高中數(shù)學(xué)必修1-5新課程創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計(jì)案例共50課時(shí)

...wd......wd......wd...1集合的概念和表示方法教材分析集合概念的基本理論，稱為集合論．它是近、現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要根基．一方面，許多重要的數(shù)學(xué)分支，如數(shù)理邏輯、近世代數(shù)、實(shí)變函數(shù)、泛函分析、概率統(tǒng)計(jì)、拓?fù)涞?，都建設(shè)在集合理論的根基上．另一方面，集合論及其反映的數(shù)學(xué)思想，在越來(lái)越廣泛的領(lǐng)域中得到應(yīng)用．在小學(xué)和初中數(shù)學(xué)中，學(xué)生已經(jīng)接觸過(guò)集合，對(duì)于諸如數(shù)集〔整數(shù)的集合、有理數(shù)的集合〕、點(diǎn)集〔直線、圓〕等，有了一定的感性認(rèn)識(shí)．這節(jié)內(nèi)容是初中有關(guān)內(nèi)容的深化和延伸．首先通過(guò)實(shí)例引出集合與集合元素的概念，然后通過(guò)實(shí)例加深對(duì)集合與集合元素的理解，最后介紹了集合的常用表示方法，包括列舉法，描述法，還給出了畫圖表示集合的例子．本節(jié)的重點(diǎn)是集合的基本概念與表示方法，難點(diǎn)是運(yùn)用集合的兩種常用表示方法———列舉法與描述法正確表示一些簡(jiǎn)單的集合．教學(xué)目標(biāo)1.初步理解集合的概念，了解有限集、無(wú)限集、空集的意義，知道常用數(shù)集及其記法．2.初步了解“屬于〞關(guān)系的意義，理解集合中元素的性質(zhì)．3.掌握集合的表示法，通過(guò)把文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言〔集合語(yǔ)言〕，培養(yǎng)學(xué)生的理解、化歸、表達(dá)和處理問(wèn)題的能力．任務(wù)分析這節(jié)內(nèi)容學(xué)生已在小學(xué)、初中有了一定的了解，這里主要根據(jù)實(shí)例引出概念．介紹集合的概念采用由具體到抽象，再由抽象到具體的思維方法，學(xué)生容易承受．在引出概念時(shí)，從實(shí)例入手，由具體到抽象，由淺入深，便于學(xué)生理解，緊接著再通過(guò)實(shí)例理解概念．集合的表示方法也是通過(guò)實(shí)例加以說(shuō)明，化難為易，便于學(xué)生掌握．教學(xué)設(shè)計(jì)一、問(wèn)題情境1.在初中，我們學(xué)過(guò)哪些集合2.在初中，我們用集合描述過(guò)什么學(xué)生討論得出：在初中代數(shù)里學(xué)習(xí)數(shù)的分類時(shí)，學(xué)過(guò)“正數(shù)的集合〞，“負(fù)數(shù)的集合〞；在學(xué)習(xí)一元一次不等式時(shí)，說(shuō)它的所有解為不等式的解集．在初中幾何里學(xué)習(xí)圓時(shí)，說(shuō)圓是到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合．幾何圖形都可以看成點(diǎn)的集合．3.“集合〞一詞與我們?nèi)粘Ｉ钪械哪男┰~語(yǔ)的意義相近學(xué)生討論得出：“全體〞、“一類〞、“一群〞、“所有〞、“整體〞，……4.請(qǐng)寫出“小于10”的所有自然數(shù)．0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．這些可以構(gòu)成一個(gè)集合．5.什么是集合二、建設(shè)模型1.集合的概念〔先具體舉例，然后進(jìn)展描述性定義〕〔1〕某種指定的對(duì)象集在一起就成為一個(gè)集合，簡(jiǎn)稱集．〔2〕集合中的每個(gè)對(duì)象叫作這個(gè)集合的元素．〔3〕集合中的元素與集合的關(guān)系：a是集合A中的元素，稱a屬于集合A，記作a∈A；a不是集合A中的元素，稱a不屬于集合A，記作aA．例：設(shè)B＝｛1，2，3｝，那么1∈B，4B．2.集合中的元素具備的性質(zhì)〔1〕確定性：集合中的元素是確定的，即給定一個(gè)集合，任何一個(gè)對(duì)象是否屬于這個(gè)集合的元素也就確定了．如上例，給出集合B，4不是集合的元素是可以確定的．〔2〕互異性：集合中的元素是互異的，即集合中的元素是沒(méi)有重復(fù)的．例：假設(shè)集合A＝｛a，b｝，那么a與b是不同的兩個(gè)元素．〔3〕無(wú)序性：集合中的元素?zé)o順序．例：集合｛1，2｝與集合｛2，1｝表示同一集合．3.常用的數(shù)集及其記法全體非負(fù)整數(shù)的集合簡(jiǎn)稱非負(fù)整數(shù)集〔或自然數(shù)集〕，記作N．非負(fù)整數(shù)集內(nèi)排除0的集合簡(jiǎn)稱正整數(shù)集，記作N*或N+；全體整數(shù)的集合簡(jiǎn)稱整數(shù)集，記作Z；全體有理數(shù)的集合簡(jiǎn)稱有理數(shù)集，記作Q；全體實(shí)數(shù)的集合簡(jiǎn)稱實(shí)數(shù)集，記作R．4.集合的表示方法［問(wèn)題］如何表示方程x2－3x＋2＝0的所有解〔1〕列舉法列舉法是把集合中的元素一一列舉出來(lái)的方法．例：x2－3x＋2＝0的解集可表示為｛1，2｝．〔2〕描述法描述法是用確定的條件表示某些對(duì)象是否屬于這個(gè)集合的方法．例：①x2－3x＋2＝0的解集可表示為｛x｜x2－3x＋2＝0｝．②不等式x－3＞2的解集可表示為｛x｜x－3＞2｝．③Venn圖法例：x2－3x＋2＝0的解集可以表示為〔1，2〕．5.集合的分類〔1〕有限集：含有有限個(gè)元素的集合．例如，A＝｛1，2｝．〔2〕無(wú)限集：含有無(wú)限個(gè)元素的集合．例如，N．〔3〕空集：不含任何元素的集合，記作．例如，｛x｜x2＋1＝0，x∈R｝＝．注：對(duì)于無(wú)限集，不宜采用列舉法．三、解釋應(yīng)用［例題］1.用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎疽韵录希?〕由1，2，3這三個(gè)數(shù)字抽出一局部或全部數(shù)字〔沒(méi)有重復(fù)〕所組成的一切自然數(shù)．〔2〕平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)O的距離等于定長(zhǎng)l〔l＞0〕的所有點(diǎn)P．〔3〕在平面a內(nèi)，線段AB的垂直平分線．〔4〕不等式2x－8＜2的解集．2.用不同的方法表示以下集合．〔1〕｛2，4，6，8｝．〔2〕｛x｜x2＋x－1＝0｝．〔3〕｛x∈N｜3＜x＜7｝．3.A＝｛x∈N｜66－x∈N｝．試用列舉法表示集合A．〔A＝｛0，3，5｝〕4.用描述法表示在平面直角坐標(biāo)中第一象限內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)的集合．［練習(xí)］1.用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎疽韵录希?〕構(gòu)成英語(yǔ)單詞mathematics〔數(shù)字〕的全體字母．〔2〕在自然集內(nèi)，小于1000的奇數(shù)構(gòu)成的集合．〔3〕矩形構(gòu)成的集合．2.用描述法表示以下集合．〔1〕｛3，9，27，81，…｝．〔2〕四、拓展延伸把以下集合“翻譯〞成數(shù)學(xué)文字語(yǔ)言來(lái)表達(dá)．〔1〕｛〔x，y〕｜y＝x2＋1，x∈R｝．〔2〕｛y｜y＝x2＋1，x∈R｝．〔3〕｛〔x，y〕｜y＝x2＋1，x∈R｝．〔4〕｛x｜y＝x2＋1，y∈N*｝．點(diǎn)評(píng)這篇案例注重新、舊知識(shí)的聯(lián)系與過(guò)渡，以舊引新，從學(xué)生的原有知識(shí)、經(jīng)歷出發(fā)，創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境；從實(shí)例引出集合的概念，再結(jié)合實(shí)例讓學(xué)生進(jìn)一步理解集合的概念，掌握集合的表示方法．非常注重實(shí)例的使用是這篇案例的突出特點(diǎn)．這樣做，通俗易懂，使學(xué)生便于學(xué)習(xí)和掌握．例題、練習(xí)由淺入深，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的理解能力、表達(dá)能力、思維能力大有裨益．拓展延伸注重?cái)?shù)學(xué)語(yǔ)言的轉(zhuǎn)化和訓(xùn)練，注重區(qū)分形似而質(zhì)異的數(shù)學(xué)問(wèn)題，加強(qiáng)了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解和認(rèn)識(shí)．2集合之間的關(guān)系教材分析集合之間的關(guān)系是集合運(yùn)算的根基和前提，是用集合觀點(diǎn)理清集合之間內(nèi)在聯(lián)系的橋梁和工具．這節(jié)內(nèi)容是對(duì)集合的基本概念的深化，延伸，首先通過(guò)類比、實(shí)例引出子集的概念，再結(jié)合實(shí)例加以說(shuō)明，然后通過(guò)實(shí)例說(shuō)明子集包括真子集和兩集合相等兩種情況．這節(jié)內(nèi)容的教學(xué)重點(diǎn)是子集的概念，教學(xué)難點(diǎn)是弄清元素與子集、屬于與包含之間的區(qū)別．教學(xué)目標(biāo)1.通過(guò)對(duì)子集概念的歸納、抽象和概括，體驗(yàn)數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生和形成的過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生的抽象、概括能力．2.了解集合的包含、相等關(guān)系的意義，理解子集、真子集的概念，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的理解能力．3.通過(guò)對(duì)集合之間的關(guān)系即子集的學(xué)習(xí)，初步體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生、開(kāi)展、運(yùn)用的過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)思維方法．任務(wù)分析這節(jié)內(nèi)容是在學(xué)生已經(jīng)掌握了集合的概念和表示方法以及兩個(gè)實(shí)數(shù)之間有大小關(guān)系的根基上，進(jìn)一步學(xué)習(xí)和研究?jī)蓚€(gè)集合之間的關(guān)系，采用從實(shí)例入手，由具體到抽象，由特殊到一般，再由抽象、一般到具體、特殊的方法，知識(shí)的產(chǎn)生、發(fā)生比較自然，易于學(xué)習(xí)、承受和掌握；采用分類討論的方法闡述子集包括真子集、等集〔兩集合相等〕兩種情況，這可以使學(xué)生更好地認(rèn)識(shí)子集、真子集、等集三者之間的內(nèi)在聯(lián)系．教學(xué)設(shè)計(jì)一、問(wèn)題情境1.元素與集合之間的關(guān)系是什么元素與集合是附屬關(guān)系，即對(duì)一個(gè)元素x是某集合A中的元素時(shí)，它們的關(guān)系為x∈A．假設(shè)一個(gè)對(duì)象x不是某集合A中的元素時(shí)，它們的關(guān)系為xA．2.集合有哪些表示方法列舉法，描述法，Venn圖法．?dāng)?shù)與數(shù)之間存在著大小關(guān)系，那么，兩個(gè)集合之間是不是也存在著類似的關(guān)系呢先看下面兩個(gè)集合：A＝｛1，2，3｝，B＝｛1，2，3，4，5｝．它們之間有什么關(guān)系呢二、建設(shè)模型1.引導(dǎo)學(xué)生分析討論集合A中的任何一個(gè)元素都是集合B中的元素．集合B中的元素4，5不是集合A中的元素．2.與學(xué)生共同歸納，明晰子集的定義對(duì)于上述問(wèn)題，教師點(diǎn)撥，A是B的子集，B不是A的子集．子集：對(duì)于兩個(gè)集合A，B，如果集合A中的任何一個(gè)元素都是集合B中的元素，即集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，記作AB〔或BA〕，就說(shuō)集合A是集合B的子集．用符號(hào)語(yǔ)言可表示為：如果任意元素x∈A，都有x∈B，那么AB．規(guī)定：空集是任何集合的子集，即對(duì)于任意一個(gè)集合A，有A．