2021-2022學(xué)年山東省東營市勝利高二年級上冊學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【含答案】

2021-2022學(xué)年山東省東營市勝利第一中學(xué)高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先解出集合N，再對四個選項(xiàng)一一驗(yàn)證.【詳解】因?yàn)椋?所以.對于A：不成立；對于B：.成立；對于C：不成立；對于D：，故D不成立.故選：B2．已知是純虛數(shù)，其中是虛數(shù)單位，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算及純虛數(shù)的定義即可得出答案.【詳解】解：若為純虛數(shù)，則，解得.故選：C.3．經(jīng)過點(diǎn)，傾斜角為的直線方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)直線傾斜角和斜率關(guān)系可求得斜率，再利用直線的點(diǎn)斜式方程即可求得結(jié)果.【詳解】由傾斜角為可得，直線斜率為由直線的點(diǎn)斜式方程得直線方程為；即.故選：C.4．若拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為則（

）A． B．2 C．6 D．【答案】D【分析】用焦半徑公式解方程算出即可獲解.【詳解】因?yàn)閽佄锞€上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為4，所以，即，，所以故選：D.5．正四面體的棱長為1，點(diǎn)是該正四面體內(nèi)切球球面上的動點(diǎn)，當(dāng)取得最小值時，點(diǎn)到的距離為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)正四面體的體積可求出內(nèi)切球的半徑，取的中點(diǎn)為，，可得當(dāng)?shù)拈L度最小時，取得最小值，求出球心到點(diǎn)的距離，可得點(diǎn)到的距離為.【詳解】因?yàn)樗拿骟w是棱長為1的正四面體，所以其體積為.設(shè)正四面體內(nèi)切球的半徑為，則，得.如圖，取的中點(diǎn)為，則.顯然，當(dāng)?shù)拈L度最小時，取得最小值.設(shè)正四面體內(nèi)切球的球心為，可求得.因?yàn)榍蛐牡近c(diǎn)的距離，所以球上的點(diǎn)到點(diǎn)的最小距離為，即當(dāng)取得最小值時，點(diǎn)到的距離為.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查幾何體的內(nèi)切球問題，解題的關(guān)鍵是先根據(jù)正四面體的體積可求出內(nèi)切球的半徑，得出點(diǎn)到的距離為球心到點(diǎn)的距離減去半徑.6．已知數(shù)列是等比數(shù)列，數(shù)列是等差數(shù)列，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】結(jié)合等差中項(xiàng)和等比中項(xiàng)分別求出和，代值運(yùn)算化簡即可.【詳解】由是等比數(shù)列可得，是等差數(shù)列可得，所以，故選：A7．已知△ABC滿足2＝·＋·＋·，則△ABC是（）A．等邊三角形 B．銳角三角形C．直角三角形 D．鈍角三角形【答案】C【分析】由數(shù)量積的運(yùn)算律化簡后得出正確選項(xiàng)【詳解】由題意得，故∴，△ABC是直角三角形故選：C8．設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)（）的導(dǎo)函數(shù)，，當(dāng)時，，則使得成立的的取值范圍是A． B．C． D．【答案】A【詳解】構(gòu)造新函數(shù),，當(dāng)時.所以在上單減，又，即.所以可得,此時，又為奇函數(shù)，所以在上的解集為：.故選A.點(diǎn)睛：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，需要構(gòu)造函數(shù)，例如，想到構(gòu)造.一般：（1）條件含有，就構(gòu)造,（2）若，就構(gòu)造，（3），就構(gòu)造，（4）就構(gòu)造，等便于給出導(dǎo)數(shù)時聯(lián)想構(gòu)造函數(shù).二、多選題9．，關(guān)于的不等式恒成立的一個必要不充分條件是（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】由已知條件得出，求出實(shí)數(shù)的取值范圍，即可得出合適的選項(xiàng).【詳解】，關(guān)于的不等式恒成立，則，解得.故選：BD.10．已知函數(shù)，則（

）A．函數(shù)圖象的一條對稱軸方程為B．函數(shù)的最小正周期為C．是函數(shù)的一個零點(diǎn)D．函數(shù)在上單調(diào)遞增【答案】BC【分析】由正弦型函數(shù)的對稱性結(jié)論判斷A，由正弦型函數(shù)的周期性的結(jié)論判斷B，由函數(shù)的零點(diǎn)的定義判斷C，由正弦函數(shù)的單調(diào)性判斷D.【詳解】當(dāng)時，，所以直線不是函數(shù)圖象的對稱軸，A錯，由正弦型函數(shù)的周期公式可得函數(shù)的周期，B對，當(dāng)時，，所以是函數(shù)的一個零點(diǎn)，C對，由可得，因?yàn)楹瘮?shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，D錯，故選：BC.11．已知點(diǎn)，分別為圓：與圓：上的兩個動點(diǎn)，點(diǎn)為直線：上一點(diǎn)，則（

