第二章 實驗數(shù)據(jù)的處理-4

HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@1/472.5實驗數(shù)據(jù)的擬合

在分析實驗數(shù)據(jù)過程中，常常要面臨將實驗數(shù)據(jù)作解析描述的任務(wù)，即用近似解析函數(shù)的形式描述物理規(guī)律。我們通過實驗獲得的數(shù)據(jù)，有些情況下具有如下特點：數(shù)據(jù)量往往比較大數(shù)據(jù)本身存在一定的誤差

對這樣的數(shù)據(jù)如果采用插值方法近似求整個數(shù)據(jù)區(qū)間描述物理規(guī)律的解析函數(shù)，必然存在下列缺點：在一個包含有很多數(shù)據(jù)點的區(qū)間內(nèi)構(gòu)造插值函數(shù)，必然使用高次多項式。而高次插值多項式是不穩(wěn)定的。由于數(shù)據(jù)本身存在誤差，利用插值方法得到的插值多項式必然保留了所有的測量誤差，導(dǎo)致插值函數(shù)與物理規(guī)律差異較大。實驗數(shù)據(jù)的擬合可以克服插值方法在處理這類問題中存在的缺點。HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@2/472.5實驗數(shù)據(jù)的擬合HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@3/472.5實驗數(shù)據(jù)的擬合實驗數(shù)據(jù)擬合的基本思想：

使近似函數(shù)盡量靠近數(shù)據(jù)點，而不要求近似函數(shù)一定通過所有數(shù)據(jù)點。

實驗數(shù)據(jù)擬合可以在一定精度內(nèi)、一定范圍內(nèi)找出反映物理量間客觀函數(shù)關(guān)系的近似解析式。如果實驗數(shù)據(jù)存在誤差，這種做法可以部分抵消原來數(shù)據(jù)中的測量誤差，從而使所得到的擬合函數(shù)更好地反映物理規(guī)律。HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@4/472.5實驗數(shù)據(jù)的擬合利用擬合可以解決兩類物理問題：物理規(guī)律已知，但描述物理規(guī)律的解析式中某些系數(shù)未知，可以利用實驗方法獲得了物理量之間的關(guān)系，通過擬合的方法，求出這些系數(shù)的近似值。物理規(guī)律未知，利用實驗方法獲得了物理量之間的關(guān)系，通過擬合的方法，得到一個近似的解析式，用于描述物理規(guī)律。多項式擬合是經(jīng)常使用的擬合方法。HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@5/472.5實驗數(shù)據(jù)的擬合

首先，從一個簡單的例子來討論一元線性擬合與最小二乘法問題。為了具有一般性，把上式改寫為：

通過實驗測量的方法，求金屬銅電阻溫度系數(shù)α，金屬電阻與溫度關(guān)系如下：2.5.1一元線性擬合HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@6/472.5實驗數(shù)據(jù)的擬合

通過實驗測得金屬銅溫度x與電阻y數(shù)據(jù)如下：xi(℃)Yi(Ω)xi(℃)Yi(Ω)xi(℃)Yi(Ω)04.38755.581406.74104.56805.741506.94204.70905.961607.12304.861006.061707.28405.081106.261807.42505.241206.441907.60605.401306.582007.78HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@7/472.5實驗數(shù)據(jù)的擬合

設(shè)一元線性擬合函數(shù)為：將實驗數(shù)據(jù)代入擬合函數(shù)，得到超定方程組HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@8/472.5實驗數(shù)據(jù)的擬合

由于以上超定方程組不能確定一組唯一的A0和A1，也就是說，由方程組可求得A0和A1的多組解，那么究竟哪一組解最接近客觀真實值呢?

