｜x是8的正約數(shù)｝．2.求以下集合之間的關(guān)系，并用Venn圖表示．A＝｛x｜x是平行四邊形｝，B＝｛x｜x是菱形｝，C＝｛x｜x是矩形｝，D＝｛x｜x是正方形｝．拓展延伸填表表2-1集合集合中元素的個數(shù)子集的個數(shù)真子集的個數(shù)｛a｝1

｛a，b｝2

｛a，b，c｝3

｛a，b，c，d｝4

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〔1〕你能找出“集合中元素的個數(shù)〞與“子集的個數(shù)〞、“真子集的個數(shù)〞之間關(guān)系嗎〔2〕如果一個集合中有n個元素，你能寫出計算它的所有子集個數(shù)與真子集個數(shù)的公式嗎〔用n表達〕點評這篇案例構(gòu)造嚴謹，思路清晰，概念和關(guān)系的引出注重從具體到抽象、從特殊到一般、從感性到理性的認識過程．具體地說就是，先結(jié)合實例研究兩個具體集合的關(guān)系，從而引出子集的定義，然后再結(jié)合實例說明AB，包括AB，A＝B兩種情況，再給出真子集、等集的定義．這樣的處理方式，符合學(xué)生的認知規(guī)律，符合新課程的理念，例題與練習(xí)由淺入深，注重數(shù)形結(jié)合，使學(xué)生從不同角度加深了對集合之間的關(guān)系的理解．拓展延伸注重培養(yǎng)學(xué)生從特殊到一般地解決數(shù)學(xué)問題的能力．值得注意的是，在引出子集定義時，最好明確指出，集合之間的“大小〞關(guān)系實質(zhì)上就是包含關(guān)系．3邏輯聯(lián)結(jié)詞教材分析在初中階段，學(xué)生已接觸了一些簡單命題，對簡單的推理方法有了一定程度的了解．在此根基上，這節(jié)課首先從簡單命題出發(fā)，給出含有“或〞、“且〞、“非〞的復(fù)合命題的概念，然后借助真值表，給出判斷復(fù)合命題的真假的方法．在高中數(shù)學(xué)中，邏輯聯(lián)結(jié)詞是學(xué)習(xí)、掌握和使用數(shù)學(xué)語言的根基，是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的出發(fā)點．因此，在教學(xué)過程中，除了關(guān)注和初中知識密切的聯(lián)系之外，還應(yīng)借助實際生活中的具體例子，以便于學(xué)生理解和掌握邏輯聯(lián)結(jié)詞．教學(xué)重點是判斷復(fù)合命題真假的方法，難點是對“或〞的含義的理解．教學(xué)目標1.理解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或〞、“且〞、“非〞的含義，了解“或〞、“且〞、“非〞的復(fù)合命題的構(gòu)成．2.能熟練判斷一些復(fù)合命題的真假性．3.通過邏輯聯(lián)結(jié)詞的學(xué)習(xí)，使學(xué)生初步體會數(shù)學(xué)語言的嚴密性，準確性，并在今后數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和交流中，能夠準確運用邏輯聯(lián)結(jié)詞．任務(wù)分析在初中數(shù)學(xué)中，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了一些關(guān)于命題的初步知識，但是，對命題和開語句的區(qū)別往往搞不清．因此，應(yīng)首先讓學(xué)生弄懂命題的含義，以便其掌握復(fù)合命題．由于邏輯中的“或〞、“且〞、“非〞與日常用語中的“或〞、“且〞、“非〞的意義不完全一樣，故要直接講清楚它們的意義，比較困難．因此，開場時，不必深講，可以在學(xué)習(xí)了有關(guān)復(fù)合命題的真值表之后，再要求學(xué)生根據(jù)復(fù)合命題的真值表，對“或〞、“且〞、“非〞加以理解，這樣處理有利于掌握重點，突破難點．為了加深對“或〞、“且〞、“非〞的理解，最后應(yīng)設(shè)計一系列的習(xí)題加以穩(wěn)固、深化對知識的認識程度．教學(xué)設(shè)計一、問題情境生活中，我們要經(jīng)常用到許多有自動控制功能的電器．例如，洗衣機在甩干時，如果“到達預(yù)定的時間〞或“機蓋被翻開〞，就會停機，即當兩個條件至少有一個滿足時，就會停機．與此對應(yīng)的電路，就叫或門電路．又如，電子保險門在“鑰匙插入〞且“密碼正確〞兩個條件都滿足時，才會開啟．與此對應(yīng)的電路，就叫與門電路．隨著高科技的開展，諸多科學(xué)領(lǐng)域均離不開類似以上的邏輯問題．因此，我們有必要對簡易邏輯加以研究．二、建設(shè)模型在初中，我們已學(xué)過命題，知道可以判斷真假的語句叫作命題．試分析以下8個語句，說出哪些是命題，哪些不是命題，哪些是真命題，哪些是假命題．〔1〕12＞5．〔2〕3是12的約數(shù)．〔3〕是整數(shù)．〔4〕是整數(shù)嗎〔5〕x＞．〔6〕10可以被2或5整除．〔7〕菱形的對角線互相垂直且平分．〔8〕不是整數(shù)．〔可以讓學(xué)生答復(fù)，教師給出點評〕我們可以看出，〔1〕〔2〕是真命題；〔3〕是假命題；因為〔4〕不涉及真假；〔5〕不能判斷真假，所以〔4〕〔5〕都不是命題；〔6〕〔7〕〔8〕是真命題．其中，“或〞、“且〞、“非〞這些詞叫作邏輯聯(lián)結(jié)詞．像〔1〕〔2〕〔3〕這樣的命題，不含邏輯聯(lián)結(jié)詞，叫簡單命題；像〔6〕〔7〕〔8〕這樣，由簡單命題與邏輯聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的命題，叫復(fù)合命題．如果用小寫的拉丁字母p，q，r，s，…來表示命題〔這里應(yīng)明確〔6〕〔7〕〔8〕三個命題中p，q分別代表什么〕，那么上述復(fù)合命題〔6〕〔7〕〔8〕的構(gòu)成形式分別是p或q，p且q，非p．其中，非p也叫作命題p的否認．對于以上三種復(fù)合命題，如何判斷其真假呢下面要求學(xué)生自己設(shè)計或真或假的命題來填下面表格：結(jié)合學(xué)生答復(fù)情況，將上面的表格補充完整，并給出真值表的定義．要求學(xué)生對每一真值表用一句話總結(jié)：〔1〕“非p〞形式的復(fù)合命題的真假與p的真假相反．〔2〕“p且q〞形式的復(fù)合命題當p與q同為真時為真，其他情況時為假．〔3〕“p或q〞形式的復(fù)合命題當p與q同為假時為假，其他情況時為真．三、解釋應(yīng)用［例題］1.分別指出以下各組命題構(gòu)成的“p或q〞、“p且q〞、“非p〞形式的復(fù)合命題的真假．〔1〕p：2＋2＝5，q：3＞2．〔2〕p：9是質(zhì)數(shù)，q：8是12的約數(shù)．〔3〕p：1∈｛1，2｝，q：｛1｝｛1，2｝．〔4〕p：｛0｝，q：＝｛0｝．注：引導(dǎo)學(xué)生進一步熟悉真值表．2.說出以下復(fù)合命題的形式，并判斷其真假．〔1〕5≥5．〔2〕5≥1．解：〔1〕p或q形式．其中，p：5＞5，q：5＝5．p假，q真，∴p或q為真，即5≥5為真命題．〔2〕p或q形式．其中，p：5＞4，q：5＝4，p真，q假，∴p或q為真，即5≥4為真命題．［練習(xí)］1.命題：方程x2－1＝0的解是x＝±1，使用邏輯聯(lián)結(jié)詞的情況是〔〕．A.沒用使用邏輯聯(lián)結(jié)詞B.使用邏輯聯(lián)結(jié)詞“且〞C.使用邏輯聯(lián)結(jié)詞“或〞D.使用邏輯聯(lián)結(jié)詞“非〞〔C〕2.由以下命題構(gòu)成的“p或q〞、“p且q〞形式的復(fù)合命題均為真命題的是〔〕．A.p：4＋4＝9，q：7＞4B.p：a∈｛a，b，c｝，q：｛a｝｛ａ，ｂ，ｃ｝C.p：15是質(zhì)數(shù)，q：4是12的約數(shù)D.p：2是偶數(shù)，q：2不是質(zhì)數(shù)〔B〕四、拓展延伸在一些邏輯問題中，當字面上并未出現(xiàn)“或〞、“且〞、“非〞字樣時，應(yīng)從語句的陳述中搞清含義，從而解決問題．例：小李參加全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽，有三名同學(xué)對他作如下猜想：甲：小李非第一名，也非第二名；乙：小李非第一名，而是第三名；丙：小李非第三名，而是第一名．競賽完畢后發(fā)現(xiàn)，一人全猜對，一人猜對一半，一人全猜錯，問：小李得了第幾名由上可知：甲、乙、丙均為“p且q〞形式，所以猜對一半者也說了錯誤“命題〞，即只有一個為真，所以可知是丙是真命題，因此小李得了第一名．還有一些邏輯問題，應(yīng)從命題與命題之間關(guān)系去尋找解題思路．例：曾經(jīng)在校園內(nèi)發(fā)生過這樣一件事：甲、乙、丙、丁四名同學(xué)在教室前的空地上踢足球，突然足球飛向了教室的一扇窗戶，聽到響聲后，李主任走了過來，看著一地碎玻璃，問道：“玻璃是誰打破的〞甲：是乙打破的；乙：不是我，是丁打破的；丙：肯定不是我打破的；?。阂以谌鲋e．現(xiàn)在只知道有一個人說了真話，請你幫李主任分析：誰打破了玻璃，誰說了真話．