第5章 圖像變換

Dr.高剛毅（信息學(xué)院）ggy0222@9號(hào)樓402DigitalImageProcessing（DIP）數(shù)字圖像處理2/5/20231回顧：第四章數(shù)字圖像處理中的基本運(yùn)算圖像的三種基本運(yùn)算？代數(shù)運(yùn)算有哪些應(yīng)用？幾何運(yùn)算有哪些應(yīng)用？為什么要引入齊次坐標(biāo)？常用的灰度內(nèi)插法？2/5/20232第五章：圖像變換數(shù)字圖像的變換域處理方法的基本思路是什么？傅立葉變換有哪些特性？DCT變換的主要優(yōu)點(diǎn)是什么？什么是小波？小波具有哪些特點(diǎn)？為什么說(shuō)小波變換時(shí)“數(shù)學(xué)顯微鏡”？我們將學(xué)到什么？2/5/20233圖像變換的作用圖像變換的理論基礎(chǔ)傅立葉變換傅立葉變換的性質(zhì)二維傅立葉變換離散余弦變換沃爾什變換小波變換本章內(nèi)容2/5/20234一.圖像變換的作用圖像變換的定義是將圖像從空域變換到其它域（如頻域）的數(shù)學(xué)變換圖像變換的作用我們?nèi)祟愐曈X(jué)所感受到的是在空間域和時(shí)間域的信號(hào)。但是，往往許多問(wèn)題在頻域中討論時(shí)，有其非常方便分析的一面。

1.方便處理

2.便于抽取特性2/5/20235常用的變換傅立葉變換FourierTransform離散余弦變換DiscreteCosineTransform沃爾什－哈達(dá)瑪變換Walsh-HadamardTransform小波變換WaveletTransform2/5/20236二、圖像變換的理論基礎(chǔ)數(shù)字圖像處理方法分兩大類：空域法：在空間域直接對(duì)圖像進(jìn)行處理頻域法：變換到頻域?qū)D像進(jìn)行分析和處理數(shù)字圖像處理是一門應(yīng)用性非常強(qiáng)的學(xué)科，它既有非常廣泛的技術(shù)基礎(chǔ)，也具有嚴(yán)密的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)。在圖像增強(qiáng)、恢復(fù)、編碼、分析等方面都有頻域法的應(yīng)用。2/5/20237頻域法的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)線性系統(tǒng)卷積2/5/20238線性系統(tǒng)的應(yīng)用它是一門成熟的理論學(xué)科，通常用于描述電路、光學(xué)、機(jī)械、液壓系統(tǒng)。它為信號(hào)處理、圖像處理、自動(dòng)化、采樣、濾波以及空間分辯率的研究提供了堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。工程技術(shù)應(yīng)用的數(shù)學(xué)模型一般可以簡(jiǎn)化為線性系統(tǒng)。2/5/20239什么是系統(tǒng)？系統(tǒng)的定義：接受一個(gè)輸入，產(chǎn)生相應(yīng)輸出的任何實(shí)體。系統(tǒng)的輸入是一個(gè)或兩個(gè)變量的函數(shù)，輸出是相同變量的另一個(gè)函數(shù)。系統(tǒng)x(t)輸入y(t)輸出2/5/202310當(dāng)且僅當(dāng)（可加性和齊次性）：

x1(t)+x2(t) y1(t)+y2(t)

從而有：a*x1(t)a*y1(t)什么是線性系統(tǒng)？線性系統(tǒng)的定義：對(duì)于某特定系統(tǒng)，有：

x1(t)y1(t) x2(t)y2(t)2/5/202311線性移不變系統(tǒng)線性系統(tǒng)移不變性的定義：對(duì)于某線性系統(tǒng)，有：

x(t)y(t)當(dāng)輸入信號(hào)沿時(shí)間軸平移T，有：

x(t-T)y(t-T)則稱該線性系統(tǒng)具有移不變性2/5/202312卷積卷積的定義離散一維卷積二維卷積的定義離散二維卷積相關(guān)的定義2/5/202313卷積的定義卷積積分是求線性連續(xù)移不變系統(tǒng)輸出響應(yīng)的主要方法，離散序列的卷積求離散線性移不變系統(tǒng)。對(duì)于一個(gè)線性系統(tǒng)的輸入f(t)和輸出h(t)

h(t)

