巫合賢博弈論

?Prof.Ho-MouWu巫和懋10/25/2003?Prof.Ho-MouWu巫和懋10/25/2003訊息與策略經(jīng)濟學

第1章完全訊息靜態(tài)賽局TOC\o"1-5"\h\z1.1經(jīng)濟理論、訊息與策略分析 1-11.2完全訊息靜態(tài)賽局的表示與求解 1-31.2.1常見的幾個賽局型態(tài) 1-3靜態(tài)賽局的策略式表示法 1-41.2.3優(yōu)勢策略均衡 1-51.2.4納什均衡 1-61.3混合策略均衡與均衡存在性 1-61.3.1混合策略的涵義 1-6一般的存在性定理 1-91.4賽局分析在寡占市場之應用 1-91.4.1數(shù)量競爭 1-91.4.2價格競爭 1-131.5實例與應用：大減價模型 1-151.6實例與應用：產(chǎn)能與寡占競爭 1-161.7小結 1-18練習題 1-19參考文獻 1-201.1經(jīng)濟理論、訊息與策略分析「經(jīng)濟理論」就是具體而微的經(jīng)濟模型(Model)對模型本身的要求：內(nèi)部一致性(InternalConsistency)假設之必要性(ParsimonyofAssumption)模型與現(xiàn)實(Reality)之間的關連：我們要了解模型到底說明了什么？有什么用處？(Usefulness)在學習經(jīng)濟理論過程中，要了解模型是怎么做出來的，也不要忘了對經(jīng)濟理論這兩點要求。希望培養(yǎng)自己讀期刊文獻的能力，知道各種理論的優(yōu)劣(養(yǎng)成判斷的能力)，進而發(fā)揮來作自己的模型。這種訓練對一個「經(jīng)濟學家」的養(yǎng)成非常重要，也就是所有經(jīng)濟領域的基礎課程。經(jīng)濟社會內(nèi)涵眾多的消費與生產(chǎn)單位，彼此之間又有緊密的關連。相應于此，經(jīng)濟理論也有兩大分析原則:極大化原則(Optimality):參與者追求效用或利潤之極大，由此導出最適策略。均衡原則(Equilibrium):經(jīng)由互動，參與者之間達到某種均衡狀態(tài)。又依經(jīng)濟環(huán)境的不同，而有兩類均衡觀念。完全競爭市場結構下采用瓦拉斯均衡(WalrasianEquilibrium)或稱一般均衡(GeneralEquilibrium)o而在寡占或不完全競爭結構下采用賽局的均衡觀念，考慮的多屬不合作賽局(Noncooperativegames)。賽局依訊息型態(tài)來分類訊息結構可分為完全訊息與不完全訊息二種：賽局依其訊息結構與出招互動之過程可以區(qū)分為下列四種，均衡觀念有：.NashEquilibrium(NE):Nash(1951).SubgamePerfectNashEquilibrium(SPNE):Selten(1965).BayesianNashEquilibrium(BNE):Harsanyi(1967,68).PerfectBayesianNashEquilibrium(PBNE),SequentialEquilibrium(SE)：Selten(1975)、Kreps-Wilson(1982)、Fudenberg-Tirole(1991)完全訊息 不完全訊息靜態(tài)納什均衡(NE)貝氏納什均衡(BNE)動態(tài)子賽局完美納什均衡(SPNE)完美貝氏納什均衡(PBNE)或序列均衡(SE)

1.2完全訊息靜態(tài)賽局(StaticgameswithCompleteInformation)的表示與求解1.2.1常見的幾個賽局型態(tài):Duopoly雙占1Maxn(X,X)nX受X影警要考慮2的行舄nX亦然，1輿2互勤X1 一理性(Rational)n策略性思考(Thinkstrategically)n均衡囚犯困境(Prisoner’sDilemm同時出招2不認罪認罪高價低價一般情況不認罪-1,-1-8,0 高價認罪0,-8-5,-5 低價10,102,15c,ca,d15,25,5d,ab,baVbVcVd上面的囚犯困境也適用在某些雙占情況兩性戰(zhàn)爭(BattleofSexes) 交通秩序男 2