分析此題關(guān)鍵在于找清乙說的與丁說的是“p〞與“非p〞形式，因此說真話者可能是乙，也可能不是乙，是?。纱朔治隹芍?，是丙打破的玻璃．點評這篇案例的突出特點是對知識的認知由淺入深，層層漸進．這篇案例的所有例子均結(jié)合學(xué)生的數(shù)學(xué)水平取自學(xué)生掌握的知識范圍之內(nèi)或者直接源于現(xiàn)實生活，這有利于學(xué)生對問題的實質(zhì)的理解和掌握．如果在“建設(shè)模型〞的完畢時及時給出相關(guān)的例子，使學(xué)生正確區(qū)分哪些是簡單命題，哪些是復(fù)合命題，學(xué)生的印象會更深．4四種命題教材分析在初中，學(xué)生接觸的簡單的邏輯推理及命題間關(guān)系〔原命題和逆命題〕主要來源于幾何知識，有很強的幾何直觀性，便于掌握．高中學(xué)生要面對大量代數(shù)命題，因此，很有必要學(xué)習(xí)四種命題及四者之間的關(guān)系，以適應(yīng)高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的需要，這節(jié)課的主要教學(xué)目的就在于此．同時，這節(jié)課又是學(xué)習(xí)和運用反證法這種基本解題方法的根基．這節(jié)課的重點是四種命題間的關(guān)系．學(xué)生現(xiàn)有的認知水平雖然脫離了初中階段的簡單幾何知識，但是新的知識體系并未形成，因此，隨著學(xué)生對概念理解的深入，這節(jié)課的例題將逐步引導(dǎo)學(xué)生理解幾何命題，進而理解代數(shù)命題．這種處理方式符合學(xué)生的認知規(guī)律．教學(xué)目標通過這節(jié)課的教與學(xué)，應(yīng)使學(xué)生初步理解四種命題及其關(guān)系，進而使學(xué)生掌握簡單的推理技能，開展學(xué)生的思維能力．同時，幫助學(xué)生從幾何推理向代數(shù)推理過渡．任務(wù)分析在這節(jié)課的教學(xué)過程中，要注意控制教學(xué)要求，即只研究比較簡單的命題，而且命題的條件和結(jié)論比較明顯；不研究含有邏輯聯(lián)結(jié)詞“或〞、“且〞、“非〞的命題的逆命題、否命題和逆否命題．這節(jié)中“假設(shè)p那么q〞形式的命題中的“p〞，“q〞可以都是命題，也可以不都是命題，不能等同于前面的復(fù)合命題．教學(xué)設(shè)計一、問題情境在以前的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，有這樣的知識：菱形的對角線相互垂直．那么，這一真命題變一下形式是否真命題呢如：“如果一個四邊形對角線相互垂直，那么它是菱形〞，再如：“對角線不相互垂直的四邊形不是菱形〞．這些變形后的命題的真假是否和原命題有關(guān)呢為解決這一問題，這節(jié)課我們就來學(xué)習(xí)“四種命題〞．二、問題解決首先讓學(xué)生回憶初中學(xué)習(xí)過的有關(guān)命題的定義：互逆命題、原命題、逆命題．〔學(xué)生答復(fù)，教師補充完整〕例：如果原命題是〔1〕同位角相等，兩直線平行．讓學(xué)生說出它的逆命題．〔2〕兩直線平行，同位角相等．再看下面的兩個命題：〔3〕同位角不相等，兩直線不平行．〔4〕兩直線不平行，同位角不相等．在命題〔1〕與命題〔3〕中，一個命題的條件和結(jié)論分別是另一個命題的條件的否認和結(jié)論的否認，這樣的兩個命題叫作互否命題．把其中一個命題叫作原命題，另一個就叫作原命題的否命題．在命題〔1〕與命題〔4〕中，一個命題的條件和結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論的否認和條件的否認，這樣的兩個命題叫作互為逆否命題．把其中一個命題叫作原命題，另一個就叫作原命題的逆否命題．換句話說：〔1〕交換原命題的條件和結(jié)論，所得的命題是逆命題．〔2〕同時否認原命題的條件和結(jié)論，所得命題是否命題．〔3〕交換原命題的條件和結(jié)論，并同時否認，所得命題是逆否命題．一般地，用p和q分別表示原命題的條件和結(jié)論，用非p和非q分別表示p和q的否認．于是，四種命題的形式就是：原命題：假設(shè)p那么q．逆命題：假設(shè)q那么p．否命題：假設(shè)非p那么非q．逆否命題：假設(shè)非q而非p．下面讓學(xué)生考慮這樣一個問題：四種命題之間，任意兩個是什么關(guān)系〔學(xué)生答復(fù)，教師補充，最后出示以以下列圖〕給出一個命題：“假設(shè)a＝0，那么ab＝0．〞讓學(xué)生寫出其他三種命題，并判斷四個命題的真假，然后考慮其他三種命題的真假是否與原命題的真假有某種關(guān)系．不難發(fā)現(xiàn)如下關(guān)系：〔1〕原命題為真，它的逆命題不一定為真．〔2〕原命題為真，它的否命題不一定為真．〔3〕原命題為真，它的逆否命題一定為真．三、解釋應(yīng)用［例題］1.把以下命題先改寫成“假設(shè)p那么q〞的形式，再寫出它們的逆命題、否命題與逆否命題，并分別判斷它們的真假．〔1〕負數(shù)的平方是正數(shù)．〔2〕正方形的四條邊相等．分析：關(guān)鍵是找出原命題的條件p與結(jié)論q．解：〔1〕原命題可以寫成：假設(shè)一個數(shù)是負數(shù)，那么它的平方是正數(shù)．逆命題：假設(shè)一個數(shù)的平方是正數(shù)，那么它是負數(shù)．逆命題為假．否命題：假設(shè)一個數(shù)不是負數(shù)，那么它的平方不是正數(shù)．否命題為假．逆否命題：假設(shè)一個數(shù)的平方不是正數(shù)，那么它不是負數(shù)．逆否命題為真．〔2〕原命題可以寫成：假設(shè)一個四邊形是正方形，那么它的四條邊相等．逆命題：假設(shè)一個四邊形的四條邊相等，那么它是正方形．逆命題為假．否命題：假設(shè)一個四邊形不是正方形，那么它的四條邊不相等．否命題為假．逆否命題：假設(shè)一個四邊形的四條邊不相等，那么它不是正方形．逆否命題為真．2.設(shè)原命題是“當c＞0時，假設(shè)a＞b，那么ac＞bc〞，寫出它的逆命題、否命題與逆否命題，并分別判斷它們的真假．分析：“當c＞0時〞是大前提，寫其他命題時應(yīng)該保存，原命題的條件是a＞b，結(jié)論是ac＞bc．解：逆命題：當c＞0時，假設(shè)ac＞bc，那么a＞b．逆命題為真．否命題：當c＞0時，假設(shè)a≤b，那么ac≤bc．否命題為真．逆否命題：當c＞0時，假設(shè)ac≤bc，那么a≤b．逆否命題為真．［練習(xí)］1.命題“假設(shè)a＞b，那么ac2＞bc2，〔a，b，c∈R〕〞與它的逆命題、否命題、逆否命題中，真命題個數(shù)為〔〕．A.3B.2C.1D.0〔B〕2.在命題“假設(shè)拋物線y＝ax2＋bx＋c的開口向下，那么｛x｜ax2＋bx＋c＜0｝≠〞的逆命題、否命題、逆否命題中，以下結(jié)論成立的是〔〕．A.三命題都真B.三命題都假C.否命題真D.逆否命題真〔D〕四、拓展延伸在對某一命題的條件和結(jié)論否認時，有些問題，學(xué)生易出錯．例如，對如下詞語的否認：“任意的〞、“所有的〞、“都是〞和“全是〞等．下面以“全是〞為例進展說明：所謂“否認〞，即其對立面，顯然“全是〞的對立面中除了“全不是〞之外，還有“局部也是〞這一局部．因此，“全是〞的對立面〔即否認〕應(yīng)是“不全是〞，而不是“全不是〞．同樣，“任意的〞否認應(yīng)是“某個〞，“所有的〞否認應(yīng)是“存在一個〞或“存在一些〞，“都是〞的否認是“不都是〞．例如，命題：假設(shè)x2＋y2＝0，那么x，y全是0．其否命題是：假設(shè)x2＋y2≠0，那么x，y不全是0．點評這篇案例涉及兩個問題：一個是定義，一個是規(guī)律，即四種命題間的關(guān)系．為了加深學(xué)生的認識，這篇案例突出了“學(xué)生參與〞，即讓學(xué)生通過例子認識定義，在活動中自己歸納、總結(jié)規(guī)律．同時，這篇案例又設(shè)計了適量的例題和練習(xí)，以穩(wěn)固學(xué)生在課堂活動中掌握的知識．再者，這篇案例中所有例子都十分簡單，但又極具有代表性，易于學(xué)生承受和理解，這也是學(xué)生能積極地參與到課堂活動中去的一個必要條件．美中缺乏的是，這篇案例的個別環(huán)節(jié)對“反例〞的運用稍顯薄弱．5充分條件與必要條件教材分析充分條件與必要條件是簡易邏輯的重要內(nèi)容．學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)需要全面地理解概念，正確地進展表述、判斷和推理，這就離不開對充分條件與必要條件的掌握和運用，而且它們也是認識問題、研究問題的工具．這節(jié)內(nèi)容在“四種命題〞的根基上，通過假設(shè)干實例，總結(jié)出了充分條件、必要條件和充要條件的概念，給出了判斷充分條件、必要條件的方法和步驟．教學(xué)的重點與難點是關(guān)于充要條件的判斷．教學(xué)目標1.結(jié)合實例，理解充分條件、必要條件、充要條件的意義．2.理解充要條件，掌握判斷充要條件的方法和步驟．3.