第2章 數學模型

§2-1概述§2-2傳遞函數§2-3典型環(huán)節(jié)的傳遞函數§2-4閉環(huán)控制系統(tǒng)的動態(tài)結構圖§2-5動態(tài)結構圖的等效變換§2-6反饋控制系統(tǒng)的傳遞函數§2-7信號流圖與梅遜公式第二章：控制系統(tǒng)的數學模型

§

2.1數學模型概述

為了從理論上對自動控制系統(tǒng)進行定性分析和定量計算，首先需要建立系統(tǒng)的數學模型。系統(tǒng)的數學模型：描述系統(tǒng)輸入、輸出變量以及內部各變量之間關系的數學表達式。常用的動態(tài)數學模型有微分方程、傳遞函數及動態(tài)結構圖。系統(tǒng)數學模型的建立，一般采用解析法或實驗法。

解析法：依據系統(tǒng)及元件各變量之間所遵循的物理、化學定律，列寫出變量間的數學表達式，從而建立數學模型。本章僅討論解析法，關于實驗法將在后面的章節(jié)進行介紹。2.1.1線性系統(tǒng)的微分方程模型

很多常見的元件或系統(tǒng)的輸出量和輸入量之間的關系都可以用一個微分方程表示。微分方程的階數一般是指方程中最高導數項的階數,又稱為系統(tǒng)的階數。

如圖機械系統(tǒng)，由牛頓定理得到以下關系：如圖RLC網絡，由電路定律可得:

不同的物理系統(tǒng)可能得到相似的數學表達式。如果它們對應的系數和初始條件相同，則它們的解將完全相同。這樣就可以撇開系統(tǒng)的具體物理屬性，研究這些系統(tǒng)的運動過程的共同規(guī)律。

有了數學表達式，就可從理論上進行普遍意義上的分析。

機械系統(tǒng)中，設外力F＝1，質量m＝2，彈性系數k＝1，若阻尼系數較?。?，則發(fā)生震蕩，若阻尼系數較大＝10，不會產生震蕩。但無論阻尼大小如何，最終物體將下降一個單位長度，新增的彈力正好和外力相抵，系統(tǒng)進入一個新的平衡點。

總之，建立合理的數學模型，是至關重要的問題。許多系統(tǒng)，事件及項目就是因為無法建立合理的數學模型而不能加以預測和控制。2.1.2列寫微分方程的一般方法用解析法列寫系統(tǒng)或元件微分方程的一般步驟是：

1．根據實際工作情況，將系統(tǒng)劃分為多個獨立的環(huán)節(jié)，標出各環(huán)節(jié)的輸入、輸出變量。各環(huán)節(jié)之間無負載效應。

2．從輸入端開始，按照信號的傳遞順序，依據各環(huán)節(jié)所遵循的物理定律，列寫的動態(tài)方程，一般為微分方程組。

3．消去中間變量，寫出系統(tǒng)輸入、輸出變量的微分方程。

4．標準化。即將與輸入有關的各項放在等號右側，與輸出有關的各項放在等號左側，并按降冪排列。最后將系數歸化為具有一定物理意義的形式。

例2.1列寫如圖所示RC濾波電路的微分方程。（假設電路的輸入電源的內阻為零，輸出接的負載具有無限大阻抗）

解

根據基爾霍夫定律得：消除中間變量，得到濾波網絡的微分方程式為：若撇開具體系統(tǒng)的物理屬性，令r(t)為輸入，c(t)為輸出。線性n階系統(tǒng)的輸入輸出微分方程式的一般表達式可寫為

式中均為由系統(tǒng)結構參數決定的常系數，且有n≥m。令則上式可改寫為：2.1.3

非線性數學模型的線性化

在建立控制系統(tǒng)的數學模型時，常常遇到非線性的問題。嚴格地講，實際的物理系統(tǒng)都包含著不同程度的非線性因素。但是，許多非線性系統(tǒng)在一定的條件下可以近似地視作線性系統(tǒng)。若控制系統(tǒng)在工作點的附近微小運動，則可將非線性函數展開為泰勒級數，并忽略級數展開式中的高次項，從而得到只含一次項的線性化方程。即用工作點的切線代替非線性曲線。