3.提出問(wèn)題，組織學(xué)生討論給出三個(gè)集合：A＝｛1，2，3｝，B＝｛1，2，3，4，5｝，C＝｛1，2，3｝．〔1〕A是B的子集嗎B是A的子集嗎〔2〕A是C的子集嗎C是A的子集嗎4.教師給出真子集與兩集合相等的定義上述問(wèn)題中，集合A是集合B的子集，并且集合B中有元素不屬于集合A，這時(shí)，我們就說(shuō)集合A是集合B的真子集；集合A是集合C的子集，且集合A與集合C的元素完全一樣，這時(shí)，我們就說(shuō)集合A與集合C相等．真子集：如果集合A是集合B的子集，即AB，并且B中至少有一個(gè)元素不屬于集合A，那么集合A叫作集合B的真子集，記作AB或BA．AB的Venn圖為兩集合相等：如果集合A中的每一個(gè)元素都是集合B中的元素，即AB，反過(guò)來(lái)，集合B的每一個(gè)元素也都是集合A中的元素，即BA，那么就說(shuō)集合A等于集合B，記作A＝B．A＝B的Venn圖為思考：設(shè)A，B是兩個(gè)集合，AB，AB，A＝B三者之間的關(guān)系是怎樣的5.子集、真子集的有關(guān)性質(zhì)由子集、真子集的定義可推知：〔1〕對(duì)于集合A，B，C，如果AB，BC，那么AC．〔2〕對(duì)于集合A，B，C，如果AB，BC，那么AC．〔3〕AA．〔4〕空集是任何非空集合的真子集．三、解釋應(yīng)用［例題］1.用適當(dāng)?shù)姆?hào)〔∈，，＝，，〕填空．〔1〕3___________｛1，2，3｝．〔2〕5___________｛5｝．〔3〕4___________｛5｝．〔4〕｛a｝___________｛a，b，c｝．〔5〕0___________．〔6〕｛a，b，c｝___________｛b，c｝．〔7〕___________｛0｝．〔8〕___________｛｝．〔9〕｛1，2｝___________｛2，1｝．〔10〕G＝｛x｜x是能被3整除的數(shù)｝___________H＝｛x｜x是能被6整除的數(shù)｝．2.寫出集合｛a，b｝的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集．3.說(shuō)出以下每對(duì)集合之間的關(guān)系．〔1〕A＝｛1，2，3，4，｝，B＝｛3，4｝．〔2〕P＝｛x｜x2＝1｝，Q＝｛-1，1｝．〔3〕N，N*．〔4〕C＝｛x∈R｜x2＝-1｝，D＝｛0｝．［練習(xí)］1.用適當(dāng)?shù)姆?hào)〔∈，，＝，，〕填空．〔1〕a___________｛a｝．〔2〕b___________｛a｝．〔3〕___________｛1，2｝．〔4〕｛a，b｝___________｛b，a｝．〔5〕A＝｛1，2，4｝___________B＝｛x｜x是8的正約數(shù)｝．2.求以下集合之間的關(guān)系，并用Venn圖表示．A＝｛x｜x是平行四邊形｝，B＝｛x｜x是菱形｝，C＝｛x｜x是矩形｝，D＝｛x｜x是正方形｝．拓展延伸填表表2-1集合集合中元素的個(gè)數(shù)子集的個(gè)數(shù)真子集的個(gè)數(shù)｛a｝1

｛a，b｝2

｛a，b，c｝3

｛a，b，c，d｝4

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〔1〕你能找出“集合中元素的個(gè)數(shù)〞與“子集的個(gè)數(shù)〞、“真子集的個(gè)數(shù)〞之間關(guān)系嗎〔2〕如果一個(gè)集合中有n個(gè)元素，你能寫出計(jì)算它的所有子集個(gè)數(shù)與真子集個(gè)數(shù)的公式嗎〔用n表達(dá)〕點(diǎn)評(píng)這篇案例構(gòu)造嚴(yán)謹(jǐn)，思路清晰，概念和關(guān)系的引出注重從具體到抽象、從特殊到一般、從感性到理性的認(rèn)識(shí)過(guò)程．具體地說(shuō)就是，先結(jié)合實(shí)例研究?jī)蓚€(gè)具體集合的關(guān)系，從而引出子集的定義，然后再結(jié)合實(shí)例說(shuō)明AB，包括AB，A＝B兩種情況，再給出真子集、等集的定義．這樣的處理方式，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，符合新課程的理念，例題與練習(xí)由淺入深，注重?cái)?shù)形結(jié)合，使學(xué)生從不同角度加深了對(duì)集合之間的關(guān)系的理解．拓展延伸注重培養(yǎng)學(xué)生從特殊到一般地解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力．值得注意的是，在引出子集定義時(shí)，最好明確指出，集合之間的“大小〞關(guān)系實(shí)質(zhì)上就是包含關(guān)系．3邏輯聯(lián)結(jié)詞教材分析在初中階段，學(xué)生已接觸了一些簡(jiǎn)單命題，對(duì)簡(jiǎn)單的推理方法有了一定程度的了解．在此根基上，這節(jié)課首先從簡(jiǎn)單命題出發(fā)，給出含有“或〞、“且〞、“非〞的復(fù)合命題的概念，然后借助真值表，給出判斷復(fù)合命題的真假的方法．在高中數(shù)學(xué)中，邏輯聯(lián)結(jié)詞是學(xué)習(xí)、掌握和使用數(shù)學(xué)語(yǔ)言的根基，是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的出發(fā)點(diǎn)．因此，在教學(xué)過(guò)程中，除了關(guān)注和初中知識(shí)密切的聯(lián)系之外，還應(yīng)借助實(shí)際生活中的具體例子，以便于學(xué)生理解和掌握邏輯聯(lián)結(jié)詞．教學(xué)重點(diǎn)是判斷復(fù)合命題真假的方法，難點(diǎn)是對(duì)“或〞的含義的理解．教學(xué)目標(biāo)1.理解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或〞、“且〞、“非〞的含義，了解“或〞、“且〞、“非〞的復(fù)合命題的構(gòu)成．2.能熟練判斷一些復(fù)合命題的真假性．3.通過(guò)邏輯聯(lián)結(jié)詞的學(xué)習(xí)，使學(xué)生初步體會(huì)數(shù)學(xué)語(yǔ)言的嚴(yán)密性，準(zhǔn)確性，并在今后數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和交流中，能夠準(zhǔn)確運(yùn)用邏輯聯(lián)結(jié)詞．任務(wù)分析在初中數(shù)學(xué)中，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了一些關(guān)于命題的初步知識(shí)，但是，對(duì)命題和開(kāi)語(yǔ)句的區(qū)別往往搞不清．因此，應(yīng)首先讓學(xué)生弄懂命題的含義，以便其掌握復(fù)合命題．由于邏輯中的“或〞、“且〞、“非〞與日常用語(yǔ)中的“或〞、“且〞、“非〞的意義不完全一樣，故要直接講清楚它們的意義，比較困難．因此，開(kāi)場(chǎng)時(shí)，不必深講，可以在學(xué)習(xí)了有關(guān)復(fù)合命題的真值表之后，再要求學(xué)生根據(jù)復(fù)合命題的真值表，對(duì)“或〞、“且〞、“非〞加以理解，這樣處理有利于掌握重點(diǎn)，突破難點(diǎn)．為了加深對(duì)“或〞、“且〞、“非〞的理解，最后應(yīng)設(shè)計(jì)一系列的習(xí)題加以穩(wěn)固、深化對(duì)知識(shí)的認(rèn)識(shí)程度．教學(xué)設(shè)計(jì)一、問(wèn)題情境生活中，我們要經(jīng)常用到許多有自動(dòng)控制功能的電器．例如，洗衣機(jī)在甩干時(shí)，如果“到達(dá)預(yù)定的時(shí)間〞或“機(jī)蓋被翻開(kāi)〞，就會(huì)停機(jī)，即當(dāng)兩個(gè)條件至少有一個(gè)滿足時(shí)，就會(huì)停機(jī)．與此對(duì)應(yīng)的電路，就叫或門電路．又如，電子保險(xiǎn)門在“鑰匙插入〞且“密碼正確〞兩個(gè)條件都滿足時(shí)，才會(huì)開(kāi)啟．與此對(duì)應(yīng)的電路，就叫與門電路．隨著高科技的開(kāi)展，諸多科學(xué)領(lǐng)域均離不開(kāi)類似以上的邏輯問(wèn)題．因此，我們有必要對(duì)簡(jiǎn)易邏輯加以研究．二、建設(shè)模型在初中，我們已學(xué)過(guò)命題，知道可以判斷真假的語(yǔ)句叫作命題．試分析以下8個(gè)語(yǔ)句，說(shuō)出哪些是命題，哪些不是命題，哪些是真命題，哪些是假命題．〔1〕12＞5．〔2〕3是12的約數(shù)．〔3〕是整數(shù)．〔4〕是整數(shù)嗎〔5〕x＞．〔6〕10可以被2或5整除．〔7〕菱形的對(duì)角線互相垂直且平分．〔8〕不是整數(shù)．〔可以讓學(xué)生答復(fù)，教師給出點(diǎn)評(píng)〕我們可以看出，〔1〕〔2〕是真命題；〔3〕是假命題；因?yàn)椤?〕不涉及真假；〔5〕不能判斷真假，所以〔4〕〔5〕都不是命題；〔6〕〔7〕〔8〕是真命題．其中，“或〞、“且〞、“非〞這些詞叫作邏輯聯(lián)結(jié)詞．像〔1〕〔2〕〔3〕這樣的命題，不含邏輯聯(lián)結(jié)詞，叫簡(jiǎn)單命題；像〔6〕〔7〕〔8〕這樣，由簡(jiǎn)單命題與邏輯聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的命題，叫復(fù)合命題．如果用小寫的拉丁字母p，q，r，s，…來(lái)表示命題〔這里應(yīng)明確〔6〕〔7〕〔8〕三個(gè)命題中p，q分別代表什么〕，那么上述復(fù)合命題〔6〕〔7〕〔8〕的構(gòu)成形式分別是p或q，p且q，非p．其中，非p也叫作命題p的否認(rèn)．對(duì)于以上三種復(fù)合命題，如何判斷其真假呢下面要求學(xué)生自己設(shè)計(jì)或真或假的命題來(lái)填下面表格：結(jié)合學(xué)生答復(fù)情況，將上面的表格補(bǔ)充完整，并給出真值表的定義．要求學(xué)生對(duì)每一真值表用一句話總結(jié)：〔1〕“非p〞形式的復(fù)合命題的真假與p的真假相反．〔2〕“p且q〞形式的復(fù)合命題當(dāng)p與q同為真時(shí)為真，其他情況時(shí)為假．〔3〕“p或q〞形式的復(fù)合命題當(dāng)p與q同為假時(shí)為假，其他情況時(shí)為真．三、解釋應(yīng)用［例題］1.分別指出以下各組命題構(gòu)成的“p或q〞、“p且q〞、“非p〞形式的復(fù)合命題的真假．〔1〕p：2＋2＝5，q：3＞2．〔2〕p：9是質(zhì)數(shù)，q：8是12的約數(shù)．〔3〕p：1∈｛1，2｝，q：｛1｝｛1，2｝．〔4〕p：｛0｝，q：＝｛0｝．注：引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步熟悉真值表．2.說(shuō)出以下復(fù)合命題的形式，并判斷其真假．〔1〕5≥5．〔2〕5≥1．解：〔1〕p或q形式．其中，p：5＞5，q：5＝5．p假，q真，∴p或q為真，即5≥5為真命題．〔2〕p或q形式．其中，p：5＞4，q：5＝4，p真，q假，∴p或q為真，即5≥4為真命題．［練習(xí)］1.命題：方程x2－1＝0的解是x＝±1，使用邏輯聯(lián)結(jié)詞的情況是〔〕．A.沒(méi)用使用邏輯聯(lián)結(jié)詞B.使用邏輯聯(lián)結(jié)詞“且〞C.使用邏輯聯(lián)結(jié)詞“或〞D.使用邏輯聯(lián)結(jié)詞“非〞〔C〕2.由以下命題構(gòu)成的“p或q〞、“p且q〞形式的復(fù)合命題均為真命題的是〔〕．A.p：4＋4＝9，q：7＞4B.p：a∈｛a，b，c｝，q：｛a｝｛ａ，ｂ，ｃ｝C.p：15是質(zhì)數(shù)，q：4是12的約數(shù)D.p：2是偶數(shù)，q：2不是質(zhì)數(shù)〔B〕四、拓展延伸在一些邏輯問(wèn)題中，當(dāng)字面上并未出現(xiàn)“或〞、“且〞、“非〞字樣時(shí)，應(yīng)從語(yǔ)句的陳述中搞清含義，從而解決問(wèn)題．例：小李參加全國(guó)數(shù)學(xué)聯(lián)賽，有三名同學(xué)對(duì)他作如下猜想：甲：小李非第一名，也非第二名；乙：小李非第一名，而是第三名；丙：小李非第三名，而是第一名．競(jìng)賽完畢后發(fā)現(xiàn)，一人全猜對(duì)，一人猜對(duì)一半，一人全猜錯(cuò)，問(wèn)：小李得了第幾名由上可知：甲、乙、丙均為“p且q〞形式，所以猜對(duì)一半者也說(shuō)了錯(cuò)誤“命題〞，即只有一個(gè)為真，所以可知是丙是真命題，因此小李得了第一名．