2021-2022學(xué)年陜西省漢中市高二年級上冊學(xué)期期末校際聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題【含答案】

2021-2022學(xué)年陜西省漢中市高二上學(xué)期期末校際聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1．設(shè)集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)集合交集的概念及運(yùn)算，即可求解.【詳解】由題意，集合，，根據(jù)集合交集的概念及運(yùn)算，可得.故選：C.2．命題“，”的否定是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】根據(jù)存在量詞命題的否定是全稱量詞命題可得答案.【詳解】命題“，”的否定是：對，.故選：B3．如果，且，那么下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，結(jié)合特殊值，即可得出.【詳解】對于A項，因為，所以，所以，故A項錯誤；對于B項，因為，所以，所以，故B項正確；對于C項，因為，若，則，故C項錯誤；對于D項，取，，則滿足，但，故D項錯誤.故選：B.4．已知是雙曲線右支上的一點(diǎn)，的左?右焦點(diǎn)分別為，且，的實(shí)軸長為，則（

）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】B【分析】根據(jù)雙曲線的定義可求.【詳解】因為在雙曲線的右支上，所以又因為所以.故選：B.5．如圖，在長方體中，設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)向量線性運(yùn)算直接求解即可.【詳解】.故選：D.6．已知平面的一個法向量為，平面的一個法向量為，則平面和平面的位置關(guān)系是（

）A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．重合【答案】B【分析】利用數(shù)量積運(yùn)算可證得法向量互相垂直，由此可得結(jié)論.【詳解】將平面的法向量記為，平面的法向量記為，，，則.故選：B.7．設(shè)，則“”是“直線與平行”的（

）A．充分但不必要條件 B．必要但不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要的條件【答案】C【分析】由直線與平行，可得且，解出即可判斷出．【詳解】解：直線與平行，則且，解得，因此“”是“直線與”平行的充要條件.故選：C.8．下列函數(shù)中，最小值是2的是A． B．C． D．【答案】C【分析】結(jié)合基本不等式以及各個選項的定義域，即可求出的取值范圍.【詳解】解：A：當(dāng)時，，最小值不是2，故A錯誤；B：當(dāng)時，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，故當(dāng)時，，B錯誤；C：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，C正確；D：因為，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，由得，D錯誤.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了基本不等式.在用基本不等式求最值時，注意一正二定三相等.9．已知命題：若直線的方向向量與平面的法向量垂直，則；命題：等軸雙曲線的離心率為，則下列命題是真命題的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先判斷出p、q的真假，再分別判斷四個選項的真假.【詳解】因為“若直線的方向向量與平面的法向量垂直，則或”，所以p為假命題；對于等軸雙曲線，，所以離心率為，所以q為真命題.所以為假命題，故A錯誤；為假命題，故B錯誤；為假命題，故C錯誤；為真命題，故D正確.故選：D10．如圖，拋物線形拱橋的頂點(diǎn)距水面2米時，測得拱橋內(nèi)水面寬為12米，當(dāng)水面升高1米后，拱橋內(nèi)水面寬度是A．6米 B．6米 C．3米 D．3米【答案】A【分析】建立直角坐標(biāo)系，求拋物線方程，再求結(jié)果.【詳解】一拋物線頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，平行水面的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，如圖，可設(shè)拋物線方程為，因為過點(diǎn)，所以，令，則，選A.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程，考查基本分析判斷能力，屬基礎(chǔ)題.11．函數(shù)有兩個不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C．或 D．或【答案】D【分析】令，根據(jù)圖象交點(diǎn)有兩個即可求解參數(shù)．【詳解】由得令，如圖所示：當(dāng)時，即，有兩個根；當(dāng)時，即，有兩個根；所以或時，函數(shù)有兩個不同的零點(diǎn)．故選：D12．將正方形沿對角線折成直二面角，得到如圖所示的三棱錐，其中為的中點(diǎn)，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A．平面B．平面與平面所成角的余弦值為C．與所成的角為D．與所成的角為【答案】D【分析】根據(jù)題意，利用線面垂直的判定定理可以證明A正確；由于平面，可得C正確；建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出三棱錐的棱長，求出平面與平面的法向量，計算可得B正確；求出與的方向向量，通過其方向向量計算異面直線所成的角,得D錯誤.【詳解】因為折疊前為正方形，由題意則折疊后有，，又平面，平面，，所以平面，故A正確；又平面，所以，與所成的角為，故C正確；因為二面角為直二面角，而平面，所以為二面角的平面角，即，如圖所示，以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，設(shè)平面的法向量為，則令，則可得，取平面的法向量為，平面與平面所成角的余弦值為，故B正確；設(shè)與所成的角為，則，又因為，所以，故D錯誤.故選：D.二、填空題13．已知直線的方向向量為，平面的法向量為，若，則實(shí)數(shù)的值為_________.【答案】【分析】由，得出與平行，利用向量的共線關(guān)系求解即可【詳解】由題意得，，所以與平行，則存在實(shí)數(shù)使得，即，可得，所以，，，答案為：【點(diǎn)睛】本題考查空間向量的共線問題，屬于基礎(chǔ)題14．若橢圓的離心率為，短半軸長為，則該橢圓的長半軸長為______．【答案】【分析】根據(jù)離心率、短半軸長和橢圓關(guān)系，可構(gòu)造方程組求得的值.【詳解】由題意知：，解得：，，即橢圓的長半軸長為.故答案為：.15．用半徑為4的半圓形鐵皮卷成一個圓錐的側(cè)面，則此圓錐的體積為_______.【答案】【分析】由半圓弧長可求得圓錐的底面半徑，從而得到圓錐的高，代入圓錐體積公式求得結(jié)果.【詳解】半圓的弧長為：

