建筑力學(xué)第六章梁的彎曲內(nèi)力

第6章

梁的彎曲內(nèi)力1一、彎曲實(shí)例工廠廠房的天車大梁火車的輪軸：FFFF樓房的橫梁：陽(yáng)臺(tái)的挑梁：2.平面彎曲

工程中常見(jiàn)的梁，其橫截面大多為矩形、工字形、T形、十字形、槽形等

它們都有對(duì)稱軸，梁橫截面的對(duì)稱軸和梁的軸線所組成的平面通常稱為縱向?qū)ΨQ平面

。具有縱向?qū)ΨQ面外力都作用在此面內(nèi)彎曲變形后軸線變成對(duì)稱面內(nèi)的平面曲線縱向?qū)ΨQ面平面彎曲二、彎曲的概念：受力特點(diǎn)——作用于桿件上的外力都垂直于桿的軸線。變形特點(diǎn)——桿軸線由直線變?yōu)橐粭l曲線。

主要產(chǎn)生彎曲變形的桿---梁。三、平面彎曲的概念：受力特點(diǎn)——作用于桿件上的外力都垂直于桿的軸線，且都在梁的縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)。變形特點(diǎn)——桿的軸線在梁的縱向?qū)ΨQ面內(nèi)由直線變?yōu)橐粭l平面曲線。縱向?qū)ΨQ面MF1F2q平面彎曲靜定梁的分類（三種基本形式）M—集中力偶q(x)—分布力1、懸臂梁：2、簡(jiǎn)支梁：3、外伸梁：—集中力Fq—均布力LLLL（L稱為梁的跨長(zhǎng)）§3-1梁的彎矩和剪力§3-2作內(nèi)力圖第3章梁的彎曲內(nèi)力§3-3斜梁梁的彎矩和剪力2、支座反力單跨靜定梁的支座反力都只有三個(gè)，可取全梁為隔離體，由平面一般力系的三個(gè)平衡方程求出。ABFFAYFAXFBYmmxFsMMFs1.彎矩：M

構(gòu)件受彎時(shí)，橫截面上存在垂直于截面的內(nèi)力偶矩（彎矩）。AFAYCFBYFC2.剪力：Fs

構(gòu)件受彎時(shí)，橫截面上存在切于截面的內(nèi)力（剪力）。3、3個(gè)內(nèi)力分量的規(guī)定軸力FN：截面上應(yīng)力沿桿軸切線方向的合力剪力FS：截面上應(yīng)力沿桿軸法線方向的合力彎矩M：截面上應(yīng)力對(duì)截面形心的力矩1、內(nèi)力成對(duì)出現(xiàn)：作用力與反作用力；2、內(nèi)力正負(fù)號(hào)統(tǒng)一說(shuō)明N+dNNQ+dQQMM+dMdxdxdxMMMMFNFNFNFNFQFQFQFQ二、彎曲內(nèi)力的符號(hào)規(guī)定:

①剪力Fs

:

②彎矩M：

Fs(+)Fs(+)Fs(–)Fs(–)M(+)M(+)M(–)M(–)外力使脫離體產(chǎn)生順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)趨勢(shì)時(shí)為正

FFFQFQFFFQFQ外力使脫離體產(chǎn)生逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)趨勢(shì)時(shí)為負(fù)剪力：2、剪力和彎矩的正負(fù)號(hào)規(guī)定7.2梁的內(nèi)力計(jì)算

