物理競賽之曲線運動與天體運動(一)

1曲線運動與天體運動15:53:20曲線運動要點一、曲線運動的發(fā)生條件F合外力方向與速度方向不在一直線二、曲線運動的特點速度方向一定變化切向力改變速度大小法向力改變速度方向vFnFt三、求解曲線運動問題的運動學(xué)基本方法矢量的合成與分解微元法15:53:20

曲線運動的加速度質(zhì)點的瞬時加速度定義為

AvAvB為求一般的做曲線運動質(zhì)點在任一點的瞬時加速度，通常將其分解為法向加速度an與切向加速度at．OA點曲率圓A點曲率圓半徑B15:53:20

在離水面高度為h的岸邊，有人用繩子拉船靠岸，若人收繩的速率恒為v0，試求船在離岸邊s距離處時的速度與加速度的大小各為多少？

例1解:依據(jù)實際運動效果分解船的運動：v0Avvnhsvt船及與船相系的繩端A的實際運動是水平向左的，這可看作是繩之A端一方面沿繩方向向“前方”滑輪處“收短”，同時以滑輪為圓心轉(zhuǎn)動而成，即將實際速度v分解成沿繩方向“收短”的分速度vn和垂直于繩方向的轉(zhuǎn)動分速度vt;

注意到繩子是不可伸長的，人收繩的速率v0也就是繩端A點沿繩方向移動速率vn:

由圖示v、vt、vn矢量關(guān)系及位置的幾何關(guān)系易得：

求船的速度續(xù)解15:53:20求船的加速度在一小段時間Δt內(nèi),船頭位置從A移A′，繩繞滑輪轉(zhuǎn)過一小角度Δθ→0:Avv0vtv0讀題由加速度定義得：

由幾何關(guān)系得：

15:53:20解:

質(zhì)點沿圓周做速度大小、方向均變化的運動．每個瞬時的加速度均可分解為切向加速度at與法向加速度an，前者反映質(zhì)點速率變化快慢，后者反映質(zhì)點速度方向變化快慢．

如圖所示，質(zhì)點從O點由靜止開始沿半徑為R的圓周做速率均勻增大的運動，到達A點時質(zhì)點的加速度與速度方向夾角為α，質(zhì)點通過的弧s所對的圓心角為β，試確定α與β間的關(guān)系．例2vAaAOβsatan由題給條件而又15:53:20

如圖所示，質(zhì)點沿一圓周運動，過M點時速度大小為v，加速度矢量與圓相交成弦MA=l，試求此加速度的大小．練習(xí)題1解:將M點加速度沿切向與法向進行分解!vaMAlOatan法向加速度15:53:20

如圖所示，曲柄OA長40cm,以等角速度ω=0.5rad/s繞O軸反時針方向轉(zhuǎn)動．由于曲柄的A端推動水平板B而使滑桿C沿豎直方向上升，求當曲柄與水平線夾角θ=30°時，滑桿C的加速度．練習(xí)題2解:桿A與B板接觸點有相同沿豎直方向的加速度

!桿上A點加速度OABCωθaAaAyaCθ此即滑桿C的加速度代入數(shù)據(jù)得滑桿C的加速度15:53:20

有一只狐貍以不變的速度v1沿著直線AB逃跑，一獵犬以不變的速率v2追擊，其運動方向始終對準狐貍．某時刻狐貍在F處，獵犬在D處，F(xiàn)D⊥AB，且FD＝L，如圖．試求此時獵犬的加速度的大?。?/p>

練習(xí)題3解:設(shè)Δt時間內(nèi)，v2方向變化Δθ,Δθ→0時:

FLABDv1v2v2v2v2由加速度定義，獵犬加速度15:53:20y解:

質(zhì)點的運動是質(zhì)點相對槽的運動及與槽一起轉(zhuǎn)動兩者之合運動．

如圖所示，圓盤半徑為R，以角速度ω繞盤心O轉(zhuǎn)動，一質(zhì)點沿徑向槽以恒定速度u自盤心向外運動，試求質(zhì)點的加速度．

例3科里奧利加速度AO本題討論中介參考系以ω勻速轉(zhuǎn)動時，質(zhì)點加速度的構(gòu)成

u

設(shè)某一瞬時質(zhì)點沿槽運動到與O相距r的位置AyBxOAuωru

經(jīng)Δt時間，質(zhì)點沿槽運動到與盤心O相距r+uΔt的位置B，盤轉(zhuǎn)過了角度ωΔt，故質(zhì)點實際應(yīng)在位置B′在Δt時間內(nèi)，質(zhì)點沿y方向速度增量為在Δt時間內(nèi)，質(zhì)點沿x方向速度增量為注意到Δt→0時