即圓錐的底面半徑為：圓錐的高為：圓錐的體積為：本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查圓錐側(cè)面積、體積的相關(guān)問題的求解，屬于基礎(chǔ)題.16．設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，以線段（為坐標(biāo)原點(diǎn)）為直徑的圓交雙曲線的一條漸近線于兩點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率為__________．【答案】【分析】根據(jù)題意可得，再結(jié)合漸近線的斜率與離心率的關(guān)系列式求解即可.【詳解】因為以線段（為坐標(biāo)原點(diǎn)）為直徑的圓交雙曲線的一條漸近線于兩點(diǎn)，故.又根據(jù)漸近線的斜率可得，故離心率.故答案為：三、解答題17．已知等比數(shù)列中，，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)條件求出即可；（2），然后利用等差數(shù)列的求和公式求出答案即可.【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，有，解得故數(shù)列的通項公式為；（2），故數(shù)列的前項和18．的內(nèi)角的對邊分別為，已知．(1)求角的大小；(2)若，，求的面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理邊化角，結(jié)合兩角和差公式可化簡求得，進(jìn)而得到；（2）利用余弦定理可求得，代入三角形面積公式即可.【詳解】（1）由正弦定理得：，即，，，，又，.（2）由余弦定理得：，解得：，，.19．面對當(dāng)前嚴(yán)峻復(fù)雜的疫情防控形勢，為更好教育引導(dǎo)群眾理性對待疫情、科學(xué)防控疫情，陜西新華出版?zhèn)髅郊瘓F(tuán)迅速推出《版新型冠狀病毒肺炎防護(hù)知識讀本》、《新冠肺炎防控與心理干預(yù)問》種抗疫電子出版物．為了解某市市民對這兩種抗疫電子出版物的理解情況，從該市歲歲的人群中隨機(jī)抽取了人進(jìn)行調(diào)查，并將這人按年齡分組，得到的頻率分布直方圖如圖所示．(1)求圖中的值；(2)將頻率視為概率，現(xiàn)從該市年齡在，這兩個年齡段的人群中利用分層抽樣的方法抽取人，再從這人中隨機(jī)抽取人參加座談，求這人來自不同年齡段的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)頻率和為可構(gòu)造方程求得結(jié)果；（2）根據(jù)分層抽樣原則可知年齡在和兩組中分別抽取的人數(shù)，采用列舉法可得所有基本事件和滿足題意的基本事件個數(shù)，由古典概型概率公式可求得結(jié)果.【詳解】（1）由頻率分布直方圖可知：，解得：．（2）∵，的頻率之比為，∴應(yīng)從年齡在中抽取人，記為，從年齡在中抽取人，記為，從人中隨機(jī)抽取人，所有可能的情況有：，，，，，，，，，，共種；其中人在不同年齡段的情況有：，，，，，，共種；∴這人來自不同年齡段的概率．20．已知拋物線：.（1）若直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，求拋物線的準(zhǔn)線方程；（2）若斜率為-1的直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，且與拋物線交于，兩點(diǎn)，當(dāng)時，求拋物線的方程.【答案】(1).(2).【分析】（1）由拋物線的焦點(diǎn)的位置，可以判斷出直線與橫軸的交點(diǎn)坐標(biāo)就是拋物線的焦點(diǎn)，這樣可能直接寫出拋物線的準(zhǔn)線方程；（2）寫出斜率為-1經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)的直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立，根據(jù)拋物線的定義和根與系數(shù)的關(guān)系可以求出，結(jié)合已知，求出的值，寫出拋物線的方程.【詳解】(1)∵直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，∴拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，∴拋物線的準(zhǔn)線方程為.（2）設(shè)過拋物線的焦點(diǎn)且斜率為-1的直線方程為，且直線與交于，，由化簡得，∴.∵，解得，∴拋物線的方程為.【點(diǎn)睛】本題考查了已知拋物線過定點(diǎn)，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及運(yùn)用拋物線的定義求其標(biāo)準(zhǔn)方程的問題.21．在三棱柱中，側(cè)棱底面，，，分別是的中點(diǎn)．請用空間向量知識解答下列問題：(1)求證：平面；(2)求直線與平面夾角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)可建立空間直角坐標(biāo)系，由向量坐標(biāo)運(yùn)算可得，知，根據(jù)線面平行的判定可得結(jié)論；（2）利用線面角的向量求法可直接求得結(jié)果.【詳解】（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向為軸，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，，，又平面，平面，平面.（2）由（1）知：，，，設(shè)平面的法向量，則，令，解得：，，，，即直線與平面夾角的正弦值為.22．已知分別是橢圓的左、