第九章 第二節(jié) 用樣本估計(jì)總體

第二節(jié)用樣本估計(jì)總體抓基礎(chǔ)明考向提能力教你一招我來演練第九章統(tǒng)計(jì)、統(tǒng)計(jì)案例及算法初步

[備考方向要明了]考

什

么1.了解分布的意義和作用，會(huì)列頻率分布表，會(huì)畫頻率分布直方圖、

頻率折線圖、莖葉圖，理解它們各自的特點(diǎn)．2.理解樣本數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的意義和作用，會(huì)計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差．3.能從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征(如平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差)，并給出

合理的解釋．4.會(huì)用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，會(huì)用樣本的基本數(shù)字特征估計(jì)

總體的基本數(shù)字特征，理解用樣本估計(jì)總體的思想．5.會(huì)用隨機(jī)抽樣的基本方法和樣本估計(jì)總體的思想解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)

際問題.怎

么

考從高考內(nèi)容上來看，頻率分布直方圖、莖葉圖、樣本數(shù)據(jù)及數(shù)字特征是命題的熱點(diǎn)，各種題型都有，難度中低檔，多與概率問題相結(jié)合交匯考查．注重考查學(xué)生解決問題的能力.1．條形統(tǒng)計(jì)圖的特點(diǎn)數(shù)據(jù)量很大時(shí)，能直觀地反映數(shù)據(jù)分布的大致情況，且能清晰地表示出

．2．莖葉圖表示數(shù)據(jù)有兩個(gè)突出的優(yōu)點(diǎn)(1)統(tǒng)計(jì)圖上沒有

，所有的原始數(shù)據(jù)都可以從這個(gè)莖葉圖中得到；(2)莖葉圖可以隨時(shí)記錄，方便

．但是，當(dāng)數(shù)據(jù)量很大或有多組數(shù)據(jù)時(shí)，莖葉圖就不那么直觀、清晰了．各個(gè)區(qū)間的具體數(shù)目信息的損失表示與比較(2)作頻率分布直方圖的步驟：①求極差(即一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差)；②決定組距與組數(shù)；③將數(shù)據(jù)分組；④列頻率分布表；⑤畫頻率分布直方圖．4．樣本的數(shù)字特征數(shù)字特征定義眾數(shù)在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)

的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).中位數(shù)將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，把處在位置的一個(gè)數(shù)據(jù)(或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的

.在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該

.最多最中間相等中位數(shù)數(shù)字特征定義平均數(shù)方差s2＝

.其中s為標(biāo)準(zhǔn)差.樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)．即1．一個(gè)容量為32的樣本，已知某組樣本的頻率為0.375，則該組樣本的頻數(shù)為 (

)A．4

B．8C．12 D．16答案：

C解析：頻數(shù)＝32×0.375＝12.答案：A2．(教材習(xí)題改編)某同學(xué)進(jìn)入高三后，

4次月考的數(shù)學(xué)成績(jī)的莖葉圖如圖，則該同學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分是(

)A．125

B．122.25C．45 D．129.511412681323．某部門計(jì)劃對(duì)某路段進(jìn)行限速，為調(diào)查限速60km/h是否合理，對(duì)通過該路段的300輛汽車的車速進(jìn)行檢測(cè)，將所得數(shù)據(jù)按[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]分組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．則這300輛汽車中車速低于限速的汽車有 (

)A．75輛B．120輛C．180輛

D．270輛答案：

C解析：據(jù)直方圖可得300輛中車速低于限速的汽車所占的頻率為10×0.025＋10×0.035＝0.6，故其頻數(shù)為300×0.6＝180.4．一個(gè)容量為20的樣本數(shù)據(jù)，分組后，組別與頻數(shù)如下：則樣本在(20,50]上的頻率為________．組別(10,20](20,30](30,40](40,50](50,60]頻數(shù)234565．(教材習(xí)題改編)甲、乙兩人比賽射擊，兩人所得的平均環(huán)數(shù)相同，其中甲所得環(huán)數(shù)的方差為5.乙所得環(huán)數(shù)如下：5、6、9、10、5，那么這兩人中成績(jī)較穩(wěn)定的是________．答案：乙(1)在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積相等，由此可以估計(jì)中位數(shù)的值，而平均數(shù)的估計(jì)值等于頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和，眾數(shù)是最高的矩形的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)．(2)對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差與方差的理解：

標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動(dòng)的大

?。畼?biāo)準(zhǔn)差、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大，標(biāo)準(zhǔn)

差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小，因?yàn)榉讲钆c原

始數(shù)據(jù)的單位不同，且平方后可能夸大了偏差的程

度，所以雖然方差與標(biāo)準(zhǔn)差在刻畫樣本數(shù)據(jù)的分散程

度上是一樣的，但在解決實(shí)際問題時(shí)，一般多采用標(biāo)

準(zhǔn)差．[精析考題][例1]

(2011·湖北高考)有一個(gè)容量為200的樣本，其頻率分布直方圖如圖所示．根據(jù)樣本的頻率分布直方圖估計(jì)，樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間[10,12)內(nèi)的頻數(shù)為(

