東南大學(xué)電磁場(chǎng)與電磁波5jie

第五章時(shí)變電磁場(chǎng)什么是時(shí)變電磁場(chǎng)：場(chǎng)源（電荷、電流或時(shí)變場(chǎng)量）和場(chǎng)量（電場(chǎng)、磁場(chǎng)）隨時(shí)間變化的電磁場(chǎng)。由于時(shí)變的電場(chǎng)和磁場(chǎng)相互轉(zhuǎn)換，也可以說(shuō)時(shí)變電磁場(chǎng)就是電磁波。時(shí)變電磁場(chǎng)的特點(diǎn)：1）電場(chǎng)和磁場(chǎng)互為對(duì)方的渦旋（旋度）源。2）電場(chǎng)和磁場(chǎng)共存，不可分割。3）電力線和磁力線相互環(huán)繞。靜電場(chǎng)和恒定電流的磁場(chǎng)各自獨(dú)立存在，可以分開(kāi)討論。2/5/2023本教科書(shū)自第五章以后內(nèi)容全是關(guān)于電磁波的，第五章主要是基礎(chǔ)，引入波動(dòng)方程去掉電場(chǎng)與磁場(chǎng)的耦合，引入復(fù)矢量，簡(jiǎn)化時(shí)間變量的分析。第六章以平面波為例，首先研究無(wú)限大區(qū)域內(nèi)的電磁波的傳播特點(diǎn)，引入用于描述電磁波特性的參量。然后介紹半無(wú)限大區(qū)域內(nèi)的電磁波的傳播特點(diǎn)－電磁波的反射和折射。第七章首先介紹一個(gè)坐標(biāo)方向無(wú)限、其余坐標(biāo)方向有限的區(qū)域內(nèi)的電磁波傳播特性—導(dǎo)行電磁波特性，然后介紹了有限區(qū)域內(nèi)的電磁波諧振特性。第八章介紹了電磁波的產(chǎn)生－天線。本章內(nèi)容線索：1）理論方面：基本場(chǎng)方程，位函數(shù)（引入矢量位），邊界條件，波動(dòng)方程。2）基本方法：復(fù)矢量2/5/2023

?在時(shí)變電磁場(chǎng)中，電場(chǎng)與磁場(chǎng)都是時(shí)間和空間的函數(shù)；變化的磁場(chǎng)會(huì)產(chǎn)生電場(chǎng)，變化的電場(chǎng)會(huì)產(chǎn)生磁場(chǎng)，電場(chǎng)與磁場(chǎng)相互依存，構(gòu)成統(tǒng)一的電磁場(chǎng)。

?英國(guó)科學(xué)家麥克斯韋提出位移電流假說(shuō)，將靜態(tài)場(chǎng)、恒定場(chǎng)、時(shí)變場(chǎng)的電磁基本特性用統(tǒng)一的電磁場(chǎng)基本方程組高度概括。電磁場(chǎng)基本方程組是研究宏觀電磁場(chǎng)現(xiàn)象的理論基礎(chǔ)。?時(shí)變場(chǎng)的知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖

?本章要求：深刻理解電磁場(chǎng)基本方程組的物理意義，掌握電磁波的產(chǎn)生和傳播特性。2/5/2023§

5.0電磁感應(yīng)定律和全電流定律1.電磁感應(yīng)定律

當(dāng)與回路交鏈的磁通發(fā)生變化時(shí)，回路中會(huì)產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，這就是法拉弟電磁感應(yīng)定律（Faraday’sLawofElectromagneticInduction）。引起磁通變化的原因分為三類：

稱為感生電動(dòng)勢(shì)，這是變壓器工作的原理，又稱為變壓器電勢(shì)。?

回路不變，磁場(chǎng)隨時(shí)間變化感生電動(dòng)勢(shì)

負(fù)號(hào)表示感應(yīng)電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)總是阻礙原磁場(chǎng)的變化感生電動(dòng)勢(shì)的參考方向17:40:46

稱為動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)，這是發(fā)電機(jī)工作原理，又稱為發(fā)電機(jī)電勢(shì)。?

磁場(chǎng)隨時(shí)間變化，回路切割磁力線

實(shí)驗(yàn)表明：感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)與構(gòu)成回路的材料性質(zhì)無(wú)關(guān)（甚至可以是假想回路），只要與回路交鏈的磁通發(fā)生變化，回路中就有感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。當(dāng)回路是導(dǎo)體時(shí)，才有感應(yīng)電流產(chǎn)生。?

回路切割磁力線，磁場(chǎng)不變

動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)電荷為什么會(huì)運(yùn)動(dòng)呢？即為什么產(chǎn)生感應(yīng)電流呢？17:40:462.感應(yīng)電場(chǎng)（渦旋電場(chǎng)）

麥克斯韋假設(shè)，變化的磁場(chǎng)在其周圍激發(fā)著一種電場(chǎng)，該電場(chǎng)對(duì)電荷有作用力（產(chǎn)生感應(yīng)電流），稱之為感應(yīng)電場(chǎng)（ElectricFieldofInduction)。感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)與感應(yīng)電場(chǎng)的關(guān)系為

感應(yīng)電場(chǎng)是非保守場(chǎng)，電力線呈閉合曲線，變化的磁場(chǎng)是產(chǎn)生的渦旋源。在靜止媒質(zhì)中

變化的磁場(chǎng)產(chǎn)生感應(yīng)電場(chǎng)17:40:46變化的磁場(chǎng)產(chǎn)生感應(yīng)電場(chǎng)

若空間同時(shí)存在庫(kù)侖電場(chǎng),即則有變化的磁場(chǎng)產(chǎn)生電場(chǎng)

