高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：圓的方程【八大題型】

專題8.3圓的方程【八大題型】

【新高考專用】

?熱點(diǎn)題型歸納

【題型1求圓的方程】.........................................................................3

【題型2二元二次方程表示圓的條件】..........................................................4

【題型3圓過定點(diǎn)問題】.......................................................................4

【題型4點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判斷】............................................................5

【題型5與圓有關(guān)的軌跡問題】.................................................................5

【題型6與圓有關(guān)的對(duì)稱問題】.................................................................6

【題型7圓系方程】...........................................................................7

【題型8與圓有關(guān)的最值問題】.................................................................7

?考情分析

1、圓的方程

考點(diǎn)要求真題統(tǒng)計(jì)考情分析

2022年全國(guó)乙卷（文數(shù)）：第

15題,5分

（1）理解確定圓的幾何要

2022年全國(guó)甲卷（文數(shù)）：第從近幾年的高考情況來看，高考對(duì)

素，在平面直角坐標(biāo)系中，

14題，5分圓的方程的考查比較穩(wěn)定，多以選擇題、

掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般

2023年全國(guó)乙卷（文數(shù)）：第填空題的形式考查，難度不大；有時(shí)也

方程

11題，5分會(huì)與距離公式、圓錐曲線等結(jié)合考查，

（2）能根據(jù)圓的方程解決

2023年上海卷：第7題，5分復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)熟練掌握?qǐng)A的方程的求法，靈

一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問題與實(shí)

2024年北京卷：第3題，4分活求解.

際問題

2024年天津卷：第12題，5

分

?知識(shí)梳理

【知識(shí)點(diǎn)1圓的定義和圓的方程】

1.圓的定義

圓的定義：平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合（軌跡）是圓（定點(diǎn)為圓心,定長(zhǎng)為半徑）.

圓心決定圓的位置,半徑?jīng)Q定圓的大小.

2.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：方程（工一。）2+3—6）2=/2&>o）叫作以點(diǎn)（0力）為圓心，廠為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的優(yōu)點(diǎn)：根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程很容易確定圓心坐標(biāo)和半徑.

（3）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的適用條件：從方程的形式可以知道，一個(gè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中含有三個(gè)字母（待定），因此

在一般條件下，只要已知三個(gè)獨(dú)立的條件，就可以求解圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

3.圓的一般方程

⑴方程+V+6+4+尸=0(。2+片2—4尸>0)叫做圓的一般方程.

(2)圓的一般方程的適用條件：從方程的形式可以知道,一個(gè)圓的一般方程中含有三個(gè)字母(待定)，因

此在一般條件下，只要已知三個(gè)獨(dú)立的條件，就可以求解圓的一般方程.

下列情況比較適用圓的一般方程：

①已知圓上三點(diǎn)，將三點(diǎn)坐標(biāo)代入圓的一般方程，求待定系數(shù)。，E,F-,

②已知圓上兩點(diǎn)，圓心所在的直線，將兩個(gè)點(diǎn)代入圓的方程，將圓心-亨)代入圓心所在的直線

方程，求待定系數(shù)。，E,F.

4.二元二次方程與圓的方程

(1)二元二次方程與圓的方程的關(guān)系：

二元二次方程，+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0,對(duì)比圓的一般方程3+了2+m+號(hào)+尸=0

(Z)2+E2-4F>0),我們可以看出圓的一般方程是一個(gè)二元二次方程，但一個(gè)二元二次方程不一定是圓的

方程.

(2)二元二次方程表示圓的條件：

'A=C^O

二元二次方程4%2+3孫+。y2+m+4+/=0表示,圓的條件是《B=0

第+(「(?。

X

5.圓的參數(shù)方程

圓(x—aF+S—6尸=/&>0)的參數(shù)方程為｛，其中0為參數(shù).

6.求圓的方程的常用方法

(1)直接法：直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，寫出方程.

