四川省2023年普通高校對(duì)口招生統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試卷(解析版)

四川省2023年普通高校對(duì)口招生統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)本試題卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）。第Ⅰ卷1—3頁(yè)，第Ⅱ卷3—4頁(yè)，共4頁(yè)?？忌鞔饡r(shí)，須將答案答在答題卡上，在本試題卷、草稿紙上答題無(wú)效。滿分150分?？荚嚂r(shí)間120分鐘?？荚嚱Y(jié)束后，將本試題卷、答題卡和草稿紙一并交回。第Ⅰ卷（共60分）注意事項(xiàng)：1.必須使用2B鉛筆在答題卡上將所選答案對(duì)應(yīng)的標(biāo)號(hào)涂黑。2.第Ⅰ卷共1大題，15小題，每小題4分，共60分。一、選擇題：共15小題，每小題4分，共60分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的。1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【分析】考查集合的并集的定義?！窘馕觥坑傻亩x知，集合的所有元素為,則=?！噙xD.2.函數(shù)的定義域是（）A. B. C. D.【答案】B【分析】求解函數(shù)的定義域應(yīng)注意：（1）分式的分母不為零；（2）偶次方根的被開方數(shù)大于或等于零：（3）對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零，底數(shù)大于零且不等于1；（4）零次冪或負(fù)指數(shù)次冪的底數(shù)不為零；（5）三角函數(shù)中的正切的定義域是且；本題中只需滿足偶次根式中被開方數(shù)≥0,是基礎(chǔ)題.【解析】要使得函數(shù)有意義，必須滿足，∴，∴函數(shù)的定義域是.∴選B.3.已知平面向量，，則（）A. B. C. D.【答案】B【分析】本題考查向量的數(shù)乘運(yùn)算加減線性運(yùn)算,是基礎(chǔ)題.【解析】∵，，∴，∴選B.4.過點(diǎn)且傾斜角為的直線的方程是（）A. B. C. D.【答案】C【分析】由傾斜角求得斜率，然后帶入點(diǎn)斜式方程即可求得直線的方程,是基礎(chǔ)題.【解析】∵傾斜角為，∴，∴過點(diǎn)且傾斜角為的直線的點(diǎn)斜式方程為，整理得方程為，∴選C.5.（）A.0 B.1 C. D.【答案】D【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，然后利用特殊角的正弦值即可求得,是基礎(chǔ)題.【解析】∵，∴，∴選D.6.函數(shù)的最小正周期是（）A. B. C. D.【答案】C【分析】由降冪公式及周期公式可得最小正周期,是基礎(chǔ)題.【解析】∵，∴的最小正周期，∴是由向上平移個(gè)單位得到，平移沒有影響最小正周期.∴最小正周期依然為.∴選C.7.不等式的解集是（）A. B. C. D.【答案】C【分析】由絕對(duì)值不等式，即可得不等式的解集,是基礎(chǔ)題.【解析】∵，∴，∴，∴不等式的解集是，∴選C.8.某同學(xué)隨機(jī)抽取100株麥苗測(cè)出其高度（單位：mm），將所得結(jié)果分為6組：，，，，，，并繪制出如圖所示的頻率分布直方圖，則高度不低于70mm的株數(shù)為（）A.28 B.32 C.36 D.40【答案】B【分析】首先由公式的頻率,然后用頻率估計(jì)概率即可求得概率。用樣本總體乘以概率即可得高度不低于70mm數(shù)據(jù)，是基礎(chǔ)題.【解析】高度不低于70mm的有，兩組，∴高度不低于70mm的頻率=，∴高度不低于70mm的株數(shù)為100，∴選B.9.雙曲線的漸近線方程是（）A. B.C.D.【答案】A【分析】本題考查雙曲線的漸近線方程是,是基礎(chǔ)題.【解析】∵.雙曲線方程為，∴，，∴，，∴漸近線方程是，∴選A.10.設(shè)，，其中，是正實(shí)數(shù)，則（）A.2 B.4 C.10 D.25【答案】A【分析】本題考查指對(duì)互化及對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，等公式及法則，是基礎(chǔ)題.【解析】∵，∴，∵，∴，∴，∴選A.11.某水文監(jiān)測(cè)站對(duì)一河道某處的水深每小時(shí)進(jìn)行一次記錄，結(jié)果如圖所示.，，，為線段的等分點(diǎn).已知9點(diǎn)時(shí)河道水深為160cm，從11點(diǎn)到12點(diǎn)河道水深減少了10%，則在11點(diǎn)時(shí)河道水深為（）A.164cm B.168cm C.180cm D.200cm【答案】D【分析】本題根據(jù)題意結(jié)合圖象可以列出方程，考查讀圖識(shí)圖的能力.【解析】設(shè)等分點(diǎn)每一層水深為xcm，由題意可得11點(diǎn)時(shí)河道水深為，12點(diǎn)時(shí)河道水深為，12點(diǎn)時(shí)河道水深也可以表示為，所以可得方程，解得：，在11點(diǎn)時(shí)河道水深為==200cm.∴選D.12.