根據(jù)自然界的對(duì)偶關(guān)系，變化的磁場(chǎng)產(chǎn)生電場(chǎng)，變化的電場(chǎng)是否會(huì)產(chǎn)生磁場(chǎng)呢？3.全電流定律交變電路用安培環(huán)路定律

作閉合曲線與導(dǎo)線交鏈，根據(jù)安培環(huán)路定律為什么相同的線積分結(jié)果不同？17:40:46全電流定律微分形式積分形式其中，——位移電流密度(DisplacementCurrentDensity)

全電流定律揭示不僅傳導(dǎo)電流激發(fā)磁場(chǎng)，變化的電場(chǎng)也可以激發(fā)磁場(chǎng)。它與變化的磁場(chǎng)激發(fā)電場(chǎng)形成自然界的一個(gè)對(duì)偶關(guān)系。麥克斯韋由此預(yù)言電磁波的。17:40:464.三種電流

(1)傳導(dǎo)電流:自由電荷在導(dǎo)電媒質(zhì)中定向移動(dòng)而形成的,它只能存在于導(dǎo)電媒質(zhì)中,產(chǎn)生的焦耳-楞次熱。

(2)運(yùn)流電流:電荷在無(wú)阻力空間的運(yùn)動(dòng)而形成的,不產(chǎn)生的熱量,其數(shù)學(xué)表達(dá)式為,其中為電荷運(yùn)動(dòng)速度,為電荷密度。

(3)位移電流:變化的電場(chǎng)和介質(zhì)極化的結(jié)果,它可以存在空間的任何地方,產(chǎn)生的熱量不符合焦耳-楞次定律。17:40:46傳導(dǎo)電流密度運(yùn)流電流密度位移電流密度（歐姆定律）全電流

電流連續(xù)性原理17:40:46解：忽略極板的邊緣效應(yīng)和感應(yīng)電場(chǎng)位移電流密度位移電流例題1:已知平板電容器的面積為S,相距為d,

介質(zhì)的介電常數(shù)為，極板間電壓為u(t)。試求位移電流iD傳導(dǎo)電流iC與iD

的關(guān)系是什么?電場(chǎng)

傳導(dǎo)電流與位移電流17:40:46例2海水的電導(dǎo)率為4S/m，相對(duì)介電常數(shù)為81，求頻率為1MHz時(shí)，位移電流與傳導(dǎo)電流的比值。解：設(shè)電場(chǎng)隨時(shí)間作正弦變化，表示為則位移電流密度為其幅值為傳導(dǎo)電流的幅值為故17:40:46§5.1時(shí)變電磁場(chǎng)方程及邊界條件因?yàn)椴粸榱悖妶?chǎng)和磁場(chǎng)相互耦合，不能分開(kāi)研究。其基本方程就是Maxwell方程。2/5/2023微分形式：積分形式

一、時(shí)變電磁場(chǎng)方程全電流定律電磁感應(yīng)定律磁通連續(xù)性原理高斯定律2/5/2023

?全電流定律——麥克斯韋第一方程,

表明傳導(dǎo)電流和變化的電場(chǎng)都能產(chǎn)生磁場(chǎng)；?電磁感應(yīng)定律——麥克斯韋第二方程,表明電荷和變化的磁場(chǎng)都能產(chǎn)生電場(chǎng)；?磁通連續(xù)性原理——表明磁場(chǎng)是無(wú)源場(chǎng),磁力線總是閉合曲線；?高斯定律——表明電荷以發(fā)散的方式產(chǎn)生電場(chǎng)(變化的磁場(chǎng)以渦旋的形式產(chǎn)生電場(chǎng))。?麥克斯韋第一、二方程是獨(dú)立方程，后面兩個(gè)方程可以從中推得。?靜態(tài)場(chǎng)和恒定場(chǎng)是時(shí)變場(chǎng)的兩種特殊形式。2/5/2023物質(zhì)（本構(gòu)）方程：在線性、各向同性媒質(zhì)中其它媒質(zhì)有：非線性，各向異性，雙各向異性，負(fù)相對(duì)電導(dǎo)率、負(fù)相對(duì)磁導(dǎo)率媒質(zhì)等人工媒質(zhì)。這些媒質(zhì)在微波、光學(xué)、隱身、偽裝方面有很多應(yīng)用。上面的電流包括傳導(dǎo)電流和運(yùn)移電流2/5/2023二、邊界條件2/5/2023三、兩種特殊情況

兩種無(wú)耗媒質(zhì)的分界面（）或

理想介質(zhì)和理想導(dǎo)體的分界面（）或2/5/2023設(shè)邊界由理想介質(zhì)與理想導(dǎo)電體形成，已知在理想導(dǎo)電體內(nèi)部不可能存在電場(chǎng)，否則將會(huì)導(dǎo)致無(wú)限大的電流，因此，理想導(dǎo)電體內(nèi)部也不可能存在時(shí)變磁場(chǎng)，否則這種時(shí)變磁場(chǎng)在理想導(dǎo)電體內(nèi)部會(huì)產(chǎn)生時(shí)變電場(chǎng)。在理想導(dǎo)電體內(nèi)部也不可能存在時(shí)變的傳導(dǎo)電流，否則這種時(shí)變的傳導(dǎo)電流在理想導(dǎo)電體內(nèi)部會(huì)產(chǎn)生時(shí)變磁場(chǎng)。由此可見(jiàn)，在理想導(dǎo)電體內(nèi)部不可能存在時(shí)變電磁場(chǎng)及時(shí)變的傳導(dǎo)電流，它們只可能分布在理想導(dǎo)電體的表面。已知在任何邊界上，電場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量及磁感應(yīng)強(qiáng)度的法向分量是連續(xù)的，因此理想導(dǎo)體表面上不可能存在電場(chǎng)切向分量及磁場(chǎng)法向分量，只可能存在法向電場(chǎng)及切向磁場(chǎng)。也就是說(shuō)，時(shí)變電場(chǎng)必須垂直于理想導(dǎo)電體的表面，而時(shí)變磁場(chǎng)必須與其表面相切，如下圖示。2/5/2023EH