通過充要條件的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解能力和邏輯推理能力，逐步提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力．任務(wù)分析這節(jié)內(nèi)容是學(xué)生在學(xué)習(xí)了“四種命題〞、會判斷一個命題的真假的根基上，主要根據(jù)“pq〞給出了充分條件、必要條件及充要條件．雖然從實例引入，但是學(xué)生對充分條件、必要條件的理解，特別是對必要條件的理解有一定困難．對于本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，首先要分清誰是條件，誰是結(jié)論，其次要進展兩次推理或判斷．〔1〕假設(shè)“條件結(jié)論〞，那么條件是結(jié)論的充分條件，或稱結(jié)論是條件的必要條件．〔2〕假設(shè)“條件結(jié)論〞，那么條件是結(jié)論的不充分條件，或稱結(jié)論是條件的不必要條件．教學(xué)設(shè)計一、問題情境［提出問題］1.寫出命題“假設(shè)x＞0，那么x2＞0”的逆命題、否命題和逆否命題，并分別判斷原命題、逆命題、否命題、逆否命題的真假．原命題：假設(shè)x＞0，那么x2＞0．真命題．逆命題：假設(shè)x2＞0，那么x＞0．假命題．否命題：假設(shè)x≤0，那么x2≤0．假命題．逆否命題：假設(shè)x2≤0，那么x≤0．真命題．2.“假設(shè)p那么q〞形式的命題，其中有的命題為真，有的命題為假．“假設(shè)p那么q〞為真，即如果p成立，那么q一定成立，記作pq或qp．“假設(shè)p那么q〞為假，即如果p成立，那么q不一定成立，即由p推不出q，記作pq．［進一步的問題］“假設(shè)x＞0，那么x2＞0”，為真，可記作“pq〞．〔1〕x＞0是x2＞0的什么條件〔2〕x2＞0是x＞0的什么條件二、建設(shè)模型1.學(xué)生分析討論，教師點拔〔1〕x＞0x2＞０，x＞0是x2＞0的什么條件在這個問題中，“x＞0〞是“條件〞，“x2＞0”是“結(jié)論〞；x＞0x2＞0表示假設(shè)“條件〞成立，那么“結(jié)論〞一定成立，說明“條件〞蘊涵“結(jié)論〞，說明“條件〞是“結(jié)論〞的充分條件．〔2〕x2＞0x＞0，x2＞0是x＞0的什么條件在這個問題中，“x2＞0”是“條件〞，“x＞0〞是“結(jié)論〞；x＞0x2＞0表示假設(shè)“結(jié)論〞成立，那么“條件〞一定成立，說明“結(jié)論〞蘊涵“條件〞，即假設(shè)“條件〞成立，那么“結(jié)論〞不一定成立，說明“結(jié)論〞是“條件〞的必要條件．2.師生共同參與，給出充分條件、必要條件的定義如果pq，那么，p是q的充分條件，q是p的必要條件．3.充要條件問題：記p：三角形的三條邊相等，q：三角形的三個角相等．問：p是q的什么條件解：〔1〕pq，即p是q的充分條件．〔2〕qp，即p是q的必要條件．綜合〔1〕〔2〕，我們就說p是q的充要條件．如果pq，且qp，記作pq，這時，p既是q的充分條件，又是q的必要條件，那么就說p是q的充分必要條件，簡稱充要條件．4.提出問題，組織學(xué)生討論如何判斷充要條件〔1〕分清誰是條件p，誰是結(jié)論q．〔2〕進展兩次推理或判斷，即判斷pq是否成立，qp是否成立．〔3〕根據(jù)〔2〕寫出結(jié)論．三、解釋應(yīng)用［例題］1.指出以下各組命題中，p是q的什么條件，q是p的什么條件．〔1〕p：x＞0；q：x2＞0．〔p是q的充分不必要條件，q是p的必要不充分條件〕〔2〕p：x＝y(tǒng)；q：x2＝y(tǒng)2．〔p是q的充分不必要條件，q是p的必要不充分條件〕〔3〕p：兩三角形面積相等；q：兩三角形全等．〔p是q的必要不充分條件，q是p的充分不必要條件〕〔4〕p：兩直線平行；q：內(nèi)錯角相等．〔p是q的充要條件，q是p的充要條件〕〔5〕p：x＝y(tǒng)；q：x2＋y2＝1．〔p是q的既不充分又不必要條件，q是p的既不充分又不必要條件〕2.指出以下各組命題中，p是q的什么條件．〔1〕p：〔x－2〕〔x－3〕＝0；q：x＝3．〔2〕p：四邊形對角線相等；q：四邊形是矩形．〔3〕p：a≠0；q：a·b≠0．〔4〕p：a＋5是無理數(shù)；q：a是無理數(shù)．〔5〕p：x≤5；q：x≤3．［練習(xí)］1.以下各組命題中的p是q的什么條件〔1〕p：x2＋y2＝0，q：x·y＝0．〔2〕p：m＞0；q：x2＋x－m＝0有實數(shù)根．〔3〕p：a＞b；q：a2＞b2．〔4〕p：x2＝3x＋4；q：x＝〔5〕p：x＞-1；q：x＞1．〔6〕p：a，b都是偶數(shù)；q：a＋b是偶數(shù)．2.〔1〕如果原命題假設(shè)p那么q為真而逆命題為假，那么p是q的條件．〔2〕如果原命題假設(shè)p那么q為假而逆命題為真，那么p是q的條件．〔3〕如果原命題假設(shè)p那么q與其逆命題都為真，那么p是q的條件．〔4〕如果原命題假設(shè)p那么q與其逆命題都為假，那么p是q的條件．四、拓展延伸1.p，q都是r的必要條件，S是r的充分條件，q是S的充分條件，那么，〔1〕S是q的什么條件〔2〕r是q的什么條件〔3〕p是q的什么條件2.“關(guān)于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一個負的實根〞的充要條件是什么3.“3x2－10x＋k＝0有兩個同號且不相等實根〞的充要條件是什么點評這篇案例注重新、舊知識的內(nèi)在聯(lián)系，以舊引新，過渡自然．首先，復(fù)習(xí)已學(xué)過的知識“四種命題〞和判斷命題的真假，并以此巧妙地引出了推斷符號pq，pq．其次，在此根基上，通過實例，創(chuàng)設(shè)問題情境，引出課題p是q的什么條件．最后，明確充要條件，并給出判斷充要條件的方法和步驟．環(huán)環(huán)相扣，層層深入，重點突出，抓住了關(guān)鍵．例題與練習(xí)由淺入深，符合學(xué)生的認知規(guī)律．拓展延伸富有新意，有利于培養(yǎng)學(xué)生的探索能力和創(chuàng)新意識，有利于培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和思維品質(zhì)，整個設(shè)計圓滿地完成了教學(xué)任務(wù)．6函數(shù)的概念教材分析與傳統(tǒng)課程內(nèi)容相比，這節(jié)內(nèi)容的最大變化就是函數(shù)概念的處理方式．事實上，“先講映射后講函數(shù)〞比“先講函數(shù)后講映射〞，有利于學(xué)生更好地理解函數(shù)概念的本質(zhì)．第一，在初中函數(shù)學(xué)習(xí)根基上繼續(xù)深入學(xué)習(xí)函數(shù)，銜接自然，利于學(xué)生在原有認知根基上提升對函數(shù)概念的理解；第二，直接進入函數(shù)概念的學(xué)習(xí)更有利于學(xué)生將注意力放在理解函數(shù)概念的學(xué)習(xí)上，而不必花大量精力學(xué)習(xí)映射，使其認識映射與函數(shù)的關(guān)系后才能理解函數(shù)的概念．函數(shù)概念是中學(xué)數(shù)學(xué)中最重要的概念之一．函數(shù)概念、思想貫穿于整個中學(xué)教材之中．通過實例，引導(dǎo)學(xué)生通過自己的觀察、分析、歸納和概括，獲得用集合與對應(yīng)語言刻畫的函數(shù)概念．對函數(shù)概念本質(zhì)的理解，首先應(yīng)通過與初中定義的比較、與其他知識的聯(lián)系以及不斷地應(yīng)用等，初步理解用集合與對應(yīng)語言刻畫的函數(shù)概念．其次在后續(xù)的學(xué)習(xí)中通過基本初等函數(shù)，引導(dǎo)學(xué)生以具體函數(shù)為依托、反復(fù)地、螺旋式上升地理解函數(shù)的本質(zhì)．教學(xué)重點是函數(shù)的概念，難點是對函數(shù)概念的本質(zhì)的理解．教學(xué)目標1.通過豐富實例，進一步體會函數(shù)是描述變量之間的依賴關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型．在此根基上學(xué)習(xí)用集合與對應(yīng)的語言來刻畫函數(shù)，體會對應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中的作用．2.了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會求一些簡單函數(shù)的定義域和值域．3.了解映射的概念．任務(wù)分析學(xué)生在初中對函數(shù)概念有了初步的認識．這節(jié)課的任務(wù)是在學(xué)生原認知水平的根基上，用集合與對應(yīng)的觀點認識函數(shù)，了解構(gòu)成函數(shù)定義的三要素，認識映射與函數(shù)是一般與特殊的關(guān)系．教學(xué)設(shè)計一、問題情景1.一枚炮彈發(fā)射后，經(jīng)過60s落到地面擊中目標．