(2)待定系數(shù)法

①若已知條件與圓心(0,6)和半徑r有關(guān)，則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出0,6,r的值；

②選擇圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于。，E,尸的方程組，進(jìn)而求出D,E,斤的值.

【知識(shí)點(diǎn)2點(diǎn)與圓的位置關(guān)系】

1.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

(1)如圖所示，點(diǎn)M與圓4有三種位置關(guān)系：點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在圓內(nèi)，點(diǎn)在圓外.

(2)圓/的標(biāo)準(zhǔn)方程為(無一。)2+6—6)2=r2,圓心為43,幻，半徑為N「>0)；圓/的一般方程為

x2+y2-\-Dx+Ey+F=0(￡>2+E2-4尸>0).平面內(nèi)一點(diǎn).

位置關(guān)系判斷方法

幾何法代數(shù)法(標(biāo)準(zhǔn)方程)代數(shù)法(一般方程)

點(diǎn)在圓上\MA\=r(xo-a)2+(yo-b)2=產(chǎn)

xS+yo+Dx0+Ey0+F=0

點(diǎn)在圓內(nèi)\MA\<r(xo-a)2+(yo-b)2<r2加+循+DXQ+Ey。+F<0

22

點(diǎn)在圓外\MA\>r(XO-Q)2+(yo-b)>r笳+諦+Dx0+Ey0+F>0

【知識(shí)點(diǎn)3軌跡方程】

1.軌跡方程

求符合某種條件的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，實(shí)質(zhì)上就是利用題設(shè)中的幾何條件，通過“坐標(biāo)法”將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于

變量之間的方程.

(1)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件易于“坐標(biāo)化”時(shí)，常采用直接法；當(dāng)動(dòng)點(diǎn)滿足的條件符合某一基本曲線的定

義(如圓)時(shí)，常采用定義法；當(dāng)動(dòng)點(diǎn)隨著另一個(gè)在已知曲線上的動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，可采用代入法(或稱相關(guān)點(diǎn)法).

(2)求軌跡方程時(shí)，一要區(qū)分"軌跡"與"軌跡方程"；二要注意檢驗(yàn)，去掉不合題設(shè)條件的點(diǎn)或線等.

2.求軌跡方程的步驟：

(1)建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，用(x,y)表示軌跡(曲線)上任一點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(2)列出關(guān)于x,y的方程；

(3)把方程化為最簡(jiǎn)形式；

(4)除去方程中的瑕點(diǎn)(即不符合題意的點(diǎn))；

(5)作答.

【方法技巧與總結(jié)】

1.以/(陽,勿)，3(x2,y2)為直徑端點(diǎn)的圓的方程為(x-Xi)(x—x2)+(y—凹)(y—處)=0.

2.圓心在過切點(diǎn)且與切線垂直的直線上.

3.圓心在任一弦的垂直平分線上.

?舉一反三

【題型1求圓的方程】

【例1】(2024?遼寧大連?一模)過點(diǎn)(一1,1)和(1,3),且圓心在x軸上的圓的方程為()

A.x2+y2=4B.(%—2)2+y2=8

C.(%—I)2+y2=5D.(%—2)2+y2=10

【變式1-1](2024?河南?模擬預(yù)測(cè))圓心在射線y=，尤QW0)上，半徑為5,且經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的圓的方程

為().

A.%2+y2—8x—6y=0

B.%2+y2-6x—8y=0

C.%2+y2+8%+6y=0

D.x2+y2+6x+8y—0

【變式1-2](2024?北京?模擬預(yù)測(cè))圓心為(2,1)且和x軸相切的圓的方程是()

A.(x—2)2+(y—I)2=1B.(x+2)2+(y+l)2=1

C.(x—2)2+(y—1)2=5D.(x+2)2+(y+l)2=5

【變式1-3](2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))在平面直角坐標(biāo)系中，圓E與兩坐標(biāo)軸交于4B,C,D四點(diǎn)，其中

4(-2,0),8(0,-3),點(diǎn)C在謝正半軸上，點(diǎn)。在y軸的正半軸上，圓E的內(nèi)接四邊形4BCD的面積為則圓E

的方程為()

