場波教案-2矢量分析-W

第二章矢量分析主要內(nèi)容梯度、散度、旋度、亥姆霍茲定理1.標(biāo)量和矢量2.標(biāo)量場和矢量場3.標(biāo)量場的方向?qū)?shù)與梯度4.矢量場的通量與散度5.矢量場的環(huán)量與旋度6.

無散場和無旋場7.格林定理8.矢量場的惟一性定理9.亥姆霍茲定理10.正交曲面坐標(biāo)系1標(biāo)量及矢量標(biāo)量：只有大小，沒有方向的物理量。矢量表示為：所以：一個矢量就表示成矢量的模與單位矢量的乘積。矢量：不僅有大小，而且有方向的物理量。如:力F、速度V、電場E等如：溫度T、長度L等其中：為矢量的模，表示該矢量的大小。為單位矢量，表示矢量的方向，其大小為1。1.1定義根據(jù)矢量加法運(yùn)算：一個矢量函數(shù)可以分解為三個標(biāo)量函數(shù)，在直角坐標(biāo)系下的矢量表示:三個方向的單位矢量用表示。所以：其中：位置矢量r和距離矢量R1.2矢量的代數(shù)運(yùn)算1.加法:

矢量加法是矢量的幾何和,服從平行四邊形規(guī)則。a.滿足交換律：b.滿足結(jié)合律：2.減法：換成加法運(yùn)算逆矢量：

和的模相等，方向相反，互為逆矢量。在直角坐標(biāo)系中兩矢量的減法運(yùn)算：推論：任意多個矢量首尾相連組成閉合多邊形，其矢量和必為零。3.矢量的標(biāo)積與矢積（1）標(biāo)量與矢量的乘積：方向不變，大小為|k|倍方向相反，大小為|k|倍（2）矢量與矢量乘積分兩種定義a.標(biāo)量積（點(diǎn)積）：兩矢量的點(diǎn)積含義：一矢量在另一矢量方向上的投影與另一矢量模的乘積，其結(jié)果是一標(biāo)量。在直角坐標(biāo)系中，三個坐標(biāo)軸是相互正交的兩矢量點(diǎn)積：結(jié)論:兩矢量點(diǎn)積等于對應(yīng)分量的乘積之和。推論1：滿足交換律推論2：滿足分配律推論3：當(dāng)兩個非零矢量點(diǎn)積為零,則這兩個矢量必正交。推論1：不服從交換律：推論2：服從分配律：推論3：不服從結(jié)合律：推論4：當(dāng)兩個非零矢量叉積為零，則這兩個矢量必平行。b.矢量積（叉積）：含義：

兩矢量叉積，結(jié)果得一新矢量，其大小為這兩個矢量組成的平行四邊形的面積，方向為該面的法線方向，且三者符合右手螺旋法則。在直角坐標(biāo)系中，兩矢量的叉積運(yùn)算如下：兩矢量的叉積又可表示為：xyzo（3）三重積：三個矢量相乘有以下幾種形式：矢量，標(biāo)量與矢量相乘。標(biāo)量，標(biāo)量三重積。矢量，矢量三重積。a.標(biāo)量三重積法則：在矢量運(yùn)算中,先算叉積,后算點(diǎn)積。定義：含義：

標(biāo)量三重積結(jié)果為三矢量構(gòu)成的平行六面體的體積。注意：先后輪換次序。推論：三個非零矢量共面的條件。在直角坐標(biāo)系中：b.矢量三重積：2.標(biāo)量場和矢量場場的定義：若對于空間域上每一點(diǎn)都對應(yīng)著某個物理量的一個標(biāo)量(數(shù)量)或一個矢量，則稱此空間域確定了這個物理量的場。標(biāo)量場如溫度場,電位場,高度場等。矢量場如流速場,電場,渦流場等。矢量場--矢量線形象描繪場分布的工具--場線標(biāo)量場--等值線(面)。其方程為其方程為三維場在直角坐標(biāo)下,場線方程:二維場

矢量線等值線方向?qū)?shù):標(biāo)量場在某點(diǎn)的方向?qū)?shù)表示標(biāo)量場自該點(diǎn)沿某一方向上的變化率。

例如標(biāo)量場

在

P點(diǎn)沿

l方向上的方向?qū)?shù)定義為Pl3.標(biāo)量場的方向?qū)?shù)與梯度梯度是一個矢量。在直角坐標(biāo)系中，標(biāo)量場

u

的梯度可表示為式中的grad是英文字gradient的縮寫。某點(diǎn)梯度的大小等于該點(diǎn)的最大方向?qū)?shù)，某點(diǎn)梯度的方向為該點(diǎn)具有最大方向?qū)?shù)的方向。若引入算符，在直角坐標(biāo)系中該算符可表示為則梯度可以表示為例：求一個二維標(biāo)量場的等值線方程和梯度解：等值線方程為：例1