炮彈的射高為4410m，且炮彈距地面的高度h隨時間t的變化規(guī)律是h＝294t－4.9t2，〔0≤t≤60，0≤h≤4410〕．2.近幾十年來，大氣層中的臭氧迅速減少，因而出現(xiàn)了臭氧層空洞問題．以以下列圖中的曲線顯示了南極上空臭氧層空洞的面積從1979年到2001年的變化情況．3.國際上常用恩格爾系數(shù)反映一個國家人民生活質(zhì)量的上下，恩格爾系數(shù)越低，生活質(zhì)量越高．下表中恩格爾系數(shù)隨時間〔年〕變化的情況說明，“八五〞方案以來，我國城鎮(zhèn)居民的生活質(zhì)量發(fā)生了顯著變化．表6-1“八五〞方案以來我國城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)變化情況時間〔年〕19911992199319941995199619971998199920002001恩格爾系數(shù)〔%〕53.852.950.149.949.948.646.444.541.939.237.9問題：分析以上三個實例，對任一個給定的ｔ，射高ｈ、臭氧層空洞面積Ｓ、恩格爾系數(shù)是否有值與之對應(yīng)假設(shè)有，有幾個二、建設(shè)模型1.在學(xué)生充分分析和討論的根基上，總結(jié)歸納以上三個實例的共同特點在三個實例中，變量之間的關(guān)系都可以描述成兩個集合間的一種對應(yīng)關(guān)系：對于數(shù)集Ａ中的任一個ｘ，按照某個對應(yīng)關(guān)系，在數(shù)集Ｂ中都有唯一確定的值與之對應(yīng)．2.教師明晰通過學(xué)生的討論歸納出函數(shù)的定義：設(shè)A，B是非空的數(shù)集，如果按照某個確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任一個x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f〔x〕與它對應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)，記作：y＝f〔x〕，x∈A．其中，x叫作自變量，x的取值范圍A叫作函數(shù)的定義域，與x的值相對應(yīng)的y叫作函數(shù)值，函數(shù)值的集合：｛y｜y＝f〔x〕，x∈A｝叫作函數(shù)的值域．注意：〔1〕從函數(shù)的定義可以看出：函數(shù)由定義域、對應(yīng)法那么、值域三局部組成，它們稱為函數(shù)定義的三要素．其中，y＝f〔x〕的意義是：對任一x∈A，按照對應(yīng)法那么f有唯一y與之對應(yīng)．〔2〕在函數(shù)定義的三個要素中，核心是定義域和對應(yīng)法那么，因此，只有當函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系和定義域一樣時，我們才認為這兩個函數(shù)一樣．思考：函數(shù)f〔x〕＝與g〔x〕＝是同一函數(shù)嗎三、解釋應(yīng)用［例題］1.指出以下函數(shù)的定義域、值域、對應(yīng)法那么各是什么如何用集合與對應(yīng)的觀點描述它們〔1〕y＝1，〔x∈R〕．〔2〕y＝ax＋b，〔a≠0〕．〔3〕y＝ax2＋bx＋c，〔a＞0〕．〔4〕y＝kx，〔k≠0〕．解：〔3〕定義域：｛x｜x∈R｝，值域：｛y｜y≥｝對應(yīng)法那么f：自變量→a〔自變量〕2＋b·〔自變量〕＋c，即：f：x→ax2＋bx＋c〔1〕，〔2〕，〔4〕略．2.：函數(shù)f〔x〕＝〔1〕求函數(shù)的定義域．〔2〕求f〔－3〕，f〔〕的值．〔3〕當a＞0時，求f〔a〕，f〔a－1〕的值．目的：深化對函數(shù)概念的理解．3.求以下函數(shù)的值域．〔1〕f〔x〕＝2x．〔2〕f〔x〕＝1－x＋x2，〔x∈R〕．〔3〕y＝3－x，〔x∈N〕．解：〔1〕｛y｜y≠0｝．〔2〕｛y｜y≥｝．〔3〕｛3，2，1，0，－1，－2，…｝．4.〔1〕：f〔x〕＝x2，求f〔x－1〕．〔2〕：f〔x－1〕＝x2，求f〔x〕．目的：深化對函數(shù)符號的理解．解：〔1〕f〔x－1〕＝〔x－1〕2．〔2〕f〔x－1〕＝x2＝［〔x－1〕＋1］2＝〔x－1〕2＋2〔x－1〕＋1．∴f〔x〕＝x2＋2x＋1．［練習(xí)］1.求以下函數(shù)的定義域．2.二次函數(shù)f〔x〕＝x2＋a的值域是［－2，＋∞〕，求a的值．3.函數(shù)f〔x〕＝［x］，［x］表示不超過x的最大整數(shù)，求：〔1〕f〔3.5〕，〔2〕f〔－3.5〕．四、拓展延伸在函數(shù)定義中，將數(shù)集推廣到任意集合時，就可以得到映射的概念．集合A＝｛a1，a2｝到集合B＝｛b1，b2｝的映射有哪幾個解：共有4個不同的映射．思考：集合A＝｛a1，a2，a3｝到B＝｛b1，b2，b3｝的映射有多少個點評這篇案例設(shè)計完整，條理清楚．案例從三個方面〔實際是函數(shù)的三種表示方法，為后續(xù)內(nèi)容埋下伏筆〕各舉一個具體事例，從中概括出函數(shù)的本質(zhì)特征，得出函數(shù)概念，表達了由具體到抽象的認知規(guī)律，有利于學(xué)生理解函數(shù)概念，更好地表達了數(shù)學(xué)從實踐中來．例題、練習(xí)由淺入深，完整，全面．映射的概念作為函數(shù)概念的推廣，處理方式有新意．“拓展延伸〞的設(shè)計為學(xué)生加深對概念的理解，提供了素材．在“問題情景〞中的三個事例中，第一個例子中的“對應(yīng)關(guān)系〞比較明顯，后兩個例子那么不太明顯．如果能在教學(xué)設(shè)計中加以細致比照說明，效果會更好．7函數(shù)的表示方法教材分析函數(shù)的表示方法是對函數(shù)概念的深化與延伸．解析法、圖像法和列表法從三個不同的角度刻畫了自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系．這三種表示方法既可以獨立的表示函數(shù)，又可以相互轉(zhuǎn)化；既各有側(cè)重和優(yōu)勢，又各有劣勢和缺乏；既相互補充，又使函數(shù)隨自變量的變化而變化的規(guī)律直觀和具體．這節(jié)內(nèi)容，是初中有關(guān)內(nèi)容的深化、延伸與提高．教材在復(fù)習(xí)初中三種表示方法定義的根基上，分三個層次對三種表示方法進展了比較．第一個層次：回憶與比較；第二個層次：選擇與比較；第三個層次：轉(zhuǎn)化與比較．教學(xué)重點：畫簡單函數(shù)的圖像；教學(xué)難點：分段函數(shù)的解析式求法及其圖像的作法．教學(xué)目標1.在實際情景中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當?shù)姆椒ā踩鐖D像法，列表法，解析法〕表示函數(shù)．2.通過具體實例，了解簡單的分段函數(shù)，并解簡單應(yīng)用．3.能根據(jù)簡單的實際問題，建設(shè)函數(shù)關(guān)系式，畫出它們的圖像，進一步理解、體會函數(shù)的意義．任務(wù)分析學(xué)生在初中已經(jīng)對這節(jié)內(nèi)容有了初步的認識．這節(jié)的教學(xué)任務(wù)是在學(xué)生原認知水平的根基上，用對應(yīng)的觀點認識函數(shù)，會根據(jù)不同需要選擇恰當?shù)姆椒ū硎竞瘮?shù)，明確三種表示方法各有優(yōu)劣，在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化．為突出根據(jù)簡單的實際問題建設(shè)函數(shù)關(guān)系式，畫出它們的圖像這個重點，除學(xué)習(xí)教材中的實際問題外，又增加了練習(xí)．為突破分段函數(shù)這個難點增加了高斯函數(shù)作為練習(xí)．教學(xué)設(shè)計一、問題情景1.復(fù)習(xí)引入〔1〕復(fù)習(xí)初中三種函數(shù)的表示方法．〔2〕學(xué)生答復(fù)函數(shù)三種表示方法的定義．2.方法探究〔1〕復(fù)習(xí)與比較例：某種筆記本的單價是5元，買x〔x∈｛1，2，3，4，5｝〕個筆記本需要y元．試用三種表示方法表示函數(shù)y＝f〔x〕．〔2〕引導(dǎo)學(xué)生分析討論①三種表示方法的各自的特點是什么所有的函數(shù)都能用解析法表示嗎②函數(shù)圖像上的點滿足什么條件滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝f〔x〕的點〔x，y〕在什么地方二、建設(shè)模型1.教師明晰函數(shù)圖像既可以是連續(xù)的曲線，也可以是直線、折線、離散的點等．采用解析法的條件：變量間的對應(yīng)法那么明確；采用圖像法的條件：函數(shù)的變化規(guī)律清晰；采用列表法的條件：函數(shù)值的對應(yīng)清楚．函數(shù)圖像上的點滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝f〔x〕，滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝f〔x〕的點〔x，y〕在函數(shù)圖像上，故函數(shù)圖像即為點集p＝｛〔x，y〕｜y＝f〔x〕，x∈A｝．2.比較與分析例：下表是某校高一〔1〕班三名同學(xué)在高一學(xué)年度幾次數(shù)學(xué)測試的成績及班級平均分：表7-1