對于一般的非線性系統(tǒng)，假設其輸入量為r，輸出量為c，并設在給定工作點處c0=f(r

0)，各階導數均存在，則可在的鄰域展開泰勒級數，即當(r－r0)，很小時，可以忽略上式中二階以上各項，得

或

在處理非線性問題時，應注意以下幾點：1．線性化是在輸入、輸出量圍繞平衡點作小范圍變化的假設下進行的。一般取零誤差狀態(tài)作為平衡工作狀態(tài)。2．線性化以切線代替曲線，是一種近似處理。系統(tǒng)的實際變化量如果很大，則采用小偏差線性模型將會帶來較大的計算誤差。3.對于某些嚴重的典型非線性，不能進行求導運算，因此原則上不能用小偏差法進行線性化

例2.2

圖示為一個單擺系統(tǒng),輸入量M為零(不加外力矩),輸出量為擺幅θ(t)。擺錘的質量為m,擺桿長度為l,空氣阻尼系數為μ,重力加速度為g。試建立系統(tǒng)的近似線性運動方程。

解對于圖示的單擺系統(tǒng),根據牛頓運動定律可以直接推出如下系統(tǒng)運動方程:

顯然方程是一個二階的非線性微分方程(因為含有sinθ),但是在擺幅較小的情況下,將其線性化處理：令非線性函數sin(θ)=f，則工作點在θ0=0，f0=0。線性化：即單擺系統(tǒng)的近似線性化動態(tài)方程為：§

2.2傳

遞

函

數

2.2.1拉氏變換

1.拉氏變換的定義將時間函數f(t)乘上指數函數e-st(其中s=σ+jω是一個復數),并且在［0,+∞］上對t積分,稱為f(t)的拉氏變換,并用L[f(t)］表示。

拉氏變換將原來的時間函數f(t)轉化為復變量函數F(s)。

通常將F(s)稱作f(t)的象函數,將f(t)稱作F(s)的原函數。

傳遞函數是對微分方程取拉氏變換后推導出來的概念。2.拉氏變換的計算根據定義積分計算，各典型函數的拉氏變換見下表。2)MATLAB計算

symsst;Ft=1-sin(t)Fs=laplace(Ft,t,s)

執(zhí)行結果：Fs=1/s-1/(s^2+1)3.拉氏反變換已知時間函數的象函數通過拉氏反變換求出其時間函數：1)部分分式法將F(s)展開成多個典型函數的象函數之代數和，查表。例2.3F(s)含單極點和重極點時的拉氏反變換。解:2)MATLAB拉氏反變換指令：ilaplace(Fs,s,t)例2.3的MATLAB求解程序：symss,t;ilaplace(1/[s*(s+3)*(s+1)^2])計算結果與手算結果完全一樣。例2.4F(s)含有共軛復極點時的反變換。解：用MATLAB求解：symsst;ft=ilaplace((s+1)/[s*(s^2+s+1)]);pretty(ft)%將符號表達式寫成易讀形式與手算結果一樣4.拉氏變換的基本定理1)線性定理兩個函數和的拉氏變換,等于每個函數拉氏變換的和,即

函數放大k倍的拉氏變換等于該函數拉氏變換的k倍,即

2)微分定理成立,則有

如果初始條件3)終值定理函數f(t)在t→+∞時的函數值(即穩(wěn)定值)可以通過f(t)的拉氏變換F(s)乘以s取s→0時的極限而得到,即

總結：微分方程通過拉氏變換變成代數方程，解代數方程可求出輸出的象函數，對象函數取拉反變換，可求出微分方程的解。2.2.2傳遞函數的定義和特點

1.傳遞函數的定義線性定常系統(tǒng)的傳遞函數,定義為零初始條件下,系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比。設輸入量為r(t)；輸出量為c(t)