還有一些邏輯問(wèn)題，應(yīng)從命題與命題之間關(guān)系去尋找解題思路．例：曾經(jīng)在校園內(nèi)發(fā)生過(guò)這樣一件事：甲、乙、丙、丁四名同學(xué)在教室前的空地上踢足球，突然足球飛向了教室的一扇窗戶，聽(tīng)到響聲后，李主任走了過(guò)來(lái)，看著一地碎玻璃，問(wèn)道：“玻璃是誰(shuí)打破的〞甲：是乙打破的；乙：不是我，是丁打破的；丙：肯定不是我打破的；?。阂以谌鲋e．現(xiàn)在只知道有一個(gè)人說(shuō)了真話，請(qǐng)你幫李主任分析：誰(shuí)打破了玻璃，誰(shuí)說(shuō)了真話．分析此題關(guān)鍵在于找清乙說(shuō)的與丁說(shuō)的是“p〞與“非p〞形式，因此說(shuō)真話者可能是乙，也可能不是乙，是?。纱朔治隹芍?，是丙打破的玻璃．點(diǎn)評(píng)這篇案例的突出特點(diǎn)是對(duì)知識(shí)的認(rèn)知由淺入深，層層漸進(jìn)．這篇案例的所有例子均結(jié)合學(xué)生的數(shù)學(xué)水平取自學(xué)生掌握的知識(shí)范圍之內(nèi)或者直接源于現(xiàn)實(shí)生活，這有利于學(xué)生對(duì)問(wèn)題的實(shí)質(zhì)的理解和掌握．如果在“建設(shè)模型〞的完畢時(shí)及時(shí)給出相關(guān)的例子，使學(xué)生正確區(qū)分哪些是簡(jiǎn)單命題，哪些是復(fù)合命題，學(xué)生的印象會(huì)更深．4四種命題教材分析在初中，學(xué)生接觸的簡(jiǎn)單的邏輯推理及命題間關(guān)系〔原命題和逆命題〕主要來(lái)源于幾何知識(shí)，有很強(qiáng)的幾何直觀性，便于掌握．高中學(xué)生要面對(duì)大量代數(shù)命題，因此，很有必要學(xué)習(xí)四種命題及四者之間的關(guān)系，以適應(yīng)高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的需要，這節(jié)課的主要教學(xué)目的就在于此．同時(shí)，這節(jié)課又是學(xué)習(xí)和運(yùn)用反證法這種基本解題方法的根基．這節(jié)課的重點(diǎn)是四種命題間的關(guān)系．學(xué)生現(xiàn)有的認(rèn)知水平雖然脫離了初中階段的簡(jiǎn)單幾何知識(shí)，但是新的知識(shí)體系并未形成，因此，隨著學(xué)生對(duì)概念理解的深入，這節(jié)課的例題將逐步引導(dǎo)學(xué)生理解幾何命題，進(jìn)而理解代數(shù)命題．這種處理方式符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律．教學(xué)目標(biāo)通過(guò)這節(jié)課的教與學(xué)，應(yīng)使學(xué)生初步理解四種命題及其關(guān)系，進(jìn)而使學(xué)生掌握簡(jiǎn)單的推理技能，開(kāi)展學(xué)生的思維能力．同時(shí)，幫助學(xué)生從幾何推理向代數(shù)推理過(guò)渡．任務(wù)分析在這節(jié)課的教學(xué)過(guò)程中，要注意控制教學(xué)要求，即只研究比較簡(jiǎn)單的命題，而且命題的條件和結(jié)論比較明顯；不研究含有邏輯聯(lián)結(jié)詞“或〞、“且〞、“非〞的命題的逆命題、否命題和逆否命題．這節(jié)中“假設(shè)p那么q〞形式的命題中的“p〞，“q〞可以都是命題，也可以不都是命題，不能等同于前面的復(fù)合命題．教學(xué)設(shè)計(jì)一、問(wèn)題情境在以前的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，有這樣的知識(shí)：菱形的對(duì)角線相互垂直．那么，這一真命題變一下形式是否真命題呢如：“如果一個(gè)四邊形對(duì)角線相互垂直，那么它是菱形〞，再如：“對(duì)角線不相互垂直的四邊形不是菱形〞．這些變形后的命題的真假是否和原命題有關(guān)呢為解決這一問(wèn)題，這節(jié)課我們就來(lái)學(xué)習(xí)“四種命題〞．二、問(wèn)題解決首先讓學(xué)生回憶初中學(xué)習(xí)過(guò)的有關(guān)命題的定義：互逆命題、原命題、逆命題．〔學(xué)生答復(fù)，教師補(bǔ)充完整〕例：如果原命題是〔1〕同位角相等，兩直線平行．讓學(xué)生說(shuō)出它的逆命題．〔2〕兩直線平行，同位角相等．再看下面的兩個(gè)命題：〔3〕同位角不相等，兩直線不平行．〔4〕兩直線不平行，同位角不相等．在命題〔1〕與命題〔3〕中，一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的條件的否認(rèn)和結(jié)論的否認(rèn)，這樣的兩個(gè)命題叫作互否命題．把其中一個(gè)命題叫作原命題，另一個(gè)就叫作原命題的否命題．在命題〔1〕與命題〔4〕中，一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論的否認(rèn)和條件的否認(rèn)，這樣的兩個(gè)命題叫作互為逆否命題．把其中一個(gè)命題叫作原命題，另一個(gè)就叫作原命題的逆否命題．換句話說(shuō)：〔1〕交換原命題的條件和結(jié)論，所得的命題是逆命題．〔2〕同時(shí)否認(rèn)原命題的條件和結(jié)論，所得命題是否命題．〔3〕交換原命題的條件和結(jié)論，并同時(shí)否認(rèn)，所得命題是逆否命題．一般地，用p和q分別表示原命題的條件和結(jié)論，用非p和非q分別表示p和q的否認(rèn)．于是，四種命題的形式就是：原命題：假設(shè)p那么q．逆命題：假設(shè)q那么p．否命題：假設(shè)非p那么非q．逆否命題：假設(shè)非q而非p．下面讓學(xué)生考慮這樣一個(gè)問(wèn)題：四種命題之間，任意兩個(gè)是什么關(guān)系〔學(xué)生答復(fù)，教師補(bǔ)充，最后出示以以下列圖〕給出一個(gè)命題：“假設(shè)a＝0，那么ab＝0．〞讓學(xué)生寫出其他三種命題，并判斷四個(gè)命題的真假，然后考慮其他三種命題的真假是否與原命題的真假有某種關(guān)系．不難發(fā)現(xiàn)如下關(guān)系：〔1〕原命題為真，它的逆命題不一定為真．〔2〕原命題為真，它的否命題不一定為真．〔3〕原命題為真，它的逆否命題一定為真．三、解釋應(yīng)用［例題］1.把以下命題先改寫成“假設(shè)p那么q〞的形式，再寫出它們的逆命題、否命題與逆否命題，并分別判斷它們的真假．〔1〕負(fù)數(shù)的平方是正數(shù)．〔2〕正方形的四條邊相等．分析：關(guān)鍵是找出原命題的條件p與結(jié)論q．解：〔1〕原命題可以寫成：假設(shè)一個(gè)數(shù)是負(fù)數(shù)，那么它的平方是正數(shù)．逆命題：假設(shè)一個(gè)數(shù)的平方是正數(shù)，那么它是負(fù)數(shù)．逆命題為假．否命題：假設(shè)一個(gè)數(shù)不是負(fù)數(shù)，那么它的平方不是正數(shù)．否命題為假．逆否命題：假設(shè)一個(gè)數(shù)的平方不是正數(shù)，那么它不是負(fù)數(shù)．逆否命題為真．〔2〕原命題可以寫成：假設(shè)一個(gè)四邊形是正方形，那么它的四條邊相等．逆命題：假設(shè)一個(gè)四邊形的四條邊相等，那么它是正方形．逆命題為假．否命題：假設(shè)一個(gè)四邊形不是正方形，那么它的四條邊不相等．否命題為假．逆否命題：假設(shè)一個(gè)四邊形的四條邊不相等，那么它不是正方形．逆否命題為真．2.設(shè)原命題是“當(dāng)c＞0時(shí)，假設(shè)a＞b，那么ac＞bc〞，寫出它的逆命題、否命題與逆否命題，并分別判斷它們的真假．分析：“當(dāng)c＞0時(shí)〞是大前提，寫其他命題時(shí)應(yīng)該保存，原命題的條件是a＞b，結(jié)論是ac＞bc．解：逆命題：當(dāng)c＞0時(shí)，假設(shè)ac＞bc，那么a＞b．逆命題為真．否命題：當(dāng)c＞0時(shí)，假設(shè)a≤b，那么ac≤bc．否命題為真．逆否命題：當(dāng)c＞0時(shí)，假設(shè)ac≤bc，那么a≤b．逆否命題為真．［練習(xí)］1.命題“假設(shè)a＞b，那么ac2＞bc2，〔a，b，c∈R〕〞與它的逆命題、否命題、逆否命題中，真命題個(gè)數(shù)為〔〕．A.3B.2C.1D.0〔B〕2.在命題“假設(shè)拋物線y＝ax2＋bx＋c的開(kāi)口向下，那么｛x｜ax2＋bx＋c＜0｝≠〞的逆命題、否命題、逆否命題中，以下結(jié)論成立的是〔〕．A.三命題都真B.三命題都假C.否命題真D.逆否命題真〔D〕四、拓展延伸在對(duì)某一命題的條件和結(jié)論否認(rèn)時(shí)，有些問(wèn)題，學(xué)生易出錯(cuò)．例如，對(duì)如下詞語(yǔ)的否認(rèn)：“任意的〞、“所有的〞、“都是〞和“全是〞等．下面以“全是〞為例進(jìn)展說(shuō)明：所謂“否認(rèn)〞，即其對(duì)立面，顯然“全是〞的對(duì)立面中除了“全不是〞之外，還有“局部也是〞這一局部．因此，“全是〞的對(duì)立面〔即否認(rèn)〕應(yīng)是“不全是〞，而不是“全不是〞．同樣，“任意的〞否認(rèn)應(yīng)是“某個(gè)〞，“所有的〞否認(rèn)應(yīng)是“存在一個(gè)〞或“存在一些〞，“都是〞的否認(rèn)是“不都是〞．例如，命題：假設(shè)x2＋y2＝0，那么x，y全是0．其否命題是：假設(shè)x2＋y2≠0，那么x，y不全是0．點(diǎn)評(píng)這篇案例涉及兩個(gè)問(wèn)題：一個(gè)是定義，一個(gè)是規(guī)律，即四種命題間的關(guān)系．為了加深學(xué)生的認(rèn)識(shí)，這篇案例突出了“學(xué)生參與〞，即讓學(xué)生通過(guò)例子認(rèn)識(shí)定義，在活動(dòng)中自己歸納、總結(jié)規(guī)律．同時(shí)，這篇案例又設(shè)計(jì)了適量的例題和練習(xí)，以穩(wěn)固學(xué)生在課堂活動(dòng)中掌握的知識(shí)．再者，這篇案例中所有例子都十分簡(jiǎn)單，但又極具有代表性，易于學(xué)生承受和理解，這也是學(xué)生能積極地參與到課堂活動(dòng)中去的一個(gè)必要條件．美中缺乏的是，這篇案例的個(gè)別環(huán)節(jié)對(duì)“反例〞的運(yùn)用稍顯薄弱．5充分條件與必要條件教材分析充分條件與必要條件是簡(jiǎn)易邏輯的重要內(nèi)容．學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)需要全面地理解概念，正確地進(jìn)展表述、判斷和推理，這就離不開(kāi)對(duì)充分條件與必要條件的掌握和運(yùn)用，而且它們也是認(rèn)識(shí)問(wèn)題、研究問(wèn)題的工具．這節(jié)內(nèi)容在“四種命題〞的根基上，通過(guò)假設(shè)干實(shí)例，總結(jié)出了充分條件、必要條件和充要條件的概念，給出了判斷充分條件、必要條件的方法和步驟．教學(xué)的重點(diǎn)與難點(diǎn)是關(guān)于充要條件的判斷．教學(xué)目標(biāo)1.結(jié)合實(shí)例，理解充分條件、必要條件、充要條件的意義．2.理解充要條件，掌握判斷充要條件的方法和步驟．3.通過(guò)充要條件的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的理解能力和邏輯推理能力，逐步提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力．任務(wù)分析這節(jié)內(nèi)容是學(xué)生在學(xué)習(xí)了“四種命題〞、會(huì)判斷一個(gè)命題的真假的根基上，主要根據(jù)“pq〞給出了充分條件、必要條件及充要條件．雖然從實(shí)例引入，但是學(xué)生對(duì)充分條件、必要條件的理解，特別是對(duì)必要條件的理解有一定困難．對(duì)于本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，首先要分清誰(shuí)是條件，誰(shuí)是結(jié)論，其次要進(jìn)展兩次推理或判斷．〔1〕假設(shè)“條件結(jié)論〞，那么條件是結(jié)論的充分條件，或稱結(jié)論是條件的必要條件．〔2〕假設(shè)“條件結(jié)論〞，那么條件是結(jié)論的不充分條件，或稱結(jié)論是條件的不必要條件．教學(xué)設(shè)計(jì)一、問(wèn)題情境［提出問(wèn)題］1.