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文檔簡介
1第二章極限與連續(xù)2第一節(jié)數(shù)列極限limitsofsequence例1割圓術(shù)
我國古代數(shù)學家劉徽在《九章算術(shù)注》利用圓內(nèi)接正多邊形計算圓面積的方法--割圓術(shù),就是極限思想在幾何上的應用。一、極限的思想
3
三國時的劉徽提出的的方法.他把圓周分成三等分、六等分、十二等分、二十四等分、···這樣繼續(xù)分割下去,所得多邊形的周長就無限接近于圓的周長.“割圓求周”
割之彌細,所失彌少,割之又割,以至于不可割,則與圓合體而無所失矣.412345678…項號邊數(shù)內(nèi)接多邊形周長直徑為1241263
2.5980762113533.000000000000
3.105828541230
3.13262861328148
3.13935020304796
3.141031950891192
3.141452472285384
3.141557607912……………定量分析
15例2截杖問題1:剩余的長度:截去的總長度0戰(zhàn)國時代哲學家莊周著的《莊子·天下篇》引用過一句話:一尺之棰日截其半萬世不竭.6二、數(shù)列的概念concepts例如稱為無窮數(shù)列,簡稱數(shù)列.
1、數(shù)列的定義7說明:1.數(shù)列對應著數(shù)軸上一個點列.可看作一動點在數(shù)軸上依次取2.數(shù)列是整標函數(shù)82、單調(diào)數(shù)列
monotonicsequence稱單調(diào)增加稱單調(diào)減少單調(diào)數(shù)列3、有界數(shù)列
boundedsequence有界;無界。否則稱無界。9三、數(shù)列的極限1x210問題:當n無限增大時,xn
是否無限接近于某一確定的數(shù)值?如果是,如何確定?一般地,有:通過上面圖示觀察:11如果數(shù)列沒有極限,就說數(shù)列是發(fā)散的.定義2.1記為或12用計算器計算由此猜想數(shù)列的極限(保留兩位有效數(shù)字).由計算器可算得由此猜想【實驗】解13例114例2解1516函數(shù)的極限第二節(jié)17一、自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限xy18通過上面圖示觀察:一般地有:定義2.319例2解例1解xy20類似地可以定義2122幾何解釋:ox2324例4解例3解xy25函數(shù)的極限第三節(jié)26定義2.4273.幾何解釋:說明:28例5例629單側(cè)極限左極限:30右極限:31解左右極限存在且相等,例732左右極限存在但不相等,例8證33例9
設(shè)解3435無窮大量與無窮小量第四節(jié)36一、無窮小量定義以零為極限的函數(shù)(或數(shù)列)稱為無窮小.例如,注:1、無窮小是變量,不能與絕對值很小的數(shù)混為一談;3、稱一個函數(shù)是無窮小,必須指明自變量的變化趨勢。2、零是唯一可以作為無窮小的數(shù);371、無窮小的性質(zhì):
1°
有限多個無窮小之和仍是無窮??;
定理2°
有限多個無窮小之積仍是無窮??;
3°
無窮小與有界變量之積仍是無窮小。
138例1解39例2例3注:所有反三角函數(shù)均是有界函數(shù)。40定理
變量y以A為極限的充分必要條件是:變量y可以表示為A與一個無窮小的和。即lim
y=Ay=A+a,其中a是無窮小
。定理表明:
極限概念可以用無窮小概念來描述.證略。2、無窮小與極限的關(guān)系41二、無窮大量絕對值無限增大的變量叫無窮大.xoy42定義:
1、無窮大量是一個變量,不可與絕對值很大很大的數(shù)混為一談;2、稱函數(shù)是無窮大量,必須指明其自變量的變化趨勢。注:43同理,
44例如有兩條豎直漸近線:45三、無窮大與無窮小的關(guān)系意義
關(guān)于無窮大的討論,都可歸結(jié)為關(guān)于無窮小的討論.例4無窮大.