續(xù)解15:53:20讀題方向與x成牽連加速度科里奧利加速度矢量圖示中介參考系以ω勻速轉(zhuǎn)動時，質(zhì)點加速度的構(gòu)成相對中介參考系的加速度

牽連加速度

科里奧利加速度yxOA由于參考系轉(zhuǎn)動及質(zhì)點對參考系有相對運動而產(chǎn)生的，方向指向u沿ω方向轉(zhuǎn)過90°的方向返回試手15:53:20

如圖所示,一等腰直角三角形OAB在其自身平面內(nèi)以等角速度ω繞頂點O轉(zhuǎn)動，某一點M以等相對速度沿AB邊運動，當三角形轉(zhuǎn)了一周時，M點走過了AB，如已知AB＝b，試求M點在A時的速度與加速度．

練習(xí)題4解:求質(zhì)點的速度OABMω引入中介參照系-三角形OAB質(zhì)點對軸O的速度（相對速度）三角形A點對軸的速度（牽連速度）質(zhì)點對軸O的速度（絕對速度）vMvMAvA三速度關(guān)系為vM方向與AB夾角續(xù)解15:53:20求質(zhì)點的加速度相對中介參考系的加速度

牽連加速度科里奧利加速度OABMωaAa科aM方向與AO夾角規(guī)律15:53:20

曲線運動軌跡的曲率曲線的彎曲程度用曲率描述

曲線上某點的曲率定義為圓周上各點曲率相同:

曲線上各點對應(yīng)的半徑為該點曲率倒數(shù)1/K的圓稱為曲率圓,該圓圓心稱曲線該點的曲率中心!15:53:20M1物理方法求曲率(半徑)

用矢量分解法求橢圓長軸與短軸端點的曲率半徑,已知長半軸與短半軸為a和b.例4設(shè)質(zhì)點在M平面內(nèi)沿橢圓軌道以速率v運動，這個運動在M1平面的一個分運動軌道恰成半徑為b的圓，則兩平面間夾角對橢圓長軸端的A點:A1aA1對A點投影A1點:橢圓短軸端B點的曲率半徑由B1vvMAaABvaBaB15:53:20

旋轉(zhuǎn)半徑為r、螺距為h的等距螺旋線，曲率半徑處處相同．試用運動學(xué)方法求解曲率半徑ρ值．練習(xí)題5解:設(shè)物體以v0做勻速率的圓周運動、同時以vh沿垂直于v0方向做勻速直線運動，每前進一個螺距，完成一次圓周，即有

設(shè)螺旋線上任一點的曲率半徑為ρhr15:53:20受恒力作用平拋運動規(guī)律力與初速度垂直軌跡為半支拋物線勻變速曲線運動◎物體在時刻t的位置◎物體在時刻t的速度水平方向勻速運動與豎直方向自由落體運動的合成返回15:53:20平拋初速大小不同,落在斜面上時速度方向相同!H變換坐標描述平拋運動v0g空中飛行時間距斜面最大高度沿斜面方向的勻加速運動與垂直斜面方向的上拋運動之合成!15:53:20

如圖所示，小冰球從高為H的光滑坡頂由靜止開始下滑，這個坡的末端形如水平跳板．當跳板高h為何值時，冰球飛過的距離s最遠？它等于多少？練習(xí)題6HhAB解:物體從坡末端B水平飛出后做平拋運動:由基本不等式性質(zhì)15:53:20

兩個質(zhì)點以加速度g在均勻重力場中運動．開始時兩個質(zhì)點位于同一點，且其中一個質(zhì)點具有水平速度v1＝3.0m／s；另一個質(zhì)點水平速度v2＝4.0m／s，方向與前者相反．求當兩個質(zhì)點的速度矢量相互垂直時，它們之間的距離．