寫出命題“假設(shè)x＞0，那么x2＞0”的逆命題、否命題和逆否命題，并分別判斷原命題、逆命題、否命題、逆否命題的真假．原命題：假設(shè)x＞0，那么x2＞0．真命題．逆命題：假設(shè)x2＞0，那么x＞0．假命題．否命題：假設(shè)x≤0，那么x2≤0．假命題．逆否命題：假設(shè)x2≤0，那么x≤0．真命題．2.“假設(shè)p那么q〞形式的命題，其中有的命題為真，有的命題為假．“假設(shè)p那么q〞為真，即如果p成立，那么q一定成立，記作pq或qp．“假設(shè)p那么q〞為假，即如果p成立，那么q不一定成立，即由p推不出q，記作pq．［進(jìn)一步的問(wèn)題］“假設(shè)x＞0，那么x2＞0”，為真，可記作“pq〞．〔1〕x＞0是x2＞0的什么條件〔2〕x2＞0是x＞0的什么條件二、建設(shè)模型1.學(xué)生分析討論，教師點(diǎn)拔〔1〕x＞0x2＞０，x＞0是x2＞0的什么條件在這個(gè)問(wèn)題中，“x＞0〞是“條件〞，“x2＞0”是“結(jié)論〞；x＞0x2＞0表示假設(shè)“條件〞成立，那么“結(jié)論〞一定成立，說(shuō)明“條件〞蘊(yùn)涵“結(jié)論〞，說(shuō)明“條件〞是“結(jié)論〞的充分條件．〔2〕x2＞0x＞0，x2＞0是x＞0的什么條件在這個(gè)問(wèn)題中，“x2＞0”是“條件〞，“x＞0〞是“結(jié)論〞；x＞0x2＞0表示假設(shè)“結(jié)論〞成立，那么“條件〞一定成立，說(shuō)明“結(jié)論〞蘊(yùn)涵“條件〞，即假設(shè)“條件〞成立，那么“結(jié)論〞不一定成立，說(shuō)明“結(jié)論〞是“條件〞的必要條件．2.師生共同參與，給出充分條件、必要條件的定義如果pq，那么，p是q的充分條件，q是p的必要條件．3.充要條件問(wèn)題：記p：三角形的三條邊相等，q：三角形的三個(gè)角相等．問(wèn)：p是q的什么條件解：〔1〕pq，即p是q的充分條件．〔2〕qp，即p是q的必要條件．綜合〔1〕〔2〕，我們就說(shuō)p是q的充要條件．如果pq，且qp，記作pq，這時(shí)，p既是q的充分條件，又是q的必要條件，那么就說(shuō)p是q的充分必要條件，簡(jiǎn)稱充要條件．4.提出問(wèn)題，組織學(xué)生討論如何判斷充要條件〔1〕分清誰(shuí)是條件p，誰(shuí)是結(jié)論q．〔2〕進(jìn)展兩次推理或判斷，即判斷pq是否成立，qp是否成立．〔3〕根據(jù)〔2〕寫出結(jié)論．三、解釋應(yīng)用［例題］1.指出以下各組命題中，p是q的什么條件，q是p的什么條件．〔1〕p：x＞0；q：x2＞0．〔p是q的充分不必要條件，q是p的必要不充分條件〕〔2〕p：x＝y(tǒng)；q：x2＝y(tǒng)2．〔p是q的充分不必要條件，q是p的必要不充分條件〕〔3〕p：兩三角形面積相等；q：兩三角形全等．〔p是q的必要不充分條件，q是p的充分不必要條件〕〔4〕p：兩直線平行；q：內(nèi)錯(cuò)角相等．〔p是q的充要條件，q是p的充要條件〕〔5〕p：x＝y(tǒng)；q：x2＋y2＝1．〔p是q的既不充分又不必要條件，q是p的既不充分又不必要條件〕2.指出以下各組命題中，p是q的什么條件．〔1〕p：〔x－2〕〔x－3〕＝0；q：x＝3．〔2〕p：四邊形對(duì)角線相等；q：四邊形是矩形．〔3〕p：a≠0；q：a·b≠0．〔4〕p：a＋5是無(wú)理數(shù)；q：a是無(wú)理數(shù)．〔5〕p：x≤5；q：x≤3．［練習(xí)］1.以下各組命題中的p是q的什么條件〔1〕p：x2＋y2＝0，q：x·y＝0．〔2〕p：m＞0；q：x2＋x－m＝0有實(shí)數(shù)根．〔3〕p：a＞b；q：a2＞b2．〔4〕p：x2＝3x＋4；q：x＝〔5〕p：x＞-1；q：x＞1．〔6〕p：a，b都是偶數(shù)；q：a＋b是偶數(shù)．2.〔1〕如果原命題假設(shè)p那么q為真而逆命題為假，那么p是q的條件．〔2〕如果原命題假設(shè)p那么q為假而逆命題為真，那么p是q的條件．〔3〕如果原命題假設(shè)p那么q與其逆命題都為真，那么p是q的條件．〔4〕如果原命題假設(shè)p那么q與其逆命題都為假，那么p是q的條件．四、拓展延伸1.p，q都是r的必要條件，S是r的充分條件，q是S的充分條件，那么，〔1〕S是q的什么條件〔2〕r是q的什么條件〔3〕p是q的什么條件2.“關(guān)于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一個(gè)負(fù)的實(shí)根〞的充要條件是什么3.“3x2－10x＋k＝0有兩個(gè)同號(hào)且不相等實(shí)根〞的充要條件是什么點(diǎn)評(píng)這篇案例注重新、舊知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，以舊引新，過(guò)渡自然．首先，復(fù)習(xí)已學(xué)過(guò)的知識(shí)“四種命題〞和判斷命題的真假，并以此巧妙地引出了推斷符號(hào)pq，pq．其次，在此根基上，通過(guò)實(shí)例，創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，引出課題p是q的什么條件．最后，明確充要條件，并給出判斷充要條件的方法和步驟．環(huán)環(huán)相扣，層層深入，重點(diǎn)突出，抓住了關(guān)鍵．例題與練習(xí)由淺入深，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律．拓展延伸富有新意，有利于培養(yǎng)學(xué)生的探索能力和創(chuàng)新意識(shí)，有利于培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和思維品質(zhì)，整個(gè)設(shè)計(jì)圓滿地完成了教學(xué)任務(wù)．6函數(shù)的概念教材分析與傳統(tǒng)課程內(nèi)容相比，這節(jié)內(nèi)容的最大變化就是函數(shù)概念的處理方式．事實(shí)上，“先講映射后講函數(shù)〞比“先講函數(shù)后講映射〞，有利于學(xué)生更好地理解函數(shù)概念的本質(zhì)．第一，在初中函數(shù)學(xué)習(xí)根基上繼續(xù)深入學(xué)習(xí)函數(shù)，銜接自然，利于學(xué)生在原有認(rèn)知根基上提升對(duì)函數(shù)概念的理解；第二，直接進(jìn)入函數(shù)概念的學(xué)習(xí)更有利于學(xué)生將注意力放在理解函數(shù)概念的學(xué)習(xí)上，而不必花大量精力學(xué)習(xí)映射，使其認(rèn)識(shí)映射與函數(shù)的關(guān)系后才能理解函數(shù)的概念．函數(shù)概念是中學(xué)數(shù)學(xué)中最重要的概念之一．函數(shù)概念、思想貫穿于整個(gè)中學(xué)教材之中．通過(guò)實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)自己的觀察、分析、歸納和概括，獲得用集合與對(duì)應(yīng)語(yǔ)言刻畫的函數(shù)概念．對(duì)函數(shù)概念本質(zhì)的理解，首先應(yīng)通過(guò)與初中定義的比較、與其他知識(shí)的聯(lián)系以及不斷地應(yīng)用等，初步理解用集合與對(duì)應(yīng)語(yǔ)言刻畫的函數(shù)概念．其次在后續(xù)的學(xué)習(xí)中通過(guò)基本初等函數(shù)，引導(dǎo)學(xué)生以具體函數(shù)為依托、反復(fù)地、螺旋式上升地理解函數(shù)的本質(zhì)．教學(xué)重點(diǎn)是函數(shù)的概念，難點(diǎn)是對(duì)函數(shù)概念的本質(zhì)的理解．教學(xué)目標(biāo)1.通過(guò)豐富實(shí)例，進(jìn)一步體會(huì)函數(shù)是描述變量之間的依賴關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型．在此根基上學(xué)習(xí)用集合與對(duì)應(yīng)的語(yǔ)言來(lái)刻畫函數(shù)，體會(huì)對(duì)應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中的作用．2.了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會(huì)求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域和值域．3.了解映射的概念．任務(wù)分析學(xué)生在初中對(duì)函數(shù)概念有了初步的認(rèn)識(shí)．這節(jié)課的任務(wù)是在學(xué)生原認(rèn)知水平的根基上，用集合與對(duì)應(yīng)的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)函數(shù)，了解構(gòu)成函數(shù)定義的三要素，認(rèn)識(shí)映射與函數(shù)是一般與特殊的關(guān)系．教學(xué)設(shè)計(jì)一、問(wèn)題情景1.一枚炮彈發(fā)射后，經(jīng)過(guò)60s落到地面擊中目標(biāo)．炮彈的射高為4410m，且炮彈距地面的高度h隨時(shí)間t的變化規(guī)律是h＝294t－4.9t2，〔0≤t≤60，0≤h≤4410〕．2.近幾十年來(lái)，大氣層中的臭氧迅速減少，因而出現(xiàn)了臭氧層空洞問(wèn)題．以以下列圖中的曲線顯示了南極上空臭氧層空洞的面積從1979年到2001年的變化情況．3.國(guó)際上常用恩格爾系數(shù)反映一個(gè)國(guó)家人民生活質(zhì)量的上下，恩格爾系數(shù)越低，生活質(zhì)量越高．下表中恩格爾系數(shù)隨時(shí)間〔年〕變化的情況說(shuō)明，“八五〞方案以來(lái)，我國(guó)城鎮(zhèn)居民的生活質(zhì)量發(fā)生了顯著變化．表6-1“八五〞方案以來(lái)我國(guó)城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)變化情況時(shí)間〔年〕19911992199319941995199619971998199920002001恩格爾系數(shù)〔%〕53.852.950.149.949.948.646.444.541.939.237.9問(wèn)題：分析以上三個(gè)實(shí)例，對(duì)任一個(gè)給定的ｔ，射高ｈ、臭氧層空洞面積Ｓ、恩格爾系數(shù)是否有值與之對(duì)應(yīng)假設(shè)有，有幾個(gè)二、建設(shè)模型1.在學(xué)生充分分析和討論的根基上，總結(jié)歸納以上三個(gè)實(shí)例的共同特點(diǎn)在三個(gè)實(shí)例中，變量之間的關(guān)系都可以描述成兩個(gè)集合間的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系：對(duì)于數(shù)集Ａ中的任一個(gè)ｘ，按照某個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系，在數(shù)集Ｂ中都有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)．2.教師明晰通過(guò)學(xué)生的討論歸納出函數(shù)的定義：設(shè)A，B是非空的數(shù)集，如果按照某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任一個(gè)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f〔x〕與它對(duì)應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作：y＝f〔x〕，x∈A．其中，x叫作自變量，x的取值范圍A叫作函數(shù)的定義域，與x的值相對(duì)應(yīng)的y叫作函數(shù)值，函數(shù)值的集合：｛y｜y＝f〔x〕，x∈A｝叫作函數(shù)的值域．注意：〔1〕從函數(shù)的定義可以看出：函數(shù)由定義域、對(duì)應(yīng)法那么、值域三局部組成，它們稱為函數(shù)定義的三要素．其中，y＝f〔x〕的意義是：對(duì)任一x∈A，按照對(duì)應(yīng)法那么f有唯一y與之對(duì)應(yīng)．〔2〕在函數(shù)定義的三個(gè)要素中，核心是定義域和對(duì)應(yīng)法那么，因此，只有當(dāng)函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系和定義域一樣時(shí)，我們才認(rèn)為這兩個(gè)函數(shù)一樣．