飚車族(GamesofChicken)2協(xié)調(diào)賽局(CoordinationGame)2猜拳(5)錢幣配對飚車族(GamesofChicken)2協(xié)調(diào)賽局(CoordinationGame)2猜拳(5)錢幣配對(MatchingPennies)2剪刀0,0-1,11,-11石頭1,-10,0-1,1布-1,11,-10,02剪刀石頭布(6).沙灘賣冰：在充滿泳客的海灘上(以〔0,1)表示)，有兩家冰店進駐，你若是冰店經(jīng)理，應選在何處設店？0 1/41/2 3/4 10 1/41/2 3/4 11.2.2靜態(tài)賽局的策略式表示法以上同時出招的賽局，稱為靜態(tài)賽局。這些賽局也同時具有 完全訊息(CompleteInformation),因為參賽者都知道自己與對手的策略及相應報酬。參賽者同時出招，又知道所有參賽者的策略和報酬的賽局就是完全訊息靜態(tài)賽局(StaticGameswithCompleteInformation)，可用正例程(NormalForm)或策略式(StrategicForm)表示方法。賽局r=(N,(S),"(U)")的策略式包含三要素：⑴參賽者(players)：,eN={1,2,3,?……(2)策略(strategies)：s.e§=setoffeasible(pure)strategiesforplayeri,ieN策略組合(strategyprofile)s=(s, ,s)=(s.,s.),s=XS.對手的策略。'dr/ '1 nxf-i^-i J⑶報酬(payoffs)：U=U.(s.,七)：XS.-沉為報酬或效用函數(shù)。JeN策略式表示的完全訊息靜態(tài)賽局有幾點特性：,同時出招，出招一次。(Determinestrategiessimultaneously),知道賽局結構與游戲規(guī)^"(Rulesofthegame)f共同認識(Commonknowledge)o，不管是否溝通過，無法作出有拘束力之承諾(can’tmakebindingcommitment)f不合作賽局(Non-cooperativegames)。,以上只考慮純粹策略(purestrateg后面會考慮混合策略(mixedstrategy)先看些兩人賽局(Two-Personsgame)的例子：下表方格中數(shù)值u1代表參賽者1的報酬，u2代表參賽者2的報酬。21.2.3 優(yōu)勢策略均衡(DominantStrategyEquilibrium,DSE)優(yōu)勢策略(dominantstrategy)：不管對于策略為何，該參賽者可找到一最佳策略。Itisabestresponseagainstanyactiontheopponentmighttake。「認罪」是囚犯的優(yōu)勢策略:不管對于認或不認，任一囚犯承認均可得到較高的報酬。定義：絕對劣勢策略(strictlydominatedstrategy)：S1是一絕對劣勢策略若且唯若存在另一策略s.’eS.使得u.(s.,s.)Vu.(s.’,s.)對所有seS.均成立。(但s.’未必是優(yōu)勢策略)i ii-iii-i -i-i i重復優(yōu)勢解法(IteratedDominance)：逐次刪去劣勢策略(dominantstrategy)，但對兩性戰(zhàn)爭、飚車族與錢幣配對等問題就無法解出?？紤]以下二個例子：

2,30,23,41,12,-72,30,23,41,12,-74,51YMRUDU4,35,16,21M2,18,43,6D3,09,62,82LMR只要存在一個si使Sz.成為劣勢策略，s.即可刪去。共同認識(Commonknowledge):1也知道2不會再采1，以此為基礎再往下推論…。1.2.4納什均衡(NashEquilibrium)定義：納什均衡指一策略組合有以下特性：當參賽者采此策略組合后，任一參賽者均無誘因偏離此一均衡(NashEquilibriumisastrategyprofilesuchthatnoplayercanimprovehis/herpayoffbyunilaterallydeviatingfromhis/herassignedrateinthestrategyprofile)；s*=(s*,s*,.....s*)=(s.*,s.*)是一納什均衡若且唯若對所有參賽者i而言，1 2ni-iu.(s.*,s.*)Mu.(s.',s.*)對所有s.WS.均成立。另一種等值的意義：當s另一種等值的意義：當s1*是對就是兩人賽局的納什均衡。s2*的最適反映，s2*也是對s1*的最適反映時，(s「,s2*)回頭來看兩性戰(zhàn)爭、飚車族、協(xié)調(diào)賽局均有均衡解(NE)，但對錢幣配對就找不到。以上考慮的是純粹策略(purestrategies)szeSz。在允許混合策略(mixedstrategies)以后，錢幣配對及猜拳賽局才有解。''混合策略o=(o”.....Q),o.eZ =<(o.(s.))|Zo.(s.)=1,o.(s.)>0>TOC\o"1-5"\h\z1 ni i ii， ii iiI seS ,策略表示法成為r=(n,(zi)ieN,(Ui)ieN)，當參賽者與策略數(shù)目均為有限時，稱為有限賽局。 "1.3混合策略均衡(MixedstrategyEquilibrium)與均衡存在性1.3.1混合策略的涵義考慮錢幣配對：Z1=1。(H),。(T)|o(H)+。(T)=1,。(H)>0,。(T)>0}H正面；T反面。對a的詮釋：(1)隊參賽者選％的信念，(2)頻率。定義：。*二6《，…，。；)=(。*,。、)是一『納什混合策略均衡』若且唯若對所有參賽者i而言，6*是6二的最適反應，U.(6*,6\)MUi(6；,6*.)對所有6ieZ.均成立。采混合策略的前提是在均衡時，兩種策略的報酬會相等：61(H)-61(T)=-61(H)+61⑴而且61(H)+61(T)=1n61(H)=61(T)=0.5同理，62(H)=62(T)=0.5允許混合均衡策略后，在飚車族賽局中也可能找到新的均衡(習題)兩性戰(zhàn)爭(BattleofSexes)1,20,00,02,1球賽q音樂會1-q男球賽 音樂會p 1—p給定(q,1—q)，男子的報酬是2q或(1-q)若2q=(1—q)nq=1/3則兩策略的報酬相同。'若qV1/32qV(1—q)，則p*=0是最適反應。、對男子來說<若q=1/3，則p*=0到1是最適反應。 >、若q>1/3則p*=1是最適反應。 ，給定(p,1—p)，女子的報酬是p或2(1—p)若p=2(1—p)fp=2/3則兩策略的報酬相同。r 、若pV2/3pV2(—p)，則q*=0。對女子來說<若p=2/3則q*=0到1。、若p>2/3p>2(1—p)，則q*=1，得到q*(p)是最適反應函數(shù)。

1.1.AQ1.2Q°IMg'p*=p*(q)最適反應函數(shù)〈q*=q*(p)三均衡(p*,q*)=(0,0),(2/3,1/3),(1,1)f(p)：[0,1]f[0,1],可用Kakutani’不動點定理來證明具有不動點(fixedpoint)。上列圖形可窮盡所有可能均衡。其實，因為f：pfqfp,我們是在找一不動點(fixedpoint):p*=f(p*)。Mappingf是一對應(correspondence)r 一0=p<2/3fq=0fp=0'p=2/3fq=0到1fp=0至01、p>2/3fq=1fp=11.3.2—般的存在性定理Kakatani’S不動點定理：LetXbeacompactconvexsubsetof沉1andf：XfXbeaset-valuedfunctionsuchthatforallxeXthesetf(x)isnonemptyandconvex,andthegraphoffisclosed(i.e.,ifxnfx,ynef(xn),ynfythenyef(x).),thenthereexistsx*suchthatx*ef(x*).Theorem1.1(Nash,1950,1951):若允許混合策略均衡，每個有限的策略式賽局都有納什均衡存在。1.4賽局分析在寡占市場(oligopoly)之應用1.4.1數(shù)量競爭(QuantityCompetition)市場需求P=30-(Q1+Q2),MC1=MC2=0，兩家公司分別選取Q1與Q2:需求P=a-bQ，則MR=a-2bQ獨占廠商給定Q2,選取Q1以求取n1=(30-(Q1+Q2)h最大，n1=30Q1-Q2-Q1Q2（1）MR]=30-Q2-2Q]=0=MC,P=（30-Q2）-Q1,MR=（30-Q2）-2Q1nQ1nQ1=15-|q2=f坎）：Q1對Q2的最適反應函數(shù)（bestresponsefunction）給定q1，選取q2以求取n2=G°-^Q1+q2))q2最大（2）MR2=30-Q1-2Q2=0, 1）v 2Q1JnQ*=Q；=10nq2=15-:Q]=g^Q1）：Q2對Q1的最適反應函數(shù)（bestresponsefunction）, 1）v 2Q1JnQ*=Q；=10總需求為P=M—Q獨占時MR=M—2Q=MC=0nQ*=|m雙占時 MR1=M-Q2-2Q1=MC=0nQ1=1（M-Q2）=f坎）：1的最適反應MR2=M-Q1-2Q2=MC=0nQ2=-（M-Q1）=g0）：2的最適反應Cournot-Nash均衡：Q：=Q2=與，總產(chǎn)量Q=|m數(shù)量競爭的庫諾模型(CournotModel)MMM32Q2MMM32Q21.3Cournot請注意Cournot競爭并不適用Theorem1.1，因為它不是有限賽局(為什么？),但好在我們可引用下列定理:Theorem1.2(Debreu1952):若策略形式賽局的策略空間S.是歐式空間的非空、緊致(compact)的凸集合(convexsubsets)，而且報酬函數(shù)u.是s的連續(xù)(continuous)的函數(shù)，是輸?shù)慕?quasi-concave)函數(shù)，則此賽局必然存在一個純粹策略納什均衡。數(shù)量競爭的StackelbergModel(Firm1astheleader):其實是一動態(tài)賽局(DynamicGame)R]=(M-Q1-Q2b]，takeQ2=g(Q1)asgivenTOC\o"1-5"\h\z=MQ1-Q2-qJM-Q1、