設(shè)，，，是實(shí)數(shù)，則“，，，成等差數(shù)列”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【分析】本題考查充分必要條件的定義,是基礎(chǔ)題.【解析】“，，，成等差數(shù)列”“”.反之，“”“，，，成等差數(shù)列”，例如，但是不成等差數(shù)列.∴“，，，成等差數(shù)列”是“”的充分不必要條件.∴選A.13.已知函數(shù)的部分圖象如下圖所示，則函數(shù)的部分圖象是（）A. B.C. D.【答案】B【分析】由圖象向右平移1個(gè)單位得出圖象，再將圖象關(guān)于x軸對(duì)稱翻折得出圖象.本題考查圖象的平移變換及對(duì)稱翻折變換.【解析】由的圖象向右平移1個(gè)單位得出圖象，如圖A所示，然后將的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱翻折得出圖象，如圖B所示.∴選B.14.設(shè)，是兩個(gè)不同的平面，，是兩條不同的直線，則下列命題中的真命題是（）A.如果，，，那么 B.如果，，那么C.如果，，，那么 D.如果，，那么【答案】D【分析】本題A選項(xiàng)考查面面平行的判定定理，B選項(xiàng)考查線面平行的判定定理，C選項(xiàng)考查面面垂直的性質(zhì)定理，D選項(xiàng)考查面面垂直的判定定理,是基礎(chǔ)題.【解析】由面面平行的判定定理可得A錯(cuò)誤；由線面平行的判定定理可得B錯(cuò)誤；由面面垂直的性質(zhì)定理可得C錯(cuò)誤；由面面垂直的判定定理可得D正確.∴選D.15.設(shè)定義在上的函數(shù)是奇函數(shù)，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【分析】由奇函數(shù)的定義域中包含0，所以由奇函數(shù)性質(zhì)得出值，進(jìn)而得出解析式,進(jìn)而由得出關(guān)于p的不等式，解之即可得實(shí)數(shù)的取值范圍?！窘馕觥俊叨x在上的函數(shù)是奇函數(shù)，∴，∴，∴，∴，分離常數(shù)得，∵，∴，∴，∴，∴，∴實(shí)數(shù)的取值范圍是.∴選D.第Ⅱ卷（共90分）注意事項(xiàng)：1.必須使用0.5毫米黑色墨跡簽字筆在答題卡上題目所指示的答題區(qū)域內(nèi)作答。作圖題可先用鉛筆繪出，確認(rèn)后再用0.5毫米黑色墨跡簽字筆描清楚。2.第Ⅱ卷共2大題，11小題，共90分。二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分。16.的展開式中的系數(shù)為_________（用數(shù)字作答）.【答案】60【分析】本題考查二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式,是基礎(chǔ)題.【解析】的展開式中通項(xiàng)公式為，∴令，∴，∴，∴的展開式中的系數(shù)為.17.已知平面向量，滿足，，則_________.【答案】7【分析】本題考查數(shù)量積運(yùn)算以及,是基礎(chǔ)題.【解析】.18.拋物線上的點(diǎn)到直線距離的最小值是_________.【答案】【分析】法一：首先設(shè)出與平行且與相切的直線為,聯(lián)立方程與，消去y后，得出，然后利用相切條件得出△=0，求得平行線，然后得出兩平行線間的距離為拋物線上的點(diǎn)到直線距離的最小值。法二直接根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式得出關(guān)于x的函數(shù)，利用二次函數(shù)求最值得出最小值?！窘馕觥糠ㄒ唬恨D(zhuǎn)化法設(shè)與平行且與相切的直線為，聯(lián)立方程消元得，即.∵與相切，∴，∴，∴，∴與相切的直線為.∴拋物線上的點(diǎn)到直線距離的最小值是兩平行線與之間的距離，∴拋物線上的點(diǎn)到直線距離的最小值是.法二：二次函數(shù)法拋物線上的點(diǎn)（x，-x2）到直線的距離.∴當(dāng)時(shí)，.19.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的最大值是_________.【答案】【分析】首先根據(jù)化一公式將轉(zhuǎn)化為,然后得出一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間，進(jìn)而由題意得出是單調(diào)區(qū)間的子集,即可求得的最大值.【解析】∵，令得，∴的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為：.∵在上單調(diào)遞增，∴，∴，∴的最大值是.20.甲、乙兩人玩猜硬幣游戲，乙負(fù)責(zé)拋硬幣，甲在乙每次拋前進(jìn)行猜測(cè).甲用數(shù)列記錄自己每次的猜測(cè)情況，若猜測(cè)第次拋硬幣出現(xiàn)正面記，出現(xiàn)反面記；乙用數(shù)列記錄每次拋硬幣后實(shí)際出現(xiàn)的正反面結(jié)果，當(dāng)?shù)诖螔佊矌懦霈F(xiàn)正面記，出現(xiàn)反面記.他們進(jìn)行50次游戲后，乙統(tǒng)計(jì)并計(jì)算出，則甲猜對(duì)的次數(shù)為_________.【答案】38【分析】本題中,，所以由題意可得當(dāng)甲猜對(duì)時(shí)，否則，然后設(shè)甲猜對(duì)的次數(shù)為次，即可根據(jù)構(gòu)造關(guān)于x的方程求解即可.