思考：函數(shù)f〔x〕＝與g〔x〕＝是同一函數(shù)嗎三、解釋應(yīng)用［例題］1.指出以下函數(shù)的定義域、值域、對(duì)應(yīng)法那么各是什么如何用集合與對(duì)應(yīng)的觀點(diǎn)描述它們〔1〕y＝1，〔x∈R〕．〔2〕y＝ax＋b，〔a≠0〕．〔3〕y＝ax2＋bx＋c，〔a＞0〕．〔4〕y＝kx，〔k≠0〕．解：〔3〕定義域：｛x｜x∈R｝，值域：｛y｜y≥｝對(duì)應(yīng)法那么f：自變量→a〔自變量〕2＋b·〔自變量〕＋c，即：f：x→ax2＋bx＋c〔1〕，〔2〕，〔4〕略．2.：函數(shù)f〔x〕＝〔1〕求函數(shù)的定義域．〔2〕求f〔－3〕，f〔〕的值．〔3〕當(dāng)a＞0時(shí)，求f〔a〕，f〔a－1〕的值．目的：深化對(duì)函數(shù)概念的理解．3.求以下函數(shù)的值域．〔1〕f〔x〕＝2x．〔2〕f〔x〕＝1－x＋x2，〔x∈R〕．〔3〕y＝3－x，〔x∈N〕．解：〔1〕｛y｜y≠0｝．〔2〕｛y｜y≥｝．〔3〕｛3，2，1，0，－1，－2，…｝．4.〔1〕：f〔x〕＝x2，求f〔x－1〕．〔2〕：f〔x－1〕＝x2，求f〔x〕．目的：深化對(duì)函數(shù)符號(hào)的理解．解：〔1〕f〔x－1〕＝〔x－1〕2．〔2〕f〔x－1〕＝x2＝［〔x－1〕＋1］2＝〔x－1〕2＋2〔x－1〕＋1．∴f〔x〕＝x2＋2x＋1．［練習(xí)］1.求以下函數(shù)的定義域．2.二次函數(shù)f〔x〕＝x2＋a的值域是［－2，＋∞〕，求a的值．3.函數(shù)f〔x〕＝［x］，［x］表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，求：〔1〕f〔3.5〕，〔2〕f〔－3.5〕．四、拓展延伸在函數(shù)定義中，將數(shù)集推廣到任意集合時(shí)，就可以得到映射的概念．集合A＝｛a1，a2｝到集合B＝｛b1，b2｝的映射有哪幾個(gè)解：共有4個(gè)不同的映射．思考：集合A＝｛a1，a2，a3｝到B＝｛b1，b2，b3｝的映射有多少個(gè)點(diǎn)評(píng)這篇案例設(shè)計(jì)完整，條理清楚．案例從三個(gè)方面〔實(shí)際是函數(shù)的三種表示方法，為后續(xù)內(nèi)容埋下伏筆〕各舉一個(gè)具體事例，從中概括出函數(shù)的本質(zhì)特征，得出函數(shù)概念，表達(dá)了由具體到抽象的認(rèn)知規(guī)律，有利于學(xué)生理解函數(shù)概念，更好地表達(dá)了數(shù)學(xué)從實(shí)踐中來(lái)．例題、練習(xí)由淺入深，完整，全面．映射的概念作為函數(shù)概念的推廣，處理方式有新意．“拓展延伸〞的設(shè)計(jì)為學(xué)生加深對(duì)概念的理解，提供了素材．在“問(wèn)題情景〞中的三個(gè)事例中，第一個(gè)例子中的“對(duì)應(yīng)關(guān)系〞比較明顯，后兩個(gè)例子那么不太明顯．如果能在教學(xué)設(shè)計(jì)中加以細(xì)致比照說(shuō)明，效果會(huì)更好．7函數(shù)的表示方法教材分析函數(shù)的表示方法是對(duì)函數(shù)概念的深化與延伸．解析法、圖像法和列表法從三個(gè)不同的角度刻畫了自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系．這三種表示方法既可以獨(dú)立的表示函數(shù)，又可以相互轉(zhuǎn)化；既各有側(cè)重和優(yōu)勢(shì)，又各有劣勢(shì)和缺乏；既相互補(bǔ)充，又使函數(shù)隨自變量的變化而變化的規(guī)律直觀和具體．這節(jié)內(nèi)容，是初中有關(guān)內(nèi)容的深化、延伸與提高．教材在復(fù)習(xí)初中三種表示方法定義的根基上，分三個(gè)層次對(duì)三種表示方法進(jìn)展了比較．第一個(gè)層次：回憶與比較；第二個(gè)層次：選擇與比較；第三個(gè)層次：轉(zhuǎn)化與比較．教學(xué)重點(diǎn)：畫簡(jiǎn)單函數(shù)的圖像；教學(xué)難點(diǎn)：分段函數(shù)的解析式求法及其圖像的作法．教學(xué)目標(biāo)1.在實(shí)際情景中，會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ā踩鐖D像法，列表法，解析法〕表示函數(shù)．2.通過(guò)具體實(shí)例，了解簡(jiǎn)單的分段函數(shù)，并解簡(jiǎn)單應(yīng)用．3.能根據(jù)簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，建設(shè)函數(shù)關(guān)系式，畫出它們的圖像，進(jìn)一步理解、體會(huì)函數(shù)的意義．任務(wù)分析學(xué)生在初中已經(jīng)對(duì)這節(jié)內(nèi)容有了初步的認(rèn)識(shí)．這節(jié)的教學(xué)任務(wù)是在學(xué)生原認(rèn)知水平的根基上，用對(duì)應(yīng)的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)函數(shù)，會(huì)根據(jù)不同需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ū硎竞瘮?shù)，明確三種表示方法各有優(yōu)劣，在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化．為突出根據(jù)簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題建設(shè)函數(shù)關(guān)系式，畫出它們的圖像這個(gè)重點(diǎn)，除學(xué)習(xí)教材中的實(shí)際問(wèn)題外，又增加了練習(xí)．為突破分段函數(shù)這個(gè)難點(diǎn)增加了高斯函數(shù)作為練習(xí)．教學(xué)設(shè)計(jì)一、問(wèn)題情景1.復(fù)習(xí)引入〔1〕復(fù)習(xí)初中三種函數(shù)的表示方法．〔2〕學(xué)生答復(fù)函數(shù)三種表示方法的定義．2.方法探究〔1〕復(fù)習(xí)與比較例：某種筆記本的單價(jià)是5元，買x〔x∈｛1，2，3，4，5｝〕個(gè)筆記本需要y元．試用三種表示方法表示函數(shù)y＝f〔x〕．〔2〕引導(dǎo)學(xué)生分析討論①三種表示方法的各自的特點(diǎn)是什么所有的函數(shù)都能用解析法表示嗎②函數(shù)圖像上的點(diǎn)滿足什么條件滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝f〔x〕的點(diǎn)〔x，y〕在什么地方二、建設(shè)模型1.教師明晰函數(shù)圖像既可以是連續(xù)的曲線，也可以是直線、折線、離散的點(diǎn)等．采用解析法的條件：變量間的對(duì)應(yīng)法那么明確；采用圖像法的條件：函數(shù)的變化規(guī)律清晰；采用列表法的條件：函數(shù)值的對(duì)應(yīng)清楚．函數(shù)圖像上的點(diǎn)滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝f〔x〕，滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝f〔x〕的點(diǎn)〔x，y〕在函數(shù)圖像上，故函數(shù)圖像即為點(diǎn)集p＝｛〔x，y〕｜y＝f〔x〕，x∈A｝．2.比較與分析例：下表是某校高一〔1〕班三名同學(xué)在高一學(xué)年度幾次數(shù)學(xué)測(cè)試的成績(jī)及班級(jí)平均分：表7-1

第一次第二次第三次第四次第五次第六次王偉988791928895張城907688758680趙磊686573727582班級(jí)平均分88.278.385.480.375.782.6請(qǐng)你對(duì)這三名同學(xué)在高一學(xué)年度的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況進(jìn)展分析．學(xué)生分析討論：本例是用何種方法表示函數(shù)的要分析“成績(jī)〞與“測(cè)試次數(shù)〞之間的變化規(guī)律，用何種方法表示函數(shù)注意：在這里選擇何種表示方法，要根據(jù)問(wèn)題的具體情況和三種表示方法的長(zhǎng)處來(lái)確定．3.教師進(jìn)一步明晰將“成績(jī)〞與“測(cè)試次數(shù)〞之間的函數(shù)關(guān)系用函數(shù)圖像表示出來(lái)，就能比較直觀地看到成績(jī)的變化情況．4.轉(zhuǎn)化與比較例：畫出函數(shù)y＝｜x｜的圖像．5.教師歸納、整理初中作函數(shù)圖像的基本方法是列表、描點(diǎn)和連線，但這個(gè)方法比較煩瑣．我們可以把初中學(xué)過(guò)的一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的圖像作為基本圖像，把要作的函數(shù)的圖像轉(zhuǎn)化為基本函數(shù)的圖像來(lái)解決．y＝｜x｜，假設(shè)不含“｜｜〞號(hào)，那么是我們初中學(xué)過(guò)的y＝x，現(xiàn)在含絕對(duì)值號(hào)，故去絕對(duì)值號(hào)，得分段函數(shù)而分段函數(shù)的圖像只要分段作出即可．三、解釋應(yīng)用［練習(xí)一］1.作出y＝｜x－1｜的圖像，與函數(shù)y＝｜x｜的圖像比較，并說(shuō)出你發(fā)現(xiàn)了什么．2.作出y＝x2＋2｜x｜＋1的圖像．3.假設(shè)x2＋2｜x｜＋1＝m，當(dāng)m為何值時(shí)，關(guān)于x的方程有四個(gè)解三個(gè)解兩個(gè)解無(wú)解［例題］某市空調(diào)公共汽車的票價(jià)按以下規(guī)那么制定：〔1〕乘坐汽車不超過(guò)5km，票價(jià)2元．〔2〕超過(guò)5km，每增加5km，票價(jià)增加1元．〔缺乏5km的按5km計(jì)算〕兩個(gè)相鄰的公共汽車站間相距約為1km，如果沿途〔包括起點(diǎn)站和終點(diǎn)站〕有21個(gè)汽車站，請(qǐng)根據(jù)題意寫出票價(jià)與路程之間的函數(shù)解析式，并畫出函數(shù)的圖像．學(xué)生分析討論：函數(shù)定義域是什么值域是什么圖像如何作教師引導(dǎo)學(xué)生寫出如下解答過(guò)程．解：設(shè)票價(jià)為y元，路程為xkm．如果某空調(diào)汽車運(yùn)行路線中設(shè)21個(gè)汽車站，那么汽車行駛的路程約為20km，故自變量x的取值范圍是x∈〔0，20］，且x∈N，函數(shù)y的取值范圍是y∈｛2，3，4，5｝．由空調(diào)汽車票價(jià)的規(guī)定，可得到以下函數(shù)解析式：根據(jù)這個(gè)函數(shù)解析式，可畫出函數(shù)的圖像函數(shù)圖像共有20個(gè)點(diǎn)構(gòu)成．像例3、例4這樣的函數(shù)稱為分段函數(shù)，分段函數(shù)的圖像應(yīng)分段作．［練習(xí)二］1.以以下列圖都是函數(shù)的圖像嗎為什么〔D〕目的：進(jìn)一步深化對(duì)函數(shù)概念和函數(shù)圖像的理解．2.某人從甲鎮(zhèn)去乙村，一開(kāi)場(chǎng)沿公路乘車，后來(lái)沿小路步行，圖中橫軸表示運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，縱軸表示此人與乙村的距離，那么較符合該人走法的圖像是〔〕．〔D〕3.小明從甲地去乙地，先以每小時(shí)5km的速度行進(jìn)1h，然后休息10min，最后以每小時(shí)4km的速度行進(jìn)了30min到達(dá)乙地．〔1〕試寫出速度v〔km／h〕關(guān)于出發(fā)時(shí)間t〔h〕的函數(shù)關(guān)系式，并畫出圖像．〔2〕試寫出小明離開(kāi)甲地s〔km〕關(guān)于出發(fā)時(shí)間t〔h〕的函數(shù)關(guān)系，并畫出圖像．四、拓展延伸1.設(shè)x是任意的一個(gè)函數(shù)，y是不超過(guò)x的最大整數(shù)，記作：y＝［x］，問(wèn)：x與y之間是否存在函數(shù)關(guān)系如果存在，寫出這個(gè)函數(shù)的解析式，并畫出這個(gè)函數(shù)的圖像．答案：存在函數(shù)關(guān)系，是著名的高斯函數(shù)．現(xiàn)只寫出x∈［－1，1］的函數(shù)關(guān)系：y＝圖像略．2.