A.久2+y2+%+]=2

B.x2+y2—x+y=6

C.x2+y2—4%—y=12

D.x2+y2++2y=3

【題型2二元二次方程表示圓的條件】

【例2】(2024?貴州?模擬預(yù)測(cè))已知曲線C的方程2x2+2產(chǎn)+4%+8y+尸=0,則“F<10”是“曲線C是圓”

的()

A.必要不充分條件B.充分不必要條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【變式2-1](23-24高二下?上海?期中)方程%2+y2+47n%一2y+57n=0表示圓的充要條件是()

A.-<m<1B.m>1C.m<-D.THV工或TH>1

444

【變式2-2](23-24高二上?福建廈門?期中)若a￡{-2,-1,0,*1],則方程久2+y2+ax+2ay+2a2+a-

1=0表示的圓的個(gè)數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

【變式2-3](23-24高二上?廣東?期末)已知方程/+/+2久—2ay+2a+4=0表示一個(gè)圓，則實(shí)數(shù)a

取值范圍是()

A.(-co,-1]u[3,+oo)B.[-1,3]

C.(—oo,—1)U(3,+oo)D.(—1,3)

【題型3圓過定點(diǎn)問題】

【例3】(23-24高二上?湖北荊州?期末)圓OY+V+ax-2ay-5=0恒過的定點(diǎn)為()

A.(-2,1),(2,-1)B.(-1,-2),(2,1)

C.(-1,-2),(1,2)D.(-2,-1),(2,1)

【變式3-1](23-24高二上?浙江溫州?期中)點(diǎn)P(x,y)是直線2x+y-5=0上任意一點(diǎn)，。是坐標(biāo)原點(diǎn)，

則以。P為直徑的圓經(jīng)過定點(diǎn)()

A.(0,0)和(1,1)B.(0,0)和(2,2)C.(0,0)和(1,2)D.(0,0)和(2,1)

【變式3-2](2024高三?全國(guó)?專題練習(xí))當(dāng)加變化時(shí)，圓/+/+(機(jī)+2)x+y—2=0恒過定點(diǎn).

【變式3-3](23-24高三上?上海徐匯?期末)已知二次函數(shù)/'。)=/+2%+6(久6夫)的圖像與坐標(biāo)軸有三

個(gè)不同的交點(diǎn)，經(jīng)過這三個(gè)交點(diǎn)的圓記為C,則圓C經(jīng)過定點(diǎn)的坐標(biāo)為(其坐標(biāo)與6無關(guān))

【題型4點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判斷】

[例4](2024?河北滄州，二模)若點(diǎn)4(2,1)在圓工2+y2-2mx-2y+5=0(爪為常數(shù))外，則實(shí)數(shù)機(jī)的

取值范圍為()

A.(—8,2)B.(2,+8)C.(—8,—2)D.(—2,+8)

【變式4-1](2024?甘肅定西?模擬預(yù)測(cè))若點(diǎn)(2,1)在圓好+、2一支+y+a=o的外部，則。的取值范圍是

()

A.8+8)B.(—8,1)C.(一4，)D.(-8,-4)Ua+8)

【變式4-2](24-25高三上?廣東?開學(xué)考試)“1<b<2”是“點(diǎn)B(0,b)在圓C:(x-I)2+(y-2)2=2內(nèi)”的

()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分又不必要條件

【變式4-3](2024高三?全國(guó)?專題練習(xí))若點(diǎn)(2a,a+1)在圓一+①一1>=5的內(nèi)部，則實(shí)數(shù)。的取值范圍

是()

A.{a|-l<a<l}

B.{tz|0<a<l}

C.{a|a<—1或.>1}

D.{a|-l<a<0}

【題型5與圓有關(guān)的軌跡問題】

[例5](24-25高二上?上海?課后作業(yè))點(diǎn)P(4,-2)與圓好+y2=4上任意一點(diǎn)連線的中點(diǎn)的軌跡方程是

)