【解析】設(shè)甲猜對(duì)的次數(shù)為次，則甲猜不對(duì)的次數(shù)為次，根據(jù)題意：，解得，∴甲猜對(duì)的次數(shù)為次.三、解答題：本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。21.（本小題滿分10分）某高校羽毛球社團(tuán)招募了6名新成員，其中2名來自體育學(xué)院，現(xiàn)從這6名新成員中隨機(jī)選擇4人參加校運(yùn)動(dòng)會(huì)比賽.（1）設(shè)為事件“選出的4人中恰有2人來自體育學(xué)院”，求事件發(fā)生的概率；（2）設(shè)為選出的4人中來自體育學(xué)院的人數(shù)，求的概率分布.【答案】（1）事件發(fā)生的概率為.（2）的概率分布列為012P【分析】本題（1）（2）問均考查超幾何分布概率模型,根據(jù)超幾何分布概率公式即可求得概率及然后根據(jù)離散型隨機(jī)變量的概率分布定義可得概率分布.【解析】（1）設(shè)為事件“選出的4人中恰有2人來自體育學(xué)院”∴，∴事件發(fā)生的概率為.（2）由題意可得的可能取值為0,1,2.；；.∴的概率分布列為012P22.（本小題滿分12分）設(shè)是首項(xiàng)為-10的等差數(shù)列，且，，成等比數(shù)列.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）記的前項(xiàng)和為，求的最小值.【答案】（1）的通項(xiàng)公式為；（2）的最小值為.【分析】本題（1）利用首項(xiàng)為-10的等差數(shù)列，且，，成等比數(shù)列.可以構(gòu)造關(guān)于公差的方程，求得。（2）問中根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為可得，然后根據(jù)均值不等式或是二次函數(shù)均可求得最小值?！窘馕觥浚?）∵首項(xiàng)為-10的等差數(shù)列，∴.∵，，成等比數(shù)列，∴，∴，∴，∴，∴.∴的通項(xiàng)公式為.（2）∵，∴.法一（均值不等式法）：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).∴的最小值為.法二（二次函數(shù)法）：∵，∴當(dāng)時(shí)，取最小值為.23.（本小題滿分12分）如圖，在正方體中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求異面直線與所成角的大小.【答案】【分析】第（1）問由線面平行的判定定理即可證得。第（2）問中異面直線所成角的大小由定義法平移即可求得。本題考查線面平行的判定定理及異面直線所成角的定義,是基礎(chǔ)題.【解析】（1）連接AC，BD，設(shè)，如圖所示.∵為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，∴，.∵為的中點(diǎn)，∴，，∴，，∴四邊形為平行四邊形，∴，∵，，

∴平面.（2）連接.∵，∴為異面直線與所成角.∵為正三角形，∴，∴異面直線與所成角為60°.24.（本小題滿分12分）已知中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，滿足.（1）求的大??；（2）若，證明：為直角三角形.【答案】（1）的大小（2）見解答過程【分析】本題第（1）問中由得到,化簡(jiǎn)可得，即得=。第（2）問中由得出，進(jìn)而根據(jù)=得出，然后得出，進(jìn)而得出，展開后根據(jù)化一公式（輔助角公式）可以構(gòu)造關(guān)于的方程，最后求得，問題得證.【解析】（1）∵，∴，∴.∵，∴=.（2）∵，∴，∵=，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴是以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)的直角三角形.25.（本小題滿分12分）設(shè)圓：與直線相切，且被直線所截得的弦長(zhǎng)為.（1）求的方程；（2）若與有且只有3個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值.【答案】（1）（2）實(shí)數(shù)的值為.【分析】第（1）問中首先根據(jù)條件直線與圓相切得得與的一個(gè)方程，然后根據(jù)被直線所截得的弦長(zhǎng)為利用勾股定理得與的另外一個(gè)方程，聯(lián)立方程解得與。第（2）問中為折線，根據(jù)與有且只有3個(gè)公共點(diǎn)，所以的左半段圖象與圓相交于兩點(diǎn)，而右半段圖象與圓相切于一點(diǎn)，進(jìn)而根據(jù)直線與圓相切,即可解決.【解析】（1）∵圓：與直線相切，∴圓心到直線的距離，∴，∵，∴①，∵被直線所截得的弦長(zhǎng)為，∴根據(jù)勾股定理得②，∴聯(lián)立方程①②消去得，∴，∴將代入①式得，∴的方程為.（2）∵與有且只有3個(gè)公共點(diǎn)，∴的左半段圖象與圓相交于兩點(diǎn)，而右半段圖象與圓相切于一點(diǎn)，∴根據(jù)直線與圓相切可得點(diǎn)到直線的距離等于半徑3，∴，∴，∴，∴，∴.∴實(shí)數(shù)