某家庭2004年1月份、2月份和3月份煤氣用量和支付費(fèi)用如下表所示：表7-2月份用氣量煤氣費(fèi)1月份4m4元2月份25m14元3月份35m19元該市煤氣的收費(fèi)方法是：煤氣費(fèi)＝基本費(fèi)＋超額費(fèi)＋保險(xiǎn)費(fèi)．假設(shè)每月量不超過(guò)最低限度Am3，那么只付基本費(fèi)3元和每月每戶的定額保險(xiǎn)C元；假設(shè)用氣量超過(guò)Am3，超過(guò)局部每立方米付B元，又知保險(xiǎn)費(fèi)C不超過(guò)5元．根據(jù)上面的表格，求A，B，C．分析：可設(shè)每月用氣量xm3，支付費(fèi)用y元，建設(shè)函數(shù)解析式解之．解：設(shè)每月用氣xm3，支付費(fèi)用y元，那么由0＜C≤5，得3＋C≤8．由第2和3月份的費(fèi)用都大于8，得兩式相減，得B＝0.5，∴A＝2C＋3．再分析1月份的用氣量是否超過(guò)最低限度．不妨令A(yù)＜4，將x＝4代入3＋B〔x－A〕＋C，得3＋0.5［4－〔3＋2C〕］＋C＝4，由此推出3.5＝4，矛盾，∴A≥4，1月份付款方式為3＋C．∴3＋C＝4．∴C＝1．∴A＝5．∴A＝5，B＝0.5，C＝1．點(diǎn)評(píng)這篇案例分三個(gè)層次對(duì)三種表示方法進(jìn)展了比較：第一層次：用一個(gè)簡(jiǎn)單的例子對(duì)函數(shù)的三種表示方法進(jìn)展了復(fù)習(xí)和比較；第二層次：對(duì)函數(shù)的三種表示方法進(jìn)展了比較，選擇了適當(dāng)?shù)姆椒ū硎竞瘮?shù)；第三層次：三種表示函數(shù)的方法的相互轉(zhuǎn)化．三個(gè)層次，層層深入，并對(duì)三種表示方法的優(yōu)、劣進(jìn)了比較，重點(diǎn)突出．拓展延伸通過(guò)高斯函數(shù)，加深了學(xué)生對(duì)抽象函數(shù)、分段函數(shù)的認(rèn)識(shí)．在注重三種表示方法的同時(shí)，加強(qiáng)了學(xué)生應(yīng)用意識(shí)的培養(yǎng)．8函數(shù)的單調(diào)性教材分析函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要特性之一，它把自變量的變化方向和函數(shù)值的變化方向定性地聯(lián)系在一起．在初中學(xué)習(xí)函數(shù)時(shí)，借助圖像的直觀性研究了一些函數(shù)的增減性．這節(jié)內(nèi)容是初中有關(guān)內(nèi)容的深化、延伸和提高．這節(jié)通過(guò)對(duì)具體函數(shù)圖像的歸納和抽象，概括出函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù)的準(zhǔn)確含義，明確指出函數(shù)的增減性是相對(duì)于某個(gè)區(qū)間來(lái)說(shuō)的．教材中判斷函數(shù)的增減性，既有從圖像上進(jìn)展觀察的直觀方法，又有根據(jù)其定義進(jìn)展邏輯推理的嚴(yán)格方法，最后將兩種方法統(tǒng)一起來(lái)，形成根據(jù)觀察圖像得出猜想結(jié)論，進(jìn)而用推理證明猜想的體系．這節(jié)內(nèi)容的重點(diǎn)是理解函數(shù)單調(diào)性的概念以及利用函數(shù)的單調(diào)性的概念證明函數(shù)的單調(diào)性，難點(diǎn)是理解函數(shù)單調(diào)性的概念．教學(xué)目標(biāo)1.通過(guò)對(duì)增函數(shù)、減函數(shù)概念的歸納、抽象和概括，體驗(yàn)數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生和形成過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生從特殊到一般的抽象概括能力．2.掌握增函數(shù)、減函數(shù)等函數(shù)單調(diào)性的概念，理解函數(shù)增減性的幾何意義，并能初步運(yùn)用所學(xué)知識(shí)判斷或證明一些簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)性，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的理解能力和邏輯推理能力．3.通過(guò)對(duì)函數(shù)單調(diào)性的學(xué)習(xí)，初步體會(huì)知識(shí)發(fā)生、開(kāi)展、運(yùn)用的過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生形成科學(xué)的思維．任務(wù)分析這節(jié)內(nèi)容學(xué)生在初中已有了較為粗略的認(rèn)識(shí)，即主要根據(jù)觀察圖像得出結(jié)論．這節(jié)函數(shù)增減性的定義，是運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)將自然語(yǔ)言的描述提升到形式化的定義，學(xué)生承受起來(lái)可能比較困難．在引入定義時(shí)，要始終結(jié)合具體函數(shù)的圖像來(lái)進(jìn)展，以增強(qiáng)直觀性，采用由具體到抽象，再由抽象到具體的思維方法，便于學(xué)生理解．對(duì)于定義，要注意對(duì)區(qū)間上所取兩點(diǎn)x1，x2的“任意性〞的理解，多給學(xué)生操作與思考的時(shí)間和空間．教學(xué)設(shè)計(jì)一、問(wèn)題情境1.如圖為某市一天內(nèi)的氣溫變化圖：〔1〕觀察這個(gè)氣溫變化圖，說(shuō)出氣溫在這一天內(nèi)的變化情況．〔2〕怎樣用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻畫在這一天內(nèi)“隨著時(shí)間的增大，氣溫逐漸升高或下降〞這一特征2.分別作出以下函數(shù)的圖像：〔1〕y＝2x．〔2〕y＝－x＋2．〔3〕y＝x2．根據(jù)三個(gè)函數(shù)圖像，分別指出當(dāng)x∈〔－∞，＋∞〕時(shí)，圖像的變化趨勢(shì)二、建設(shè)模型1.首先引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問(wèn)題2進(jìn)展探討———觀察分析觀察函數(shù)y＝2x，y＝－x＋2，y＝x2圖像，可以發(fā)現(xiàn)：y＝2x在〔－∞，＋∞〕上、y＝x2在〔０，＋∞〕上的圖像由左向右都是上升的；y＝－x＋2在〔－∞，＋∞〕上、y＝x2在〔－∞，０〕上的圖像由左向右都是下降的．函數(shù)圖像的“上升〞或“下降〞反映了函數(shù)的一個(gè)基本性質(zhì)———單調(diào)性．那么，如何描述函數(shù)圖像“上升〞或“下降〞這個(gè)圖像特征呢以函數(shù)y＝x2，x∈〔－∞，０〕為例，圖像由左向右下降，意味著“隨著x的增大，相應(yīng)的函數(shù)值y＝f〔x〕反而減小〞，如何量化呢取自變量的兩個(gè)不同的值，如x1＝－5，x2＝－3，這時(shí)有x1＜x2，f〔x1〕＞f〔x2〕，但是這種量化并不準(zhǔn)確．因此，x1，x2應(yīng)具有“任意性〞．所以，在區(qū)間〔－∞，0〕上，任取兩個(gè)x1，x2得到f〔x1〕＝，f〔x2〕＝．當(dāng)x1＜x2時(shí)，都有f〔x1〕＞f〔x2〕．這時(shí)，我們就說(shuō)f〔x〕＝x2在區(qū)間〔－∞，0〕上是減函數(shù)．注意：在這里，要提示學(xué)生如何由直觀圖像的變化規(guī)律，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，即自變量ｘ變化時(shí)對(duì)函數(shù)值y的影響．必要時(shí)，對(duì)x，y可舉出具體數(shù)值，進(jìn)展引導(dǎo)、歸納和總結(jié)．這里的“都有〞是對(duì)應(yīng)于“任意〞的．2.在學(xué)生討論歸納函數(shù)單調(diào)性定義的根基上，教師明晰———抽象概括設(shè)函數(shù)f〔x〕的定義域?yàn)镮：如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1，x2，當(dāng)x1＜x2時(shí)，都有f〔x1〕＜f〔x2〕，那么我們就說(shuō)函數(shù)f〔x〕在區(qū)間Ｄ上是增函數(shù)［如圖8-2〔1〕］．如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1，x2，當(dāng)x1＜x2時(shí)，都有f〔x1〕＞f〔x2〕，那么我們就說(shuō)函數(shù)f〔x〕在區(qū)間Ｄ上是減函數(shù)［如圖8-2〔2〕］．如果函數(shù)y＝f〔x〕在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么我們就說(shuō)函數(shù)y＝f〔x〕在這一區(qū)間具有〔嚴(yán)格的〕單調(diào)性，區(qū)間D叫作y＝f〔x〕的單調(diào)區(qū)間．3.提出問(wèn)題，組織學(xué)生討論〔1〕定義在R上的函數(shù)f〔x〕，滿足f〔2〕＞f〔1〕，能否判斷函數(shù)f〔x〕在R是增函數(shù)〔2〕定義在R上函數(shù)f〔x〕在區(qū)間〔－∞，0］上是增函數(shù)，在區(qū)間〔0，＋∞〕上也是增函數(shù)，判斷函數(shù)f〔s〕在R上是否為增函數(shù)．〔3〕觀察問(wèn)題情境1中氣溫變化圖像，根據(jù)圖像說(shuō)出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及在每一單調(diào)區(qū)間上，它是增函數(shù)還是減函數(shù)．強(qiáng)調(diào)：定義中x1，x2是區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量；函數(shù)的單調(diào)性是相對(duì)于某一區(qū)間而言的．三、解釋應(yīng)用［例題］1.證明函數(shù)f〔x〕＝2x＋1，在〔－∞，＋∞〕是增函數(shù)．注：要標(biāo)準(zhǔn)解題格式．2.證明函數(shù)f〔x〕＝，在區(qū)間〔－∞，0〕和〔0，＋∞〕上都是減函數(shù)．思考：能否說(shuō)，函數(shù)f〔x〕＝在定義域〔－∞，0〕∪〔0，＋∞〕上是減函數(shù)3.設(shè)函數(shù)y＝f〔x〕在區(qū)間D上保號(hào)〔恒正或恒負(fù)〕，且f〔x〕在區(qū)間D上為增函數(shù)，求證：f〔x〕＝在區(qū)間D上為減函數(shù)．證明：設(shè)x1，x2∈Ｄ，且x1＜x2，∵f〔x〕在區(qū)間D上保號(hào)，∴f〔x1〕f〔x2〕＞0．又f〔x〕在區(qū)間D上為增函數(shù)，∴f〔x1〕－f〔x2〕＜0，從而g〔x1〕－g〔x2〕＞0，∴g〔x〕在D上為減函數(shù)．［練習(xí)］1.證明：〔1〕函數(shù)f〔x〕＝在〔0，＋∞〕上是增函數(shù)．〔2〕函數(shù)f〔x〕＝x2－x在〔－∞，］上是減函數(shù)．2.判斷函數(shù)的單調(diào)性，并寫出相應(yīng)的單調(diào)區(qū)間．3.如果函數(shù)y＝f〔x〕是R上的增函數(shù)，判斷g〔x〕＝kf〔x〕，〔k≠0〕在R上的單調(diào)性．四、拓展延伸1.根據(jù)圖像，簡(jiǎn)要說(shuō)明近150年來(lái)人類消耗能源的構(gòu)造變化情況，并對(duì)未來(lái)100年能源構(gòu)造的變化趨勢(shì)作出預(yù)測(cè)．2.判斷二次函數(shù)f〔x〕＝ax2＋bx＋c，〔a≠0〕的單調(diào)性，并用定義加以證明．3.如果自變量的改變量Δx＝x2－x1＜0，函數(shù)值的改變量Δy＝f〔x2〕－f〔x1〕＞0，那么函數(shù)f〔x〕在區(qū)間D上是增函數(shù)還是減函數(shù)4.函數(shù)值的改變量與自變量的改變量的比叫作函數(shù)f〔x〕在x1，x2之間的平均變化率．〔1〕根據(jù)函數(shù)的平均變化率判斷y＝f〔x〕在區(qū)間D上是增函數(shù)還是減函數(shù)．〔2〕比值的大小與函數(shù)值增長(zhǎng)的快慢有什么關(guān)系點(diǎn)評(píng)這篇案例設(shè)計(jì)完整，思路清晰．案例首先通過(guò)實(shí)例闡述了函數(shù)單調(diào)性產(chǎn)生的背景，歸納、抽象概括出了增函數(shù)、減函數(shù)的定義，充分表達(dá)了數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)是數(shù)學(xué)思維過(guò)程的教學(xué)，符合新課程標(biāo)準(zhǔn)的精神．