,

=enet因，由前式得

或由于理想導(dǎo)電體表面存在表面電流Js，設(shè)表面電流密度的方向與積分回路構(gòu)成右旋關(guān)系，因，求得或H1tH2tJS2/5/2023例1已知內(nèi)截面為的矩形金屬波導(dǎo)中的時(shí)變電磁場(chǎng)的各分量為

其坐標(biāo)如圖示。試求波導(dǎo)中的位移電流分布和波導(dǎo)內(nèi)壁上的電荷及電流分布。波導(dǎo)內(nèi)部為真空。

azyxb2/5/2023解

①由前式求得位移電流為

②在y=0

的內(nèi)壁上在y=b的內(nèi)壁上2/5/2023在x=0的側(cè)壁上，在x=a

的側(cè)壁上，在x=0

及x=a

的側(cè)壁上，因，所以。根據(jù)這些結(jié)果繪出的矩形波導(dǎo)內(nèi)壁電流分布如左圖示。

zyx內(nèi)壁電流2/5/2023例2在兩導(dǎo)體平板（z=0和z=d）之間的空氣中傳播的電磁波，已知其電場(chǎng)強(qiáng)度為式中kx為常數(shù)。2/5/2023試求：（1）磁場(chǎng)強(qiáng)度H；（2）兩導(dǎo)體表面上的面電流密度Jl。解：（1）取如圖所示的坐標(biāo)。由得故（2）導(dǎo)體表面電流存在于兩導(dǎo)體相向的面2/5/2023在簡(jiǎn)單的形式下隱藏著深?yuàn)W的內(nèi)容，這些內(nèi)容只有仔細(xì)的研究才能顯示出來(lái)，方程是表示場(chǎng)的結(jié)構(gòu)的定律。它不像牛頓定律那樣，把此處發(fā)生的事件與彼處的條件聯(lián)系起來(lái)，而是把此處的現(xiàn)在的場(chǎng)只與最鄰近的剛過(guò)去的場(chǎng)發(fā)生聯(lián)系。愛(ài)因斯坦（1879-1995）在他所著的“物理學(xué)演變”一書(shū)中關(guān)于麥克斯韋方程的一段評(píng)述：“這個(gè)方程的提出是牛頓時(shí)代以來(lái)物理學(xué)上的一個(gè)重要事件，它是關(guān)于場(chǎng)的定量數(shù)學(xué)描述，方程所包含的意義比我們指出的要豐富得多。假使我們已知此處的現(xiàn)在所發(fā)生的事件，藉助這些方程便可預(yù)測(cè)在空間稍為遠(yuǎn)一些，在時(shí)間上稍為遲一些所發(fā)生的事件”。2/5/2023麥克斯韋方程除了對(duì)于科學(xué)技術(shù)的發(fā)展具有重大意義外，對(duì)于人類歷史的進(jìn)程也起了重要作用，正如美國(guó)著名的物理學(xué)家弗曼在他所著的“弗曼物理學(xué)講義”中寫(xiě)道“從人類歷史的漫長(zhǎng)遠(yuǎn)景來(lái)看──即使過(guò)一萬(wàn)年之后回頭來(lái)看──毫無(wú)疑問(wèn)，在十九世紀(jì)中發(fā)生的最有意義的事件將判定是麥克斯韋對(duì)于電磁定律的發(fā)現(xiàn)，與這一重大科學(xué)事件相比之下，同一個(gè)十年中發(fā)生的美國(guó)內(nèi)戰(zhàn)（1861-1865）將會(huì)降低為一個(gè)地區(qū)性瑣事而黯然失色”。2/5/2023處于信息時(shí)代的今天，從嬰兒監(jiān)控器到各種遙控設(shè)備、從雷達(dá)到微波爐、從地面廣播電視到太空衛(wèi)星廣播電視、從地面移動(dòng)通信到宇宙星際通信、從室外無(wú)線局域網(wǎng)到室內(nèi)藍(lán)牙技術(shù)、以及全球衛(wèi)星定位導(dǎo)航系統(tǒng)等，無(wú)不利用電磁波作為傳播媒體。無(wú)線信息高速公路更使人們能在任何地點(diǎn)、任何時(shí)間同任何人取得聯(lián)系，發(fā)送所需的文本、聲音或圖象信息。電磁波的傳播還能制造一種身在遠(yuǎn)方的感覺(jué)，形成無(wú)線虛擬現(xiàn)實(shí)。電磁波獲得如此廣泛的應(yīng)用，更使我們深刻地體會(huì)到19世紀(jì)的麥克斯韋和赫茲對(duì)于人類文明和進(jìn)步的偉大貢獻(xiàn)。2/5/2023§5.2時(shí)變電磁場(chǎng)的唯一性定理如果1）一個(gè)區(qū)域內(nèi)t=0時(shí)，每一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度的初始值已知；2）區(qū)域邊界面上電場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量或磁場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量已知，則該區(qū)域內(nèi)每一點(diǎn)t>0時(shí)Maxwell方程組有唯一的確定解。2/5/2023時(shí)變電磁場(chǎng)的惟一定理：在閉合面S包圍的區(qū)域V