A.(%—4)2+(y+2尸=4B.(x+2尸+(y—l)2=1

C.(%+4)2+(y—2>=4D.(%—2/+(y+l)2=1

【變式5?1】（23-24高二上?廣東東莞?階段練習(xí)）已知線段ZB的端點(diǎn)8的坐標(biāo)（4,3）,端點(diǎn)/在圓％2+丫2=4

上運(yùn)動(dòng)，求線段的中點(diǎn)M的軌跡所圍成圖形的面積（）

A.4TTB.V2nC.nD-T

【變式5-2］（2024?山東淄博?一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知向量瓦5與礪關(guān)于x軸對(duì)稱，向量a=

（0,1）,若滿足瓦？+元?荏=0的點(diǎn)/的軌跡為￡,貝I］（）

A.E是一條垂直于x軸的直線B.E是一個(gè)半徑為1的圓

C.E是兩條平行直線D.E是橢圓

【變式5-3］（2024?山東德州?三模）古希臘幾何學(xué)家阿波羅尼斯證明過這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距

離之比為常數(shù)k（k>Q,k大1）的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,

4(—4,0),B(2,0),點(diǎn)M滿足儒=2,則點(diǎn)M的軌跡方程為（）

A.(%+4)2+y2=16B.(%—4)2+y2=16

C.%2+(y+4)2=16D.x2+(y—4)2=16

【題型6與圓有關(guān)的對(duì)稱問題】

【例6】（2024?浙江?模擬預(yù)測(cè)）圓C（%-+（y-2尸=2關(guān)于直線1-y=0對(duì)稱的圓的方程是（）

A.(%—I)2+(y+2)2=2B.(%++(y+27=2

C.(%—2>+(y—1)2=2D.(%+2)2+(y+1)2=2

【變式6-1］（23-24高二上?安徽黃山?期末）圓”:（％-2）2+（丫-1）2=1與圓義關(guān)于直線第一丫=0對(duì)稱,

則圓N的方程為（）

A.(%+I)2+(y+2/=1B.(%—2)2+(y+l)2=1

C.(x+2)2+(y+l)2=lD.(x-l)2+(y-2)2=1

【變式6-2］（23-24高二下?云南昆明?階段練習(xí)）已知圓M:Q+1）2+（y+1）2=1與圓可：（比一4）2+

（y+3）2=1關(guān)于直線/對(duì)稱，貝!|Z的方程為（）

A.10%-4y-23=0B.10%+4y—23=0

C.2%-5y-7=0D.2%+5y+7=0

【變式6-3](2024?陜西寶雞?一模)已知圓％2+丫2—2%+4y+4=0關(guān)于直線2ax—by—2=0(a>0,b>

0）對(duì)稱，則必的最大值為（）

A.2B.1C-D

?2-:

【題型7圓系方程】

【例7】（23-24高二下?湖南長(zhǎng)沙?階段練習(xí)）過圓/+y2—萬+丫―2=。和/+產(chǎn)=5的交點(diǎn)，且圓心在

直線3久+4y—1=0上的圓的方程為（）

A.x2+y2+2x—2y—11—0B.x2+y2—2x+2y—11—0.

C.%2+y2—2x—2y-11=0D.x2+y2+2x+2y—11=0

【變式7-1］（2024高二?遼寧?學(xué)業(yè)考試）過圓/+產(chǎn)一2y-4=0與/+產(chǎn)一4%+2y=0的交點(diǎn)，且圓

心在直線，:2x+4y—1=0上的圓的方程是.

【變式7-2］（23-24高一下?江西九江?期中）經(jīng)過兩圓/+y2+6x—4=0和/+y2+6y-28=0的交

點(diǎn)，且圓心在直線x—y—4=0上的圓的方程為.

【變式7-3］（2024高三下,全國(guó),專題練習(xí)）求過圓:爐+y2一2%+2y+1=0與圓：/+y2+4%一2y-4=

0的交點(diǎn)，圓心在直線：x-2y-5=0圓的方程.