外力使脫離體產(chǎn)生下凹變形為正，或使脫離體產(chǎn)生下部受拉時(shí)為正

彎矩：外力使脫離體產(chǎn)生上凸變形為負(fù),或使脫離體產(chǎn)生上部受拉為負(fù)MM7.2梁的內(nèi)力計(jì)算

4、截面法、隔離體、平衡方程

截面法：將指定截面假想截開(kāi)，切開(kāi)后截面的內(nèi)力暴露為外力，取任一局部作為隔離體，作隔離體受力圖（荷載、反力、內(nèi)力組成平面一般力系或平面匯交力系），由隔離體的平衡條件可以確定所求截面的三個(gè)內(nèi)力?！芚=0∑Y=0∑M=04、截面法、隔離體、平衡方程隔離體受力圖：(1)隔離體與其周圍約束要全部截?cái)啵韵鄳?yīng)的約束力代替(2)截開(kāi)截面處，用對(duì)應(yīng)的內(nèi)力代替（未知力：先假設(shè)為正方向，代入平衡方程，求出正值，說(shuō)明方向假設(shè)正確，求出負(fù)值，說(shuō)明實(shí)際方向和假設(shè)相反）(3)已知外荷載（已知力：大小方向作用點(diǎn)）(4)隔離體是應(yīng)用平衡條件進(jìn)行分析的對(duì)象。在受力圖中只畫隔離體本身所受到的力，不畫隔離體施給周圍的力(5）“三清”：截面左右分清、外力清楚、正負(fù)號(hào)清楚力系平衡方程(1)三種形式(2)平衡方程：同方向同符號(hào)(3)平衡方程的正負(fù)和內(nèi)力的正負(fù)是完全不同性質(zhì)的兩套符號(hào)系統(tǒng)∑X=0∑Y=0∑M=0[例]已知：如圖，F(xiàn)，a，l。

求：距A端x處截面上內(nèi)力。FAYFAXFBYFABFalAB解：①求外力（支座反力）ABFFAYFAXFBYmmx②求內(nèi)力FsMMFs∴

彎曲構(gòu)件內(nèi)力：－剪力，－彎矩。FAYACFBYFC研究對(duì)象：m-m

截面的左段：若研究對(duì)象取m-m

截面的右段：[例]：求1--1、2--2截面處的內(nèi)力。qLM1解qqLab11221--1截面2--2截面qLM2x2[例]：求圖所示梁1--1、2--2截面處的內(nèi)力。aaaABCDFa11221.3a0.5aF解：（1）確定支座反力（2）求內(nèi)力1--1截面取左側(cè)考慮：2--2截面取右側(cè)考慮：1.2kN/m0.8kNAB1.5m1.5m3m2m1.5m1122[例]：梁1-1、2-2截面處的內(nèi)力。解：（1）確定支座反力RARB(2)1-1截面左段右側(cè)截面：2-2截面右段左側(cè)截面：RA5、

內(nèi)力圖定義：表示結(jié)構(gòu)上各截面的內(nèi)力隨橫截面位置變化規(guī)律的圖形。內(nèi)力方程式：內(nèi)力與x（表示橫截面位置的變量）之間的函數(shù)表達(dá)式。幾點(diǎn)注意：

（1）彎矩圖畫在受拉邊、不標(biāo)明正負(fù)，軸力圖剪力圖畫在任一邊，標(biāo)明正負(fù)。（2）內(nèi)力圖名稱、單位、控制豎標(biāo)大?。?）大小長(zhǎng)度按比例、直線要直、曲線光滑BAqlql2

8M圖（KN.m）§3-2列方程作內(nèi)力圖剪力方程彎矩方程

反映梁橫截面上的剪力和彎矩隨截面位置變化的函數(shù)式

顯示剪力和彎矩隨截面位移的變化規(guī)律的圖形則分別稱為剪力圖和彎矩圖。(-)

注意：彎矩圖中正的彎矩值繪在x軸的下方(即彎矩值繪在彎曲時(shí)梁的受拉側(cè))。lqAB畫剪力圖和彎矩圖的步驟：1、利用靜力方程確定支座反力。2、根據(jù)載荷p分段列出剪力方程、彎矩方程。3、根據(jù)剪力方程、彎矩方程判斷剪力圖、彎矩圖的形狀描點(diǎn)繪出剪力圖、彎矩圖。4、確定最大的剪力值、彎矩值。

注意：不能用一個(gè)函數(shù)表達(dá)的要分段，分段點(diǎn)為：集中力作用點(diǎn)、集中力偶作用點(diǎn)、分布力的起點(diǎn)、終點(diǎn)。F(x)xF解：①求支反力②寫出內(nèi)力方程③根據(jù)方程畫內(nèi)力圖[例]列出梁內(nèi)力方程并畫出內(nèi)力圖。FABFAYMAxM(x)-FL

注意：彎矩圖中正的彎矩值繪在x軸的下方(即彎矩值繪在彎曲時(shí)梁的受拉側(cè))。例圖示簡(jiǎn)支梁受集度為q的滿布荷載作用。試作梁的剪力圖和彎矩圖。解：1、求支反力2、列剪力方程和彎矩方程xFBFAFAM(x)FS(x)xAqBlAqql28l/2M3、作剪力圖和彎矩圖BlAq*載荷對(duì)稱、結(jié)構(gòu)對(duì)稱則剪力圖反對(duì)稱，彎矩圖對(duì)稱*剪力為零的截面彎矩有極值。ql

