模塊三立體的投影

模塊三立體的投影

·機(jī)器零件一般都是由一些基本幾何體、切割體（基本幾何體與平面截交）和相貫體（兩個(gè)立體相交）按一定方式組合而形成的，如圖3-1所示。任務(wù)一基本幾何體任務(wù)二切割體任務(wù)三相貫體任務(wù)一基本幾何體任務(wù)引出·要想繪制和閱讀零件圖應(yīng)首先從構(gòu)成零件的最基本元素——基本幾何體開(kāi)始。任務(wù)描述·最基本的簡(jiǎn)單立體稱之為基本幾何體?！せ編缀误w可分為平面立體和曲面立體兩大類，表面都是平面的立體，稱為平面立體；表面由曲面或曲面與平面所圍成的立體，稱為曲面立體。相關(guān)知識(shí)

一、平面立體的投影·平面立體是各表面都是由平面圖形構(gòu)成的實(shí)體，面與面的交線稱為棱線，棱線與棱線的交點(diǎn)稱為頂點(diǎn)。（一）棱柱

1．棱柱的投影·以求正六棱柱的投影為例，其在投影系中的位置如圖3-2（a）所示，其頂面和底面為平行于水平投影面的正六邊形，6個(gè)棱面均垂直于底面。

（1）水平投影。（2）正面投影。（3）側(cè)面投影。

·機(jī)件中各種形狀的棱柱較多，圖3-3所示都屬于棱柱。

2．棱柱表面上取點(diǎn)·在棱柱（平面立體）表面上取點(diǎn)，其原理和方法與前面介紹的在平面上取點(diǎn)相同?！ぁ纠?-1】如圖3-4（a）所示，已知正六棱柱表面上點(diǎn)M的正面投影和N點(diǎn)的水平投影，求其另兩面投影，并判別可見(jiàn)性。解：由于正棱柱的各個(gè)表面都相對(duì)于投影面處于特殊位置，所以棱柱表面上點(diǎn)的投影均可利用平面投影的積聚性來(lái)作圖?！と鐖D3-4（b）所示，已知M點(diǎn)的正面投影，先作出其水平投影，再作側(cè)面投影。（二）棱錐

1．棱錐的投影

（1）正面投影。（2）水平投影。（3）側(cè)面投影。

2．棱錐表面上取點(diǎn)·【例3-2】如圖3-6（a）所示，已知三棱錐表面上M、N兩點(diǎn)的正面投影，求其水平投影和側(cè)面投影，并判別可見(jiàn)性。解：首先確定給定點(diǎn)所在表面?！び蓤D3-6（a）可知，由于m′不可見(jiàn)，所以可以確定點(diǎn)M在棱面SBC上，棱面SBC是側(cè)垂面，其側(cè)面投影積聚為直線s″c″（b″），因此可先求出點(diǎn)M的側(cè)面投影m″,再根據(jù)m′和m″即可求出m。·點(diǎn)N處在一般位置的棱面SAC上，需要通過(guò)在平面上作輔助線的方法，求出N點(diǎn)的另兩面投影?！ぞ唧w作圖如圖3-6（b）所示。·由于棱面SBC的水平投影可見(jiàn)，側(cè)面投影有積聚性，所以m和m″均可見(jiàn)。·而棱面SAC的三面投影都可見(jiàn)，因此點(diǎn)N的三面投影也均可見(jiàn)。3．棱錐臺(tái)的投影