例題與練習(xí)由淺入深，完整，全面．“拓展延伸〞的設(shè)計(jì)有新意，有深度，為學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力、創(chuàng)造能力的培養(yǎng)提供了平臺(tái)．這篇案例的突出特點(diǎn)，表達(dá)在如下幾個(gè)方面：1.強(qiáng)調(diào)對(duì)基本概念和基本思想的理解和掌握由于數(shù)學(xué)高度抽象的特點(diǎn)，注重表達(dá)基本概念的來(lái)龍去脈．在數(shù)學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從具體實(shí)例抽象出數(shù)學(xué)概念的過(guò)程，在初步運(yùn)用中逐步理解概念的本質(zhì)．2.注重聯(lián)系，提高對(duì)數(shù)學(xué)整體的認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的開(kāi)展既有內(nèi)在的動(dòng)力，也有外在的動(dòng)力．在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)中，要注重?cái)?shù)學(xué)的不同分支和不同內(nèi)容之間的聯(lián)系，數(shù)學(xué)與日常生活的聯(lián)系，數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的聯(lián)系．例如，通過(guò)研討本節(jié)課“拓展延伸〞中的第1個(gè)問(wèn)題，可以大大提高了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性．3.注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)與實(shí)際的聯(lián)系，開(kāi)展學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和能力在數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)注重開(kāi)展學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)；通過(guò)豐富的實(shí)例引入數(shù)學(xué)知識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，經(jīng)歷探索、解決問(wèn)題的過(guò)程，體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)到：數(shù)學(xué)與我有關(guān)，與實(shí)際生活有關(guān)；數(shù)學(xué)是有用的，我要用數(shù)學(xué)，我能用數(shù)學(xué)．9函數(shù)的奇偶性教材分析函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的重要性質(zhì)，是對(duì)函數(shù)概念的深化．它把自變量取相反數(shù)時(shí)函數(shù)值間的關(guān)系定量地聯(lián)系在一起，反映在圖像上為：偶函數(shù)的圖像關(guān)于ｙ軸對(duì)稱，奇函數(shù)的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱．這樣，就從數(shù)、形兩個(gè)角度對(duì)函數(shù)的奇偶性進(jìn)展了定量和定性的分析．教材首先通過(guò)對(duì)具體函數(shù)的圖像及函數(shù)值對(duì)應(yīng)表歸納和抽象，概括出了函數(shù)奇偶性的準(zhǔn)確定義．然后，為深化對(duì)概念的理解，舉出了奇函數(shù)、偶函數(shù)、既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)和非奇非偶函數(shù)的實(shí)例．最后，為加強(qiáng)前后聯(lián)系，從各個(gè)角度研究函數(shù)的性質(zhì)，講清了奇偶性和單調(diào)性的聯(lián)系．這節(jié)課的重點(diǎn)是函數(shù)奇偶性的定義，難點(diǎn)是根據(jù)定義判斷函數(shù)的奇偶性．教學(xué)目標(biāo)1.通過(guò)具體函數(shù)，讓學(xué)生經(jīng)歷奇函數(shù)、偶函數(shù)定義的討論，體驗(yàn)數(shù)學(xué)概念的建設(shè)過(guò)程，培養(yǎng)其抽象的概括能力．2.理解、掌握函數(shù)奇偶性的定義，奇函數(shù)和偶函數(shù)圖像的特征，并能初步應(yīng)用定義判斷一些簡(jiǎn)單函數(shù)的奇偶性．3.在經(jīng)歷概念形成的過(guò)程中，培養(yǎng)學(xué)生歸納、抽象概括能力，體驗(yàn)數(shù)學(xué)既是抽象的又是具體的．任務(wù)分析這節(jié)內(nèi)容學(xué)生在初中雖沒(méi)學(xué)過(guò)，但已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)具有奇偶性的具體的函數(shù)：正比例函數(shù)y＝kx，反比例函數(shù)，〔k≠0〕，二次函數(shù)y＝ax2，〔a≠0〕，故可在此根基上，引入奇、偶函數(shù)的概念，以便于學(xué)生理解．在引入概念時(shí)始終結(jié)合具體函數(shù)的圖像，以增加直觀性，這樣更符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，同時(shí)為闡述奇、偶函數(shù)的幾何特征埋下了伏筆．對(duì)于概念可從代數(shù)特征與幾何特征兩個(gè)角度去分析，讓學(xué)生理解：奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義域是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的非空數(shù)集；對(duì)于在有定義的奇函數(shù)y＝f〔x〕，一定有f〔0〕＝0；既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)的函數(shù)有f〔x〕＝0，x∈R．在此根基上，讓學(xué)生了解：奇函數(shù)、偶函數(shù)的矛盾概念———非奇非偶函數(shù)．關(guān)于單調(diào)性與奇偶性關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生拓展延伸，可以取得理想效果．教學(xué)設(shè)計(jì)一、問(wèn)題情景1.觀察如下兩圖，思考并討論以下問(wèn)題：〔1〕這兩個(gè)函數(shù)圖像有什么共同特征〔2〕相應(yīng)的兩個(gè)函數(shù)值對(duì)應(yīng)表是如何表達(dá)這些特征的可以看到兩個(gè)函數(shù)的圖像都關(guān)于y軸對(duì)稱．從函數(shù)值對(duì)應(yīng)表可以看到，當(dāng)自變量x取一對(duì)相反數(shù)時(shí)，相應(yīng)的兩個(gè)函數(shù)值一樣．對(duì)于函數(shù)f〔x〕＝x2，有f〔－3〕＝9＝f〔3〕，f〔－2〕＝4＝f〔2〕，f〔－1〕＝1＝f〔1〕．事實(shí)上，對(duì)于R內(nèi)任意的一個(gè)x，都有f〔－x〕＝〔－x〕2＝x2＝f〔x〕．此時(shí)，稱函數(shù)y＝x2為偶函數(shù)．2.觀察函數(shù)f〔x〕＝x和f〔x〕＝的圖像，并完成下面的兩個(gè)函數(shù)值對(duì)應(yīng)表，然后說(shuō)出這兩個(gè)函數(shù)有什么共同特征．可以看到兩個(gè)函數(shù)的圖像都關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．函數(shù)圖像的這個(gè)特征，反映在解析式上就是：當(dāng)自變量ｘ取一對(duì)相反數(shù)時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)值f〔x〕也是一對(duì)相反數(shù)，即對(duì)任一x∈R都有f〔－x〕＝－f〔x〕．此時(shí)，稱函數(shù)y＝f〔x〕為奇函數(shù)．二、建設(shè)模型由上面的分析討論引導(dǎo)學(xué)生建設(shè)奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義1.奇、偶函數(shù)的定義如果對(duì)于函數(shù)f〔x〕的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f〔－x〕＝－f〔x〕，那么函數(shù)f〔x〕就叫作奇函數(shù)．如果對(duì)于函數(shù)f〔x〕的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f〔－x〕＝f〔x〕，那么函數(shù)f〔x〕就叫作偶函數(shù)．2.提出問(wèn)題，組織學(xué)生討論〔1〕如果定義在R上的函數(shù)f〔x〕滿足f〔－2〕＝f〔2〕，那么f〔x〕是偶函數(shù)嗎〔f〔x〕不一定是偶函數(shù)〕〔2〕奇、偶函數(shù)的圖像有什么特征〔奇、偶函數(shù)的圖像分別關(guān)于原點(diǎn)、y軸對(duì)稱〕〔3〕奇、偶函數(shù)的定義域有什么特征〔奇、偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱〕三、解釋應(yīng)用［例題］1.判斷以下函數(shù)的奇偶性．注：①標(biāo)準(zhǔn)解題格式；②對(duì)于〔5〕要注意定義域x∈〔－1，1］．2.：定義在R上的函數(shù)f〔x〕是奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f〔x〕＝x〔1＋x〕，求f〔x〕的表達(dá)式．解：〔1〕任取x＜0，那么－x＞0，∴f〔－x〕＝－x〔1－x〕，而f〔x〕是奇函數(shù)，∴f〔－x〕＝－f〔x〕．∴f〔x〕＝x〔1－x〕．〔2〕當(dāng)x＝0時(shí)，f〔－0〕＝－f〔0〕，∴f〔0〕＝－f〔0〕，故f〔0〕＝0．3.：函數(shù)f〔x〕是偶函數(shù)，且在〔－∞，0〕上是減函數(shù)，判斷f〔x〕在〔0，＋∞〕上是增函數(shù)，還是減函數(shù)，并證明你的結(jié)論．解：先結(jié)合圖像特征：偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，猜想f〔x〕在〔0，＋∞〕上是增函數(shù)，證明如下：任取x1＞x2＞0，那么－x1＜－x2＜0．∵f〔x〕在〔－∞，0〕上是減函數(shù)，∴f〔－x1〕＞f〔－x2〕．又f〔x〕是偶函數(shù)，∴f〔x1〕＞f〔x2〕．∴f〔x〕在〔0，＋∞〕上是增函數(shù)．思考：奇函數(shù)或偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性有何關(guān)系［練習(xí)］1.：函數(shù)f〔x〕是奇函數(shù)，在［a，b］上是增函數(shù)〔b＞a＞0〕，問(wèn)f〔x〕在［－b，－a］上的單調(diào)性如何．2.f〔x〕＝－x3｜x｜的大致圖像可能是〔〕3.函數(shù)f〔x〕＝ax2＋bx＋c，〔a，b，c∈R〕，當(dāng)a，b，c滿足什么條件時(shí)，〔1〕函數(shù)f〔x〕是偶函數(shù)．〔2〕函數(shù)f〔x〕是奇函數(shù)．4.設(shè)f〔x〕，g〔x〕分別是R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，并且f〔x〕＋g〔x〕＝x〔x＋1〕，求f〔x〕，g〔x〕的解析式．四、拓展延伸1.有既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)的函數(shù)嗎假設(shè)有，有多少個(gè)2.設(shè)f〔x〕，g〔x〕分別是R上的奇函數(shù)，偶函數(shù)，試研究：〔1〕F〔x〕＝f〔x〕·g〔x〕的奇偶性．〔2〕G〔x〕＝｜f〔x〕｜＋g〔x〕的奇偶性．3.a∈R，f〔x〕＝a－，試確定a的值，使f〔x〕是奇函數(shù)．4.一個(gè)定義在Ｒ上的函數(shù)，是否都可以表示為一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的和的形式點(diǎn)評(píng)這篇案例設(shè)計(jì)由淺入深，由具體的函數(shù)圖像及對(duì)應(yīng)值表，抽象概括出了奇、偶函數(shù)的定義，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，有利于學(xué)生理解和掌握．