中，當(dāng)t=0時(shí)刻的電場(chǎng)強(qiáng)度E

及磁場(chǎng)強(qiáng)度H

的初始值給定時(shí)，又在t>0的時(shí)間內(nèi)，只要邊界S上的電場(chǎng)強(qiáng)度切向分量Et或磁場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量Ht

給定后，那么在t>0的任一時(shí)刻，體積V中任一點(diǎn)的電磁場(chǎng)由麥克斯韋方程惟一地確定。利用麥克斯韋方程導(dǎo)出的能量定理，采用反證法進(jìn)行證明這個(gè)定理。設(shè)區(qū)域V中有兩組解E1H1

及E2H2

均滿足麥克斯韋方程，且具有相同的初始條件及邊界條件。由于麥克斯韋方程是線性的，因此，差場(chǎng) 及一定滿足麥克斯韋方程。當(dāng)然它們也應(yīng)該滿足能量定理。將差場(chǎng)E

及H

代入能量定理公式中得

2/5/2023式中這里Et，Ht和En，Hn分別代表S表面上場(chǎng)強(qiáng)的切向分量和法向分量。因En與Hn的方向一致，。雖然Et與Ht方向不一定一致，但是，若邊界上切向分量Et或

Ht給定后，則差場(chǎng)E

=0或H

=0

，因此。那么又因矢量及矢量的方向均與dS

的方向垂直，因此，上面積分式中左邊第一項(xiàng)面積分為零，即2/5/2023因?yàn)樯鲜接疫叡环e函數(shù)大于或等于零，故右邊積分值小于或等于零，即若在t=0

時(shí)刻，場(chǎng)的初始值已經(jīng)給定，那么，在t=0時(shí)刻，差場(chǎng)，因此，t=0

時(shí)刻積分

但其積分值的時(shí)間導(dǎo)數(shù)小于零或等于零，這就意味著該積分隨時(shí)間的增加逐漸減小或與時(shí)間無(wú)關(guān)。由此獲知，該積分值小于或等于零。已知該被積函數(shù)代表能量密度，它只可能大于或等于零。因此，在任何時(shí)刻被積函數(shù)應(yīng)等于零，即2/5/2023由此可見(jiàn)，只可能，即。

上述證明中認(rèn)為媒質(zhì)具有一定的電導(dǎo)率

。若媒質(zhì)為理想介質(zhì)，可以作為0

的極限情況。2/5/2023§5.3時(shí)變電磁場(chǎng)的位函數(shù)一、時(shí)變電磁場(chǎng)的位函數(shù)1關(guān)于電場(chǎng)的波動(dòng)方程：由得左邊由矢量恒等變換得右邊2/5/2023故得關(guān)于電場(chǎng)的波動(dòng)方程：2用類似的方法可以得到關(guān)于磁場(chǎng)的波動(dòng)方程2/5/2023式中為拉普拉斯算符，在直角坐標(biāo)系中而無(wú)源區(qū)波動(dòng)方程在直角坐標(biāo)系中可分解為三個(gè)標(biāo)量方程

波動(dòng)方程的解是空間一個(gè)沿特定方向傳播的電磁波。

電磁波的傳播問(wèn)題歸結(jié)為在給定邊界條件和初始條件下求解波動(dòng)方程。2/5/2023既然Maxwell方程已經(jīng)囊括所有宏觀電磁現(xiàn)象，為什么還要波動(dòng)方程：答案是求解的需要。Maxwell方程里電場(chǎng)和磁場(chǎng)耦合在一起，而波動(dòng)方程里電場(chǎng)和磁場(chǎng)是獨(dú)立出現(xiàn)的，它們有各自的波動(dòng)方程。后者有時(shí)便于求解，但方程的階數(shù)是二階，比Maxwell方程高一階。所以也有不用波動(dòng)方程，直接用Maxwell方程求解。2/5/2023從上方程可以看出：時(shí)變電磁場(chǎng)的電場(chǎng)場(chǎng)量和磁場(chǎng)場(chǎng)量在空間中是以波動(dòng)形式變化的，因此稱時(shí)變電磁場(chǎng)為電磁波。建立波動(dòng)方程的意義：通過(guò)解波動(dòng)方程，可以求出空間中電場(chǎng)場(chǎng)量和磁場(chǎng)場(chǎng)量的分布情況。但需要注意的是：只有少數(shù)特殊情況可以通過(guò)直接求解波動(dòng)方程求解。2/5/20233時(shí)變電磁場(chǎng)的位函數(shù)1）矢量磁位的定義（同靜磁場(chǎng)定義）：2）標(biāo)量電位的定義（不同于靜電場(chǎng)）：由于電場(chǎng)的旋度不等于零，不能直接定義。但有

靜態(tài)場(chǎng)中為問(wèn)題簡(jiǎn)化引入了標(biāo)量位和矢量位。

時(shí)變場(chǎng)中也可引入相應(yīng)的輔助位，使問(wèn)題的分析簡(jiǎn)單化。2/5/2023可得我們可以令上面就是標(biāo)量電位的定義。由上式可得這樣我們就實(shí)現(xiàn)了用位函數(shù)表示電磁場(chǎng)量的目的。2/5/2023說(shuō)明：