三維高度場的梯度高度場的梯度

與過該點(diǎn)的等高線垂直；

數(shù)值等于該點(diǎn)位移的最大變化率；

指向地勢升高的方向。

梯度的物理意義

標(biāo)量場的梯度是一個矢量,是空間坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù);

梯度的方向為該點(diǎn)最大方向?qū)?shù)的方向,即與等值線（面）相垂直的方向，它指向函數(shù)的增加方向。

梯度的大小為該點(diǎn)標(biāo)量函數(shù)的最大變化率，即該點(diǎn)最大方向?qū)?shù);

三維高度場的梯度例2電位場的梯度電位場的梯度

與過該點(diǎn)的等位線垂直；

指向電位增加的方向。

數(shù)值等于該點(diǎn)的最大方向?qū)?shù)；

電位場的梯度通量：矢量

A

沿某一有向曲面

S的面積分稱為矢量

A通過該有向曲面

S的通量，以標(biāo)量

表示，即

4.矢量場的通量與散度當(dāng)矢量進(jìn)入這個閉合面時---存在匯聚該矢量場的洞（或匯）---通量為負(fù)。通量可為正、或為負(fù)、或為零。

當(dāng)矢量穿出某個閉合面時---存在產(chǎn)生該矢量場的源----通量為正前述的源稱為正源，而洞稱為負(fù)源。

矢量E沿有向曲面S的面積分>0(有正源)<0(有負(fù)源)=0(無源)矢量場的通量矢量場的通量

若S為閉合曲面，，可以根據(jù)凈通量的大小判斷閉合面中源的性質(zhì):

由物理得知，真空中的電場強(qiáng)度

E

通過任一閉合曲面的通量等于該閉合面包圍的自由電荷的電量

q與真空介電常數(shù)

0

之比，即，閉合面中存在的電荷通量源正電荷正正源負(fù)電荷負(fù)負(fù)源無電荷零無源散度：當(dāng)閉合面

S

向某點(diǎn)無限收縮時，矢量

A通過該閉合面S的通量與該閉合面包圍的體積之比的極限稱為矢量場

A

在該點(diǎn)的散度，以

divA表示，即解釋：如果包圍點(diǎn)P的閉合面dS所圍區(qū)域V以任意方式縮小為點(diǎn)P時,通量與體積之比的極限存在式中div

是英文

divergence的縮寫，

V為閉合面

S包圍的體積。上式表明，散度是一個標(biāo)量，它可理解為通過包圍單位體積閉合面的通量。直角坐標(biāo)系中:散度可用算符

表示為:散度的物理意義

散度代表矢量場的通量源的分布特性?

A=0(無源）?

A=0(負(fù)源)?

A=0(正源)

在矢量場中，若?A=0，稱之為有源場，稱為(通量)源密度；若矢量場中處處?A=0，稱之為無源場。

矢量的散度是一個標(biāo)量，是空間坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù)；高斯定理或者寫為

從數(shù)學(xué)角度可以認(rèn)為高斯定理建立了面積分和體積分的關(guān)系。從物理角度可以理解為高斯定理建立了區(qū)域

V中的場和包圍區(qū)域

V

的閉合面

S上的場之間的關(guān)系。因此，如果已知區(qū)域

V中的場，根據(jù)高斯定理即可求出邊界

S上的場，反之亦然。標(biāo)量場的梯度矢量場的旋度？算子矢量場的散度拉普拉斯算子環(huán)量：矢量場

A沿一條有向曲線

l的線積分稱為矢量場

A

沿該曲線的環(huán)量，以

表示，即5.矢量場的環(huán)量與旋度若在閉合有向曲線

l上，矢量場

A的方向處處與線元

dl

的方向保持一致，則環(huán)量

>0；若處處相反，則

<0

。環(huán)量可以用來描述矢量場的旋渦特性。已知真空中磁通密度

B沿任一閉合有向曲線

l的環(huán)量等于該閉合曲線包圍的傳導(dǎo)電流強(qiáng)度

I與真空磁導(dǎo)率

0

的乘積。即

式中，電流

I的正方向與

dl的方向構(gòu)成

右旋關(guān)系。環(huán)量可以表示產(chǎn)生具有旋渦特性的源的強(qiáng)度，但是環(huán)量代表的是閉合曲線包圍的總的源強(qiáng)度，它不能顯示源的分布特性。為此，需要研究矢量場的旋度?！袸1I2旋度是一個矢量。以符號curlF表示矢量F的旋度，其方向是使矢量F具有最大環(huán)量強(qiáng)度的方向，其大小等于對該矢量方向的最大環(huán)量強(qiáng)度，即式中curl是環(huán)量，rot代表旋度；n為最大環(huán)量強(qiáng)度的方向上的單位矢量，S