）A．的最大值為B．的最小值為C．的最小值為D．的最小值為【答案】AC【分析】根據(jù)題意，作出圖形，當(dāng)三點(diǎn)共線時最小，即；由知當(dāng)取到最大即時最大，結(jié)合兩點(diǎn)坐標(biāo)求距離公式計算即可.【詳解】由，得，所以圓心，半徑為；由，得，所以圓心，半徑為；設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線對稱的對稱點(diǎn)為，有，解得，即，連接，交直線于點(diǎn)，即當(dāng)三點(diǎn)共線時，最小，且，連接，此時最小，當(dāng)取到最大時，取到最大值，如圖，由圖可知，，所以的最大值為，故A正確，B錯誤；，故C正確，D錯誤.故選：AC12．對于正整數(shù)n，是小于或等于n的正整數(shù)中與n互質(zhì)的數(shù)的數(shù)目．函數(shù)以其首名研究者歐拉命名，稱為歐拉函數(shù)，又稱為函數(shù)，例如，（10與1，3，7，9均互質(zhì)）則（

）A． B．?dāng)?shù)列單調(diào)遞增C．若p為質(zhì)數(shù)，則數(shù)列為等比數(shù)列 D．?dāng)?shù)列的前4項(xiàng)和等于【答案】AC【分析】根據(jù)題意可知，12與1，5，7，11互質(zhì)，29與都互質(zhì)，所以A正確；由，可知B錯誤；若p為質(zhì)數(shù)，則小于等于的正整數(shù)中與互質(zhì)的數(shù)的數(shù)目為個，故，所以，即數(shù)列為等比數(shù)列，故C正確；根據(jù)選項(xiàng)C可知，數(shù)列的前4項(xiàng)和為，故D錯誤.【詳解】根據(jù)題意可知，12與1，5，7，11互質(zhì)，29與共28個數(shù)都互質(zhì)，即，所以A正確；由題目中，以及可知數(shù)列不是單調(diào)遞增的，B錯誤；若p為質(zhì)數(shù)，則小于等于的正整數(shù)中與互質(zhì)的數(shù)為，即每p個數(shù)當(dāng)中就有一個與不互質(zhì)，所以互質(zhì)的數(shù)的數(shù)目為個，故，所以為常數(shù)，即數(shù)列為等比數(shù)列，故C正確；根據(jù)選項(xiàng)C即可知，數(shù)列的前4項(xiàng)和為，故D錯誤.故選：AC【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要是理解函數(shù)的定義，難點(diǎn)是選項(xiàng)C的證明，主要是確定與互質(zhì)的數(shù)的個數(shù)；若p為質(zhì)數(shù)，在小于等于的正整數(shù)中每p個數(shù)當(dāng)中就有一個與不互質(zhì)，則不互質(zhì)的數(shù)目個數(shù)為個，所以互質(zhì)的數(shù)的數(shù)目為個，即可證明數(shù)列為等比數(shù)列，并可計算數(shù)列前n項(xiàng)和.三、填空題13．若函數(shù)是奇函數(shù)，則的值為__________．【答案】【分析】由奇函數(shù)的性質(zhì)有恒成立，列方程求參數(shù)值即可.【詳解】由，又為奇函數(shù)，，即，所以，顯然，故.故答案為：14．已知某正方體外接球的表面積為，則該正方體的棱長為______．【答案】1【分析】根據(jù)球的表面積公式，求得球的半徑，結(jié)合正方體的對角線長等于外接球的直徑，列出方程，即可求解.【詳解】設(shè)正方體的棱長為，外接球的半徑為，根據(jù)正方體的對角線長等于外接球的直徑，可得，由，可得，即，解得．故答案為：1．15．已知實(shí)數(shù)x，y滿足，若，則z的最小值是_____【答案】8【分析】先由基本不等式放縮，然后再用基本不等式得最小值．【詳解】因?yàn)?，所以，，?dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，此時．故答案為：8．四、雙空題16．已知函數(shù)，則的零點(diǎn)為___________，若，且，則的取值范圍是__________．【答案】