第一次第二次第三次第四次第五次第六次王偉988791928895張城907688758680趙磊686573727582班級平均分88.278.385.480.375.782.6請你對這三名同學(xué)在高一學(xué)年度的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況進展分析．學(xué)生分析討論：本例是用何種方法表示函數(shù)的要分析“成績〞與“測試次數(shù)〞之間的變化規(guī)律，用何種方法表示函數(shù)注意：在這里選擇何種表示方法，要根據(jù)問題的具體情況和三種表示方法的長處來確定．3.教師進一步明晰將“成績〞與“測試次數(shù)〞之間的函數(shù)關(guān)系用函數(shù)圖像表示出來，就能比較直觀地看到成績的變化情況．4.轉(zhuǎn)化與比較例：畫出函數(shù)y＝｜x｜的圖像．5.教師歸納、整理初中作函數(shù)圖像的基本方法是列表、描點和連線，但這個方法比較煩瑣．我們可以把初中學(xué)過的一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的圖像作為基本圖像，把要作的函數(shù)的圖像轉(zhuǎn)化為基本函數(shù)的圖像來解決．y＝｜x｜，假設(shè)不含“｜｜〞號，那么是我們初中學(xué)過的y＝x，現(xiàn)在含絕對值號，故去絕對值號，得分段函數(shù)而分段函數(shù)的圖像只要分段作出即可．三、解釋應(yīng)用［練習(xí)一］1.作出y＝｜x－1｜的圖像，與函數(shù)y＝｜x｜的圖像比較，并說出你發(fā)現(xiàn)了什么．2.作出y＝x2＋2｜x｜＋1的圖像．3.假設(shè)x2＋2｜x｜＋1＝m，當m為何值時，關(guān)于x的方程有四個解三個解兩個解無解［例題］某市空調(diào)公共汽車的票價按以下規(guī)那么制定：〔1〕乘坐汽車不超過5km，票價2元．〔2〕超過5km，每增加5km，票價增加1元．〔缺乏5km的按5km計算〕兩個相鄰的公共汽車站間相距約為1km，如果沿途〔包括起點站和終點站〕有21個汽車站，請根據(jù)題意寫出票價與路程之間的函數(shù)解析式，并畫出函數(shù)的圖像．學(xué)生分析討論：函數(shù)定義域是什么值域是什么圖像如何作教師引導(dǎo)學(xué)生寫出如下解答過程．解：設(shè)票價為y元，路程為xkm．如果某空調(diào)汽車運行路線中設(shè)21個汽車站，那么汽車行駛的路程約為20km，故自變量x的取值范圍是x∈〔0，20］，且x∈N，函數(shù)y的取值范圍是y∈｛2，3，4，5｝．由空調(diào)汽車票價的規(guī)定，可得到以下函數(shù)解析式：根據(jù)這個函數(shù)解析式，可畫出函數(shù)的圖像函數(shù)圖像共有20個點構(gòu)成．像例3、例4這樣的函數(shù)稱為分段函數(shù)，分段函數(shù)的圖像應(yīng)分段作．［練習(xí)二］1.以以下列圖都是函數(shù)的圖像嗎為什么〔D〕目的：進一步深化對函數(shù)概念和函數(shù)圖像的理解．2.某人從甲鎮(zhèn)去乙村，一開場沿公路乘車，后來沿小路步行，圖中橫軸表示運動的時間，縱軸表示此人與乙村的距離，那么較符合該人走法的圖像是〔〕．〔D〕3.小明從甲地去乙地，先以每小時5km的速度行進1h，然后休息10min，最后以每小時4km的速度行進了30min到達乙地．〔1〕試寫出速度v〔km／h〕關(guān)于出發(fā)時間t〔h〕的函數(shù)關(guān)系式，并畫出圖像．〔2〕試寫出小明離開甲地s〔km〕關(guān)于出發(fā)時間t〔h〕的函數(shù)關(guān)系，并畫出圖像．四、拓展延伸1.設(shè)x是任意的一個函數(shù)，y是不超過x的最大整數(shù)，記作：y＝［x］，問：x與y之間是否存在函數(shù)關(guān)系如果存在，寫出這個函數(shù)的解析式，并畫出這個函數(shù)的圖像．答案：存在函數(shù)關(guān)系，是著名的高斯函數(shù)．現(xiàn)只寫出x∈［－1，1］的函數(shù)關(guān)系：y＝圖像略．2.某家庭2004年1月份、2月份和3月份煤氣用量和支付費用如下表所示：表7-2月份用氣量煤氣費1月份4m4元2月份25m14元3月份35m19元該市煤氣的收費方法是：煤氣費＝基本費＋超額費＋保險費．假設(shè)每月量不超過最低限度Am3，那么只付基本費3元和每月每戶的定額保險C元；假設(shè)用氣量超過Am3，超過局部每立方米付B元，又知保險費C不超過5元．根據(jù)上面的表格，求A，B，C．分析：可設(shè)每月用氣量xm3，支付費用y元，建設(shè)函數(shù)解析式解之．解：設(shè)每月用氣xm3，支付費用y元，那么由0＜C≤5，得3＋C≤8．由第2和3月份的費用都大于8，得兩式相減，得B＝0.5，∴A＝2C＋3．再分析1月份的用氣量是否超過最低限度．不妨令A(yù)＜4，將x＝4代入3＋B〔x－A〕＋C，得3＋0.5［4－〔3＋2C〕］＋C＝4，由此推出3.5＝4，矛盾，∴A≥4，1月份付款方式為3＋C．∴3＋C＝4．∴C＝1．∴A＝5．∴A＝5，B＝0.5，C＝1．點評這篇案例分三個層次對三種表示方法進展了比較：第一層次：用一個簡單的例子對函數(shù)的三種表示方法進展了復(fù)習(xí)和比較；第二層次：對函數(shù)的三種表示方法進展了比較，選擇了適當?shù)姆椒ū硎竞瘮?shù)；第三層次：三種表示函數(shù)的方法的相互轉(zhuǎn)化．三個層次，層層深入，并對三種表示方法的優(yōu)、劣進了比較，重點突出．拓展延伸通過高斯函數(shù)，加深了學(xué)生對抽象函數(shù)、分段函數(shù)的認識．在注重三種表示方法的同時，加強了學(xué)生應(yīng)用意識的培養(yǎng)．8函數(shù)的單調(diào)性教材分析函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要特性之一，它把自變量的變化方向和函數(shù)值的變化方向定性地聯(lián)系在一起．在初中學(xué)習(xí)函數(shù)時，借助圖像的直觀性研究了一些函數(shù)的增減性．這節(jié)內(nèi)容是初中有關(guān)內(nèi)容的深化、延伸和提高．這節(jié)通過對具體函數(shù)圖像的歸納和抽象，概括出函數(shù)在某個區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù)的準確含義，明確指出函數(shù)的增減性是相對于某個區(qū)間來說的．教材中判斷函數(shù)的增減性，既有從圖像上進展觀察的直觀方法，又有根據(jù)其定義進展邏輯推理的嚴格方法，最后將兩種方法統(tǒng)一起來，形成根據(jù)觀察圖像得出猜想結(jié)論，進而用推理證明猜想的體系．這節(jié)內(nèi)容的重點是理解函數(shù)單調(diào)性的概念以及利用函數(shù)的單調(diào)性的概念證明函數(shù)的單調(diào)性，難點是理解函數(shù)單調(diào)性的概念．教學(xué)目標1.通過對增函數(shù)、減函數(shù)概念的歸納、抽象和概括，體驗數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生和形成過程，培養(yǎng)學(xué)生從特殊到一般的抽象概括能力．2.掌握增函數(shù)、減函數(shù)等函數(shù)單調(diào)性的概念，理解函數(shù)增減性的幾何意義，并能初步運用所學(xué)知識判斷或證明一些簡單函數(shù)的單調(diào)性，培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解能力和邏輯推理能力．3.通過對函數(shù)單調(diào)性的學(xué)習(xí)，初步體會知識發(fā)生、開展、運用的過程，培養(yǎng)學(xué)生形成科學(xué)的思維．任務(wù)分析這節(jié)內(nèi)容學(xué)生在初中已有了較為粗略的認識，即主要根據(jù)觀察圖像得出結(jié)論．這節(jié)函數(shù)增減性的定義，是運用數(shù)學(xué)符號將自然語言的描述提升到形式化的定義，學(xué)生承受起來可能比較困難．在引入定義時，要始終結(jié)合具體函數(shù)的圖像來進展，以增強直觀性，采用由具體到抽象，再由抽象到具體的思維方法，便于學(xué)生理解．對于定義，要注意對區(qū)間上所取兩點x1，x2的“任意性〞的理解，多給學(xué)生操作與思考的時間和空間．教學(xué)設(shè)計一、問題情境1.如圖為某市一天內(nèi)的氣溫變化圖：〔1〕觀察這個氣溫變化圖，說出氣溫在這一天內(nèi)的變化情況．〔2〕怎樣用數(shù)學(xué)語言刻畫在這一天內(nèi)“隨著時間的增大，氣溫逐漸升高或下降〞這一特征2.