按照擬合的思想，應(yīng)當(dāng)使在每一個測量值盡量接近擬合函數(shù)的函數(shù)值，這樣的擬合函數(shù)才是滿足要求的，即：在兩個觀測量中，往往總有一個量精度比另一個高得多，為簡單起見把精度較高的觀測量看作沒有誤差，即只考慮yi的誤差。設(shè)測量中不存在著系統(tǒng)誤差，或者說已經(jīng)修正，即只考慮測量過程中的偶然誤差，其分布為正態(tài)分布。HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@9/472.5實驗數(shù)據(jù)的擬合在正態(tài)分布、無偏估計條件下，利用統(tǒng)計理論和概率論原理，可以得出最小二乘原理，即偏差的平方和最小，就可以保證在每一個測量點的偏差都很小。可以利用求函數(shù)極值的方法，就可以得到滿足擬合要求的A0和A1HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@10/472.5實驗數(shù)據(jù)的擬合令：求函數(shù)φ極值得到：HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@11/472.5實驗數(shù)據(jù)的擬合即上式也可寫為：矩陣形式為：HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@12/472.5實驗數(shù)據(jù)的擬合解得：就可以得到線性擬合函數(shù)：HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@13/472.5實驗數(shù)據(jù)的擬合線性擬合matlab程序HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@14/472.5實驗數(shù)據(jù)的擬合HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@15/472.5實驗數(shù)據(jù)的擬合

線性擬合在物理實驗中應(yīng)用十分廣泛，例如彈性介質(zhì)楊氏模量測量中應(yīng)變與應(yīng)力的關(guān)系，電阻電路中電流與電壓的關(guān)系等。

有些物理量之間在一定范圍內(nèi)是線性關(guān)系，也可使用線性擬合的方法，只是要注意其適用范圍。

還有一種情況是量物理量之間并不存在線性關(guān)系，但經(jīng)過適當(dāng)變換后可轉(zhuǎn)化為線性關(guān)系。HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@16/472.5實驗數(shù)據(jù)的擬合

常用的線性變換

函數(shù)變換后的函數(shù)HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@17/472.5實驗數(shù)據(jù)的擬合

影響一個物理量的因素，很多情況下不止一個，為了得到描述物理規(guī)律的近似函數(shù)，就必須采取多元線性擬合。設(shè)物理量y隨x1，x2，…，xk等k個物理量而變化，即：

為了尋求描述物理規(guī)律的近似函數(shù)，通過實驗測得n組數(shù)據(jù)(一般n>k)，利用擬合的方法求近似函數(shù)。2.5.2多元線性擬合設(shè)近似函數(shù)為HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@18/472.5實驗數(shù)據(jù)的擬合測得n組實驗數(shù)據(jù)如下：i123……nx1ix11x12x13……x1nx2ix21x22x23……x2nx3ix31x32x33……x3n.....xki.....xk1.....xk2.....xk3.....Xknyiy1y2y3……ynHarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@19/472.5實驗數(shù)據(jù)的擬合

與一元線性擬合的思路相同，由n組實驗數(shù)據(jù)代入上式，得到n個方程式構(gòu)成的k元線性方程組，用最小二乘原理確定函數(shù)系數(shù)A0,A1,…,Ak,使yi與Yi的偏差的平方和最小。令利用分別對系數(shù)A0,A1,…,Ak求極值，就可以求解。HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@20/472.5實驗數(shù)據(jù)的擬合HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@21/472.5實驗數(shù)據(jù)的擬合化簡整理后可得

改寫矩陣形式為HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@22/472.5實驗數(shù)據(jù)的擬合其中HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@23/472.5實驗數(shù)據(jù)的擬合

物理學(xué)及各科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域都普遍存在非線性函數(shù)關(guān)系，對此不能直接使用線性擬合的方法，對這類問題可以采取不同的方法解決。方法一：變換為線性擬合有些非線性函數(shù)可以經(jīng)過變量替換，轉(zhuǎn)化成線性函數(shù)關(guān)系，然后對替換變量進行線性擬合，最后再還原為原始的物理量。但不是所有的函數(shù)關(guān)系都可經(jīng)過變量替換而轉(zhuǎn)化成線性函數(shù)關(guān)系的。方法二：多項式擬合