為閉合曲線

l

包圍的面積。矢量場的旋度大小可以認(rèn)為是包圍單位面積的閉合曲線上的最大環(huán)量。

en1en2en直角坐標(biāo)系中，旋度可表示為

或者無論梯度、散度或旋度都是微分運(yùn)算，它們表示場在某點(diǎn)附近的變化特性。因此，梯度、散度及旋度描述的是場的點(diǎn)特性或稱為微分特性。函數(shù)的連續(xù)性是可微的必要條件。因此在場量發(fā)生不連續(xù)處，也就不存在前述的梯度、散度或旋度。

斯托克斯定理

同高斯定理類似，從數(shù)學(xué)角度可以認(rèn)為斯托克斯定理建立了面積分和線積分的關(guān)系。從物理角度可以理解為斯托克斯定理建立了區(qū)域

S中的場和包圍區(qū)域

S

的閉合曲線

l上的場之間的關(guān)系?；蛘邔憺?/p>

散度處處為零的矢量場稱為無散場。6.無散場和無旋場兩個重要公式之一：上式表明，任一矢量場A的旋度的散度一定等于零

。因此，任一無散場可以表示為另一矢量場的旋度，或者說，任何旋度場一定是無散場。兩個重要公式之二：

上式表明，任一標(biāo)量場

的梯度的旋度一定等于零。因此，任一無旋場一定可以表示為一個標(biāo)量場的梯度，或者說，任何梯度場一定是無旋場。

旋度處處為零的矢量場稱為無旋場。367格林定理

設(shè)任意兩個標(biāo)量場及，若在區(qū)域V中具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，可以證明該兩個標(biāo)量場及滿足下列等式SV,式中S為包圍V的閉合曲面；為標(biāo)量場在S表面的外法線en

方向上的偏導(dǎo)數(shù)。根據(jù)方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系，上式又可寫成上兩式稱為標(biāo)量第一格林定理。基于上式還可獲得下列兩式：上兩式稱為標(biāo)量第二格林定理。設(shè)任意兩個矢量場P與Q，若在區(qū)域V中具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，那么，可以證明該矢量場P及Q滿足下列等式：式中S為包圍V的閉合曲面；面元dS的方向為S的外法線方向。上式稱為矢量第一格林定理?；谏鲜竭€可獲得下式：此式稱為矢量第二格林定理。格林定理建立了區(qū)域V中的場與邊界S上的場之間的關(guān)系。因此，利用格林定理可以將區(qū)域中場的求解問題轉(zhuǎn)變?yōu)檫吔缟蠄龅那蠼鈫栴}。格林定理說明了兩種標(biāo)量場或矢量場之間應(yīng)該滿足的關(guān)系。因此，如果已知其中一種場的分布特性，即可利用格林定理求解另一種場的分布特性?，F(xiàn)在我們必需考慮如下問題（1）矢量場除有散和有旋特性外，是否存在別的特性？（2）是否存在不同于通量源和旋渦源的其它矢量場的激勵源？（3）如何唯一的確定一個矢量場？8.矢量場的惟一性定理位于某一區(qū)域中的矢量場，當(dāng)其散度、旋度以及邊界上場量的切向分量或法向分量給定后，則該區(qū)域中的矢量場被惟一地確定。已知散度和旋度代表產(chǎn)生矢量場的源，可見惟一性定理表明，矢量場被其源及邊界條件共同決定。VSF(r)

若矢量場

F(r)

在無限區(qū)域中處處是單值的，且其導(dǎo)數(shù)連續(xù)有界，源分布在有限區(qū)域V

中，則當(dāng)矢量場的散度及旋度給定后，該矢量場

F(r)可以表示為

9.亥姆霍茲定理式中

定理表明任一矢量場均可表示為一個無旋場與一個無散場之和。（1）任一矢量場均有通量源和漩渦源兩種激勵源激發(fā)形成；（2）任一矢量場均可表示為一個無旋場與一個無散場之和。（3）矢量場的散度和旋度均為0時，矢量場消失，即通量源和漩渦源是產(chǎn)生矢量場唯一的源。矢量場的散度及旋度特性是研究矢量場的首要問題。

10.正交曲面坐標(biāo)系

已知矢量A在圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系中可分別表示為式中

a,b,c

均為常數(shù)圓柱(r,,z)yzxP00=

0r=r0z=z

0Oxzy=

0

0

0球(r,,

)r=r

0