【分析】根據(jù)分段函數(shù)以及零點(diǎn)的定義，令即可解得函數(shù)的零點(diǎn)；由可知在1的左右兩側(cè)，分別代入計算得出的關(guān)系式，將消元之后構(gòu)造函數(shù)即可求得其取值范圍.【詳解】令，即，解得不合題意，舍去；或，解得，符合題意；所以，函數(shù)的零點(diǎn)為.由，且可知，當(dāng)時，,不合題意；當(dāng)時，，不合題意；所以，分別屬于兩個區(qū)間，不妨取，則，即；所以，則，令，所以令，得，當(dāng)時，，即函數(shù)在上為單調(diào)遞減；當(dāng)時，，即函數(shù)在上為單調(diào)遞增；所以函數(shù)在時取最小值，即，即所以的取值范圍是.故答案為：；【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題在求解的取值范圍時首先應(yīng)確定兩個變量的取值范圍，根據(jù)等量關(guān)系將雙變量問題消元，轉(zhuǎn)換成單變量問題后構(gòu)造函數(shù)，利用自變量取值范圍即可求得結(jié)果.五、解答題17．已知圓與軸相切，圓心在射線，且被直線截得的弦長為.(1)求圓的方程；(2)若點(diǎn)在圓上，求點(diǎn)到直線的距離的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意可設(shè)圓的方程為，利用幾何法建立弦長的關(guān)系，求出即可；（2）直線與圓相離，則到直線的距離的最小值為圓心到直線的距離減去半徑，即可求解【詳解】（1）因?yàn)閳A心在射線，則可設(shè)圓的圓心為，其中，因?yàn)閳A與軸相切，所以圓的半徑為，圓的方程為，設(shè)圓心到直線的距離為，則，由弦長的幾何關(guān)系得，解得，所以圓的方程為；（2）因?yàn)閳A心到的距離為，所以直線與圓相離，點(diǎn)到直線的距離的最小值為18．在①面積，②這兩個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面問題中，求.如圖，在平面四邊形中，，，______，，求.【答案】見解析【解析】選擇①：利用三角形面積公式和余弦定理可以求接求出的長；選擇②：在，中，分別運(yùn)用正弦定理，可以求接求出的長；【詳解】解：選擇①：所以；由余弦定理可得所以選擇②設(shè)，則，，在中，即所以在中，，即所以.所以，解得，又，所以，所以.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理、余弦定理、三角形面積公式，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.19．設(shè)是等比數(shù)列的前項(xiàng)和，，且、、成等差數(shù)列.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求使成立的的最大值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）求出等比數(shù)列的公比，然后利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得；（2）利用等比數(shù)列的求和公式以及已知條件可得出關(guān)于的不等式，解之即可得解.【詳解】（1）解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，由，故.（2）解：，則，整理得，當(dāng)為偶數(shù)時，，不合乎題意；當(dāng)為奇數(shù)時，則，可得，可得.因此，的最大值為.20．如圖，三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，，，分別是棱的中點(diǎn).(1)證明：平面平面；(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)見解析；(2)【分析】（1）根據(jù)已知條件，先證明平面，根據(jù)面面垂直的判定定理可得結(jié)論成立；（2）由題意建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)條件分別求得平面和平面的法向量，計算兩個法向量的夾角的余弦值可得二面角的余弦值．【詳解】（1）證明：由三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，可得，平面，平面且，所以平面，又平面，則,因?yàn)椋抢獾闹悬c(diǎn)，所以，平面，平面且，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）由三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，故，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，得，由（1）知平面的一個法向量為，所以，由圖可知二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.21．設(shè)函數(shù)f（x）＝lnx＋，k∈R．（1）若曲線y＝f（x）在點(diǎn)(e，f（e）)處的切線與直線x－2＝0垂直，求f（x）的單調(diào)性和極小值(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))；（2）若對任意的x1>x2>0，f(x1)－f(x2)<x1－x2恒成立，求k的取值范圍．【答案】（1）在(0，e)上單調(diào)遞減，在(e，＋∞)上單調(diào)遞增，極小值為2；（2）．【分析】（1）求導(dǎo)后，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及兩直線垂直關(guān)系可得k＝e，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)性和極值；（2）轉(zhuǎn)化為h（x）＝f（x）－x＝lnx＋－x(x>0)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，接著轉(zhuǎn)化為≤0在(0，＋∞)上恒成立，即，k≥－x2＋x＝恒成立，利用二次函數(shù)求出最大值可得答案.【詳解】（1）由題意，得，∵曲線y＝f（x）在點(diǎn)(e，f（e）)處的切線與直線x－2＝0垂直，∴，即，解得k＝e，∴，由<0，得0<x<e；由>0，得x>e，∴f（x）在(0，e)上單調(diào)遞減，在(e，＋∞)上單調(diào)遞增．當(dāng)x＝e時，f（x）取得極小值，且f（e）＝lne＋＝2．∴f（x）的極小值為2．（2）由題意知，對任意的x1>x2>0，f(x1)－x1<f(x2)－x2恒成立，設(shè)h（x）＝f（x）－x＝lnx＋－x(x>0)，則h（x）在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，∴≤0在(0，＋∞)上恒成立，即當(dāng)x>0時，k≥－x2＋x＝恒成立，∴k≥．故k的取值范圍是．【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查了減函數(shù)的定義，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，考查了利用導(dǎo)數(shù)處理不等式恒成立，屬于中檔題.22．已知拋物線，點(diǎn)為其焦點(diǎn)，為上的動點(diǎn)，為在動直線上的投影.當(dāng)為等邊三角形時，其面積為.(1)求拋物線的方程；(2)過軸上一動點(diǎn)作互相垂直的兩條直線，與拋物線分別相交于點(diǎn)A，B和C，D，點(diǎn)H，K分別為，的中點(diǎn)，求面積的最小值.【答案】(1)；(2)16.【分析】（1）根據(jù)給定條件求出，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，結(jié)合拋物線定義列式計算作答.（2）設(shè)出直線AB、CD的方程，求出點(diǎn)H坐標(biāo)，進(jìn)而求出，由面積建立函數(shù)關(guān)系，借助均值不等式求解作