，定義傳遞函數為：

一般線性定常系統(tǒng)由下面的n階線性常微分方程描述:

如果r(t)和c(t)及其各階導數在t=0時的值均為零，則根據拉氏變換的定義和性質,對微分方程進行拉氏變換,可得

由傳遞函數的定義可得系統(tǒng)的多項式形式的傳遞函數為

用MATLAB指令：

Gs=tf([b0，b1，……，bm]，[a0，a1，……，an])或者

s=tf(‘s’)；Gs=關于s的多項式構造多項式形式的傳遞函數后，可以用MATLAB的各種控制系統(tǒng)指令分析系統(tǒng)。傳遞函數的零極點形式zi(i=1,2,…,m)和pj(j=1,2,…,n)分別稱為傳遞函數的零點和極點,K1稱為傳遞函數的增益或根軌跡增益。τi(i=1,2,…,m)和Tj(j=1,2,…,n)為系統(tǒng)中各環(huán)節(jié)的時間常數,K為系統(tǒng)的放大倍數。

用MATLAB指令：

Gs=zpk([z0，z1，……，zm]，[p0，p1，……，pn]，K)或者

s=tf(‘s’)；Gs=關于s的因式可構造零極點形式的傳遞函數。傳遞函數的參數形式

使用Gtf=tf(Gzpk)或者Gzpk＝zpk(Gtf)

可實現傳遞函數在零極點形式和多項式形式之間的互換。即可將傳遞函數進行展開和因式分解。例2.4

求傳遞函數的零極點形式。解G=tf([26,4],[1,14,63,90]);

F=zpk(G)

執(zhí)行結果：Zero/pole/gain:2(s+2)(s+1)-------------------------(s+6)(s+5)(s+3)

2.傳遞函數的特點

(1)傳遞函數的概念適用于線性定常系統(tǒng),傳遞函數的結構和各項系數(包括常數項)完全取決于系統(tǒng)本身結構,因此,它是系統(tǒng)的動態(tài)數學模型,而與輸入信號的具體形式和大小無關,也不反映系統(tǒng)的任何內部信息。同一個系統(tǒng)若選擇不同的量作為輸入量和輸出量,所得到的傳遞函數可能不同。所以談到傳遞函數,必須指明輸入量和輸出量。

已知傳遞函數，可求任意輸入R(s)下的輸出C(s)：(2)傳遞函數是在零初始條件下定義的。但是，對輸入量加于系統(tǒng)之前,系統(tǒng)處于穩(wěn)定工作狀態(tài)的情況同樣適用。

(3)對于實際的物理系統(tǒng)和元件而言,傳遞函數的分子多項式的階次總是小于分母多項式的階次,即m＜n。它反映了一個基本事實:一個物理系統(tǒng)的輸出不可能立即復現輸入信號,只有經過一段時間后,輸出量才能達到輸入量所要求的數值。(4)傳遞函數與線性常微分方程一一對應。將傳遞函數展開并取拉氏反變換可得到微分方程。例如,由傳遞函數

可得s的代數方程

(a0s2+a1s+a2)C(s)=(b1s+b2)R(s)對方程兩端取拉氏反變換，

便得到相應的微分方程

(5)傳遞函數不能反映系統(tǒng)或元件的學科屬性和物理性質。物理性質和學科類別截然不同的系統(tǒng)可能具有完全相同的傳遞函數。另一方面,研究某一種傳遞函數所得到的結論,可以適用于具有這種傳遞函數的各種系統(tǒng),這就極大地提高了控制工作者的效率。