分別作出以下函數(shù)的圖像：〔1〕y＝2x．〔2〕y＝－x＋2．〔3〕y＝x2．根據(jù)三個函數(shù)圖像，分別指出當x∈〔－∞，＋∞〕時，圖像的變化趨勢二、建設(shè)模型1.首先引導(dǎo)學(xué)生對問題2進展探討———觀察分析觀察函數(shù)y＝2x，y＝－x＋2，y＝x2圖像，可以發(fā)現(xiàn)：y＝2x在〔－∞，＋∞〕上、y＝x2在〔０，＋∞〕上的圖像由左向右都是上升的；y＝－x＋2在〔－∞，＋∞〕上、y＝x2在〔－∞，０〕上的圖像由左向右都是下降的．函數(shù)圖像的“上升〞或“下降〞反映了函數(shù)的一個基本性質(zhì)———單調(diào)性．那么，如何描述函數(shù)圖像“上升〞或“下降〞這個圖像特征呢以函數(shù)y＝x2，x∈〔－∞，０〕為例，圖像由左向右下降，意味著“隨著x的增大，相應(yīng)的函數(shù)值y＝f〔x〕反而減小〞，如何量化呢取自變量的兩個不同的值，如x1＝－5，x2＝－3，這時有x1＜x2，f〔x1〕＞f〔x2〕，但是這種量化并不準確．因此，x1，x2應(yīng)具有“任意性〞．所以，在區(qū)間〔－∞，0〕上，任取兩個x1，x2得到f〔x1〕＝，f〔x2〕＝．當x1＜x2時，都有f〔x1〕＞f〔x2〕．這時，我們就說f〔x〕＝x2在區(qū)間〔－∞，0〕上是減函數(shù)．注意：在這里，要提示學(xué)生如何由直觀圖像的變化規(guī)律，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，即自變量ｘ變化時對函數(shù)值y的影響．必要時，對x，y可舉出具體數(shù)值，進展引導(dǎo)、歸納和總結(jié)．這里的“都有〞是對應(yīng)于“任意〞的．2.在學(xué)生討論歸納函數(shù)單調(diào)性定義的根基上，教師明晰———抽象概括設(shè)函數(shù)f〔x〕的定義域為I：如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1，x2，當x1＜x2時，都有f〔x1〕＜f〔x2〕，那么我們就說函數(shù)f〔x〕在區(qū)間Ｄ上是增函數(shù)［如圖8-2〔1〕］．如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1，x2，當x1＜x2時，都有f〔x1〕＞f〔x2〕，那么我們就說函數(shù)f〔x〕在區(qū)間Ｄ上是減函數(shù)［如圖8-2〔2〕］．如果函數(shù)y＝f〔x〕在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么我們就說函數(shù)y＝f〔x〕在這一區(qū)間具有〔嚴格的〕單調(diào)性，區(qū)間D叫作y＝f〔x〕的單調(diào)區(qū)間．3.提出問題，組織學(xué)生討論〔1〕定義在R上的函數(shù)f〔x〕，滿足f〔2〕＞f〔1〕，能否判斷函數(shù)f〔x〕在R是增函數(shù)〔2〕定義在R上函數(shù)f〔x〕在區(qū)間〔－∞，0］上是增函數(shù)，在區(qū)間〔0，＋∞〕上也是增函數(shù)，判斷函數(shù)f〔s〕在R上是否為增函數(shù)．〔3〕觀察問題情境1中氣溫變化圖像，根據(jù)圖像說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及在每一單調(diào)區(qū)間上，它是增函數(shù)還是減函數(shù)．強調(diào)：定義中x1，x2是區(qū)間D上的任意兩個自變量；函數(shù)的單調(diào)性是相對于某一區(qū)間而言的．三、解釋應(yīng)用［例題］1.證明函數(shù)f〔x〕＝2x＋1，在〔－∞，＋∞〕是增函數(shù)．注：要標準解題格式．2.證明函數(shù)f〔x〕＝，在區(qū)間〔－∞，0〕和〔0，＋∞〕上都是減函數(shù)．思考：能否說，函數(shù)f〔x〕＝在定義域〔－∞，0〕∪〔0，＋∞〕上是減函數(shù)3.設(shè)函數(shù)y＝f〔x〕在區(qū)間D上保號〔恒正或恒負〕，且f〔x〕在區(qū)間D上為增函數(shù)，求證：f〔x〕＝在區(qū)間D上為減函數(shù)．證明：設(shè)x1，x2∈Ｄ，且x1＜x2，∵f〔x〕在區(qū)間D上保號，∴f〔x1〕f〔x2〕＞0．又f〔x〕在區(qū)間D上為增函數(shù)，∴f〔x1〕－f〔x2〕＜0，從而g〔x1〕－g〔x2〕＞0，∴g〔x〕在D上為減函數(shù)．［練習(xí)］1.證明：〔1〕函數(shù)f〔x〕＝在〔0，＋∞〕上是增函數(shù)．〔2〕函數(shù)f〔x〕＝x2－x在〔－∞，］上是減函數(shù)．2.判斷函數(shù)的單調(diào)性，并寫出相應(yīng)的單調(diào)區(qū)間．3.如果函數(shù)y＝f〔x〕是R上的增函數(shù)，判斷g〔x〕＝kf〔x〕，〔k≠0〕在R上的單調(diào)性．四、拓展延伸1.根據(jù)圖像，簡要說明近150年來人類消耗能源的構(gòu)造變化情況，并對未來100年能源構(gòu)造的變化趨勢作出預(yù)測．2.判斷二次函數(shù)f〔x〕＝ax2＋bx＋c，〔a≠0〕的單調(diào)性，并用定義加以證明．3.如果自變量的改變量Δx＝x2－x1＜0，函數(shù)值的改變量Δy＝f〔x2〕－f〔x1〕＞0，那么函數(shù)f〔x〕在區(qū)間D上是增函數(shù)還是減函數(shù)4.函數(shù)值的改變量與自變量的改變量的比叫作函數(shù)f〔x〕在x1，x2之間的平均變化率．〔1〕根據(jù)函數(shù)的平均變化率判斷y＝f〔x〕在區(qū)間D上是增函數(shù)還是減函數(shù)．〔2〕比值的大小與函數(shù)值增長的快慢有什么關(guān)系點評這篇案例設(shè)計完整，思路清晰．案例首先通過實例闡述了函數(shù)單調(diào)性產(chǎn)生的背景，歸納、抽象概括出了增函數(shù)、減函數(shù)的定義，充分表達了數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)是數(shù)學(xué)思維過程的教學(xué)，符合新課程標準的精神．例題與練習(xí)由淺入深，完整，全面．“拓展延伸〞的設(shè)計有新意，有深度，為學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力、創(chuàng)造能力的培養(yǎng)提供了平臺．這篇案例的突出特點，表達在如下幾個方面：1.強調(diào)對基本概念和基本思想的理解和掌握由于數(shù)學(xué)高度抽象的特點，注重表達基本概念的來龍去脈．在數(shù)學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從具體實例抽象出數(shù)學(xué)概念的過程，在初步運用中逐步理解概念的本質(zhì)．2.注重聯(lián)系，提高對數(shù)學(xué)整體的認識數(shù)學(xué)的開展既有內(nèi)在的動力，也有外在的動力．在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)中，要注重數(shù)學(xué)的不同分支和不同內(nèi)容之間的聯(lián)系，數(shù)學(xué)與日常生活的聯(lián)系，數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的聯(lián)系．例如，通過研討本節(jié)課“拓展延伸〞中的第1個問題，可以大大提高了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動性．3.注重數(shù)學(xué)知識與實際的聯(lián)系，開展學(xué)生的應(yīng)用意識和能力在數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)注重開展學(xué)生的應(yīng)用意識；通過豐富的實例引入數(shù)學(xué)知識，引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題，經(jīng)歷探索、解決問題的過程，體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，幫助學(xué)生認識到：數(shù)學(xué)與我有關(guān)，與實際生活有關(guān)；數(shù)學(xué)是有用的，我要用數(shù)學(xué)，我能用數(shù)學(xué)．9函數(shù)的奇偶性教材分析函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的重要性質(zhì)，是對函數(shù)概念的深化．它把自變量取相反數(shù)時函數(shù)值間的關(guān)系定量地聯(lián)系在一起，反映在圖像上為：偶函數(shù)的圖像關(guān)于ｙ軸對稱，奇函數(shù)的圖像關(guān)于坐標原點成中心對稱．這樣，就從數(shù)、形兩個角度對函數(shù)的奇偶性進展了定量和定性的分析．