2FS

例

圖示簡(jiǎn)支梁受集中荷載F作用。試作梁的剪力圖和彎矩圖。解：1、求支反力2、列剪力方程和彎矩方程——需分兩段列出BFBFAxlAFabCAC段CB段FAxAM(x)FS(x)FBBFS(x)M(x)BFBFAxlAFabC3、作剪力圖和彎矩圖FS

FblxFblMxFablBFBFAxlAFabC*在集中力F作用處，剪力圖有突變，突變值為集中力的大??；彎矩圖有轉(zhuǎn)折例圖示簡(jiǎn)支梁在C點(diǎn)受矩為Me

的集中力偶作用。試作梁的剪力圖和彎矩圖。解:1、求支反力Me

FA

FBBlACab2、列剪力方程和彎矩方程剪力方程無(wú)需分段：彎矩方程——兩段：AC段：CB段：FA

FBxAFAM(x)FS(x)xFBBFS(x)M(x)BlACab3、作剪力圖和彎矩圖b>a時(shí)發(fā)生在C截面右側(cè)FslxMelMxMealMeb*集中力偶作用點(diǎn)處剪力圖無(wú)影響，彎矩圖有突變，突變值的大小等于集中力偶的大小。BlACab3簡(jiǎn)易法作內(nèi)力圖1、分布荷載作用下由(以右邊截面形心為力矩中心)結(jié)論：①若p(x)=0,N=const(水平線)；若p(x)=const(均勻)，N圖為斜直線；②若q(x)=0，Q＝const(水平線)，M=斜直線；若q(x)=const(均布)，Q=斜直線，M＝二次拋物線；③當(dāng)q(x)(荷載向下)，則M圖曲線向下凸。Q圖M圖Q圖M圖M圖2、集中荷載作用處N+dNNQ+dQQMM+dMdxdxMeN+dNNQ+dQQMM+dMdxdxPyPx結(jié)論：①集中Px作用，N圖發(fā)生突變②集中Py作用，Q圖發(fā)生突變，導(dǎo)致M圖斜率改變，出現(xiàn)尖點(diǎn)；且尖角的朝向與荷載的方向相同。③集中力偶Me作用，M圖發(fā)生突變，N、Q圖無(wú)變化N+dNNQ+dQQMM+dMdxdxPyPxMePPmm平行鉸處，M=0，過(guò)鉸心的斜直線，Q圖無(wú)變化M=0？水平線拋物線有極值為零處有尖角(向下）

有突變(突變值=

F)有極值如變號(hào)無(wú)變化

有突變（突變值=M）剪力圖彎矩圖梁上情況無(wú)外力均布力作用

(q向下)集中力作用處(F向下)集中力偶M作用處鉸處無(wú)影響為零斜直線小結(jié)斜直線⊕?一q↓q↑⌒⌒↓↑內(nèi)力圖形狀特征1.無(wú)何載區(qū)段2.均布荷載區(qū)段3.集中力作用處平行軸線斜直線Q=0區(qū)段M圖平行于軸線Q圖M圖備注↓↓↓↓↓↓二次拋物線凸向即q指向Q=0處，M達(dá)到極值發(fā)生突變P＋－出現(xiàn)尖點(diǎn)集中力作用截面剪力無(wú)定義4.集中力偶作用處無(wú)變化

發(fā)生突變兩直線平行m集中力偶作用點(diǎn)彎矩?zé)o定義＋－5、在自由端、鉸支座、鉸結(jié)點(diǎn)處，無(wú)集中力偶作用，截面彎矩等于零，有集中力偶作用，截面彎矩等于集中力偶的值。6、剛結(jié)點(diǎn)上各桿端彎矩及集中力偶應(yīng)滿足結(jié)點(diǎn)的力矩平衡。兩桿相交剛結(jié)點(diǎn)無(wú)集中力偶作用時(shí)，兩桿端彎矩等值，同側(cè)受拉。Q<0

增函數(shù)降函數(shù)尖端與P同向FP

aFPlabABABlqql2

2應(yīng)熟記常用單跨梁的彎矩圖BAFlabFablBAqlql2

8mBAablml

alm

blmml1

疊加原理：

多個(gè)載荷同時(shí)作用于結(jié)構(gòu)而引起的內(nèi)力等于每個(gè)載荷單獨(dú)作用于結(jié)構(gòu)而引起的內(nèi)力的代數(shù)和。適用條件：所求參數(shù)（內(nèi)力、應(yīng)力、位移）必然與荷載滿

