2021-2022學(xué)年上海市崇明區(qū)高二年級上冊學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【含答案】

2021-2022學(xué)年上海市崇明區(qū)高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、填空題1．已知球的半徑等于1，則該球的體積等于______.【答案】##【分析】由球體體積公式直接求解.【詳解】由球的體積公式.故答案為：2．計(jì)算：______（i為虛數(shù)單位）.【答案】##【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)四則運(yùn)算即可得出結(jié)果【詳解】由題意得.故答案為：3．某藥物公司實(shí)驗(yàn)一種降低膽固醇的新藥，在500個病人中進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，結(jié)果如下表所示.膽固醇降低的人數(shù)沒有起作用的人數(shù)膽固醇升高的人數(shù)30712073則使用藥物后膽固醇降低的經(jīng)驗(yàn)概率等于______.【答案】##0.614【分析】根據(jù)經(jīng)驗(yàn)概率的定義可求出結(jié)果.【詳解】依題意使用藥物后膽固醇降低的人數(shù)為，又試驗(yàn)總次數(shù)為，所以使用藥物后膽固醇降低的經(jīng)驗(yàn)概率等于.故答案為：4．已知復(fù)數(shù)，則z的共軛復(fù)數(shù)______.【答案】##【分析】利用向量的摸公式及共軛復(fù)數(shù)的概念即可求解.【詳解】，所以.故答案為：.5．已知點(diǎn)和點(diǎn)，若向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是，則點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)______.【答案】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義計(jì)算即可.【詳解】由題知，,所以，所以點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù).故答案為：.6．已知向量，分別是直線和平面的方向向量和法向量，若，則與所成角的大小是______.【答案】##【分析】若直線與平面所成角為，則直線方向向量與平面法向量的夾角為或，由此計(jì)算即可.【詳解】設(shè)直線與平面所成角為（），則直線的方向向量與平面的法向量的夾角為或，由題意，∵且，∴，∴，∴與所成角的大小是.故答案為：.7．已知矩形中，，，以為旋轉(zhuǎn)軸，將矩形旋轉(zhuǎn)一周所形成的空間封閉幾何體的表面積等于______.【答案】【分析】由旋轉(zhuǎn)體定義可知所得幾何體為圓柱，根據(jù)圓柱表面積求法可求得結(jié)果.【詳解】由旋轉(zhuǎn)體定義可知：所形成的空間封閉幾何體為底面半徑，母線長的圓柱，該幾何體的表面積.故答案為：.8．同時投擲兩顆均勻的骰子，所得點(diǎn)數(shù)相等的概率為______．【答案】【分析】應(yīng)用列表法求點(diǎn)數(shù)相等的概率即可.【詳解】同時投擲兩顆均勻的骰子，所得點(diǎn)數(shù)組合如下表：1234561(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)(5,1)(6,1)2(1,2)(2,2)(3,2)(4,2)(5,2)(6,2)3(1,3)(2,3)(3,3)(4,3)(5,3)(6,3)4(1,4)(2,4)(3,4)(4,4)(5,4)(6,4)5(1,5)(2,5)(3,5)(4,5)(5,5)(6,5)6(1,6)(2,6)(3,6)(4,6)(5,6)(6,6)由上表知：所有可能組合有36種，其中點(diǎn)數(shù)相等有6種，所以所得點(diǎn)數(shù)相等的概率為.故答案為：9．盒子中有散落的黑白棋子若干粒，已知從中取出粒都是黑子的概率是，從中取出粒都是白子的概率是，則從中任意取出粒恰好是一粒黑子一粒白子的概率是______.【答案】【分析】任意取出粒棋子，一共有粒都是黑子、粒都是白子和一粒黑子一粒白子種可能，其概率之和為，由此求解即可.【詳解】由題意，任意取出粒棋子，不考慮先后順序，一共有粒都是黑子、粒都是白子和一粒黑子一粒白子種可能，設(shè)事件：取出粒都是黑子，事件：取出粒都是白子，事件：取出粒恰好是一粒黑子一粒白子，則，，兩兩互斥，由已知有，，∵，∴，∴從中任意取出粒恰好是一粒黑子一粒白子的概率是.