教材首先通過對具體函數(shù)的圖像及函數(shù)值對應(yīng)表歸納和抽象，概括出了函數(shù)奇偶性的準確定義．然后，為深化對概念的理解，舉出了奇函數(shù)、偶函數(shù)、既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)和非奇非偶函數(shù)的實例．最后，為加強前后聯(lián)系，從各個角度研究函數(shù)的性質(zhì)，講清了奇偶性和單調(diào)性的聯(lián)系．這節(jié)課的重點是函數(shù)奇偶性的定義，難點是根據(jù)定義判斷函數(shù)的奇偶性．教學(xué)目標1.通過具體函數(shù)，讓學(xué)生經(jīng)歷奇函數(shù)、偶函數(shù)定義的討論，體驗數(shù)學(xué)概念的建設(shè)過程，培養(yǎng)其抽象的概括能力．2.理解、掌握函數(shù)奇偶性的定義，奇函數(shù)和偶函數(shù)圖像的特征，并能初步應(yīng)用定義判斷一些簡單函數(shù)的奇偶性．3.在經(jīng)歷概念形成的過程中，培養(yǎng)學(xué)生歸納、抽象概括能力，體驗數(shù)學(xué)既是抽象的又是具體的．任務(wù)分析這節(jié)內(nèi)容學(xué)生在初中雖沒學(xué)過，但已經(jīng)學(xué)習(xí)過具有奇偶性的具體的函數(shù)：正比例函數(shù)y＝kx，反比例函數(shù)，〔k≠0〕，二次函數(shù)y＝ax2，〔a≠0〕，故可在此根基上，引入奇、偶函數(shù)的概念，以便于學(xué)生理解．在引入概念時始終結(jié)合具體函數(shù)的圖像，以增加直觀性，這樣更符合學(xué)生的認知規(guī)律，同時為闡述奇、偶函數(shù)的幾何特征埋下了伏筆．對于概念可從代數(shù)特征與幾何特征兩個角度去分析，讓學(xué)生理解：奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義域是關(guān)于原點對稱的非空數(shù)集；對于在有定義的奇函數(shù)y＝f〔x〕，一定有f〔0〕＝0；既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)的函數(shù)有f〔x〕＝0，x∈R．在此根基上，讓學(xué)生了解：奇函數(shù)、偶函數(shù)的矛盾概念———非奇非偶函數(shù)．關(guān)于單調(diào)性與奇偶性關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生拓展延伸，可以取得理想效果．教學(xué)設(shè)計一、問題情景1.觀察如下兩圖，思考并討論以下問題：〔1〕這兩個函數(shù)圖像有什么共同特征〔2〕相應(yīng)的兩個函數(shù)值對應(yīng)表是如何表達這些特征的可以看到兩個函數(shù)的圖像都關(guān)于y軸對稱．從函數(shù)值對應(yīng)表可以看到，當自變量x取一對相反數(shù)時，相應(yīng)的兩個函數(shù)值一樣．對于函數(shù)f〔x〕＝x2，有f〔－3〕＝9＝f〔3〕，f〔－2〕＝4＝f〔2〕，f〔－1〕＝1＝f〔1〕．事實上，對于R內(nèi)任意的一個x，都有f〔－x〕＝〔－x〕2＝x2＝f〔x〕．此時，稱函數(shù)y＝x2為偶函數(shù)．2.觀察函數(shù)f〔x〕＝x和f〔x〕＝的圖像，并完成下面的兩個函數(shù)值對應(yīng)表，然后說出這兩個函數(shù)有什么共同特征．可以看到兩個函數(shù)的圖像都關(guān)于原點對稱．函數(shù)圖像的這個特征，反映在解析式上就是：當自變量ｘ取一對相反數(shù)時，相應(yīng)的函數(shù)值f〔x〕也是一對相反數(shù)，即對任一x∈R都有f〔－x〕＝－f〔x〕．此時，稱函數(shù)y＝f〔x〕為奇函數(shù)．二、建設(shè)模型由上面的分析討論引導(dǎo)學(xué)生建設(shè)奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義1.奇、偶函數(shù)的定義如果對于函數(shù)f〔x〕的定義域內(nèi)任意一個x，都有f〔－x〕＝－f〔x〕，那么函數(shù)f〔x〕就叫作奇函數(shù)．如果對于函數(shù)f〔x〕的定義域內(nèi)任意一個x，都有f〔－x〕＝f〔x〕，那么函數(shù)f〔x〕就叫作偶函數(shù)．2.提出問題，組織學(xué)生討論〔1〕如果定義在R上的函數(shù)f〔x〕滿足f〔－2〕＝f〔2〕，那么f〔x〕是偶函數(shù)嗎〔f〔x〕不一定是偶函數(shù)〕〔2〕奇、偶函數(shù)的圖像有什么特征〔奇、偶函數(shù)的圖像分別關(guān)于原點、y軸對稱〕〔3〕奇、偶函數(shù)的定義域有什么特征〔奇、偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱〕三、解釋應(yīng)用［例題］1.判斷以下函數(shù)的奇偶性．注：①標準解題格式；②對于〔5〕要注意定義域x∈〔－1，1］．2.：定義在R上的函數(shù)f〔x〕是奇函數(shù)，當x＞0時，f〔x〕＝x〔1＋x〕，求f〔x〕的表達式．解：〔1〕任取x＜0，那么－x＞0，∴f〔－x〕＝－x〔1－x〕，而f〔x〕是奇函數(shù)，∴f〔－x〕＝－f〔x〕．∴f〔x〕＝x〔1－x〕．〔2〕當x＝0時，f〔－0〕＝－f〔0〕，∴f〔0〕＝－f〔0〕，故f〔0〕＝0．3.：函數(shù)f〔x〕是偶函數(shù)，且在〔－∞，0〕上是減函數(shù)，判斷f〔x〕在〔0，＋∞〕上是增函數(shù)，還是減函數(shù)，并證明你的結(jié)論．解：先結(jié)合圖像特征：偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱，猜想f〔x〕在〔0，＋∞〕上是增函數(shù)，證明如下：任取x1＞x2＞0，那么－x1＜－x2＜0．∵f〔x〕在〔－∞，0〕上是減函數(shù)，∴f〔－x1〕＞f〔－x2〕．又f〔x〕是偶函數(shù)，∴f〔x1〕＞f〔x2〕．∴f〔x〕在〔0，＋∞〕上是增函數(shù)．思考：奇函數(shù)或偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的兩個區(qū)間上的單調(diào)性有何關(guān)系［練習(xí)］1.：函數(shù)f〔x〕是奇函數(shù)，在［a，b］上是增函數(shù)〔b＞a＞0〕，問f〔x〕在［－b，－a］上的單調(diào)性如何．2.f〔x〕＝－x3｜x｜的大致圖像可能是〔〕3.函數(shù)f〔x〕＝ax2＋bx＋c，〔a，b，c∈R〕，當a，b，c滿足什么條件時，〔1〕函數(shù)f〔x〕是偶函數(shù)．〔2〕函數(shù)f〔x〕是奇函數(shù)．4.設(shè)f〔x〕，g〔x〕分別是R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，并且f〔x〕＋g〔x〕＝x〔x＋1〕，求f〔x〕，g〔x〕的解析式．四、拓展延伸1.有既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)的函數(shù)嗎假設(shè)有，有多少個2.設(shè)f〔x〕，g〔x〕分別是R上的奇函數(shù)，偶函數(shù)，試研究：〔1〕F〔x〕＝f〔x〕·g〔x〕的奇偶性．〔2〕G〔x〕＝｜f〔x〕｜＋g〔x〕的奇偶性．3.a∈R，f〔x〕＝a－，試確定a的值，使f〔x〕是奇函數(shù)．4.一個定義在Ｒ上的函數(shù)，是否都可以表示為一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的和的形式點評這篇案例設(shè)計由淺入深，由具體的函數(shù)圖像及對應(yīng)值表，抽象概括出了奇、偶函數(shù)的定義，符合學(xué)生的認知規(guī)律，有利于學(xué)生理解和掌握．應(yīng)用深化的設(shè)計層層遞進，深化了學(xué)生對奇、偶函數(shù)概念的理解和應(yīng)用．拓展延伸為學(xué)生思維能力、創(chuàng)新能力的培養(yǎng)提供了平臺．10二次函數(shù)教材分析二次函數(shù)是重要的基本函數(shù)之一，由于它存在最值，因此，其單調(diào)性在實際問題中有廣泛的應(yīng)用，并且它與前面學(xué)過的二次方程有密切聯(lián)系，又是后面學(xué)習(xí)解一元二次不等式的根基．二次函數(shù)在初中學(xué)生已學(xué)過，主要是定義和解析式，這里，在此根基上，接著學(xué)習(xí)二次函數(shù)的性質(zhì)與圖像，進而使學(xué)生對二次函數(shù)有一個比較完整的認識．本節(jié)先研究特殊的二次函數(shù)y＝ax2，〔a≠0〕的圖像與a值的關(guān)系，這可通過a在0的附近取值畫圖觀察得到．然后，通過一個實例，如y＝x2＋4x＋6，研討二次函數(shù)的性質(zhì)與圖像．最后，總結(jié)出一般性結(jié)論．