=

g(t

-)f()d

記為：h=g*f

-

g(t)稱為沖激響應(yīng)函數(shù)2/5/202314卷積離散一維卷積（求和代替積分）

h(i)=f(i)*g(i)=f(j)g(i-j)

j二維卷積的定義

h(x,y)=f*g=

f(u,v)g(x–u,y–v)dudv

-2/5/202315卷積離散二維卷積h(x,y)=f*g=f(m,n)g(x–m,y–n)

mn2/5/202316三.傅立葉變換傅立葉變換的作用（1）可以得出信號(hào)在各個(gè)頻率點(diǎn)上的強(qiáng)度。（2）可以將卷積運(yùn)算化為乘積運(yùn)算。（3）傅里葉變換和線性系統(tǒng)理論是進(jìn)行圖像恢復(fù)和重構(gòu)的重要手段。（4）傅立葉變換能使我們從空間域與頻率域兩個(gè)不同的角度來(lái)看待圖像的問(wèn)題，有時(shí)在空間域無(wú)法解決的問(wèn)題在頻域卻是顯而易見(jiàn)的。2/5/202317若f(x)為一維連續(xù)實(shí)函數(shù)，則它的傅里葉變換可定義為：傅立葉逆變換定義如下：傅里葉變換傅立葉變換的定義2/5/202318傅里葉變換函數(shù)f(x)和F(u)被稱為傅立葉變換對(duì)。即對(duì)于任一函數(shù)f(x)，其傅立葉變換F(u)是惟一的；反之，對(duì)于任一函數(shù)F(u)，其傅立葉逆變換f(x)也是惟一的。傅里葉變換是一個(gè)線性積分變換，一般情況下，實(shí)函數(shù)經(jīng)過(guò)變換后，是一個(gè)復(fù)函數(shù)。2/5/202319傅里葉變換的條件傅里葉變換在數(shù)學(xué)上的定義是嚴(yán)密的，它需要滿足如下狄利克萊條件：(1)具有有限個(gè)間斷點(diǎn)；(2)具有有限個(gè)極值點(diǎn)；(3)絕對(duì)可積。實(shí)際應(yīng)用中，常用的圖像信號(hào)和函數(shù)都存在傅里葉變換。2/5/202320F(u)可以表示為如下形式：|F(u)|稱為F(u)的模，也稱為函數(shù)f(x)的傅立葉譜，稱為F(u)的相角。

2/5/202321稱為函數(shù)f(x)的能量譜或功率譜。

2/5/202322根據(jù)傅立葉變換的定義可得：例1高斯函數(shù)的傅立葉變換高斯函數(shù)的定義為：2/5/202323令x+ju=t，上式可以化為：結(jié)論:與即，高斯函數(shù)的傅立葉變換依然是高斯函數(shù)

為傅立葉變換函數(shù)對(duì)。2/5/202324例2.矩形函數(shù)矩形函數(shù)形式如下:2/5/2023252/5/202326根據(jù)傅立葉變換的定義，其傅立葉變換如下：2/5/202327可得矩形函數(shù)f(x)的傅立葉頻譜為：幾何圖形如圖所示：2/5/202328離散傅立葉變換為什么需要離散傅立葉變換？在數(shù)字圖像處理中應(yīng)用傅立葉變換，還需要解決兩個(gè)問(wèn)題：一是在數(shù)學(xué)中進(jìn)行傅立葉變換的f(x)為連續(xù)（模擬）信號(hào)，而計(jì)算機(jī)處理的是數(shù)字信號(hào)（圖像數(shù)據(jù)）；二是數(shù)學(xué)上采用無(wú)窮大概念，而計(jì)算機(jī)只能進(jìn)行有限次計(jì)算。通常，將受這種限制的傅立葉變換稱為離散傅立葉變換（DiscreteFourierTransform，DFT)。2/5/202329離散傅立葉正變換:離散傅立葉逆變換:離散傅立葉變換2/5/202330傅里葉變換效果圖2/5/2023312/5/202332邊、噪音、變化陡峭部分變化平緩部分uv傅立葉變換的規(guī)律2/5/202333傅立葉變換在圖像濾波中的應(yīng)用首先，我們來(lái)看Fourier變換后的圖像，中間部分為低頻部分，越靠外邊頻率越高。因此，我們可以在Fourier變換圖中，選擇所需要的高頻或是低頻濾波。2/5/202334線性系統(tǒng)與傅立葉變換2/5/202335傅立葉變換在圖像壓縮中的應(yīng)用在小波變換沒(méi)有提出時(shí)，用來(lái)進(jìn)行壓縮編碼。變換系數(shù)剛好表現(xiàn)的是各個(gè)頻率點(diǎn)上的幅值?？紤]到高頻反映細(xì)節(jié)、低頻反映景物概貌的特性。往往認(rèn)為可將高頻系數(shù)置為0，騙過(guò)人眼。2/5/202336四.傅立葉變換的性質(zhì)周期與共軛對(duì)稱性加法定理位移定理可分離性卷積定理能量保持定理2/5/202337周期與共軛對(duì)稱性周期性的描述：離散傅立葉變換DFT和它的逆變換是以N為周期的對(duì)于一維傅立葉變換有：

