平面向量基本概念與運算法則

平面向量基本概念與運算法則（含基礎(chǔ)練習(xí)題）

平面向量1數(shù)量和向量的區(qū)別：數(shù)量只有大小，是一個代數(shù)量，可以進(jìn)行代數(shù)運算、比較大小；向量有方向、大小，不能比較大小。向量的表示方法：①用有向線段表示；②用字母a,b等表示；③用有向線段的起點與終點字母表示：疝；向量AB的大小一一長度稱為向量的模，記作I~AB|。有向線段：具有方向的線段叫做有向線段，三要素：起點、方向、長度。向量與有向線段的區(qū)別：（1）向量只有大小和方向兩個要素，與起點無關(guān)，只要大小和方向相同，這兩個向量就是相同的向量；⑵. ''有向線段有起點、大小和方向三個要素，起點不同，盡管大小和方向，也是不同的有向線段。零向量、單位向量概念：長度為0的向量叫零向量，記作0?！?長度為1個單位長度的向量，叫做單位向量。說明：零向量、單位向量的定義都只是限制了大小。相等向量的定義：長度相等且方向相同的向量叫相等向量。說明：（1）向量a與b相等，記作a=b；⑵ 零向量與零向量相等；并且與有向線段的起點，⑶ 并且與有向線段的起點，任意兩個相等的非零向量，都可用同一條有向線段表示無關(guān)。6.平行向量的定義：方向相同或相反的非零向量叫平行向量；…?我們規(guī)定0與任一向量平行。說明：（1）綜合①②才是平行向量的完整定義;⑵―一向量a、b、c平行，記作a//b//co二、向量的運算法則向量的加法某人從A某人從A到皿再從B到C，則兩次的位移和:AB+BC=AC；(1)向量的加法：求兩個向量和的運算，叫做向量的加法。⑵一… ''三角形法則：a+b=AB+BC=AC⑶一 四邊形法則：a+b=OA+OB=OA+AC=OC練習(xí)：化簡(1)(AB+BC)+CD(2)(AB+MB)+BO+OM(3)OA+OC+BO+CO向量的減法⑴)相反向量：與a長度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，記作-a?！?-a)=a；―任一向量與其相反向量的和是零向量，即：a+(-a)=(-a)+a=0;③如果a,b是互為相反的向量，則：a=-b,b=-a,a+b=0。⑵向量的減法：向量a加上b的相反向量，叫做a和b的差。即a-b=a+(-b)向量減法法則：兩向量起點相同，則差向量就是連結(jié)兩向量終點，指向被減向量終點的向量。心 — 注意：①起點相同；②指向被減向量的終點。練習(xí)：(1)AB-AC(2)OD-OA(3)oA-OD+AD(4)AB-AD-DC例1.平行四邊形ABCD中，AD=a,AB=b,用a、b表示向量AC,DB。例2.已知一點O到平行四邊形ABCD的三個頂點A、B、C的向量分別為a、b、c，試用向量a、b、c表示OD。3.向量的數(shù)乘運算實數(shù)＞1與向量。的積是一個向量，記作2a,它的長度和方向規(guī)定如下：|萬|=|人|由|；當(dāng)九＞0時，九｛的方向與U的方向相同；當(dāng)so時，人，的方向與｛的方向相反；特別的,當(dāng)4=0或。=0時，Aa=0o注意：實數(shù)人與向量。，可以做積，但不可以做加減法，即/1+U,/1?4是無意義的。實數(shù)與向量的積的運算律：設(shè)U、云為任意向量，A,日為任意實數(shù)，則有：①4("。)=(///)?；(^)(A+jn)a=Xa+pia電)4(。+片)=人々+4片例1.計算(1).(—3)x4tz； (2).3(。+Z?)—2(tz—Z＞)—q； (3).(2q+3b—c)—(3。一2b+c)例2.計算(2).2(2。+6b-3c)一3(—3。(2).2(2。+6b-3c)一3(—3。+4力一2c)結(jié)論：向量片與非零向量4共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個實數(shù)人，是的b=Aao例3.向量1二。］—勺,力=—2。］+2e2是否共線？例4.平行四邊形ABCD的兩條對角線相交于點M，且AB=?,AD=b，你能用a,b表示MA,MB,MC,MD嗎？二、向量運算法則的應(yīng)用向量的加法、減法、數(shù)乘運算統(tǒng)稱為響亮的線性運算，對任意實數(shù)從七、七，恒有人(日a+(b)=人日a+人日b。1 2 1 21.有關(guān)向量共線問題例1.已知向量a、b滿足＜a^3L一a^L=l(3a+2b)，求證：向量a和b共線。5 2 5例2?已知AD=3~AB,DE=3BC，試判斷AC與~AE是否共線？定理的應(yīng)用：.有關(guān)向量共線問題；.證明三點共線：AB=XBC(BC。0)—A、B、C三點共線；.證明兩直線平行問題。例3.已知任意兩個非零向量a、b，試作oa=a+b,oB=a+2b,oc=a+3b，你能判斷A、B、C三點間的位置關(guān)系嗎？為什么？例4.在四邊形例4.在四邊形ABCD中,梯形。aB=a+2b,BC=-4a-b,CD=-5a-3b，求證：四邊形ABCD為D.i=ji==ii=ji==ia—b—c一 一 一3.（如圖）在平行四邊形D.i=ji==ii=ji==ia—b—c一 一 一3.（如圖）在平行四邊形中，下列正確的是（）.ABCDA一一B一一一?AB=CD B?AB—AD=BDC.一一一D.一——AD+AB=AC ^AD+BC=0A.AB B?bac.ACD.函5.化簡op—qp+ps+sp的結(jié)果等于（）是①④￡AB=Xa+bAC=a+^b僅當(dāng)（浦，A、B、C三點共線-（A）X+日=1（B）X一日=1（C）人旦=—1（D）人旦=1高中數(shù)學(xué)必修4同步練習(xí)（2?1-2.2平面向量的概念及線性運算）姓名班級學(xué)號一.選擇題（每題5分）設(shè)方是一的相反向量，則下列ba說法錯誤的是（）A-與習(xí)的長度必相等B.ab—ra=b■C.T與T一定不相等ab是t的相反向量b已知一點。到平行四邊形ABCD的三個頂點A、B、C的向量分別為一、廣-，則向量OD等于（廣°A.一"B.一—C.一廠 D.a+b+c a—b+c a+b~c