\2 2MMMR=M-2Q——+Q=——Q=MC=02 1 2 1MM、一3nQs=M，Q2='M，總產(chǎn)量Q=；M1 2 2 4 4□1〉n2:先動有優(yōu)勢(FirstMoverAdvantage)Stackelberg模型H1.4Stackelberg模型H1.4數(shù)量競爭的庫諾模型(CournotModel)總需求為P=M-Q獨占時雙占時… —8 …c八*1—獨占時雙占時（CollusionEquilibrium）MR=M-2Q=MC=0nQ=—MMR1=M-Q2-2Q1=MC=0nQ1=2（M-Q2）=f坎）MR=M-Q-2Q=MC=0nQ=-（M-Q）=g（Q）2MCournot均衡：Qj=Q；=—數(shù)量競爭還是價格競爭才是較佳模型？可參看數(shù)量競爭還是價格競爭才是較佳模型？可參看KrepsandScheinkman(1983).1.4.2價格競爭(pricecompetition)同質(zhì)產(chǎn)品下的價格競爭(PriceCompetitionwithHomogeneousProducts)(又稱為BertrandModel):伯川模型MC=6,P=30—QCournot模型以數(shù)量競爭：MR1=30-Q2-2Q1=6Q1=12-1Q2=fG2)同理，Q2=12-|q1=g(Q])所以，Q：=Q2=8,P=14Bertrand模型以價格競爭：qJall if，Pi<Pji]nothinif,Pi>PjQi=Qj ifP.=Pj,均衡點在P1=P2=6,Q=24Why?異質(zhì)產(chǎn)品下的價格競爭(PriceCompetitionwithDifferentiatedProducts)第一家公司Q1=12-2P1+P2，第二家公司Q2=12-2P2+P1，兩家公司分別選取P1與P2:給定P2，選取P1以求取n1=(12-2P1+P2h-FC最大12-4P]+P2=0nP1=3+，P2=fG2):P1對P2的最適反應函數(shù)(bestresponsefunction)給定P1，選取P2以求取n21=(12-2P2+P*2-FC最大12-4P2+P1=0nP2=3+4P1=g^P1)：P2對P1的最適反應函數(shù)(bestresponsefunction)兩個最適反應函數(shù)的交點就是「納什均衡」(NashEquilibrium):1P=3+-3+—P1 41.7.§e~??uv§1.5實例與應用：大減價模型A.策略思考：1988年三大百貨公司Sears,KMart與Wal-Mart競爭激烈，Sears舉行多次大減價，但成效不佳，至1989年Sears宣布采用新的定價策略：「每天都低價」(EverydayLowPrices)。換言之，Sears決定維持穩(wěn)定價格，價格雖然合理，但比以前大減價的價格要來得高，請問Sears的決策是否明智？它的對手又應采何種策略？假設二家相似的百貨公司，對同一商品的成本均為450元，穩(wěn)定價格600元，大減價時500元。另觀察到每月無信息的消費者有100人，不看報紙不查價格，選百貨公司也完全隨機，所以二家可各分得一半，另外，有信息的120人是會去二家比較價格或查報紙減價廣告，找到最低價格才購買。放入賽局架構可表示如下：WalMart穩(wěn)定價格 大減價Sears穩(wěn)定價格大減價7500,75007500,85008500,75005500,5500上圖計算背景：Sears與對于均采穩(wěn)定價格，二者均可賺(600-450)X50=7500。任一家大減價而對于未減價可賺(500-450)X(50+120)=8500，未減價的一家公司仍可賺(600-450)X50=7500。兩家都大減價：各賺(500-450)X(50+60)=5500。把這二家對壘的四種情況表示出來就是一個賽局：有參賽者，有策略，有報酬。此時，從此矩陣可否找到最適策略？B.Sears「每天都低價」策略存在二個純粹策略納許均衡，高價低價并存，但那一個均衡會發(fā)生？Sears采穩(wěn)定價，對于采大減價，對于成長，Sears是否會滿意？雙方都想找最有利的結果(8500)，若Sears更動策略，可否達成另一均衡？若Sears長久維持穩(wěn)定價，待全部人(包含無信息的100人)都知道后，這樣的價格差異是否可以維持下去？