二、曲面立體的投影（一）圓柱

1．圓柱的投影

（1）正面投影。（2）水平投影。（3）側(cè)面投影。

2．圓柱表面上取點(diǎn)·【例3-3】如圖3-9（a）所示，已知圓柱表面上A、B、C、D點(diǎn)的一面投影，求出點(diǎn)的另兩面投影，并判別可見(jiàn)性。解：由圖3-9（a）可知，A點(diǎn)位于圓柱面上，過(guò)給定的a′作垂直于X軸的投影連線，該投影連線與圓柱面的水平投影（圓）有兩個(gè)交點(diǎn)，因a′不可見(jiàn)，知A點(diǎn)在圓柱的后半部分上，故可確定a是A點(diǎn)的水平投影?！ぷ?5°輔助線，根據(jù)寬相等，高平齊的投影原理，可求出a″，由a′知A點(diǎn)在圓柱面左半部分上，所以a″可見(jiàn)?！ぞ唧w作圖順序如圖3-9（b）所示?！じ鶕?jù)給定的b′點(diǎn)的位置進(jìn)行判斷，B點(diǎn)位于圓柱面的右、前半部分上，故b位于水平投影圓的右、前半部分圓周上，B點(diǎn)位于右半圓柱面上，故b″不可見(jiàn)?！ぞ唧w作圖如圖3-9（b）所示?！じ鶕?jù)給定的c″點(diǎn)的位置進(jìn)行判斷，C點(diǎn)位于圓柱面的側(cè)面投影轉(zhuǎn)向輪廓線，可直接根據(jù)點(diǎn)的投影規(guī)律求出c、c′，如圖3-9（b）所示?！じ鶕?jù)給定的d的位置進(jìn)行判斷，D點(diǎn)位于圓柱體的端面上，因d不可見(jiàn)，可判斷D點(diǎn)位于圓柱體的底面上，據(jù)此可求出d′、d″，如圖3-9（b）所示。（二）圓錐

1．圓錐的投影

（1）正面投影。（2）水平投影。（3）側(cè)面投影。

2．圓錐表面上取點(diǎn)·【例3-4】如圖3-11所示，已知圓錐表面上M點(diǎn)的一面投影，求出點(diǎn)的另兩面投影，并判別可見(jiàn)性。解：

（1）用素線法作圖?！び蓤D3-11（a）可知，點(diǎn)M的正面投影m′給定，因?yàn)閙′可見(jiàn)，所以M點(diǎn)應(yīng)該在圓錐表面上的左前方?！み^(guò)m′在錐面上作素線SM的正面投影s′a′，再由s′a′作出水平投影sa和側(cè)面投影s″a″，最后根據(jù)直線上點(diǎn)的投影規(guī)律，作出m、m″?！ひ?yàn)辄c(diǎn)M在圓錐表面的左前方，所以m、m″均可見(jiàn)。（2）用緯圓法作圖?！び蓤D3-12（a）可知，點(diǎn)M的正面投影m′給定，因?yàn)閙′可見(jiàn)，所以點(diǎn)M應(yīng)該在圓錐表面上的右前方。·作圖方法是：過(guò)點(diǎn)M在圓錐表面上作垂直于軸線的截面，得水平的輔助緯圓，此圓的正面投影積聚成一條直線，水平投影為圓，利用這個(gè)輔助緯圓，由m′作出m，再由m′、m作出（m″）?！ひ?yàn)辄c(diǎn)M在圓錐表面的右前方，所以m可見(jiàn)，（m″）不可見(jiàn)。（三）圓球

1．圓球的投影

（1）正面投影。（2）水平投影。（3）側(cè)面投影。

2．圓球表面上取點(diǎn)·【例3-5】如圖3-14所示，已知圓球表面上K、M、N

3點(diǎn)的一面投影，求出點(diǎn)的另兩面投影，并判別可見(jiàn)性。解：由題給條件可見(jiàn)，點(diǎn)M的正面投影m′已知?！み^(guò)m′作球面上水平圓的正面投影，與球的正面投影的轉(zhuǎn)向輪廓線相交于1′、2′兩點(diǎn)，其長(zhǎng)度等于水平圓的直徑，作出這個(gè)水平圓的水平投影，其水平投影反映實(shí)形?！と缓蟾鶕?jù)點(diǎn)在這個(gè)水平圓上，由m′引鉛垂的投影連線，求出m，在側(cè)面投影上度量寬y1坐標(biāo)，得出m″?！び捎邳c(diǎn)M在左上前四分之一球面上，所以m、m″都可見(jiàn)，如圖3-14（a）所示。·由圖3-14（b）中N點(diǎn)的水平投影n可知，點(diǎn)N在左上半球面上，且點(diǎn)N在球面的正面投影的轉(zhuǎn)向輪廓線上，根據(jù)點(diǎn)的投影規(guī)律，由n可直接作出n′和n″，而且n′和n″均可見(jiàn)?！膱D3-14（b）中K點(diǎn)的水平投影（k）可知，點(diǎn)K在右下后四分之一球面的一般位置上，過(guò)（k）作球面上正平圓的水平投影，與球水平投影的轉(zhuǎn)向輪廓線相交于兩點(diǎn)，其兩點(diǎn)之間的長(zhǎng)度等于正平圓的直徑，作出這個(gè)正平圓的正面投影，其正面投影反映實(shí)形。·由（k）引鉛垂的投影連線，求出點(diǎn)K的正面投影（k′）?！と缓蟾鶕?jù)點(diǎn)的投影關(guān)系，在側(cè)面投影上度量寬y1坐標(biāo)，求出K點(diǎn)的側(cè)面投影（k″）?！び捎邳c(diǎn)K在右后下四分之一球面上，所以（k′）和（k″）均不可見(jiàn)。（四）圓環(huán)