§2-3典型環(huán)節(jié)的傳遞函數

在傳遞函數中，可以分解出基本單元，控制系統(tǒng)也是由典型環(huán)節(jié)組成，一般可分為比例、慣性、積分、一階微分、二階振蕩、時滯共七種。

(1)比例環(huán)節(jié)輸入、輸出關系及傳遞函數為

式中K為增益。特點:輸入輸出量成比例,無失真和時間延遲。實例:電子放大器,齒輪,電阻(電位器),感應式變送器等。

例2.5

求運算放大器組成的比例環(huán)節(jié)的傳遞函數。

解運算放大器是控制系統(tǒng)中最常用的器件。分析要點：①運算放大器的開環(huán)放大倍數K為無限大。②輸入電阻為無限大，輸出電阻為零。③輸入端電壓、電流均為零。如圖有下列關系式：

在應用運算放大器時，往往是利用反相端輸入的，因此輸出、輸入電壓的相位相反，傳遞函數出現了負號。為了方便，可以暫不考慮符號。

(2)慣性環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)具有下列特性：當輸入階躍變化時，輸出不能立即按比例復現輸入，而是按指數曲線規(guī)律變化,經過一段時間以后才能復現輸入。

例2.6圖示RC線性電路，各元件特性為：

設電容電壓的初始值為0，對以上兩式取拉氏變換，得在復數域內電阻、電容均滿足歐姆定理：U=ZI，因此，RC網絡可看成直流電路網絡，用直流電路分析方法分析。其中，ZR=R——阻抗

ZC=1/cs——容抗對應的復數電路如圖，由直流電路的分壓公式，得

由此可得RC網絡的傳遞函數為

令輸入電壓ur=1V，Ur(s)=1/s，輸出電壓象函數為

輸出電壓時間函數為

取T=RC=2s和4s，繪出輸出電壓的響應曲線如圖，輸出是按指數曲線增長的，初始上升率在數值上等于時間常數T的倒數，輸出經3T的時間后到達穩(wěn)定值的95％，所以，網絡是一個慣性環(huán)節(jié)。慣性環(huán)節(jié)的傳遞函數為時間常數T是慣性環(huán)節(jié)的重要參數，T越大，慣性越大，輸出上升越緩慢。

積分環(huán)節(jié)的傳遞函數為

(3)積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)具有下列特性；輸出等于輸入的積分。令r(t)為輸入，c(t)為輸出，積分時間常數為T。則積分環(huán)節(jié)有下列關系式

在零初始條件時，對上式取拉氏變換T=1,則G(S)=1/s，稱為純積分環(huán)節(jié)。

例2.6圖示為積分運算放大器。設輸出電壓為ur和輸入電壓為uc，由復數阻抗可得下列關系式;顯然為積分環(huán)節(jié)，積分時間常數T=R0C積分環(huán)節(jié)的單位階躍輸入響應曲線如圖，運放的限幅電路使輸出不會無窮大。(4)微分環(huán)節(jié)理想微分環(huán)節(jié)的特性；輸出等于輸入的微分，即輸出與輸入的變化速度成正比。令微分時間常數為τ。則微分環(huán)節(jié)有下列關系式

若輸入量為單位階躍函數，即r(t)=1(t)，則輸出的單位階躍響應為在零初始條件時，對上式進行拉氏變換后得傳遞函數為

這是一個面積為τ的脈沖，脈沖寬為零；幅值為無窮大。理想微分環(huán)節(jié)在實際中是得不到的。下面看幾種實際微分環(huán)節(jié)的例子。

例2.7圖示為一電感元件，若以電流i為輸入量，電壓u為輸出量，則對上式進行拉氏變換得Ls

稱為感抗。電感元件可以看作一個微分環(huán)節(jié)。且形式上滿足歐姆定理。在零初始條件的電路網絡中R、L、C用復數阻抗形式表示后，可使用直流電路的分析方法。

例2.8圖示的近似微分電路的傳遞函數為式中當τ＜＜1時，才能近似地得到τ=0.01s時單位階躍響應曲線如圖一階微分環(huán)節(jié)也不是純微分環(huán)節(jié)，一階微分環(huán)節(jié)的輸出不僅與輸入量的變化率有關，而且還和輸入量的大小有關。對上式進行拉氏變換得由此可知一階微分環(huán)節(jié)的傳遞函數為