應(yīng)用深化的設(shè)計(jì)層層遞進(jìn)，深化了學(xué)生對(duì)奇、偶函數(shù)概念的理解和應(yīng)用．拓展延伸為學(xué)生思維能力、創(chuàng)新能力的培養(yǎng)提供了平臺(tái)．10二次函數(shù)教材分析二次函數(shù)是重要的基本函數(shù)之一，由于它存在最值，因此，其單調(diào)性在實(shí)際問(wèn)題中有廣泛的應(yīng)用，并且它與前面學(xué)過(guò)的二次方程有密切聯(lián)系，又是后面學(xué)習(xí)解一元二次不等式的根基．二次函數(shù)在初中學(xué)生已學(xué)過(guò)，主要是定義和解析式，這里，在此根基上，接著學(xué)習(xí)二次函數(shù)的性質(zhì)與圖像，進(jìn)而使學(xué)生對(duì)二次函數(shù)有一個(gè)比較完整的認(rèn)識(shí)．本節(jié)先研究特殊的二次函數(shù)y＝ax2，〔a≠0〕的圖像與a值的關(guān)系，這可通過(guò)a在0的附近取值畫圖觀察得到．然后，通過(guò)一個(gè)實(shí)例，如y＝x2＋4x＋6，研討二次函數(shù)的性質(zhì)與圖像．最后，總結(jié)出一般性結(jié)論．這節(jié)內(nèi)容的重點(diǎn)是二次函數(shù)的性質(zhì)，即頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸方程、二次函數(shù)的單調(diào)性及其圖像，難點(diǎn)是用配方法把y＝ax2＋bx＋c的形式轉(zhuǎn)化為y＝a〔x－h(huán)〕2＋k的形式．教學(xué)目標(biāo)1.通過(guò)一個(gè)例子研究二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，得到一般性結(jié)論，培養(yǎng)學(xué)生歸納、抽象能力．2.掌握二次函數(shù)的概念、表達(dá)式、圖像與性質(zhì)．會(huì)用配方法解決有關(guān)問(wèn)題，能熟練地求二次函數(shù)的最值．3.能初步運(yùn)用二次函數(shù)解決一些實(shí)際問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．任務(wù)分析學(xué)習(xí)這節(jié)內(nèi)容時(shí)要先復(fù)習(xí)一下學(xué)生初中學(xué)過(guò)的二次函數(shù)的有關(guān)問(wèn)題．為了得到y(tǒng)＝ax2，〔a≠0〕的圖像與a的關(guān)系以及二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的性質(zhì)，這里遵循由特例到一般的原那么，充分利用圖像的直觀性，以便學(xué)生承受．在這一過(guò)程中，應(yīng)講明配方法的操作過(guò)程．教學(xué)設(shè)計(jì)一、復(fù)習(xí)引申1.什么是二次函數(shù)2.在同一坐標(biāo)系中作出以下函數(shù)的圖像．〔1〕y＝－3x2．〔2〕y＝－2x2．〔3〕y＝－x2．〔4〕y＝－0.5x2．〔5〕ｙ＝0.5x2．〔6〕y＝x2．〔7〕y＝2x2．〔8〕y＝3x2．3.學(xué)生討論：函數(shù)y＝ax2中系數(shù)a的取值與它的圖像形狀有何關(guān)系4.教師明晰：在a從－3逐漸變化到＋3的過(guò)程中，拋物線開(kāi)口向下并逐漸變大，當(dāng)a＝0時(shí)，y＝0，拋物線變?yōu)閤軸，然后拋物線開(kāi)口向上，并逐漸變?。?、問(wèn)題情境二次函數(shù)f〔x〕＝x2＋4x＋6．〔1〕求它與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．〔2〕問(wèn)：它有沒(méi)有最值假設(shè)有最大〔小〕值，最大〔小〕值是多少試求出此時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量ｘ的值．〔3〕畫出它的圖像．〔4〕它的圖像有沒(méi)有對(duì)稱軸如果有，位置如何〔5〕確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．1.先讓學(xué)生獨(dú)立解答問(wèn)題1，然后師生共同確定答案〔1〕令y＝0，即x2＋4x＋6＝０，解得x1＝－6，x2＝－2．∴與ｘ軸交于兩點(diǎn)〔－6，0〕，〔－2，0〕．〔2〕將原式配方，得f〔x〕＝x2＋4x＋6＝〔x2＋8x＋12〕＝〔x2＋8x＋16－16＋12〕＝〔x＋4〕2－2．∵對(duì)任意x∈R，都有〔x＋4〕2≥0，∴f〔x〕≥－2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝－4時(shí)，取“＝〞號(hào)．∴函數(shù)有最小值是－2，記作ymin＝－2，此時(shí)x＝－4．〔3〕以x＝－4為中間值，取x的一些值列表如下：表10-1ｘ…－7－6－5－4－3－2－1…ｙ…0－－2－0…描點(diǎn)，畫圖．〔4〕由上表及圖像推測(cè)：二次函數(shù)f〔x〕的圖像存在對(duì)稱軸，并且對(duì)稱軸過(guò)點(diǎn)〔－4，－2〕，與y軸平行．〔5〕觀察圖像知：二次函數(shù)f〔x〕在〔－∞，－4］上是減函數(shù)，在〔－4，＋∞〕上是增函數(shù)．2.相關(guān)問(wèn)題〔1〕對(duì)稱軸與圖像〔拋物線〕的交點(diǎn)叫拋物線的頂點(diǎn)，函數(shù)f〔x〕＝x2＋4x＋6的頂點(diǎn)坐標(biāo)是〔－4，－2〕．〔2〕如果將過(guò)點(diǎn)〔x1，0〕平行于ｙ軸的直線記作x＝x1，那么函數(shù)f〔x〕＝x2＋4x＋6的對(duì)稱軸為x＝－4．〔3〕把f〔x〕＝x2＋4x＋6轉(zhuǎn)化為f〔x〕＝〔x＋4〕2－2，采用的是“配方法〞．〔4〕思考：怎樣證明函數(shù)f〔x〕＝x2＋4x＋6的圖像關(guān)于直線x＝－4對(duì)稱［提示：證明f〔－4＋h〕＝f〔－4－h(huán)〕］〔5〕類似地，再對(duì)二次函數(shù)f〔x〕＝－x2－4x＋3研討上面四個(gè)方面的問(wèn)題．三、建設(shè)模型對(duì)任何二次函數(shù)y＝f〔x〕＝ax2＋bx＋c，〔a≠0〕都可以通過(guò)配方法化為y＝a〔x＋〕2＋的形式，并且有如下性質(zhì)：1.二次函數(shù)f〔x〕＝ax2＋bx＋c，〔a≠0〕的圖像是一條拋物線，對(duì)稱軸方程為x＝－，頂點(diǎn)坐標(biāo)是〔－，〕．2.〔1〕當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線開(kāi)口向上，函數(shù)在〔－∞，－］上遞減，在［－，＋∞〕上遞增，當(dāng)x＝－時(shí)，［f〔x〕］min＝．〔2〕當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線開(kāi)口向下，函數(shù)在〔－∞，－］上遞增，在［－，＋∞〕上遞減，當(dāng)x＝－時(shí)，［f〔x〕］max＝．思考：〔1〕二次函數(shù)的圖像一定與x軸或y軸相交嗎〔2〕函數(shù)y＝〔x－1〕2＋2，x∈［2，3］的最小值是2嗎四、解釋應(yīng)用［例題］1.求函數(shù)y＝3x2＋2x＋1的最小值和它的圖像的對(duì)稱軸，并指出它的單調(diào)性．注：可利用上面的性質(zhì)直接寫出答案．2.某商品在最近一個(gè)月內(nèi)價(jià)格f〔t〕與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式是f〔t〕＝＋22，〔0≤t≤30，t∈N〕，售量g〔t〕與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系是g〔t〕＝－，〔0≤t≤30，t∈N〕．求這種商品的日銷售額的最大值．解：設(shè)該商品的日銷售額為S，那么∵t∈N，∴當(dāng)t＝10或t＝11時(shí)，Smax＝808.5．答：這種商品日銷額的最大值是808.5．注：此題是應(yīng)用題，自變量t∈N，不能使．［練習(xí)］1.函數(shù)f〔x〕＝x2－2x－3，不計(jì)算函數(shù)值，試比較f〔－2〕和f〔4〕，f〔－3〕和f〔3〕的大?。?.二次函數(shù)y＝f〔x〕滿足f〔1＋x〕＝f〔1－x〕，且方程f〔x〕＝0有兩個(gè)實(shí)根x1，x2，求x1＋x2．3.函數(shù)f〔x〕＝2x2＋〔a－1〕x＋3在［2，＋∞〕上遞增，求a的取值范圍．4.拋物線y＝ax2＋bx與直線y＝ax＋b，〔ab≠0〕的圖像〔如以以下列圖〕只可能是〔〕．四、拓展延伸1.如果二次函數(shù)的圖像〔拋物線〕的頂點(diǎn)坐標(biāo)為〔h，k〕，那么它的解析表達(dá)式如何如果二次函數(shù)的圖像〔拋物線〕與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為〔x1，0〕，〔x2，0〕，它的解析表達(dá)式又如何2.用函數(shù)單調(diào)性的定義研究f〔x〕＝ax2＋bx＋c，〔a＜0〕的單調(diào)性．3.證明函數(shù)f〔x〕＝ax2＋bx＋c，〔a≠0〕的圖像關(guān)于直線x＝－對(duì)稱．點(diǎn)評(píng)這篇案例講述了兩個(gè)方面的知識(shí)點(diǎn)，一是特殊的二次函數(shù)y＝ax2，〔a≠0〕的圖像隨ａ值變化的規(guī)律性，二是二次函數(shù)的性質(zhì)與圖像．設(shè)計(jì)恰當(dāng)，重點(diǎn)突出，即重點(diǎn)講解二次函數(shù)的性質(zhì)與圖像．遵循由特殊到一般、由具體到抽象的原那么，使結(jié)論便于被學(xué)生理解．例題與練習(xí)的選配難易適中，代表廣泛，并有利于穩(wěn)固本課重點(diǎn)知識(shí)．拓展延伸中提出的三個(gè)問(wèn)題都是二次函數(shù)的重要特征，實(shí)用性強(qiáng)，并且所得結(jié)論對(duì)解決有關(guān)問(wèn)題能起到事半功倍的效果．11指數(shù)函數(shù)教材分析指數(shù)函數(shù)是基本初等函數(shù)之一，在數(shù)學(xué)中占有重要地位，在實(shí)際中有著十分廣泛的應(yīng)用，如細(xì)胞分裂、考古中所用的14C教材首先通過(guò)實(shí)例引入什么是指數(shù)函數(shù)．然后給出三個(gè)具體例子y＝2x，y＝10x，y＝〔〕x，用描點(diǎn)法畫其圖像，并借助圖像，觀察得出指數(shù)函數(shù)的定義域、值域、圖像過(guò)定點(diǎn)〔1，0〕及單調(diào)性．最后配備恰當(dāng)?shù)牧?xí)題及練習(xí)．在知識(shí)的形成過(guò)程中，表達(dá)圖像觀察、歸納猜想的思想．這節(jié)內(nèi)容的重點(diǎn)是指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)，難點(diǎn)是應(yīng)用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解決相關(guān)問(wèn)題．教學(xué)目標(biāo)1.了解指數(shù)函數(shù)模型的實(shí)際背景．2.理解并掌握指數(shù)函數(shù)的定義、圖像及性質(zhì)．3.通過(guò)對(duì)指數(shù)函數(shù)的概念、性質(zhì)的歸納、抽象和概括，體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生和形成的過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力．4.在解決簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，體會(huì)指數(shù)函數(shù)是一類重要的數(shù)學(xué)模型，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)．任務(wù)分析學(xué)生在學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容時(shí)，已學(xué)過(guò)了一些基本函數(shù)，如二次函數(shù)，并且學(xué)過(guò)有理指數(shù)冪及其運(yùn)算，這均為學(xué)生學(xué)習(xí)這節(jié)內(nèi)容奠定了根基．由應(yīng)用問(wèn)題建設(shè)指