F(u)=F(u+N)對(duì)于二維傅立葉變換有：

F(u,v)=F(u+M,v+N)2/5/202338周期與共軛對(duì)稱性共軛對(duì)稱性的描述：傅立葉變換結(jié)果是以原點(diǎn)為中心的共軛對(duì)稱函數(shù)對(duì)于一維傅立葉變換有：

F(u)=F*(-u)對(duì)于二維傅立葉變換有：

F(u,v)=F*(-u,-v)2/5/202339加法定理2/5/202340加法定理應(yīng)用2/5/202341位移定理2/5/202342(a)(b)(d)(c)圖離散傅立葉變換的旋轉(zhuǎn)不變性（a）原始圖像；（b）原始圖像的傅立葉頻譜；（c）旋轉(zhuǎn)45°后的圖像；（d）圖像旋轉(zhuǎn)后的傅立葉頻譜

旋轉(zhuǎn)不變性如果時(shí)域中離散函數(shù)旋轉(zhuǎn)θ角度，則在變換域中該離散傅立葉變換函數(shù)也將旋轉(zhuǎn)同樣的角度。離散傅立葉變換的旋轉(zhuǎn)不變性如圖所示。2/5/202343卷積定理2/5/202344能量保持定理2/5/2023451.二維連續(xù)函數(shù)傅立葉變換的定義二維傅立葉正變換:二維傅立葉逆變換:五.二維傅立葉變換2/5/202346根據(jù)一維離散傅立葉變換的定義和二維連續(xù)傅立葉變換理論，對(duì)于一個(gè)具有M×N個(gè)樣本值的二位離散序列f(x，y)，（x=0,1,2,3,…,M-1；y=0,1,2,3,…,N-1）其傅立葉變換為：

(1)二維離散傅立葉正變換2.二維離散函數(shù)傅立葉變換的定義2/5/202347(2)二維離散傅立葉逆變換 若已知頻率二維序列F(u，v)（u=0,1,2,3,…,M-1；v=0,1,2,3,…,N-1），則二維離散序列F(u，v)的傅立葉逆變換定義為：2/5/202348

Δx、Δy和Δu、Δv，分別為空間域采樣間隔和頻率域采樣間隔兩者之間滿足如下關(guān)系：

2/5/202349式中序列R(u，v)和I(u，v)分別表示離散序列F(u，v)的實(shí)序列和虛序列。二維序列f(x，y)的頻譜（傅立葉幅度譜）、相位譜和能量譜（功率譜）分別如下：

F(u，v)可以表示為如下形式：2/5/202350(1)．線性特性(1)比例性質(zhì)=3.二維離散傅立葉變換的性質(zhì)2/5/202351(3)平移性質(zhì)

二維傅立葉變換的移位特性表明，當(dāng)用乘以f(x，y)，然后再進(jìn)行乘積的離散傅里葉變換時(shí)，可以使空間頻率域u-v平面坐標(biāo)系的原點(diǎn)從(0，0)平移到(u0，v0)的位置。

3.二維離散傅立葉變換的性質(zhì)2/5/202352離散傅立葉變換的顯示2/5/202353離散傅立葉變換的顯示——對(duì)稱平移后2/5/202354(4)可分離性