一階微分環(huán)節(jié)方框圖和單位階躍響應曲線如圖。

例2.9

求圖示運算放大器路的傳遞函數解

聯(lián)解上列各式得電路的傳遞函數為式中τ=R0C,是一個一階微分環(huán)節(jié)。

(5)二階振蕩環(huán)節(jié)環(huán)節(jié)輸出與輸出量的一階微分、二階微分、輸出量本身及輸入量均有關，多數情況下輸出會出現振蕩。其微分方程如下零初始條件時，對上求拉氏變換得或寫作

式中——阻尼系數

——自然振蕩角頻率G=tf(3,[113]),step(G)

(6)時遲環(huán)節(jié)環(huán)節(jié)的特點：輸出信號比輸入信號遲后一定時間。其表達式為

式中τ——遲后時間對上式求拉氏變換，可得由此可知遲后環(huán)節(jié)的傳遞函數為傳輸延遲的兩個例子如圖MATLAB遲后環(huán)節(jié)的加入用指令：

Gputd=T%T遲后時間例如的單位階躍響應為

Gs=tf(1);Gs.inputd=0.5

執(zhí)行后得：Gs=exp(-0.5s)

step(Gs)%繪出Gs的單位階躍響應曲線與圖2-27一樣。

系統(tǒng)中有遲后環(huán)節(jié)，則系統(tǒng)傳遞函數變?yōu)槌椒匠?，給以后系統(tǒng)分析帶來不便，故把遲后環(huán)節(jié)傳遞函數展開成級數如下

若遲后時間τ足夠小，則可忽略上式中τ的高次項，遲后環(huán)節(jié)傳遞函數可近似為

上式說明，小時間遲后環(huán)節(jié)可近似為一個小慣性環(huán)節(jié)，且慣性時間常數等于遲后時間。§2-4閉環(huán)控制系統(tǒng)的動態(tài)結構圖

動態(tài)結構圖（簡稱方框圖）是系統(tǒng)模型的圖形表達方式，直觀地顯示了系統(tǒng)的結構及各環(huán)節(jié)之間的關系。2.4.1結構圖的組成與繪制

1.結構圖的組成

(1)方框——代表一個元件，元件的傳遞函數放在方框內,方框外面帶箭頭的線段表示輸入信號和輸出信號，信號只能沿箭頭方向傳遞。

(2)分支點——信號分成多路的點。需要注意的是,無論一個分支點引出多少條信號流線,它們都是原始大小的信號。

(3)匯合點——兩個以上信號的代數和運算，箭頭附近的＋、－號表示信號是相加還是相減。

2.系統(tǒng)結構圖的繪制

(1)根據系統(tǒng)的原理框圖，將系統(tǒng)劃分為多個獨立環(huán)節(jié)。確定系統(tǒng)的輸入量和輸出量和中間變量（環(huán)節(jié)的輸入、輸出量）。

(2)求各個環(huán)節(jié)的傳遞函數，寫出每個環(huán)節(jié)輸出的象函數。

(3)根據每個環(huán)節(jié)的輸入、輸出關系將各個環(huán)節(jié)連接起來。就得到系統(tǒng)的動態(tài)結構圖，

例2.10

圖RC網絡中,電壓u1(t)、u2(t)分別為輸入量和輸出量,繪制系統(tǒng)的結構圖。

解將RC看成環(huán)節(jié)，確定RC的輸入、輸出量，求出RC的傳遞函數（即復數阻抗），如圖（b）所示。2.4.2閉環(huán)系統(tǒng)的結構圖

一個閉環(huán)負反饋系統(tǒng)通常用圖示的結構圖來表示。

輸出量C(s)反饋到相加點,并且在相加點與參考輸入量R(s)進行比較。

圖中各信號之間的關系為

C(s)=G1(s)E(s)

E(s)=R(s)-B(s)