練習(xí)題7解:當兩質(zhì)點速度互相垂直時，速度矢量關(guān)系如圖示:v1vyv1tv2tv2vy由矢量圖得15:53:20

如圖，一倉庫高25m，寬40m．今在倉庫前l(fā)m、高5m的A處拋一石塊，使石塊拋過屋頂，問距離l為多大時，初速度v0之值最?。浚╣取10m/s2）練習(xí)題8

hSv0lvBAH解:B過B點時速度方向與水平成45°時，可以最小的vB越過40m倉庫頂!從A到B豎直方向分運動有從A到B水平方向分運動有15:53:20x岸

木排停泊在河上，到岸的距離L＝60m．流水速度同離岸的距離成比例地增大，在岸邊u0=0，而在木排邊流速uL=2m/s．小汽船離開岸駛向木排．船對水的速度v=7.2km/h．問駕駛員在起航前應(yīng)該使船指向何方，使以后無須校正船速就能靠上與起航處正對面的木排？這時船航行多少時間？練習(xí)題9解:V0=v流水速度為船的合速度為在岸邊船的合速度大小V0=v方向如示!中間時刻船合速度沿x方向,航線如

示vu中VVvuL通過L的時間15:53:20

如圖所示，一個完全彈性小球自由下落，經(jīng)5m碰到斜面上的A點．同時斜面正以V＝10m／s在水平面上做勻速運動，斜面與水平面的傾角為45°．問在離A點多遠處，小球?qū)⑴c斜面發(fā)生第二次碰撞？練習(xí)題12解:球以v=10m/s入射，與斜面的接近速度

vAV球與斜面的分離速度

球從與斜面分離到再次碰撞歷時g注意到球沿斜面體方向初速度為零，加速度gsin45°

球再與斜面碰撞處距A15:53:20

如圖所示，一人站在一平滑的山坡上，山坡與水平面成角度α．他與水平成θ仰角扔出的石子落在斜坡上距離為L，求其拋出時初速度v0及以此大小初速度拋出的石子在斜坡上可以達到的最大距離．

練習(xí)題10解:v0g石子沿山坡方向做勻加速運動

石子沿垂直山坡方向做勻加速運動

設(shè)拋出石子的仰角為β

15:53:20

小球以恒定速度v沿水平面運動，在A點墜落于半徑為r和深為Ｈ的豎直圓柱形井中．小球速度v與過Ａ點井的直徑成α，俯視如圖．問v、H、r、α之間關(guān)系如何，才能使小球與井壁和井底彈性碰撞后，能夠從井里“跳出來”（不計摩擦）練習(xí)題11vAr解:小球運動軌跡的俯視圖如示

小球兩次與壁相碰點間水平射程為

歷時

從進入至與底碰撞歷時

為使小球與井壁和井底彈性碰撞后，能夠從井里“跳出來”(n、k均為正整數(shù))

小球在豎直方向做自由下落或碰底上拋至速度為零小球在水平方向以v勻速運動,碰壁“反射”15:53:20

如圖，一位網(wǎng)球運動員用拍朝水平方向擊球，第一只球落在自己一方場地上后彈跳起來剛好擦網(wǎng)而過，落在對方場地Ａ處．第二只球直接擦網(wǎng)而過，也落在Ａ處．球與地面的碰撞是完全彈性的，且空氣阻力不計，試求運動員擊球高度為網(wǎng)高的多少倍？練習(xí)題12解:BACOH設(shè)C點高度為h，由題意球1運動時間為由題意球2運動時間為∵水平射程相同x15:53:20

初速度為v0

的炮彈向空中射擊，不考慮空氣阻力，試求出空間安全區(qū)域的邊界的方程．練習(xí)題13解:

這個問題可抽象為一個求射出炮彈在空中可能軌跡的包絡(luò)線方程問題，包絡(luò)線以外即為安全區(qū)域．

如圖，在空間三維坐標中，設(shè)初速度方向與xy平面成θ角，由拋體運動規(guī)律可建立時間t的三個參數(shù)方程

xzyOv0vxvyvz續(xù)解15:53:20這是發(fā)射角θ各不相同的炮彈的空間軌跡方程此方程式有解時，必滿足

包絡(luò)線方程為

這里我們運用了曲線簇的包絡(luò)線的數(shù)學(xué)模型處理了一個有實際應(yīng)用背景的物理問題

整理該包絡(luò)線方程為所求安全區(qū)域的邊界方程讀題15:53:20

機車以等速率v0沿直線軌道行駛．機車車輪半徑為r．如車輪只滾動不滑動，將輪緣上的點M在軌道上的起點位置取為坐標原點，并將軌道取為x軸，如圖所示，求M點的運動軌跡方程以及軌跡的曲率半徑，并求