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任意角及其度量(ⅡⅢ)
AnyAngleandItsMeasures課題目標(biāo)與要求1、掌握弧度制的定義,學(xué)會(huì)弧度制與角度制互化
;2、理解角的集合與實(shí)數(shù)集R之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系;
3、會(huì)用弧度制正確表示象限角、與角a終邊相同的角以及終邊在各坐標(biāo)軸上的角的集合;4、會(huì)用弧度制計(jì)算扇形面積和弧長(zhǎng).準(zhǔn)備與導(dǎo)入1、回顧:在平面幾何中,1度的角是怎樣定義的?
把周角分成360等分,每一份叫做1度的角.這種用度作為單位來度量角的單位制叫做角度制.
設(shè)xo的圓心角所對(duì)圓弧長(zhǎng)為l,圓的半徑為r,則
2、研究:在不同半徑的圓中,如果圓心角的大小相等,那么它們所對(duì)的圓弧長(zhǎng)與所在圓的半徑之比是否相等?
這說明對(duì)于不同半徑的圓,l與r的比值僅與角的大小x有關(guān),因此,我們可以用圓弧的長(zhǎng)與圓半徑的比值來表示這個(gè)圓弧所對(duì)的圓心角的大?。?/p>
準(zhǔn)備與導(dǎo)入我們規(guī)定:
把弧長(zhǎng)等于半徑的弧所對(duì)的圓心角的大小叫做1弧度的角.用符號(hào)rad表示,讀作弧度.弧度制
用弧度作為單位來度量角的制度叫做弧度制.思考:為什么用弧度制來度量角的大小是合理的?
如果一個(gè)半徑為r的圓的圓心角a所對(duì)的弧長(zhǎng)為l,那么l與r的比值就是角a的弧度數(shù)的絕對(duì)值,即:準(zhǔn)備與導(dǎo)入
如圖:設(shè)圓的半徑為r,在直角坐標(biāo)系中,將半徑OA作為角的始邊,當(dāng)OA繞圓心旋轉(zhuǎn)到角的終邊位置OB時(shí),點(diǎn)B所轉(zhuǎn)過的弧長(zhǎng)與r的比值就是旋轉(zhuǎn)所產(chǎn)生的角的弧度數(shù)的絕對(duì)值,其符號(hào)取決于旋轉(zhuǎn)的方向是逆時(shí)針還是順時(shí)針.OxyAB點(diǎn)B所轉(zhuǎn)過的弧長(zhǎng)OB旋轉(zhuǎn)的方向所成角的弧度數(shù)r逆時(shí)針方向12pr逆時(shí)針方向2r-2pr順時(shí)針方向100r逆時(shí)針方向-100p填表:順時(shí)針方向順時(shí)針方向2p-p100100pr探究與深化弧度制與角度制互化
我們知道,一個(gè)半徑為r的圓的周長(zhǎng)為2pr,因此周角的弧度數(shù)為2p,即360o=2p弧度.所以:
1弧度=弧度弧度弧度注:用弧度制表示角的大小時(shí),通常省略“弧度”兩字,例如:180o=p;sin1.2表示1.2弧度角的正弦.例1、將100o換算成弧度,分別用精確值和近似值
(精確到0.001)表示.解:(精確值)(弧度)解:2.3弧度=例2、將2.3弧度換算成角度(保留兩位小數(shù)).ex2、將下列各弧度化為度:(1)150o(2)22o30’(3)-207oex1、將下列各度化為弧度:(2)(1)探究與深化探究與深化1、角的概念推廣后,在弧度制下,角的集合與實(shí)數(shù)集R之間建立起一一對(duì)應(yīng)關(guān)系:2、我們要熟記一些特殊角的弧度數(shù):
每一個(gè)角都有一個(gè)唯一的實(shí)數(shù)(即這個(gè)角的弧度數(shù))與它對(duì)應(yīng);反過來,每一個(gè)實(shí)數(shù)也都有唯一的一個(gè)角(即弧度數(shù)等于這個(gè)實(shí)數(shù)的角)與它對(duì)應(yīng).角度數(shù)30o45o60o90o180o270o360o弧度數(shù)探究與深化例3、把下列各角化為
的形式,并判斷它們屬于哪個(gè)象限.所有與角a有重合終邊的角(包括角a本身)的集合表示為:注意:弧度制與角度制不能混用!(1)(2)X軸正半軸的角:X軸負(fù)半軸的角:X軸上的角:y軸正半軸的角:y軸負(fù)半軸的角:坐標(biāo)軸上的角:y軸上的角:探究與深化一些重要結(jié)論第一象限的角:第二象限的角:第三象限的角:第四象限的角:一些重要結(jié)論探究與深化練習(xí)與評(píng)價(jià)例4、設(shè)扇形的圓心角為a(0<a<2p),半徑為r,弧長(zhǎng)為l,面積為S,求證:(1)l=ar;(2);(3).證明:(2)因?yàn)椋?,所以?3)將(1)代入(2)即得:(1)因?yàn)?,所以l=ar;記住在弧度制下的扇形弧長(zhǎng)和面積公式ex3、半徑為2cm,圓心角為的扇形面積為___.
ex4、半徑為1的圓上的一段弧所對(duì)的弦長(zhǎng)為1,則該弦所對(duì)應(yīng)的弧的弧長(zhǎng)為___.練習(xí)與評(píng)價(jià)ex5、已知扇的形圓心角為,半徑為5,求扇形的弧長(zhǎng)l及面積S.AOB練習(xí)與評(píng)價(jià)練習(xí)與評(píng)價(jià)解:因?yàn)閍是第三象限的角,所以例6、設(shè)a是第三象限的角,試討論是哪個(gè)象限角.當(dāng)k為偶數(shù)時(shí),設(shè)k=2n(n∈Z),則:,所以是第二象限角;當(dāng)k為奇數(shù)時(shí),設(shè)k=2n+1(n∈Z),則:,所以是第四象限角;綜上得:當(dāng)a是第三象限的角,是第二或第四象限角.xyoⅠⅠⅡⅡⅢⅢⅣⅣ練習(xí)與評(píng)價(jià)回顧與小結(jié)小結(jié):1、弧度制的定義、在
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