B(s)=H(s)C(s)式中E(s)和B(s)分別為偏差信號和反饋信號的拉氏變換,H(s)為反饋通道傳遞函數。反饋信號B(s)=H(s)C(s)。

反饋信號B(s)與偏差信號E(s)之比,叫做開環(huán)傳遞函數,即

輸出量C(s)和偏差信號E(s)之比,叫做前向通道傳遞函數,即

如果反饋傳遞函數等于1,那么開環(huán)傳遞函數和前向傳遞函數相同,并稱這時的閉環(huán)反饋系統(tǒng)為單位反饋系統(tǒng)。從圖2-9可以推出系統(tǒng)輸出量C(s)和輸入量R(s)之間的關系,具體推導如下:

C(s)=G1(s)E(s)E(s)=R(s)-B(s)=R(s)-H(s)C(s)

消去E(s)可得

C(s)=G1(s)[R(s)-H(s)C(s)]

所以有

上式就是系統(tǒng)輸出量C(s)和輸入量R(s)之間的傳遞函數,稱為閉環(huán)傳遞函數。已知閉環(huán)傳遞函數和輸入量的拉氏變換，可得系統(tǒng)輸出的拉氏變換C(s)：

可見,閉環(huán)系統(tǒng)的輸出量取決于閉環(huán)傳遞函數和輸入量。

2.4.3擾動作用下的閉環(huán)系統(tǒng)

實際的系統(tǒng)經常會受到外界擾動的干擾,通常擾動作用下的閉環(huán)系統(tǒng)的結構圖如圖。系統(tǒng)存在兩個輸入量,即參考輸入量R(s)和擾動量N(s)。

擾動作用下的閉環(huán)系統(tǒng)結構圖

返回

由于線性系統(tǒng)滿足疊加原理,可以先對每一個輸入量單獨地進行處理,然后將每個輸入量單獨作用時的輸出量進行疊加,就可得到系統(tǒng)的總輸出量。研究擾動量N(s)對系統(tǒng)的影響時,可以假設參考輸入信號R(s)=0,經過簡單的推導可以得出系統(tǒng)對擾動的響應CN(s)為

所以,系統(tǒng)輸出對擾動的傳遞函數GN(s)=CN(s)/N(s)為

圖

同樣在分析系統(tǒng)對參考輸入的響應時,可以假設擾動量N(s)=0,這時系統(tǒng)對參考輸入量R(s)的響應CR(s)為

所以,系統(tǒng)輸出對參考輸入的傳遞函數G(s)=CR(s)/R(s)為

根據線性系統(tǒng)的疊加原理可知,參考輸入量R(s)和擾動量N(s)同時作用于系統(tǒng)時,系統(tǒng)的響應(總輸出)C(s)為

圖§2-5動態(tài)結構圖的等效變換

利用結構圖分析和設計系統(tǒng)時,常常要對結構圖進行簡化和變換。基本原則是相關聯(lián)的輸出不變。

1.串聯(lián)環(huán)節(jié)的簡化

幾個環(huán)節(jié)的結構圖首尾連接,稱這種結構為串聯(lián)環(huán)節(jié)。消去中間變量X1(s)和X2(s)得輸出X3為由圖（b)得輸出X3為由圖（a)得圖（b)是圖（a)的等效變換。

結論：n個環(huán)節(jié)(每個環(huán)節(jié)的傳遞函數為Gi(s),i=1,2,…,n)串聯(lián)的等效傳遞函數等于n個傳遞函數相乘。

G(s)=G1(s)G2(s)…Gn(s)MATLAB指令：series(G1,G2)%一次只能兩個串聯(lián)或者G1*G2*…注意：直接用傳遞函數進行四則運算結果有時不是最簡式，可用zpk(.)轉換成零極點形式，再手工去掉偶極子。由圖（a)消去中間變量X1(s)、X2(s)和X3(s)得輸出X4為2.并聯(lián)環(huán)節(jié)的簡化

