專題07不等式恒成立問題（原卷版）

專題07不等式恒成立問題【方法技巧與總結(jié)】.利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題的求解策略：(1)通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；(2)利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題；(3)根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別..利用參變量分離法求解函數(shù)不等式恒(能)成立，可根據(jù)以下原則進(jìn)行求解：⑴VxgD,/?"(%)=；VxeZ),fn>f(x)<=>m>f(..不等式的恒成立與有解問題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：一般地，已知函數(shù)y=/(x),xe[a,b],y=^(x),xe[c,J].(1)若也目,有)成立,則/(X)心<g3min；(2)若可，加有f(N)〈g(巧)成立，則/(Mg<g(x)1mx;(3)若孫電,句,切w[c,d],有/(x)vg(w)成立,則，(力二vgOz(4)若可，*24cM，有f(3)=g(w)成立，則〃力的值域是g(“)的值域的子集..法貝lj1若函數(shù)/(x)和g(x)滿足下列條件:(1)也f(工)=0及l(fā)img3=0；(2)在點(diǎn)a的去心鄰域怯-￡,a)5。,。+￡)內(nèi),/(幻與g(“)可導(dǎo)且g'3*。;fr(x)那么lim里==法則2若函數(shù)/*)和g(x)滿足下列條件：⑴(x)=。及!吧g(x)=0.(2)3A>0,f(x)和g(x)在(-8,A)與(A+o。)上可導(dǎo),且，(x)，0；fix)⑶吧E，⑵對于V%g[1,3],Vx2ege,都有/&)~?),試求實(shí)數(shù)〃的取值范圍.10.(2022?陜西?西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測(文))已知函數(shù)/(力=2-旬+/-21+1+(工-1)也2.⑴求函數(shù)/("的單調(diào)區(qū)間；(2)若對內(nèi)、玉目0,2],使|/(%)_/仇)歸2―恒成立，求a的取值范圍../(X).f'(x)那么lim--=lim—=/。Eg(x)ig(x)法則3若函數(shù)/*)和以尤)滿足下列條件：⑴lim/(x)=8及l(fā)img(x)=8；xiax->a⑵在點(diǎn)a的去心鄰域(。一號。)5。，。+￡)內(nèi)，f(%)與g(x)可導(dǎo)且g'(x)*。;fix)⑶lim-4=/,ig(X)那么lim華^=癡4^=/。注意：利用洛必達(dá)法則求未定式的極限是微分學(xué)中的重點(diǎn)之一，在解題中應(yīng)注意:(1)將上面公式中的x->a,XfX->a+fXf4洛必達(dá)法則也成立。(2)洛必達(dá)法則可處理()00,f,00°,0°,8-8型。(3)在著手求極限以前，首先要檢查是否滿足?，三0-OD,f,00°,0°,8-8型定式，否則濫用洛必達(dá)法則會(huì)出錯(cuò)。當(dāng)不滿足三個(gè)前提條件時(shí)，就不能用洛必達(dá)法則，這時(shí)稱洛必達(dá)法則不適用，應(yīng)從另外途徑求極限。(4)若條件符合，洛必達(dá)法則可連續(xù)多次使用，直到求出極限為止。lim44=lim=如滿足條件，可繼續(xù)使用洛必達(dá)法則?！绢}型歸納目錄】題型一：直接法題型二：端點(diǎn)恒成立題型三：端點(diǎn)不成立題型四：分離參數(shù)之全分離，半分離，換元分離題型五：洛必達(dá)法則題型六：同構(gòu)法題型七：必要性探路題型八：max,min函數(shù)問題題型九：構(gòu)造函數(shù)技巧題型十：雙變量最值問題【典例例題】題型一：直接法例1.已知函數(shù)f(x)=alnx-x2+(2a-l)x,(a..0).(I)討論/(x)的單調(diào)性；(2)若/(x),,0,求”的取值范圍.例2.已知函數(shù)/(x)=a2lnx-x2+av.(I)討論f(x)的單調(diào)性；(2)若/(、?),,0,求。的取值范圍.例3.已知函數(shù)/(x)=(/)2+(l-44)e'-2m(a.O).(1)討論/(x)的單調(diào)性；(2)若/'(x)..O,求〃的取值范圍.題型二：端點(diǎn)恒成立例4.(2022?黑龍江?模擬預(yù)測(文))已知函數(shù)/(x)=(x-(1)當(dāng)。=1時(shí)，求“幻的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)無20時(shí)，恒有/(幻之0,求實(shí)數(shù)。的最小值.例5.(2022?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(幻=山門+砥4〃￡/?)在，33處取得極值，且曲線)'=/。)在點(diǎn)(1J⑴)處的切線與直線6“1=0垂直.(I)求實(shí)數(shù)的值；(2)若Vxe[l,+oo),不等式/(x)w("l2)x-'恒成立，求實(shí)數(shù)，”的取值范圍.x例6.