3.二維離散傅立葉變換的性質(zhì)2/5/202355二維傅立葉變換的可分離特性表明，一個(gè)二維傅立葉變換可通過(guò)二次一維傅立葉變換來(lái)完成，即：第一次先對(duì)y進(jìn)行一維傅立葉變換

在此基礎(chǔ)上對(duì)x進(jìn)行一維傅立葉變換2/5/202356變量分離步驟如圖所示:

2/5/202357若已知頻率二維序列F(u，v)，則二維可分離性對(duì)傅立葉逆變換同樣適應(yīng)

逆變換的分離性也同樣可以分解為兩次一維傅立葉變換

2/5/202358(5)周期性

如果二維離散函數(shù)f(x，y)的傅里葉變換為F(u，v)，則傅立葉變換及其逆變換存在如下周期特性：3.二維離散傅立葉變換的性質(zhì)2/5/202359(6)共軛對(duì)稱性3.二維離散傅立葉變換的性質(zhì)2/5/202360(7)旋轉(zhuǎn)不變性圖像f(x，y)可以表示為f(r，θ)。同樣，空間頻率域的F(u，v)采用極坐標(biāo)可以表示為F(ρ，)。二維離散傅立葉存在如下旋轉(zhuǎn)特性：

3.二維離散傅立葉變換的性質(zhì)2/5/202361(a)原始圖像

(b)DFT變換

(c)原始圖像旋轉(zhuǎn)45o(d)旋轉(zhuǎn)之后DFT變換結(jié)果

2/5/202362(8)微分性質(zhì)3.二維離散傅立葉變換的性質(zhì)2/5/202363(9)平均值性質(zhì)平均值定義如下平均值性質(zhì)如下：

即：結(jié)論：二維離散函數(shù)的平均值等于其傅立葉變換在頻率原點(diǎn)處值的1/MN。

2/5/202364二維傅立葉變換(幅值及相位)意義2/5/202365圖像的說(shuō)明左邊一列:

上方為原始圖像,下方為本圖的相關(guān)說(shuō)明說(shuō)明;中間一列:

上圖幅值譜,下圖為根據(jù)幅值譜的傅立葉逆變換(忽略相位信息,設(shè)相位為0);右邊一列:

上圖相位譜,下圖為根據(jù)相位譜的傅立葉逆變換(忽略幅值信息,設(shè)幅值為某一常數(shù));2/5/2023662/5/2023672/5/202368DFT的缺點(diǎn)一幅M×N的二維數(shù)字圖像，DFT計(jì)算量為M2N2。512×512像素圖像為例，DFT運(yùn)算次數(shù)高達(dá)700億次，其運(yùn)算量非常巨大的。應(yīng)用很困難。2/5/202369FFT的產(chǎn)生1965年，Cooley和Tukey發(fā)表論文“機(jī)器計(jì)算傅里葉級(jí)數(shù)的一種算法”，首次提出快速傅里葉變換算法。FFT算法是對(duì)DFT算法的一種改進(jìn)，通過(guò)分析DFT的規(guī)律，消除了許多重復(fù)計(jì)算，因此，大大減少了運(yùn)算量，節(jié)省了運(yùn)算時(shí)間。512×512像素FFT計(jì)算量為(M×N/2)log2(M×N)=70萬(wàn)可以認(rèn)為FFT算法的產(chǎn)生是數(shù)字圖像處理領(lǐng)域的一次革命。2/5/202370基本思想：FFT算法基于一個(gè)叫做遞推加倍的方法。通過(guò)推導(dǎo)將DFT轉(zhuǎn)換成兩個(gè)遞推公式。利用變換矩陣元素的周期性與對(duì)稱性，避免重復(fù)的相乘運(yùn)算，減少計(jì)算量。

N-1 F(u)=1/N∑f(x)exp(-j2ux/N)