任何一個連續(xù)函數(shù)，在一個比較小的鄰域內(nèi)均可用多項式任意逼近。所以在物理學(xué)的許多問題中，不論物理量直接存在何種函數(shù)關(guān)系，都可用多項式進行數(shù)據(jù)擬合。2.5.3非線性擬合HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@24/472.5實驗數(shù)據(jù)的擬合

設(shè)有n組實驗數(shù)據(jù)xi，yi，（i=1,2,…,n），用k次多項式擬合，設(shè)擬合方程為：即：多項式擬合HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@25/472.5實驗數(shù)據(jù)的擬合HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@26/472.5實驗數(shù)據(jù)的擬合多項式擬合也可轉(zhuǎn)化為多元線性擬合，只要令一元非線性擬合轉(zhuǎn)化為多元線性擬合HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@27/472.5實驗數(shù)據(jù)的擬合2.5.4線性代數(shù)方程組的解法

在計算機上求解線性代數(shù)方程組的方法：矩陣解法：矩陣運算是matlab的基本運算。直接解法：在計算過程中，如果所有運算都是精確的，在理論上，經(jīng)過有限次運算就可以得到精確解，適用于A為低階稠密矩陣（n不大且元多為非0）的方程組。迭代解法：近似解法，運算次數(shù)因要求的計算精度而變化，適用于A為大型稀疏矩陣（n很大且元多為0）的方程組。HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@28/472.5實驗數(shù)據(jù)的擬合1正則線性方程組矩陣形式為：矩陣解法HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@29/472.5實驗數(shù)據(jù)的擬合2超定線性方程組矩陣形式為：HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@30/472.5實驗數(shù)據(jù)的擬合最小二乘解矩陣形式為：由于HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@31/472.5實驗數(shù)據(jù)的擬合極小條件：即HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@32/472.5實驗數(shù)據(jù)的擬合多元線性擬合HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@33/472.5實驗數(shù)據(jù)的擬合例2.5.1設(shè)y是x1和x2的線形函數(shù),已知下列一組測量值,利用二元一次線形函數(shù)進行擬合x10.19340.68220.30280.54170.15090.69790.37840.86000.85370.5936x20.49660.89980.82160.64490.81800.66020.34200.28970.34120.5341y2.24553.57312.95052.90752.72143.11432.01662.38992.61122.7092設(shè)擬合函數(shù)為:HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@34/472.5實驗數(shù)據(jù)的擬合HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@35/472.5實驗數(shù)據(jù)的擬合多項式擬合函數(shù)格式：p=polyfit(x,y,m)說明：x，y輸入同維數(shù)據(jù)向量m擬合多項式次數(shù)p輸出擬合多項式的系數(shù)向量2.5.5matlab擬合函數(shù)HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@36/472.5實驗數(shù)據(jù)的擬合例2.5.2：多項式擬合HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@37/472.5實驗數(shù)據(jù)的擬合HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@38/472.5實驗數(shù)據(jù)的擬合非線性函數(shù)擬合格式：a=lsqcurvefit(‘fun’,a0,x,y)

說明：x，y輸入同維數(shù)據(jù)向量fun擬合函數(shù)文件a輸出擬合函數(shù)的系數(shù)向量a0

a的初值HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@39/472.5實驗數(shù)據(jù)的擬合例2.5.3：已知利用下列數(shù)據(jù)，求a,b,c,dHarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@40/472.5實驗數(shù)據(jù)的擬合HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@41/472.5實驗數(shù)據(jù)的擬合HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@42/472.5實驗數(shù)據(jù)的擬合HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@43/472.5實驗數(shù)據(jù)的擬合HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@44/472.5實驗數(shù)據(jù)的擬合

擬合的基本思想就是使近似函數(shù)盡量靠近測量點，但并不要求測量點完全落在近似函數(shù)曲線上，判斷近似函數(shù)靠近測量點的數(shù)學(xué)方法采用最小二乘法，即近似函數(shù)值與測量值的偏差