)A．18

B．36C．54 D．72[自主解答]

由直方圖得樣本數(shù)據(jù)在[10,12)內(nèi)的頻率為0.18.則樣本數(shù)據(jù)在區(qū)間[10,12)內(nèi)的頻數(shù)為36.[答案]

B本例條件不變，問：(1)樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)約為多少？(2)樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)是多少？解：(1)眾數(shù)應(yīng)為最高矩形的中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)，故應(yīng)為9.(2)平均數(shù)為3×0.02×2＋5×0.05×2＋7×0.15×2＋9×0.19×2＋0.09×11×2＝8.12.[巧練模擬]——————(課堂突破保分題，分分必保！)1．(2012·濟(jì)南模擬)為了了解某校今年準(zhǔn)備報(bào)考飛行員的學(xué)生的體重情況，將所得的數(shù)據(jù)整理后，畫出了頻率分布直方圖(如圖)，已知圖中從左到右的前3個(gè)小組的頻率之比為1∶2∶3，第2小組的頻數(shù)為12，則報(bào)考飛行員的學(xué)生人數(shù)是________．答案：482．(2012·杭州模擬)某初一年級(jí)有500名同學(xué)，將他們的身高(單位：cm)數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖(如圖)，若要從身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三組內(nèi)的學(xué)生中，用分層抽樣的方法選取30人參加一項(xiàng)活動(dòng)，則從身高在[130,140)內(nèi)的學(xué)生中選取的人數(shù)應(yīng)為________．答案：

10[沖關(guān)錦囊](2)記甲組四名同學(xué)為A1，A2，A3，A4，他們植樹的棵數(shù)依次為9,9,11,11；乙組四名同學(xué)為B1，B2，B3，B4，他們植樹的棵數(shù)依次為9,8,9,10.分別從甲、乙兩組中隨機(jī)選取一名同學(xué)，所有可能的結(jié)果有16個(gè)：(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，B4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，B4)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(A3，B4)，(A4，B1)，(A4，B2)，(A4，B3)，(A4，B4)，3．(2012·杭州模擬)如圖是某賽季甲、乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員每場(chǎng)比賽得分的莖葉圖，則甲、乙兩人比賽得分的中位數(shù)之和是________.答案：

64解析：甲比賽得分的中位數(shù)為28，乙比賽得分的中位數(shù)為36，所以甲、乙兩人比賽得分的中位數(shù)之和為28＋36＝64.4．(2011·太原聯(lián)考)甲、乙兩個(gè)體能康復(fù)訓(xùn)練小組各有10名組員，經(jīng)過一段時(shí)間訓(xùn)練后，某項(xiàng)體能測(cè)試結(jié)果的莖葉圖如圖所示，則這兩個(gè)小組中體能測(cè)試平均成績(jī)較高的是________組.答案：甲[沖關(guān)錦囊]1．莖葉圖適用的原則樣本數(shù)據(jù)較少時(shí)，效果較好．樣本數(shù)據(jù)較多時(shí)，枝葉會(huì)很長(zhǎng)不方便記錄，此方法不實(shí)用．2．莖葉圖的優(yōu)點(diǎn)(1)能夠保留原始數(shù)據(jù)；(2)展示數(shù)據(jù)的分布情況.[精析考題][例3]

(2011·廣東高考)在某次測(cè)驗(yàn)中，有6位同學(xué)的平均成績(jī)?yōu)?5分．用xn表示編號(hào)為n(n＝1,2，…，6)的同學(xué)所得成績(jī)，且前5位同學(xué)的成績(jī)?nèi)缦拢壕幪?hào)n12345成績(jī)xn7076727072(1)求第6位同學(xué)的成績(jī)x6，及這6位同學(xué)成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差s；(2)從前5位同學(xué)中，隨機(jī)地選2位同學(xué)，求恰有1位同學(xué)成績(jī)?cè)趨^(qū)間(68,75)中的概率．[巧練模擬]—————(課堂突破保分題，分分必保！)答案：

B品種甲403397390404388400412406品種乙419403412418408423400413[沖關(guān)錦囊](1)平均數(shù)與方差都是重要的數(shù)字特征，是對(duì)總體的一種簡(jiǎn)明的描述，它們所反映的情況有著重要的實(shí)際意義，平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)描述其集中趨勢(shì)，方差和標(biāo)準(zhǔn)差描述其波動(dòng)大?。族e(cuò)矯正 頻率分布直方圖中概念不清致誤[考題范例](12分)(2012·合肥模擬)某種袋裝產(chǎn)品的標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量為每袋100克，但工人在包裝過程中一般有誤差，規(guī)定誤差在2克以內(nèi)的產(chǎn)品均合格．由于操作熟練，某工人在包裝過程中不稱重直接包裝，現(xiàn)對(duì)其包裝的產(chǎn)品進(jìn)行隨機(jī)抽查，抽查30袋產(chǎn)品獲得的數(shù)據(jù)如下：(1)根據(jù)表格中的