如果消費者都去Wal-Mart，利潤下降到零，像是第二圖的報酬，成「囚犯困境」。WalMart穩(wěn)定價格q大減價1-qSears穩(wěn)定價格p7500,75007500,8500大減價1-p8500,75005500,5500WalMart穩(wěn)定價格q大減價1-qSears穩(wěn)定價格7500,75000,11000大減價11000,05500,5500C.EverydayLowPricesvs.RandomSales考慮混合策略均衡，Sears使對于從二種策略所得報酬相等pX7500+(1—p)X7500=pX8500+(1—p)X5500p=2/3,同理q=2/3,雙方利潤均為7500。此納許均衡中，Sears與Wal-Mart都采1/3機會大減價(1年中有4個月時間在減價)：「隨機而且出人意表的大減價」比「每日都低價」來得好和穩(wěn)定，Sears強調(diào)每日都有穩(wěn)定價格反而放棄了公司可采混合策略(有時減價)的彈性。Sears1998年的失敗可能是大減價太過頻繁，未采用一適當?shù)拇鬁p價機率。1989至1990年中采一穩(wěn)定價格(減價頻率又太低)也未增進業(yè)績，于1990年末重回有時減價的策略pricingcycles.混合策略均衡利于造成「差別取價」(pricediscrimination):不查報紙的消費者永遠不知那家當時是最低價，有12機會到一家不減價的百貨公司，他們必須付出高價，支持了此種混合策略均衡。參見H.Varian,“AModelofSales,"AmericanEconomicReview,19801.6實例與應用：產(chǎn)能與寡占競爭A.策略思考：1972年美國玉米加工業(yè)看到HFCS(HighFructoseCornSyrup)可用來代替糖，但比糖便宜甚多。預期未來對HFCS需求大增，十^一家主要廠商都打算增加產(chǎn)能(capacity)，在此寡占產(chǎn)業(yè)中如何尋找最適產(chǎn)能決策？作決定過程中需要考慮那些因素？M.PorterandM.Spence(inTheEconomicsofInformationandUncertaintyed.ByJ.McCall,1982,NBER)應用賽局理論來分析此產(chǎn)業(yè)。隨機需求與糖價個別廠商的產(chǎn)能決策模型決定價格利潤及產(chǎn)能使用率隨機需求與糖價個別廠商的產(chǎn)能決策模型決定價格利潤及產(chǎn)能使用率各個產(chǎn)能決策帶來的現(xiàn)金流入B.分析架構(A) 產(chǎn)業(yè)的產(chǎn)能擴充途徑廠商偏好導出整個產(chǎn)業(yè)的產(chǎn)能擴 選擇最適產(chǎn)能(B)充途徑當(A)=(B)時才達到均衡上例寡占產(chǎn)業(yè)中廠商決策的分析過程：找出需求與糖價的各種變化情況(Scenarios);預期競爭對手的產(chǎn)能決策(對于產(chǎn)能加總即可)情況；找出廠商本身產(chǎn)能選擇的幾種方案；對以上各種變化情況賦予合理的概率；找出對各種產(chǎn)能方案的報酬，決定本身的最適產(chǎn)能規(guī)模；取得各廠商的產(chǎn)能決策，再驗證是否與(2)的假設相符合，預期被驗證時才達到「均衡」。C.PorterandSpence的預測結果19731974197519761976之后產(chǎn)能總增量實際產(chǎn)能0.61.01.42.249.2(billionsoflb.)預測產(chǎn)能0.61.53.53.509.1實際的調(diào)節(jié)較慢，但產(chǎn)能總增量還蠻接近的。PorterandSpence說明了Cournot-Model和納許均衡在實用上也有相當價值。1.7小結策略思考的幾點原則：互動時要先在對手的角度思考，再反思自己的最佳策略。(Puttingoneselfintherival’sposition)在時點上要向前展望，再以逆推法尋找今天的最佳策略。(Lookforwardandreasonbackward)。如果自己有優(yōu)勢策略，即可采用之。如果對于有優(yōu)勢策略，應即認定對于會采用，再依之決定自己最佳策略。如果雙方均無優(yōu)勢策略，可先尋找劣勢策略，刪除后再考慮。最后，考慮納許均衡策略。如果找不到純粹策略納許均衡，就應考慮如何采用混合策略。而且，混合策略有時是較佳的策略。練習題1.1請找出剪刀、石頭、布的猜拳賽局之納什均衡。1.2請找出沙灘賣冰賽局的均衡，并證明它是一個納什均衡。如果有三家冰店，是否能找到均衡？1.3請找出飚車族賽局的所有納什均衡。請以最適反應函數(shù)及不動點