足線性關(guān)系。即在彈性限度內(nèi)滿足虎克定律。用疊加法作彎矩圖注意：材料力學(xué)構(gòu)件小變形、線性范圍內(nèi)必遵守此原理

★2疊加法作彎矩圖的步驟：①分別作出各項(xiàng)荷載單獨(dú)作用下梁的彎矩圖；②將其相應(yīng)的縱坐標(biāo)疊加即可（注意：不是圖形的簡(jiǎn)單拼湊）。例7.10按疊加原理作彎矩圖(AB=2a，力P作用在梁AB的中點(diǎn)處）。qqPP=

+

AAABBBxM2

xM1

xM

+++=

+

示例:同號(hào)：對(duì)應(yīng)縱坐標(biāo)代數(shù)值相加，而非內(nèi)力圖簡(jiǎn)單合并示例:異號(hào)：疊加后圖形重疊部分表示兩個(gè)縱坐標(biāo)值互相抵消，不重疊部分為所求彎矩圖。基線改成水平基線FPq2m1m1122AB1kN/m2kNABCD1m1m2mFAYFBYM=

75kN·mFP=100kN1.5m1.5m1.5m11223344ABCFBy

FAy

M=

6kN·m

2211A33Bq=1kN/m1m2m1m2m1m1mFP=3kN

44FBy

FAy

FSAFSBFAFB三、分段疊加法作彎矩圖

（sectionsuperposition

method）兩者內(nèi)力相同？四、歸納內(nèi)力圖作圖步驟1、求反力2、分段：選定外力的不連續(xù)點(diǎn)為控制截面(控制截面：如支承點(diǎn)、集中荷載作用點(diǎn)、集中力偶作用點(diǎn)左右截面、分布荷載的起點(diǎn)及終點(diǎn)等)3、定點(diǎn)：求控制截面的內(nèi)力值（采用截面法）；4、聯(lián)線：內(nèi)力圖與荷載的微分關(guān)系+區(qū)段疊加法5、校核內(nèi)力圖6、FN、FS圖也可以通過(guò)M圖由桿件平衡作出FPq2m1m1122AB1kN/m2kNABCD1m1m2mFAYFBYM=

75kN·mFP=100kN1.5m1.5m1.5m11223344ABCFBy

FAy

M=

6kN·m

2211A33Bq=1kN/m1m2m1m2m1m1mFP=3kN

44FBy

FAy

作圖示梁的彎矩圖和剪力圖FA=58kNFB=12kN164618201826MEqMFFQFFQE10單位:kNm.FQ

圖(kN

)五、例題↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓8kN4kN/mABCGEDF16kN.m1m2m2m1m1779－＋Q圖（kN）16726430237828HRA=17kNRB=7kN4↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓888M圖（kN.m）RA=17kNRB=7kNRA=17kNRB=7kNRA=17kNRB=7kNRA=17kNRB=7kN1m1m力偶不影響剪力1m1m4m1m1m2m不可簡(jiǎn)稱K截面剪力斜率相等剪力等于零處彎矩為極值點(diǎn)相切x=17/846.062529171510Q圖(kN)181128321720M圖(kN·m)25kN29kN10kN12kN22kN.m18kN.m8kN/mK1m1m2m2m4m40kN160kN80kN.m40kN/m斜率相等不相Q圖(kN)340130210280160M圖(kN·m)310kN130kN1、求支反力：VA=18KNVB=6KN2、求控制截面的內(nèi)力3、聯(lián)線4、求最大彎矩值§6-5多跨靜定梁(multi-spanstaticallydeterminatebeam)

關(guān)鍵在正確區(qū)分基本部分和附屬部分熟練掌握截面法求控制截面彎矩熟練掌握區(qū)段疊加法作單跨梁內(nèi)力圖多跨靜定梁實(shí)例基、附關(guān)系層疊圖多跨靜定梁簡(jiǎn)圖

附屬部分--依賴基本部分的存在才維持幾何不變的部分。

基本部分--不依賴其它部分而能獨(dú)立地維持其幾何不變性的部分。二、常用形式無(wú)鉸跨和兩鉸跨交替出現(xiàn)懸掛式除第一跨外