(2022?黑龍江?模擬預(yù)測(理))已知函數(shù)/㈤="lnx+履一3k,求：(1)當(dāng)時(shí),求曲線/*)在點(diǎn)(L/⑴)處的切線方程；(2)當(dāng)R>3時(shí)，總有求整數(shù)攵的最小值.題型三：端點(diǎn)不成立例7.(2022?遼寧大連?高三月考)已知函數(shù)/("=awx-(x+l『(其中aeR,e為自然對數(shù)的底數(shù)).(1)討論函數(shù)/("的單調(diào)性；(2)當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>\nx-x2-x-3f求。的取值范圍.例8.(2022?陜西安康?高三期中(理))已知函數(shù)=-〃>0.(1)若a=l,證明:/W^0;(2)若/(%)之0恒成立，求。的取值范圍.例9.(2022?江蘇鎮(zhèn)江?高三期中)已知函數(shù)f(x)=lnx,g(x)=kx2-2x(keR).(1)若y=在x=l處的切線也是)，=g(x)的切線，求A的值；(2)若xe(0,”o),f(x)Mg(x)恒成立,求％的最小整數(shù)值.題型四：分離參數(shù)之全分離，半分離，換元分離例10.已知函數(shù)f(x)=e'+&7.(1)當(dāng)4=1時(shí)，討論/*)的單調(diào)性；(2)當(dāng)X..0時(shí)，/(工)…3M+],求。的取值范圍.例11.已知函數(shù)/(x)=x“+./+(a-l)x+l.(1)當(dāng)。=1時(shí)，討論/(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)x>0時(shí)，/(戲,f+，，求〃的取值范圍.例12.已知函數(shù)/3)=-一奴2一彳一1.(I)當(dāng)4=-1時(shí)，討論/(X)的單調(diào)性；(II)當(dāng)X..0時(shí)，/(幻.[工3-2,川恒成立，求實(shí)數(shù)4的取值范圍.題型五：洛必達(dá)法則例13：已知函數(shù)/(工)=。111%+瓜(。,〃￡/?)在工=；處取得極值，且曲線>=/*)在點(diǎn)(1J⑴)處的切線與直線x-y+l=0垂直.(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)若X/xw[l,+8),不等式/(x)?("2-2)x-一恒成立，求實(shí)數(shù)〃7的取值范圍.X例14.設(shè)函數(shù)/(x)=l—Y(1)證明：當(dāng)了>一1時(shí)，f(x)>——;X+1X(2)設(shè)當(dāng)xNO時(shí)，/(%)<,求。的取值范圍.ax+\cin(例15.設(shè)函數(shù)/(不)==~:—.如果對任何xNo，都有/(x)Wax,求。的取值范圍.2+cosx題型六：同構(gòu)法例16.己知函數(shù)/(X)=aex-ln(x+2)+Ina-2,(1)若/(外在x=0處取得極值，求。的值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(2)請?jiān)谙铝袃蓡栔羞x擇一問作答，答題前請標(biāo)好選擇.如果多寫按第一個(gè)計(jì)分.①若f(x)..O恒成江，求。的取值范圍；②若/(x)僅有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.例17.若對任意x>0,恒有〃(產(chǎn)+l)22,求實(shí)數(shù)〃的最小值例18.已知函數(shù)/(x)=e'-aln(av-a)+a(a>0),若關(guān)于x的不等式/(x)>()恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍例19.時(shí)任意x>0,不等式加e”-Inx+lna2()恒成立，求實(shí)數(shù)。的最小值題型七：必要性探路例20.是否存在正整數(shù)。，使得ev-ar>x2lnx對一切x>0恒成立?試求出a的最大值.例21.x〉2/<I求k的最大整數(shù)值.X—2例22.求使得X，一2x+Z>0在[0,+8)上恒成立的最小整數(shù)k例23.(2022?蘇州三模)已知函數(shù)=其中awR.(I)函數(shù)/(x)的圖象能否與“軸相切？若能，求出實(shí)數(shù)a,若不能，請說明理由；(II)求最大的整數(shù)a,使得對任意x2e(0,+oo),不等式/(%+七)一/(王一天)>一2電恒成立.題型八：max,min函數(shù)問題例24.(2022?云南師大附中而三月考(文))已知函數(shù)/(幻=(彳-1修-；/+],g(x)=sinx-ar,其中aeR.(1)證明：當(dāng)x.l時(shí)，/U)..O；當(dāng)xvl時(shí)，/(x)<0；(2)用max{〃?,〃}表示加，一中的最大值,記尸(x)=max{/a),g(%)}.是否存在實(shí)數(shù)°,對任意的xeR,尸5)-。恒成立.若存在，求出出若不存在，請說明理由.例25.(2022?云南師大附中高三月考(理))己知函數(shù)/(x)=a-2)ei-?2+x+g,^(x)=av-sinx-ln(x+l),其中awR.