這節(jié)內(nèi)容的重點是二次函數(shù)的性質(zhì)，即頂點坐標、對稱軸方程、二次函數(shù)的單調(diào)性及其圖像，難點是用配方法把y＝ax2＋bx＋c的形式轉(zhuǎn)化為y＝a〔x－h(huán)〕2＋k的形式．教學(xué)目標1.通過一個例子研究二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，得到一般性結(jié)論，培養(yǎng)學(xué)生歸納、抽象能力．2.掌握二次函數(shù)的概念、表達式、圖像與性質(zhì)．會用配方法解決有關(guān)問題，能熟練地求二次函數(shù)的最值．3.能初步運用二次函數(shù)解決一些實際問題，培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力．任務(wù)分析學(xué)習(xí)這節(jié)內(nèi)容時要先復(fù)習(xí)一下學(xué)生初中學(xué)過的二次函數(shù)的有關(guān)問題．為了得到y(tǒng)＝ax2，〔a≠0〕的圖像與a的關(guān)系以及二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的性質(zhì)，這里遵循由特例到一般的原那么，充分利用圖像的直觀性，以便學(xué)生承受．在這一過程中，應(yīng)講明配方法的操作過程．教學(xué)設(shè)計一、復(fù)習(xí)引申1.什么是二次函數(shù)2.在同一坐標系中作出以下函數(shù)的圖像．〔1〕y＝－3x2．〔2〕y＝－2x2．〔3〕y＝－x2．〔4〕y＝－0.5x2．〔5〕ｙ＝0.5x2．〔6〕y＝x2．〔7〕y＝2x2．〔8〕y＝3x2．3.學(xué)生討論：函數(shù)y＝ax2中系數(shù)a的取值與它的圖像形狀有何關(guān)系4.教師明晰：在a從－3逐漸變化到＋3的過程中，拋物線開口向下并逐漸變大，當a＝0時，y＝0，拋物線變?yōu)閤軸，然后拋物線開口向上，并逐漸變?。栴}情境二次函數(shù)f〔x〕＝x2＋4x＋6．〔1〕求它與x軸的交點坐標．〔2〕問：它有沒有最值假設(shè)有最大〔小〕值，最大〔小〕值是多少試求出此時對應(yīng)的自變量ｘ的值．〔3〕畫出它的圖像．〔4〕它的圖像有沒有對稱軸如果有，位置如何〔5〕確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．1.先讓學(xué)生獨立解答問題1，然后師生共同確定答案〔1〕令y＝0，即x2＋4x＋6＝０，解得x1＝－6，x2＝－2．∴與ｘ軸交于兩點〔－6，0〕，〔－2，0〕．〔2〕將原式配方，得f〔x〕＝x2＋4x＋6＝〔x2＋8x＋12〕＝〔x2＋8x＋16－16＋12〕＝〔x＋4〕2－2．∵對任意x∈R，都有〔x＋4〕2≥0，∴f〔x〕≥－2，當且僅當x＝－4時，取“＝〞號．∴函數(shù)有最小值是－2，記作ymin＝－2，此時x＝－4．〔3〕以x＝－4為中間值，取x的一些值列表如下：表10-1ｘ…－7－6－5－4－3－2－1…ｙ…0－－2－0…描點，畫圖．〔4〕由上表及圖像推測：二次函數(shù)f〔x〕的圖像存在對稱軸，并且對稱軸過點〔－4，－2〕，與y軸平行．〔5〕觀察圖像知：二次函數(shù)f〔x〕在〔－∞，－4］上是減函數(shù)，在〔－4，＋∞〕上是增函數(shù)．2.相關(guān)問題〔1〕對稱軸與圖像〔拋物線〕的交點叫拋物線的頂點，函數(shù)f〔x〕＝x2＋4x＋6的頂點坐標是〔－4，－2〕．〔2〕如果將過點〔x1，0〕平行于ｙ軸的直線記作x＝x1，那么函數(shù)f〔x〕＝x2＋4x＋6的對稱軸為x＝－4．〔3〕把f〔x〕＝x2＋4x＋6轉(zhuǎn)化為f〔x〕＝〔x＋4〕2－2，采用的是“配方法〞．〔4〕思考：怎樣證明函數(shù)f〔x〕＝x2＋4x＋6的圖像關(guān)于直線x＝－4對稱［提示：證明f〔－4＋h〕＝f〔－4－h(huán)〕］〔5〕類似地，再對二次函數(shù)f〔x〕＝－x2－4x＋3研討上面四個方面的問題．三、建設(shè)模型對任何二次函數(shù)y＝f〔x〕＝ax2＋bx＋c，〔a≠0〕都可以通過配方法化為y＝a〔x＋〕2＋的形式，并且有如下性質(zhì)：1.二次函數(shù)f〔x〕＝ax2＋bx＋c，〔a≠0〕的圖像是一條拋物線，對稱軸方程為x＝－，頂點坐標是〔－，〕．2.〔1〕當a＞0時，拋物線開口向上，函數(shù)在〔－∞，－］上遞減，在［－，＋∞〕上遞增，當x＝－時，［f〔x〕］min＝．〔2〕當a＜0時，拋物線開口向下，函數(shù)在〔－∞，－］上遞增，在［－，＋∞〕上遞減，當x＝－時，［f〔x〕］max＝．思考：〔1〕二次函數(shù)的圖像一定與x軸或y軸相交嗎〔2〕函數(shù)y＝〔x－1〕2＋2，x∈［2，3］的最小值是2嗎四、解釋應(yīng)用［例題］1.求函數(shù)y＝3x2＋2x＋1的最小值和它的圖像的對稱軸，并指出它的單調(diào)性．注：可利用上面的性質(zhì)直接寫出答案．2.某商品在最近一個月內(nèi)價格f〔t〕與時間t的函數(shù)關(guān)系式是f〔t〕＝＋22，〔0≤t≤30，t∈N〕，售量g〔t〕與時間t的函數(shù)關(guān)系是g〔t〕＝－，〔0≤t≤30，t∈N〕．求這種商品的日銷售額的最大值．解：設(shè)該商品的日銷售額為S，那么∵t∈N，∴當t＝10或t＝11時，Smax＝808.5．答：這種商品日銷額的最大值是808.5．注：此題是應(yīng)用題，自變量t∈N，不能使．［練習(xí)］1.函數(shù)f〔x〕＝x2－2x－3，不計算函數(shù)值，試比較f〔－2〕和f〔4〕，f〔－3〕和f〔3〕的大?。?.二次函數(shù)y＝f〔x〕滿足f〔1＋x〕＝f〔1－x〕，且方程f〔x〕＝0有兩個實根x1，x2，求x1＋x2．3.函數(shù)f〔x〕＝2x2＋〔a－1〕x＋3在［2，＋∞〕上遞增，求a的取值范圍．4.拋物線y＝ax2＋bx與直線y＝ax＋b，〔ab≠0〕的圖像〔如以以下列圖〕只可能是〔〕．四、拓展延伸1.如果二次函數(shù)的圖像〔拋物線〕的頂點坐標為〔h，k〕，那么它的解析表達式如何如果二次函數(shù)的圖像〔拋物線〕與x軸的交點坐標為〔x1，0〕，〔x2，0〕，它的解析表達式又如何2.用函數(shù)單調(diào)性的定義研究f〔x〕＝ax2＋bx＋c，〔a＜0〕的單調(diào)性．3.證明函數(shù)f〔x〕＝ax2＋bx＋c，〔a≠0〕的圖像關(guān)于直線x＝－對稱．點評這篇案例講述了兩個方面的知識點，一是特殊的二次函數(shù)y＝ax2，〔a≠0〕的圖像隨ａ值變化的規(guī)律性，二是二次函數(shù)的性質(zhì)與圖像．設(shè)計恰當，重點突出，即重點講解二次函數(shù)的性質(zhì)與圖像．遵循由特殊到一般、由具體到抽象的原那么，使結(jié)論便于被學(xué)生理解．例題與練習(xí)的選配難易適中，代表廣泛，并有利于穩(wěn)固本課重點知識．拓展延伸中提出的三個問題都是二次函數(shù)的重要特征，實用性強，并且所得結(jié)論對解決有關(guān)問題能起到事半功倍的效果．11指數(shù)函數(shù)教材分析指數(shù)函數(shù)是基本初等函數(shù)之一，在數(shù)學(xué)中占有重要地位，在實際中有著十分廣泛的應(yīng)用，如細胞分裂、考古中所用的14C教材首先通過實例引入什么是指數(shù)函數(shù)．然后給出三個具體例子y＝2x，y＝10x，y＝〔〕x，用描點法畫其圖像，并借助圖像，觀察得出指數(shù)函數(shù)的定義域、值域、圖像過定點〔1，0〕及單調(diào)性．最后配備恰當?shù)牧?xí)題及練習(xí)．在知識的形成過程中，表達圖像觀察、歸納猜想的思想．這節(jié)內(nèi)容的重點是指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)，難點是應(yīng)用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解決相關(guān)問題．教學(xué)目標1.了解指數(shù)函數(shù)模型的實際背景．2.理解并掌握指數(shù)函數(shù)的定義、圖像及性質(zhì)．3.通過對指數(shù)函數(shù)的概念、性質(zhì)的歸納、抽象和概括，體驗數(shù)學(xué)知識的產(chǎn)生和形成的過程，培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力．4.在解決簡單實際問題的過程中，體會指數(shù)函數(shù)是一類重要的數(shù)學(xué)模型，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識．任務(wù)分析學(xué)生在學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容時，已學(xué)過了一些基本函數(shù)，如二次函數(shù)，并且學(xué)過有理指數(shù)冪及其運算，這均為學(xué)生學(xué)習(xí)這節(jié)內(nèi)容奠定了根基．由應(yīng)用問題建設(shè)指