兩個或多個環(huán)節(jié)具有同一個輸入信號,而以各自環(huán)節(jié)輸出信號的代數和作為總的輸出信號,這種結構稱為并聯(lián)環(huán)節(jié)。結論：n個環(huán)節(jié)并聯(lián)，其等效傳遞函數等于各個環(huán)節(jié)傳遞函數相加減。MATLAB求傳遞函數的并聯(lián)指令：parallel(G1,G2)%一次只能兩個并聯(lián)或者G1+G2+…..由圖（b)

得輸出X4和上式完全一樣，所以，圖（b）是圖（a)的等效變換，即圖（a）的等效傳遞函數為3.反饋回路的簡化圖示為一個基本的反饋回路。閉環(huán)傳遞函數為

例2.11

設負反饋系統(tǒng)傳遞函數如下，求閉環(huán)傳遞函數。解代入公式，化簡得用MATLAB求解：G1=tf([1],[124]);H=tf(1,[11]);G=feedback(G1,H)%求負反饋閉環(huán)傳遞函數結果與手算結果相同。其中：feedback(G,H,sing)是求閉環(huán)傳遞函數指令，sing?。?或者缺省為負反饋，sing取1是正反饋。按公式用MATLAB計算：G=G1/(1+G1*H)ransferfunction:s^3+3s^2+6s+4------------------------------------------------------------s^5+5s^4+16s^3+29s^2+34s+20上式G不是最簡式，可用zpk(G)將G轉換成零極點形式再消去偶極子，得到最簡式：Zero/pole/gain:(s+1)(s^2+2s+4)-----------------------------------------------------------------(s+1.322)(s^2+2s+4)(s^2+1.678s+3.782)消去偶極子重新輸入：

s=tf(‘s’);G=

(s+1)

/[(s+1.322)*(s^2+1.678*s+3.782)]可得到與手算結果一樣的結果。

4.相加點的移動

5.分支點的移動6.相加點的換位

D=A±B±C=A±C±B

結論：相鄰相加點之間可以交換位置。并且,這個結論對于多個相鄰的相加點也適用。

圖（a）、圖（b）的輸出D均為

7.分支點的換位從一個信號流線上無論分出多少條信號線,它們都代表同一個信號。所以相鄰分支點之間可以隨意改變位置。圖

2-19相鄰分支點的移動

特別注意：匯合點和分支點無論如何都不能交換位置。

例2.11試簡化圖示結構圖,并求系統(tǒng)的傳遞函數C(s)/R(s)。

解在圖中，如果不移動相加點或分支點的位置就無法化簡。①將G3(s)和G4(s)之間的分支點移到G4(s)方框的輸出端(注意不宜前移）②反復使用反饋回路簡化和串聯(lián)方框化簡，可化簡成下圖：等效傳遞函數如下：

例2.12系統(tǒng)方框圖如圖所示，求系統(tǒng)傳遞函數C(s)/R(s)。解將左邊的相加點后移至另一個相加點并與之換位。方框圖變成并聯(lián)方框和反饋方框的串聯(lián)。注意：經過兩個負號，反饋方框為正反饋。§2-6反饋控制系統(tǒng)的傳遞函數根據實際系統(tǒng)中各環(huán)節(jié)(子系統(tǒng))的結構圖和信息流向,可建立系統(tǒng)的結構圖。在確定系統(tǒng)的輸入量和輸出量后,經過對系統(tǒng)結構圖的簡化和運算,就能求出系統(tǒng)的傳遞函數。

最后的傳遞函數為

下面舉例說明系統(tǒng)動態(tài)結構圖和傳遞函數的求取方法。

例2.13

求晶閘管——電動機閉環(huán)調速系統(tǒng)的傳遞函數。

解他激直流電動機的傳遞函數比較復雜，先求出來，根據電機學的知識，繪出直流電動機的原理圖。設電樞電壓ud為輸入量，電動機轉速n為輸出量，Rd為電樞回路總電阻，Ld電樞回路總電感，ML為負載轉矩。ed為感應電勢。