A、B、C、D、、QP、OQ^SP、急（拓圖）在正六邊形ABCDEF中，點。為其中心，則下列判斷錯誤的是（）AB一〃一AB=OCABDEC|AD|=|BE|Dad=FC下列等式中，正確的個數(shù)（）-rr-②'…③人--a+b=b+aa~b=b~a0—a=—a一一⑤一一—（—a）=aa+（—a）=05B.4C.3D.2在^ABC中,ab=/衣=b，如―a―果用，那么^ABC一定是（）.A.等腰三角形B.等邊三角形C.直角三角形D.鈍角三角形在AABC中，奸aF=b，則AB等于（）A?￡B?「C?「D.a+b —（a+b） a—bb—a已知、、是不共線的向量，ab一，一（、），當(dāng)且AB—人a+bAC=a+pb、人reR二?填空題（每題5分）

把平面上一切單位向量歸結(jié)到共同的始點,那么這些向量的終點所構(gòu)成的圖形是 ABCq的兩條對角線相交于點肱,且而=a,AD=b，則m=—— ,MB= ,MC= 'MD=—

在四邊形ABCD中有AC=AB+AD，則它的形狀一定是\已知四邊形ABCD中,AB=-DC,且ABCD的形狀是A^|=|就|則四邊形19.化簡.(AC-DP+BA)+(CP-BDA^|=|就|則四邊形II三」|==|已知向量&和b不共線，實數(shù).滿足一-一-.y (2x—y)a+4b=5a+(x—2y)b'則x+y=

在^ABC中，設(shè)而一，瓦￡,BC=aCA=b則一二AB l=JL==lDA在l=JL==lDA在ABCD中，而標(biāo)尸則

ejABCD AB=a,AD=bAC—化簡：①一一一AB+BC+CD= ；AB-AD-DC= ————(AB-CD)-(AC-BD)— 化簡下列各式：⑴" AB+DF+CD+BC+FA= (2) 、--A—'z(AB+MB)+(BO+BC)+OM= .

三.解答題（每題10分）21.某人從A點出發(fā)向西走了10m,到達(dá)3點,然后改變方向B按西偏北60。走了15m到達(dá)C點,最后又向東走了10米到達(dá)D點.⑴作出向量AB'BC，CD（用1Cm長線段代表10m長）；（2）求

如圖,在梯形abcd中,對角線AC和BD交于點”E、F分別是AC和如的中點，分別寫出/1C BD(2)與函相等的向量.EAl=J(1)圖中與EF、CO(2)與函相等的向量.EAl=J

的夾角為30。；⑵時=4,a的方向與,軸正方向的夾角為3°,與y軸正方向30。y的夾角為.0。；⑶a=康,a的方向與X軸正方向的夾角為135，與"軸正方向135。 y的夾角為135。.在直角坐標(biāo)系中,畫出下列向量:i=j(1)[a|=2,a的方向與x軸正方向的夾角為60。，與y軸正方向

在AABC所在平面上有一點P, ABCD中，點M是AB邊中點，點N使得PA+PB+PC=AB，試判斷p點 在BD上且BN=1BD，求證：M、C三點共線.的位置? 3C三點共線.如圖所示,在平行四邊形AC北CDCDAC北CDCD參考答案一選擇題(每題5分)■TOC\o"1-5"\h\zCBCBBDCABD二.填空題(每題5分)圓.-1(a+b),1(a-b)/1(a+b)91(b-a)乙 乙 乙 乙13.1①芯；?岳?0⑴0⑵16? ,--a+ba-b平行四邊形等腰梯形19.o20.―君-a-bB(2) AB=-CD，故四邊形ABCD為平行四邊形,...