1．圓環(huán)的投影

2．圓環(huán)表面上取點(diǎn)·【例3-6】如圖3-16（a）所示，已知圓環(huán)表面上A、B、C、D點(diǎn)的一面投影。·求出各點(diǎn)的另一面投影，并判別可見(jiàn)性。解：由圖3-16（a）可知，點(diǎn)A在上半個(gè)外環(huán)面上，過(guò)a′在圓環(huán)面上作一緯線，求出該緯線在水平投影面上的投影——緯圓，則點(diǎn)A的水平投影a在此緯圓上。·因a′是可見(jiàn)的，故A點(diǎn)在前上半個(gè)外環(huán)面上，所以a可見(jiàn)?！ぞ唧w作圖如圖3-16（b）所示。·其他各點(diǎn)均是特殊位置上的點(diǎn)，具體作圖可參見(jiàn)圖3-16（c）。（五）不完整立體的投影·圖3-17、圖3-18所示是工程上常見(jiàn)的幾種不完整曲面立體的投影。

三、基本幾何體的尺寸標(biāo)注·圖3-19、圖3-20是常見(jiàn)基本幾何體的尺寸標(biāo)注。任務(wù)二切割體任務(wù)引出·實(shí)際的機(jī)器零件有些部分并不是完整的基本幾何體，而是經(jīng)過(guò)截切后的基本幾何體，稱為切割體，如圖3-21中的頂尖和撥叉軸就是由基本幾何體經(jīng)平面切割而成的。任務(wù)描述·切割體是經(jīng)過(guò)截切后的基本幾何體，求其投影的關(guān)鍵問(wèn)題是求截平面與基本幾何體表面的交線——截交線。相關(guān)知識(shí)

一、切割體及截交線的概念·如圖3-22所示?！と魏谓亟痪€都具有以下兩個(gè)基本性質(zhì)：

（1）任何基本幾何體的截交線都是一個(gè)封閉的平面圖形。（2）截交線是截平面與基本幾何體表面的共有線。二、平面切割體的投影·【例3-7】正五棱柱被截切，如圖3-23（a）、（d）所示，求作正五棱柱被截切后的投影。解：正五棱柱是被正垂面截切，正垂面截過(guò)了正五棱柱的5條棱線，故截交線必為封閉的五邊形，各頂點(diǎn)為截平面與5條棱線的交點(diǎn)?！び捎谡姑娴慕仄矫婧驼謇庵鞅砻婢鶠樘厥馕恢闷矫?，因此可利用積聚性直接作圖?！ぷ鲌D方法如圖3-23（b）所示。

（1）因五棱柱的5條棱線水平投影積聚，可直接在水平投影上得到截交線的5個(gè)頂點(diǎn)1、2、3、4、5，再在正面投影中找出1′、2′、3′、4′、5′，然后根據(jù)投影規(guī)律求出各交點(diǎn)的側(cè)面投影1″、2″、3″、4″、5″。

（2）依次連接各點(diǎn)的同面投影即得截交線的投影，連接時(shí)注意判別投影的可見(jiàn)性，可見(jiàn)投影用粗實(shí)線連接，不可見(jiàn)投影用虛線連接。