由ud

、Rd、Ld、ed

組成一個電樞電路如圖，感應電勢ed

與轉速n

成正比，因此可得下列方程

再由轉矩平衡方程式及電動轉矩M與電樞電流Id成正比，可得

對以上兩式進行拉氏變換得根據各變量的關系把各環(huán)節(jié)連接起來，得到電動機動態(tài)結構圖如圖。該例中各物理量的單位為：飛輪矩：N.m2

，轉矩：N.m，轉速：r/min，時間：s

再考察調速系統(tǒng)的其它環(huán)節(jié)，得到如下關系：式中Ks——晶閘管整流裝置的等效放大系數；

Kp——控制器的比例控制系數；

α——速度反饋系數。結合電動機動態(tài)結構圖，可繪出晶閘管——電動機閉環(huán)調速系統(tǒng)的動態(tài)結構圖如下：對以上關系式取拉氏變換，得：令負載轉矩ML(s)＝0，化簡電動機的方框圖，得到電動機的傳遞函數式中——電動機機電時間常數

——電動機電磁時間常數化簡轉速反饋環(huán)，可得系統(tǒng)對于給定信號的傳遞函數為式中

在給定電壓Ug(s)單獨作用時，系統(tǒng)的輸出轉速Ng(s)為

在負載轉矩ML(s)單獨作用時，令給定電壓Ug(s)

＝0。把ML(s)的加入點向前移動，系統(tǒng)方框圖變成一個電動機方框外面又包圍一個反饋方框，然后和一個方框串聯(lián)的形式?；喨缦拢?/p>

最后，系統(tǒng)對于負載轉矩ML(s)的傳遞函數為在負載轉矩ML(s)單獨作用時，系統(tǒng)的輸出轉速Nm(s)為系統(tǒng)的輸出轉速N(s)為

§2-7信號流圖與梅遜公式信號流圖的基本性質：

1)節(jié)點標志系統(tǒng)的變量，節(jié)點標志的變量是所有流向該節(jié)點信號的代數和，用“O”表示；

2)信號在支路上沿箭頭單向傳遞；

3)支路相當于乘法器，信號流經支路時，被乘以支路增益而變成另一信號；

4)對一個給定系統(tǒng)，信號流圖不是唯一的。

信號流圖:

由節(jié)點和支路組成的一種信號傳遞網絡。信號流圖中常用的名詞術語：輸入節(jié)點：在源節(jié)點上，只有信號輸出支路而沒有信號輸入的支路，它一般代表系統(tǒng)的輸入變量。

1+R1C1s

x2x5x4

x6-1

x3

x7I(s)R21/R1

x1輸出節(jié)點：在輸出節(jié)點上，只有信號輸入的支路而沒有信號輸出的支路，它一般代表系統(tǒng)的輸出變量。1

信號流圖中沒有輸出節(jié)點時，可定義任一變量為輸出量,然后從該節(jié)點引出一條增益為1的支路,即可形成一輸出節(jié)點。

混合節(jié)點：既有輸入支路又有輸出支路的節(jié)點。注意：混和節(jié)點是先進后出，故先分支，后匯合的兩個點不能用一個混和節(jié)點代替。

前向通路：信號從輸入節(jié)點到輸出節(jié)點傳遞時，每個節(jié)點只通過一次的通路，叫前向通路。前向通路上各支路增益之乘積稱前向通路總增益。

回路：起點和終點在同一節(jié)點，而且信號通過每一節(jié)點不多于一次的閉合通路稱回路?；芈飞细髦吩鲆嬷朔e稱回路增益。

不接觸回路：回路之間沒有公共節(jié)點時，稱它們?yōu)椴唤佑|回路。2.7.1信號流圖的繪制

1.由系統(tǒng)微分方程繪制信號流圖

1）將微分方程通過拉氏變換，得到S的代數方程；

2）每個變量指定一個節(jié)點；

3）將方程按照變量的因果關系排列；

4）連接各節(jié)點，并標明支路增益。G(s)C(s)R(s)G1(s)G2(s)H(s)R(s)E(s)D(s