46無窮大量的遐想
一萬年之說;
至少比你多一;
無窮大可分為無窮多個無窮大
47極限的性質(zhì)、極限的四則運算法則第五節(jié)48一、存在極限的函數(shù)的基本性質(zhì)性質(zhì)1函數(shù)極限的唯一性性質(zhì)2有極限函數(shù)的局部有界性性質(zhì)3有極限函數(shù)的局部保號性49二、極限的四則運算法則證略定理50推論1推論251例2例1如果分母的極限為零,則不能直接運用上述方法。52解例3消零因子法53共軛因子法解解變量代換法
例4例554例6解一般,55例7例856例957例1058例11解注意:以下解法錯誤:因為法則(1)不能推廣到無限多個函數(shù)的情形.59解例1260復合函數(shù)的極限證略61解例11或解62例12解63例13解共軛因子法64兩個重要極限第六節(jié)65證略1、夾逼準則和66例1解由夾逼定理得67上述數(shù)列極限存在的準則可以推廣到函數(shù)的極限.定理(夾逼定理)證略。68xy下面利用夾逼準則證明一個重要的極限:
169基本不等式:等號當且僅當x=0時成立。70即得71所以72解所以例2例373例4解74稱單調(diào)增加稱單調(diào)減少單調(diào)數(shù)列具體:單調(diào)增加有上界,或單調(diào)減少有下界。2、單調(diào)有界準則準則Ⅱ單調(diào)有界數(shù)列必有極限.75利用準則Ⅱ可證明另一個重要的極限:
76以e為底的對數(shù)稱為自然對數(shù),
可以證明,相應的函數(shù)極限有
或77例5解78例7解例8解例6解79例9解求極限80小結(jié)1.兩個準則2.兩個重要極限夾逼準則;單調(diào)有界準則.81無窮小的比較第八節(jié)82例如,
比值極限不同,反映了兩者趨向于零的“快慢”程度不同.觀察各極限比較它們趨向于0的速度,83定義:84說明:
85例186例3證87例4證88例5解例6解89常用等價無窮小:90定理(等價無窮小替換定理)證只有在乘、除的極限運算中才能替換;注意在其他極限運算中不能替換!91例7解92例8解解錯93例9解94函數(shù)的連續(xù)性第七節(jié)951、函數(shù)的改變量一、函數(shù)連續(xù)的定義96
例1
證明函數(shù)y=x2在給定點x0處連續(xù)。
證
在x0處,函數(shù)的改變量為所以y=x2在給定點x0處連續(xù)。2、函數(shù)在一點處連續(xù)的定義如果
97下面給出函數(shù)連續(xù)的定義的另一種等價形式。如果
98例2證(3)函數(shù)值與極限值相等.
99例3解1004、連續(xù)區(qū)間與連續(xù)函數(shù)101例5102二、函數(shù)的間斷點定義函數(shù)不連續(xù)的點稱為函數(shù)的間斷點.1、左右極限都存在的間斷點,稱第一類間斷點:
(1)可去型間斷點103例6討論函數(shù)解注意
可去型間斷點只要改變或者補充間斷處函數(shù)的定義,則可使其變?yōu)檫B續(xù)點.104(2)跳躍型間斷點例7解105例8解2、左右極限至少有一個不存在的間斷點,稱第二類間斷點。
106例9解這種情況稱為振蕩型間斷點。107解例10108三、初等函數(shù)的連續(xù)性1、連續(xù)函數(shù)的四則運算定理1例如,三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù).109定理32、復合函數(shù)的連續(xù)性極限運算與函數(shù)運算可以交換次序110所有基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的.一切初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的.也就是說,對初等函數(shù)來說,連續(xù)區(qū)間即為其定義域。111連續(xù)性在函數(shù)極限計算中的應用初等函數(shù)求極限的方法:代入法.例1例2解解112例3解極限運算與函數(shù)運算可以交換次序思考:113例4解類似可得114例5解前面已證等價無窮小替換115例6解116四、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定理1(有界性與最大值最小值定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上有界且能取得最大值和最小值.記作11
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