（3）整理輪廓線，擦掉被截掉部分的輪廓線，即完成切割體投影，如圖3-23（c）所示。·【例3-8】如圖3-24（a）所示，求斜三棱錐被截切后的投影。解：三棱錐被一正垂面截切，且截平面截過(guò)了三棱錐的3條棱線，故截交線必為封閉的三角形。·由于截平面為正垂面，利用投影的積聚性可直接找到截交線的正面投影，之后運(yùn)用點(diǎn)在直線上的投影特性求出截交線的其他投影?！ぷ鲌D方法如圖3-24（b）所示。

（1）利用投影的積聚性在正面投影中找出截平面與三棱錐3條棱線交點(diǎn)Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影1′、2′、3′，然后根據(jù)點(diǎn)在直線上的投影特性作出這3個(gè)點(diǎn)的水平投影1、2、3，側(cè)面投影1″、2″、3″。

（2）依次連接各點(diǎn)的同面投影即得截交線的投影，連接時(shí)注意判別投影的可見(jiàn)性，可見(jiàn)投影用粗實(shí)線連接，不可見(jiàn)投影用虛線連接。（3）整理輪廓線，擦掉被截掉部分的輪廓線，完成被截三棱錐的投影?！ぁ纠?-9】如圖3-25（a）所示，求正四棱柱開(kāi)槽后的側(cè)面投影。解：正四棱柱開(kāi)槽，可以看作是正四棱柱被3個(gè)截平面截切而成，如圖3-25（c）所示?！た煞謩e求出各截平面上截交線的投影?！ぷ鲌D方法如圖3-25（b）所示，這里需要注意的是，每個(gè)截平面與立體表面的交線都是封閉的多邊形，而多邊形的頂點(diǎn)除了截平面與各棱線的交點(diǎn)之外還包括平面與平面交線的端點(diǎn)?！と鐖D3-25（c）中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ點(diǎn)，它們也是多邊形截交線的頂點(diǎn)?！ぁ纠?-10】試求圖3-26所示四棱錐被二平面截切后的投影。解：（1）空間及投影分析?！に睦忮F被二平面截切。截平面P為正垂面，與四棱錐的4個(gè)棱面的交線與例3-9相似?！そ仄矫鍽為水平面，與四棱錐底面平行，它與四棱錐的4個(gè)棱面的交線，同底面四邊形的對(duì)應(yīng)邊相互平行，利用平行面的投影特性很容易求得?！ご送?，還應(yīng)注意兩平面P、Q相交也會(huì)有交線，所以平面P和平面Q截出的截交線均為五邊形?！て矫鍼為正垂面，其截交線投影特性同例3-9的分析：平面Q為水平面，其截交線正面投影和側(cè)面投影皆具有積聚性，水平投影則反映截交線的實(shí)形。（2）作圖。·畫出完整四棱錐的3個(gè)投影。·【例3-11】求圖3-27所示三棱錐臺(tái)開(kāi)槽后的投影。解：圖3-27所示為三棱錐臺(tái)開(kāi)槽后，其截交線的求畫方法與作圖過(guò)程。

三、曲面切割體的投影·曲面立體被截切后，截交線一般是封閉的平面曲線或平面曲線和直線圍成的平面圖形?！ぷ鲌D步驟如下。

（1）求作特殊點(diǎn)（2）求作一般點(diǎn)（3）順次光滑連接各點(diǎn)并判別可見(jiàn)性1．圓柱切割

·根據(jù)截平面與圓柱軸線位置不同，圓柱切割后其截交線有3種不同的形狀，如表3-1所示?！ぁ纠?-12】如圖3-28所示，求斜截圓柱的投影。解：截切圓柱的平面與圓柱的軸線傾斜，其截交線為橢圓。·由于截平面是正垂面，且圓柱的軸線垂直于H面，可知截交線的正面投影積聚為一直線，而水平投影是圓?！そ亟痪€的側(cè)面投影則可根據(jù)正面和水平投影求得?！ぷ鲌D方法如圖3-28所示。