【題型8與圓有關(guān)的最值問題】

【例8】（2024?西藏拉薩?二模）已知點(diǎn)M（3,—3）,N（3,0）,動(dòng)點(diǎn)P在圓。:/+y2=1上，則|pM|+g|PN|

的最小值為（）

V145「V165kV145「V165

AA.-----B.-----C.-----D.-----

3399

【變式8-1］（2024?河南?模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)P（%y）在以原點(diǎn)。為圓心，半徑r=V7的圓上，則“+號(hào)的

最小值為（）

A.-B.C.-D.1

999

【變式8-2］（2024?湖北黃石?三模）已知在等腰直角三角形4BC中，C4=CB=4,點(diǎn)M在以C為圓心、2

為半徑的圓上，則|M8|川的最小值為（）

A.375-272B.V17C.1+2V5D.2V5-1

【變式8-3］（2024?廣西貴港?模擬預(yù)測(cè)）已知圓C：（x-2）2+（y-2）2=4,直線I,（m+2）x-my-4=0,

若/與圓C交于4,B兩點(diǎn),設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為。，則|。川+2|OB|的最大值為（）

A.4V3B.6V3C.4V15D.2V30

A過關(guān)測(cè)試

一、單選題

1.(2024?吉林長(zhǎng)春?三模)經(jīng)過4(1,1),C(0,2)三個(gè)點(diǎn)的圓的方程為()

A.(%+I)2+(y-1)2=2B.(x-I)2+(y—1)2=2

C.%2+(y—l)2=1D.第2+(y+i)2-1

2.(2024?浙江?一模)圓C:%2+y2-2%+4y=0的圓心C坐標(biāo)和半徑7分別為()

A.C(l,-2)/=逐B(yǎng).C(l,-2),7二5

C.。(-1,2),丁二遮D.。(一1,2),丁=5

3.(2024?江西?模擬預(yù)測(cè))若點(diǎn)。1)在圓％2+丫2一%一。=。的外部，則。的取值范圍為()

A.B.&1)C.(-oo,l)D.(1,+co)

4.(2024?陜西銅川?三模)已知圓。(比一或2+3-。)2=1經(jīng)過點(diǎn)力(3,4),則其圓心到原點(diǎn)的距離的最大

值為()

A.4B.5C.6D.7

5.(2024?河南信陽?模擬預(yù)測(cè))已知圓。：+儼=2,點(diǎn)A(m,n)和點(diǎn)B(p,q)在圓。上，滿足mp+nq=-1,

則m+n+p+q最大值為()

A.V2B.2C.2V2D.4V2

6.(23-24高二上?廣西玉林?期末)若直線/在x軸、y軸上的截距相等，且直線/將圓久2+y2-2%+4y=0的

周長(zhǎng)平分，則直線/的方程為()

A.x+y+l=0B.x+y—1—0

C.x+y+l=0或2x+y=0D.x+y-l=0或2x+y=0

7.(2024?四川成都?模擬預(yù)測(cè))在平面直角坐標(biāo)系久0y中，點(diǎn)M(2,0),直線=k。:一2)+1,點(diǎn)M關(guān)于直

線I的對(duì)稱點(diǎn)為N,則△OMN面積的最大值是()

A.1B.2C.3D.4

8.(23-24高三上?遼寧大連?階段練習(xí))已知圓的:(x—2)2+(y—3)2=1,圓Q:。一3/+(y-4尸=9,

M,N分別是圓的,。2上的動(dòng)點(diǎn)，尸為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，則|PM|+|PN|的最小值為()

A.5V2-2B.V17-1C.6+2迎D.5近一4

二、多選題

9.(2024?廣西?模擬預(yù)測(cè))若點(diǎn)P(1,O)在圓。刀2+y2+2x—4y+7n=0的外部，則小的取值可能為()

A.-3B.1C.4D.7

10.(2024?山西臨汾?三模)已知E,F是以C