1、時(shí)變場(chǎng)電場(chǎng)場(chǎng)量和磁場(chǎng)場(chǎng)量均為時(shí)間和空間位置的函數(shù)，因此動(dòng)態(tài)矢量位和動(dòng)態(tài)標(biāo)量位也為時(shí)間和空間位置的函數(shù)。2、由于時(shí)變場(chǎng)電場(chǎng)和磁場(chǎng)為統(tǒng)一整體，因此動(dòng)態(tài)標(biāo)量位和動(dòng)態(tài)矢量位也是一個(gè)統(tǒng)一的整體。2/5/2023二、時(shí)變電磁場(chǎng)的位函數(shù)方程1矢量位的波動(dòng)方程根據(jù)恒等式2/5/2023上式可寫(xiě)成這就是洛侖茲規(guī)范（請(qǐng)與庫(kù)侖規(guī)范比較）。由于矢量位的散度尚待規(guī)定，從簡(jiǎn)化角度，我們可以令：由此可得矢量位的波動(dòng)方程2/5/20232標(biāo)量位的波動(dòng)方程：同時(shí)故得標(biāo)量位的波動(dòng)方程2/5/2023?簡(jiǎn)化了動(dòng)態(tài)位與場(chǎng)源之間的關(guān)系，使得A單獨(dú)由J決定，j單獨(dú)由r決定，給解題帶來(lái)了方便；?洛侖茲條件是電流連續(xù)性原理的體現(xiàn)。洛侖茲條件（Luo

lunciCondition)的重要意義?確定了的值，與共同唯一確定A；17:40:46在無(wú)源區(qū)域，r與均為零，上述場(chǎng)量和位函數(shù)的波動(dòng)方程變?yōu)辇R次波動(dòng)方程，即Helmholtz方程：若靜態(tài)場(chǎng)，，上述波動(dòng)方程退化為相應(yīng)的泊松方程和拉普拉斯方程。2/5/20233.達(dá)朗貝爾方程的積分解

以位于坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)變點(diǎn)電荷為例，然后推廣到連續(xù)分布場(chǎng)源的情況。

式中具有速度的量綱，f1，f2是具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的任意函數(shù)。（除q點(diǎn)外）自己驗(yàn)證解的正確性（下一章要用到）。17:40:461）通解的物理意義：

f1在時(shí)間內(nèi)經(jīng)過(guò)距離后不變,說(shuō)明它是以有限速度v向r方向傳播，稱之為入射波。有

的物理意義

它表明:f2在時(shí)間內(nèi),以速度v向(-r

)方向前進(jìn)了距離,故稱之為反射波。

17:40:46由此推論，時(shí)變點(diǎn)電荷的動(dòng)態(tài)標(biāo)量位為可以證明：該解滿足齊次波動(dòng)方程。在無(wú)限大均勻媒質(zhì)中沒(méi)有反射波，即f2=0。2）解的表達(dá)式連續(xù)分布電荷產(chǎn)生的標(biāo)量位可利用迭加原理獲得無(wú)反射

波的入射、反射與透射

當(dāng)點(diǎn)電荷不隨時(shí)間發(fā)生變化時(shí)，波動(dòng)方程蛻變?yōu)?，其特解?7:40:46當(dāng)場(chǎng)源不隨時(shí)間變化時(shí)，蛻變?yōu)楹愣ù艌?chǎng)中的磁矢位A。若激勵(lì)源是時(shí)變電流源時(shí)，仿上述方法推導(dǎo)，得到A的表達(dá)式（無(wú)反射）

?達(dá)朗貝爾方程解的形式表明:t時(shí)刻的響應(yīng)取決于時(shí)刻激勵(lì)源的情況。故又稱A、為滯后位（RetardedPotential）。?電磁波是以有限速度傳播的，這個(gè)速度稱為波速m/s17:40:46它表明:f1是一個(gè)以速度

沿r方向傳播出去(前進(jìn))的物理量,是一個(gè)波動(dòng),即電磁波。

?它具有速度的量綱；且通解中的經(jīng)過(guò)后得以保持不變，必有自變量不變，即凡是以(t-r/v)為自變量的函數(shù)(物理量),都表示一個(gè)以速度v沿r方向前進(jìn)的波。所以電磁波是以波速傳播的波。17:40:46?電磁波在真空中的波速與光速相等。光也是一種電磁波。值得注意的是，既然空間場(chǎng)強(qiáng)不是取決于同一時(shí)刻的源特性，那么即使在同一時(shí)刻源已消失，只要前一時(shí)刻源還存在，它們?cè)瓉?lái)產(chǎn)生的空間場(chǎng)強(qiáng)仍然存在，這就表明源已將電磁能量釋放到空間，而空間電磁能量可以脫離源單獨(dú)存在，這種現(xiàn)象稱為電磁輻射。17:40:46此外，顯然只有時(shí)變電磁場(chǎng)才具有這種輻射特性，而靜態(tài)場(chǎng)完全被源所束縛。當(dāng)靜止電荷或恒定電流一旦消失，它們所產(chǎn)生的靜電場(chǎng)或恒定磁場(chǎng)也隨之失去，因而靜態(tài)場(chǎng)又稱為束縛場(chǎng)。

我們還可以看到，若源隨時(shí)間變化很快，空間場(chǎng)強(qiáng)的滯后現(xiàn)象更加顯著，即使在源附近也會(huì)有顯著的電磁輻射現(xiàn)象。所以似穩(wěn)場(chǎng)和輻射場(chǎng)的區(qū)域劃分不僅取決于空間距離，也與源的變化快慢有關(guān)。因此，為了向空間輻射電磁能量，必須使用變化很快的高頻電流激勵(lì)發(fā)射天線，而通常50Hz交流電不可能有效地輻射電磁能量。位于時(shí)變電荷或電流附近的時(shí)變電磁場(chǎng)，由于距離很近，引起的時(shí)差很小，場(chǎng)強(qiáng)隨時(shí)間的變化基本上與源的變化同步，所以近處的時(shí)變場(chǎng)稱為似穩(wěn)場(chǎng)。反之，離開(kāi)時(shí)變?cè)春苓h(yuǎn)的地方，由于時(shí)差很大，輻射效應(yīng)顯著，所以遠(yuǎn)處的時(shí)變場(chǎng)稱為輻射場(chǎng)。17:40:46由上分析獲知，空間各點(diǎn)的標(biāo)量電位和矢量磁位A隨著時(shí)間的變化總是落后于源，因此，位函數(shù)及A