x=0 F(u)=1/2(Feven(u)+Fodd(u)W2Mu) F(u+M)=1/2(Feven(u)-Fodd(u)W2Mu)FFT算法思想2/5/202371FFT算法思想歸納快速傅立葉變換的思想：1）通過(guò)計(jì)算兩個(gè)單點(diǎn)的DFT，來(lái)計(jì)算兩個(gè)點(diǎn)的DFT，2）通過(guò)計(jì)算兩個(gè)雙點(diǎn)的DFT，來(lái)計(jì)算四個(gè)點(diǎn)的DFT，…，以此類推3）對(duì)于任何N=2m的DFT的計(jì)算，通過(guò)計(jì)算兩個(gè)N/2點(diǎn)的DFT，來(lái)計(jì)算N個(gè)點(diǎn)的DFT2/5/202372高通濾波FFT變換的應(yīng)用2/5/202373低通濾波FFT變換的應(yīng)用2/5/202374壓縮率為：1.7：1壓縮率為：2.24：1壓縮率為：3.3：1低通壓縮效果2/5/202375壓縮率為：8.1：1壓縮率為：10.77：1壓縮率為：16.1：1低通壓縮效果2/5/202376六.離散余弦變換1.問(wèn)題的提出：傅立葉變換的一個(gè)最大的問(wèn)題是：它的參數(shù)都是復(fù)數(shù)，在數(shù)據(jù)的描述上相當(dāng)于實(shí)數(shù)的兩倍。為此，我們希望有一種能夠達(dá)到相同功能但數(shù)據(jù)量又不大的變換。在此期望下，產(chǎn)生了DCT變換2/5/202377DCT1974年，Ahmed和Rao首先提出。DCT變換得到了廣泛應(yīng)用，被認(rèn)為是一種準(zhǔn)最佳變換。在近年頒布的一系列視頻壓縮編碼的國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)建議中，都將DCT作為其中的一個(gè)基本處理模塊。DCT為實(shí)數(shù)變換，變換矩陣確定（與變換對(duì)象無(wú)關(guān)），具有多種快速算法，二維DCT還是一種可分離的變換等。2/5/202378二維DCT正變換：二維DCT逆變換：其中：2/5/202379DCT的應(yīng)用它常被認(rèn)為是對(duì)語(yǔ)音和圖像信號(hào)進(jìn)行變換的最佳方法。為了工程上實(shí)現(xiàn)的需要，國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者花費(fèi)了很大精力去尋找或改進(jìn)離散余弦變換的快速算法。由于近年來(lái)數(shù)字信號(hào)處理芯片（DSP）的發(fā)展，加上專用集成電路設(shè)計(jì)上的優(yōu)勢(shì)，這就牢固地確立DCT在目前圖像編碼中的重要地位，成為H.261、JPEG、MPEG等國(guó)際上公用的編碼標(biāo)準(zhǔn)的重要環(huán)節(jié)。在視頻壓縮中，最常用的變換方法是DCT。2/5/202380DCT與快速DCT效果2/5/202381離散沃爾什正變換DFT和DCT變換都是由正弦或余弦三角函數(shù)為基本的正交函數(shù)基，DFT是復(fù)數(shù)運(yùn)算，DCT雖然避免復(fù)數(shù)運(yùn)算，但要進(jìn)行三角函數(shù)運(yùn)算，運(yùn)算復(fù)雜程度也較高。沃爾什函數(shù)基是二值正交基，與數(shù)字邏輯的兩個(gè)狀態(tài)相對(duì)應(yīng)，更加適合于計(jì)算機(jī)技術(shù)、數(shù)字信號(hào)處理等應(yīng)用領(lǐng)域。2/5/202382七.哈達(dá)瑪正變換哈達(dá)瑪變換是一種特殊排序的沃爾什變換。也有叫做沃爾什-哈達(dá)瑪變換。優(yōu)點(diǎn)：變換核矩陣具有簡(jiǎn)單的遞推關(guān)系，基高階矩陣可以通過(guò)低階矩陣求出。哈達(dá)瑪變換矩陣也是一個(gè)僅包括+1和-1兩個(gè)矩陣元素的方陣，任意兩行或兩列相乘后的各數(shù)之和必定為0，與沃爾什變換矩陣僅是行的次序不同。2/5/2023831.一維哈達(dá)瑪正變換

設(shè)f(x)表示N點(diǎn)的一維離散序列，則一維哈達(dá)瑪變換如下：u=0,1,2,3,…,N-1七.哈達(dá)瑪正變換2/5/202384其中，g(x，u)是一維哈達(dá)瑪變換的核，定義如下：式中，

u=0，1，2，…，N-1；x=0，1，2，…，N-1,N是哈達(dá)瑪變換的階數(shù)，bi(z)是z的二進(jìn)制數(shù)的第i位數(shù)值，取值為0或1。