(1)證明:當(dāng)X..1時(shí),/?..0；當(dāng)xvl時(shí)，/(x)<0；(2)用max{m,〃}表示小,〃中的最大值，記尸(力=max{/(x),g(x)}.是否存在實(shí)數(shù)小對任意的xeR,產(chǎn)(。.0恒成立.若存在，求出。；若不存在，請說明理由.i7例26.(2022?廣東?順德一中高三開學(xué)考試)己知函數(shù)人幻=(x-4)ex-3--x2+3x--,g(x)=a"+cosx,其中aeR.(1)討論函數(shù)〃x)的單調(diào)性，并求不等式/。)>。的解集；(2)若a=l,證明：當(dāng)x>0時(shí),g(x)>2,(3)用max{〃?,〃}表示〃"〃中的最大值，設(shè)函數(shù)九")=max{/(x)衣(%)},若力(x)“在(0,+<?)上恒成立，求實(shí)數(shù)〃的取值范圍.題型九：構(gòu)造函數(shù)技巧例27.已知函數(shù)/(x)=inxlnx-\,〃?H0.(I)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;(2)若g(x)=/，x,且關(guān)于x的不等式/(x),g@)在(0,”)上恒成立，其中e是自然對數(shù)的底數(shù),e求實(shí)數(shù)，〃的取值范圍.例28.已知關(guān)于x的函數(shù)y=/(x),y=g(x)與〃(x)="+"eR)在區(qū)間。上恒有/(x)蹄(x)g(.r).(I)若/(x)=W+2x,^(x)=-x2+2x,D=(-oo,+co),求〃(x)的表達(dá)式；(2)若/")=/一x+1,g(x)=khvc,h(x)=k.x-k>D=(0,+co),求女的取值范圍；(3)若/(x)=-2/,g(x)=4x2-8,h(x)=4(?-t)x-3r4+2r2(0<1r|?>/2),D=[m,n](^[-42,求證：n-叫,幣.例29.已知函數(shù)/(x)=e，-ex?+at(aeR).(1)若/(x)在(0,1)上單調(diào)，求。的取值范圍.(2)若y=/(x)+c/〃x的圖象恒在x軸上方，求a的取值范圍.題型十：雙變量最值問題例30.（2022?山西晉中?三模（理））已知函數(shù)/（x）=ln%,s（x）=ax（2022?四川省峨眉第二中學(xué)校高二階段練習(xí)（文））已知aeR,函數(shù)（2022?四川省峨眉第二中學(xué)校高二階段練習(xí)（文））已知aeR,函數(shù)/（x）=ar-17nx.⑴討論/（x）的單調(diào)性；（1）當(dāng)a=0時(shí)，直線y=g（%）與函數(shù)y=/3）的圖象相切，求b的值；（2）當(dāng)。工0時(shí)，若對任意x>0,都有/（x）Kg（x）恒成立，求的最小值.a例31.（2022?浙江臺州?三模）已知函數(shù)/。）=9+（1+%）。+4一a-2,g（x）=取2+x,其中1+X"wR,.（6=2.718281828…為自然對數(shù)的底數(shù)）（I）求/*）在點(diǎn)（0J（。））處的切線方程；（2）若時(shí)，在（0,+8）上恒成立.當(dāng)匕取得最大值時(shí)，求知=幺上的最小值.a例32.（2022?河南?鄭州一中模擬預(yù)測（文））已知函數(shù)<x）=ae'-x,（1）求危）的單調(diào)區(qū)間,（2）若關(guān)于x不等式?！▽θ我鈞wR和正數(shù)力恒成立，求2的最小值.a【過關(guān)測試】1.（2022?北京?景山學(xué)校模擬預(yù)測）已知函數(shù)〃x）=xlnx+or+2.⑴當(dāng)。=0時(shí),求“X）的極值；⑵若對任意的工€口看］,/（x）WO恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.(2)當(dāng)〃=1時(shí)，若對Vx￡(O,”)J(x)之阮-2恒成立，求實(shí)數(shù)人的最大值.(2022.全國?高三專題練習(xí))已知awR,函數(shù)/(x)=e'+ad,g(x)是/(刈的導(dǎo)函數(shù).⑴當(dāng)。>0時(shí)，求證：存在唯一的.%￡($，0),使得g(%)=0；(2)若存在實(shí)數(shù)a,b,使得/(x)之匕恒成立，求的最小值.(2022?新疆克拉瑪依三模(文))已知函數(shù)/(x)=xh】x,5(x)=-x2+ax-3(?e/?).(1)求函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若對任意X￡(0,+e),不等式外力29(%)恒成立，求。的取值范圍.(2022?四川省瀘縣第二中學(xué)模擬預(yù)測(文))已知函數(shù)/(x)=e-心(其中e為自然對數(shù)的底數(shù),“2.718…).⑴當(dāng)〃=2時(shí)，求函數(shù)y=/(同在點(diǎn)(。,/(。))處的切線方程；(2)若/(x)21恒成立，求實(shí)數(shù)a的值.(2022?江西?臨川一中模擬預(yù)測(文))函數(shù)/(x)=ersinx-a的圖像與直線2x-.y=0相切.(1)求實(shí)數(shù)〃的值：(2)當(dāng)X￡[0,+8)時(shí)，/(A-)>7K