通常稱為滯后位。此外，一般來(lái)說(shuō)，前式中的第二項(xiàng)不符合實(shí)際的物理?xiàng)l件。這是很明顯的，因?yàn)闀r(shí)間因子意味著場(chǎng)比源導(dǎo)前，這就不符合先有源后有場(chǎng)的因果關(guān)系，所以應(yīng)予舍去。當(dāng)然，因子又可寫(xiě)為那么，又可理解為向負(fù)r方向傳播的波，也就是來(lái)自無(wú)限遠(yuǎn)處的反射波。但是對(duì)于點(diǎn)電荷所在的無(wú)限大的自由空間，這種反射波是不可能存在的。17:40:46§54正弦電磁場(chǎng)與電路和信號(hào)分析類似，為了便于分析，我們可以把一般隨時(shí)間變化的時(shí)變電磁場(chǎng)，用傅立葉變換分解為許多不同時(shí)間頻率的正弦電磁場(chǎng)（簡(jiǎn)諧場(chǎng)，也稱時(shí)諧電磁場(chǎng)）的疊加。一、時(shí)諧電磁場(chǎng)中場(chǎng)量的瞬時(shí)表示式：以余弦函數(shù)為基準(zhǔn)（工程界慣例。少數(shù)也有用正弦函數(shù)的），以電場(chǎng)強(qiáng)度矢量為例：2/5/2023注意場(chǎng)量與時(shí)間變量t的關(guān)系非常簡(jiǎn)單和確定，這是引入復(fù)矢量的前提。

2/5/2023二、時(shí)諧電磁場(chǎng)中場(chǎng)量的復(fù)數(shù)表示式上式可以也表示為2/5/2023稱為電場(chǎng)強(qiáng)度的復(fù)矢量。同樣時(shí)諧電磁場(chǎng)的其它場(chǎng)量也可以有類似的表示式，如上面的表示式建立了時(shí)諧電磁場(chǎng)場(chǎng)量的瞬時(shí)表示式與復(fù)數(shù)表示式之間的聯(lián)系2/5/2023以電場(chǎng)旋度方程為例，代入相應(yīng)場(chǎng)量的復(fù)數(shù)表示式，可得、可與Re交換次序，得三、正弦電磁場(chǎng)方程的復(fù)數(shù)形式復(fù)數(shù)相等與其實(shí)部及虛部分別相等是等效的，故可以去掉上式兩邊的Re接著可以消去，得到2/5/2023上面的方程里已經(jīng)沒(méi)有時(shí)間變量了，因此方程得到了簡(jiǎn)化。形式上講，只有把微分算子用代替，就可以把時(shí)諧電磁場(chǎng)場(chǎng)量之間的線性關(guān)系，轉(zhuǎn)換為等效的復(fù)矢量關(guān)系。2/5/2023復(fù)數(shù)形式的Maxwell方程微分形式2/5/2023積分形式2/5/2023線性、各向同性媒質(zhì)中，有2/5/2023四、正弦電磁場(chǎng)邊界條件的復(fù)數(shù)形式邊界條件由于不含有時(shí)間導(dǎo)數(shù)，故復(fù)矢量形式的邊界條件與瞬時(shí)表示式形式的邊界條件在形式上完全一樣。2/5/2023五、復(fù)數(shù)介電常數(shù)，復(fù)數(shù)磁導(dǎo)率1令為導(dǎo)電媒質(zhì)的等效復(fù)介電常數(shù)，則上式可寫(xiě)成用途：把導(dǎo)電媒質(zhì)也視為一種等效的電介質(zhì)，從而可以統(tǒng)一采用電介質(zhì)的分析方法。2/5/2023另外，即使介質(zhì)不導(dǎo)電，也會(huì)有能量損耗，且與頻率有關(guān)。這時(shí)同樣可以用復(fù)介電常數(shù)表示這種介質(zhì)損耗，即虛部表示有能量損耗，從能量損耗的角度，與作用一樣。考慮上述兩種能量損耗，總的復(fù)介電常數(shù)是例5.4.1見(jiàn)教材P1472/5/20232同樣在磁介質(zhì)有損耗的情況下，也可以采用復(fù)數(shù)磁導(dǎo)率：3損耗角正切：表示介質(zhì)損耗的相對(duì)大小。介電質(zhì)損耗角正切磁介質(zhì)損耗角正切2/5/2023六、復(fù)數(shù)坡印亭矢量，復(fù)數(shù)坡印亭定理1復(fù)數(shù)坡印亭矢量

電磁能量符合自然界物質(zhì)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中能量守恒和轉(zhuǎn)化定律——坡印亭定理；

坡印亭矢量是描述電磁場(chǎng)能量流動(dòng)的物理量。表示單位時(shí)間內(nèi)流過(guò)與電磁波傳播方向相垂直單位面積上的電磁能量，亦稱為功率流密度，S的方向代表波傳播的方向，也是電磁能量流動(dòng)的方向。定義坡印廷矢量（PoyntingVector）W/m22/5/2023即使是時(shí)諧電磁場(chǎng)，由于坡印亭矢量是電場(chǎng)與磁場(chǎng)的矢量乘法，其瞬時(shí)表示式與其復(fù)數(shù)表示式的關(guān)系不再是簡(jiǎn)單的取實(shí)部的關(guān)系。經(jīng)推導(dǎo)可得坡印亭矢量的瞬時(shí)表示式與電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度復(fù)數(shù)表示式之間的關(guān)系2/5/2023由上式可計(jì)算出在一個(gè)時(shí)間周期內(nèi)的平均值于是可以定義復(fù)數(shù)坡印亭矢量因此有2/5/20232/5/2023例題1:導(dǎo)線半徑為a，長(zhǎng)為