（1）求截交線的特殊點(diǎn)（2）求作一般點(diǎn)（3）依次光滑連接各點(diǎn)，即可得截交線的側(cè)面投影?！ぁ纠?-13】如圖3-29（a）所示，求切口圓柱的水平投影。解：從圖3-29（a）中可以看出，切口是由兩個(gè)與軸線平行的平面和一個(gè)與軸線垂直的平面截得的，前者與圓柱面的交線是直線，后者與圓柱面的交線是圓弧。·由于兩個(gè)與軸線平行的截平面為水平面，利用其正面投影和側(cè)面投影的積聚性可直接找到交線的正面投影和側(cè)面投影，如圖3-29（b）所示的a′b′、c′d′和a″b″、c″d″?！ご送?，由于另一個(gè)與軸線垂直的截平面為側(cè)平面，利用其投影的積聚性，可找到圓弧交線的正面投影b′e′f

′，而其側(cè)面投影b″e(cuò)″f″則應(yīng)落在圓周上。·作圖方法如圖3-29（b）所示。

（1）畫出整個(gè)圓柱的水平投影；（2）按投影關(guān)系畫出截交線的水平投影（3）整理輪廓線·【例3-14】求作圖3-30（a）所示圓柱切割后的投影。解：如圖3-30（a）所示，該圓柱被切去了Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ等4部分形體。·Ⅰ、Ⅱ部分為由兩平行于圓柱軸線的平面和一垂直于圓柱軸線的平面切割圓柱而成，切口為矩形。·Ⅲ部分也為由兩平行于軸線的平面和一垂直于軸線的平面切割圓柱而成，即在圓柱右端開(kāi)一個(gè)槽，切口也為矩形?！あ舨糠质窃谇懈睥?、Ⅱ部分的基礎(chǔ)上再挖去的一個(gè)小圓柱?！て渥鲌D過(guò)程如下。

（1）畫出整個(gè)圓柱的3個(gè)投影，并切去Ⅰ、Ⅱ部分，如圖3-30（b）所示。（2）畫切去Ⅲ部分后的投影，如圖3-30（c）所示。

（3）畫挖去Ⅳ部分，并完成全圖，如圖3-30（d）所示?！D3-31是用平行和垂直于軸線的截平面切割圓柱的示例。

2．圓錐切割·截平面切割圓錐時(shí)，根據(jù)截平面與圓錐軸線位置的不同，與圓錐面的交線有5種情況，如表3-2所示?！ぁ纠?-15】如圖3-32所示，圓錐被正平面截切，求作截交線的投影。解：因?yàn)檎矫媾c圓錐的軸線平行，所以截交線是雙曲線?！るp曲線的水平投影積聚成一直線，而正面投影反映實(shí)形，利用緯線圓法做出C、D、E正面投影，注意E點(diǎn)是截交線的最高點(diǎn)，過(guò)E點(diǎn)的緯線圓與截平面相切，作圖方法如圖3-32（b）所示。·【例3-16】如圖3-33所示，求頂尖頭的水平投影。解：由于截平面P為側(cè)平面，并與圓柱的軸線垂直，所以它與圓柱的截交線為圓弧。·其正面投影和水平投影積聚成直線，側(cè)面投影反映圓弧實(shí)形并與圓柱側(cè)面投影重合；Q為水平面，同時(shí)與圓錐和圓柱的軸線平行，所以該平面與圓柱的截交線為矩形，與圓錐的截交線為雙曲線，其水平投影反映實(shí)形，正面投影和側(cè)面投影都積聚成直線。其作圖方法如圖3-33所示。

（1）求特殊點(diǎn)（2）求一般點(diǎn)（3）光滑連接各點(diǎn)

3．圓球切割·對(duì)于圓球來(lái)說(shuō)，用任何方向的截平面切割，其截交線均為圓，圓的大小，由截平面與球心之間的距離而定，如表3-3所示。·圖3-34所示為圓球被水平面Q和側(cè)平面P切割截交線的求法。·【例3-17】如圖3-35所示，根據(jù)半圓球開(kāi)槽后的正面投影，求作水平投影和側(cè)面投影。解：

（1）空間分析。（2）作圖。①完成側(cè)平面P的投影，如圖3-34（b）所示。②完成水平面Q的投影，如圖3-34（c）所示。

四、切割體尺寸標(biāo)注·常見(jiàn)切割體的尺寸注法如圖3-36所示。任務(wù)三