，電導(dǎo)率為，試用坡印亭矢量計(jì)算導(dǎo)線損耗的能量。計(jì)算導(dǎo)線損耗的量導(dǎo)體內(nèi)解：思路：電場(chǎng)強(qiáng)度磁場(chǎng)強(qiáng)度2/5/2023以導(dǎo)體表面為閉合面，則導(dǎo)體吸收的功率為表明，導(dǎo)體電阻所消耗的能量是由外部傳遞的。電源提供的能量一部分用于導(dǎo)線損耗另一部分傳遞給負(fù)載導(dǎo)體有電阻時(shí)同軸電纜中的E、H與S2/5/20232復(fù)數(shù)坡印亭定理經(jīng)推導(dǎo)可得復(fù)數(shù)坡印亭定理如果考慮傳導(dǎo)電流的焦耳熱損耗，有極化電流的介電損耗，有磁損耗，有上式可寫(xiě)成2/5/2023物理意義：上式右邊是體積內(nèi)的有功功率和無(wú)功功率，所以上式左邊的面積分是穿過(guò)閉合面的復(fù)功率，其實(shí)部是有功功率，即功率的平均值。2/5/20233復(fù)數(shù)坡印亭定理的應(yīng)用可以用它計(jì)算一個(gè)電磁系統(tǒng)（電磁場(chǎng)分布區(qū)域）的等效電路參數(shù)。2/5/2023因此矢量位復(fù)數(shù)形式的波動(dòng)方程是七、位函數(shù)及其方程的復(fù)矢量形式因?yàn)楣?/5/2023無(wú)源有耗介質(zhì)m、e均為復(fù)數(shù)2/5/2023八、波動(dòng)方程的復(fù)矢量形式1在有源區(qū)域，非齊次波動(dòng)方程：2如果媒質(zhì)導(dǎo)電（意味著損耗），有

，波動(dòng)方程：3非導(dǎo)電媒質(zhì)的無(wú)源區(qū)域，齊次波動(dòng)方程：4在導(dǎo)電媒質(zhì)的無(wú)源區(qū)域，齊次波動(dòng)方程：請(qǐng)自己給出波動(dòng)方程的復(fù)矢量形式2/5/2023補(bǔ)充內(nèi)容_電磁輻射什么是輻射？電磁波從波源出發(fā)，以有限速度在媒質(zhì)中向四面八方傳播，一部分電磁波能量脫離波源而單獨(dú)在空間波動(dòng)，不再返回波源，這種現(xiàn)象稱為輻射。研究?jī)?nèi)容：

?輻射是有方向性的，希望在給定的方向產(chǎn)生指定的場(chǎng)。?輻射過(guò)程是能量的傳播過(guò)程，要考慮天線發(fā)射和接收信號(hào)的能力。?研究輻射的方向性和能量傳播的前提是掌握輻射電磁場(chǎng)的特性。

?輻射的波源是天線、天線陣。發(fā)射天線和接收天線是互易的。天線的幾何形狀、尺寸

是多樣的，單元偶極子天線（電偶極子天線和磁偶極子天線）是天線的基本單元，也是最簡(jiǎn)單的天線。工程上的實(shí)際天線2/5/2023一電偶極子的輻射1.天線的形成以平行板電容器和長(zhǎng)直載流螺線管為例可知

即增加電容器極板間距d，縮小極板面積S，減少線圈數(shù)n，就可達(dá)到上述目的，具體方式如圖所示。

可見(jiàn)，開(kāi)放的LC電路就是大家熟悉的天線！當(dāng)有電荷（或電流）在天線中振蕩時(shí)，就激發(fā)出變化的電磁場(chǎng)在空中傳播。電偶極子天線的形成的演示

從LC電路的振蕩頻率

式可知，要提高振蕩頻率、開(kāi)放電路，就必須降低電路中的電容值和電感值。2/5/2023

下圖是E線分別在的場(chǎng)圖一個(gè)電偶極子在不同時(shí)刻的E線分布

當(dāng)電偶極子p=qd

以簡(jiǎn)諧方式振蕩時(shí)向外輻射電磁波2.電磁輻射的過(guò)程

電偶極子天線2/5/2023某一瞬間E線與H線在空間的分布動(dòng)態(tài)描述單元偶極子天線輻射形成的過(guò)程

時(shí)單元偶極子天線E線與H線分布2/5/20233.電偶極子的電磁場(chǎng)遠(yuǎn)離天線P點(diǎn)的動(dòng)態(tài)位為：在球坐標(biāo)系中，單元偶極子天線的磁矢量2/5/2023

電偶極子的近區(qū)E與H線的分布1)近區(qū)特點(diǎn):?無(wú)推遲效應(yīng)；

?電場(chǎng)與靜電場(chǎng)中電偶極子的場(chǎng)相同，磁場(chǎng)與恒定磁場(chǎng)中元電流的場(chǎng)相同，因此有結(jié)論：任一時(shí)刻，電、磁場(chǎng)的分布規(guī)律分別與靜態(tài)場(chǎng)中電、磁場(chǎng)相同，稱之為似穩(wěn)場(chǎng)。2/5/2023近區(qū)內(nèi)只有電磁能量交換，沒(méi)有波的傳播（輻射）。?近區(qū)外的能量來(lái)自何方？2)

遠(yuǎn)區(qū)亦稱輻射區(qū)忽略的高次項(xiàng),遠(yuǎn)區(qū)的電磁場(chǎng)2/5/2023特點(diǎn)：

?輻射區(qū)電磁場(chǎng)有推遲效應(yīng)。?相位相同的點(diǎn)連成的面稱為等相位面，輻射區(qū)的電磁波為球面波。?輻射是有方向性的，即?輻射功率為?E、H、S

空間上正交，時(shí)間上同相，有波阻抗（WaveImpedance)?——輻射電阻表示天線輻射電磁能量的能力表明天線愈長(zhǎng)，頻率愈高，輻射能量愈大。2/5/20233)輻射的方向性

立體方向圖

輻射的方向性用兩個(gè)相互垂直的主平面上的方向圖表示，E平面（電場(chǎng)所在平面)和H平面（磁場(chǎng)所在平面）。E平面與H平面的方向性函數(shù)分別為單元偶極子天線的方向圖

（a）E平面方向圖（b）H

平面方向圖2/5/2023二細(xì)線天線和天線陣1細(xì)線天線與前面相類似地分析方法，可以得到輻射電場(chǎng)為特點(diǎn)：

?球面波；?有方向性。其E平面方向因子為直線對(duì)稱振子

開(kāi)路傳輸線張開(kāi)成對(duì)稱振子

直線對(duì)稱振子是一種細(xì)線天線,它是指線的橫截面尺寸遠(yuǎn)比波長(zhǎng)小，它的長(zhǎng)度

與波長(zhǎng)λ在同一數(shù)量級(jí)()上,流經(jīng)它的上面的電流i不再等幅同相。設(shè)振子上的電流為正弦分布i=i(z,t)。2/5/2023

2

天線陣：

為了削弱天線的方向性，增加輻射能量，用一組或陣列天線來(lái)代替單一天線，以構(gòu)成天線陣。

細(xì)線天線的E平面方向圖

中不僅與有關(guān)，還與半波天線長(zhǎng)度有關(guān)。圖中給出四種天線長(zhǎng)度的E平面方向圖。2/5/2023微波接力通信視距與天線高度的關(guān)系

微波接力示意圖當(dāng)時(shí),通信衛(wèi)星同步衛(wèi)星建立全球通信2/5/20231.在靜止軌道上放置太陽(yáng)能電池帆板,產(chǎn)生500萬(wàn)KW能量;2.通過(guò)“變電站”——微波發(fā)生器，將直流功率變?yōu)槲⒉üβ剩?.通過(guò)天線陣向地面定向輻射；4.地面接收站將微波轉(zhuǎn)換為電能；5.提供用戶?？臻g太陽(yáng)能發(fā)電站和電力傳輸2/5/2023對(duì)達(dá)朗貝爾方程5.3.8兩邊取散度

得代入洛侖茲條件交換微分次序整理得電流連續(xù)性方程即將達(dá)朗貝爾方程5.3.9代入上式，得

它表明洛侖茲條件（）隱含著重要的物理意義。2/5/2023

時(shí)變場(chǎng)知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖電磁感應(yīng)定律全電流定律Maxwell方程組分界面上銜接條件動(dòng)態(tài)位A

,達(dá)朗貝爾方程正弦電磁場(chǎng)坡印亭定理與坡印亭矢量電磁幅射(應(yīng)用)17:40:4617:40:46廣播電臺(tái)中波天線17:40:46微波發(fā)射天線微波接收天線17:40:46電視塔17:40:4617:40:4617:40:4617:40:4617:40:46一個(gè)簡(jiǎn)單的天線陣,畫(huà)出了r>>l時(shí)的輻射圖。兩個(gè)波的天線間距為l/2,激發(fā)的相位一致。曲面上的矢徑長(zhǎng)表示E的數(shù)值對(duì)q和j的函數(shù)關(guān)系。曲面上的曲線，是j為常數(shù)的曲線，每隔10度畫(huà)一條。為清楚起見(jiàn)，曲面切成了兩半。沿著y軸的方向，兩個(gè)波相加，合成的電場(chǎng)強(qiáng)度是單個(gè)天線所產(chǎn)生的兩倍。這點(diǎn)在整個(gè)yz平面上都對(duì)，只要r>>l。沿著x軸，兩個(gè)波相位相反而互相抵消了。在xz平面的其他方向上，波并不完全抵消，因?yàn)槁烦滩畋萳/2小。每個(gè)天線在z軸上的場(chǎng)都是零，所以天線陣的場(chǎng)也是零。17:40:46兩個(gè)波天線,用豎粗線表示,相距l(xiāng)/2,但是在x=-D/2的一個(gè)相位超前p弧度。此時(shí)兩個(gè)波在yz平面上到處都對(duì)消了。在x軸上的所有點(diǎn)上，兩個(gè)波相位一致，得到二倍于單個(gè)天線的場(chǎng)強(qiáng)。在z軸的方向上還是沒(méi)有輻射。17:40:46麥克思維是19世紀(jì)偉大的英國(guó)物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家。1831年11月13日生于蘇格蘭的愛(ài)丁堡，自幼聰穎，父親是個(gè)知識(shí)淵博的律師，使麥克斯韋從小受到良好的教育。10歲時(shí)進(jìn)入愛(ài)丁堡中學(xué)學(xué)習(xí)14歲就在愛(ài)丁堡皇家學(xué)會(huì)會(huì)刊上發(fā)表了一篇關(guān)于二次曲線作圖問(wèn)題