故答案為：.10．已知四面體中，，，分別為，的中點(diǎn)，且異面直線與所成的角為，則____.【答案】1或【分析】取BD中點(diǎn)O，連結(jié)EO、FO，推導(dǎo)出EO＝FO＝1，，或，由此能求出EF．【詳解】取BD中點(diǎn)O，連結(jié)EO、FO，∵四面體ABCD中，AB＝CD＝2，E、F分別為BC、AD的中點(diǎn)，且異面直線AB與CD所成的角為，∴EO∥CD，且EO，F(xiàn)O∥AB，且FO1，∴∠EOF是異面直線AB與CD所成的角或其補(bǔ)角，∴，或，當(dāng)∠EOF時，△EOF是等邊三角形，∴EF＝1．當(dāng)時，EF．故答案為1或．【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成角的應(yīng)用，注意做平行線找到角是關(guān)鍵，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)，是易錯題11．如圖，已知圓錐的頂點(diǎn)為P，底面圓心為O，A，B是底面圓周上兩點(diǎn)，，，，C為線段PB的中點(diǎn).一只螞蟻沿著圓錐表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)C經(jīng)過的最短距離是______.【答案】【分析】將圓錐的側(cè)面沿母線展開成扇形，判斷出最短距離是線段，利用余弦定理解三角形即可求解.【詳解】將圓錐的側(cè)面沿母線展開成扇形，如圖示：所以一只螞蟻沿著圓錐表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)C經(jīng)過的最短距離是線段.則弧長為，所以，因?yàn)椋?，所以在扇形中，，又C為線段PB的中點(diǎn)，.所以在中，,,,由余弦定理得：，所以一只螞蟻沿著圓錐表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)C經(jīng)過的最短距離是.故答案為：12．有兩個相同的直三棱柱，高為，底面三角形的三邊長分別為（）．用它們拼成一個三棱柱或四棱柱，在所有可能的情況中，全面積最小的是一個四棱柱，則的取值范圍是_______．【答案】【分析】由題意拼成一個三棱柱,分3種情況求出表面積；拼成一個四棱柱,3種情況分別求出表面積,然后求出a的范圍.【詳解】①拼成一個三棱柱時,有三種情況：將上下底面對接,其全面積為：；3a邊可以合在一起時,；4a邊合在一起時，.②拼成一個四棱柱,有三種情況：就是分別讓邊長為3a,4a,5a所在的側(cè)面重合,其上下底面積之和都是，但側(cè)面積分別為:,,，顯然，三個是四棱柱中全面積最小的值為：.由題意得：，解得：.故答案為：【點(diǎn)睛】（1）求解以由多個幾何體構(gòu)成組合體的體積的關(guān)鍵是確定組合體的形狀以及組合體圖中線面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，利用相應(yīng)體積公式求解；（2）若所給幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用等積法、分割法、補(bǔ)形法等方法進(jìn)行求解．二、單選題13．若是關(guān)于的實(shí)系數(shù)方程的一個復(fù)數(shù)根，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】把代入方程，整理后由復(fù)數(shù)相等的定義列方程組求解.【詳解】由題意1i是關(guān)于的實(shí)系數(shù)方程∴，即∴，解得.故選：D．14．將一枚質(zhì)地均勻的硬幣連續(xù)拋擲100次，第99次拋擲出現(xiàn)反面的概率是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)隨機(jī)事件每次發(fā)生的概率是相等的，即可得出第99次拋擲出現(xiàn)反面的概率.【詳解】將一枚質(zhì)地均勻的硬幣拋擲一次，出現(xiàn)正面，還是反面，是隨機(jī)事件，且是等可能的，∴無論拋多少次，每一次拋擲出現(xiàn)反面的概率都為.∴第99次拋擲出現(xiàn)反面的概率是.故選：D.15．在棱長為的正方體中，P為左側(cè)面上一點(diǎn)，已知點(diǎn)P到的距離為，P到的距離為，則過點(diǎn)P且與平行的直線相交的面是（

）A．ABCD B． C． D．【答案】A【分析】由圖可知點(diǎn)在內(nèi)，過作，且，，在平面中，過作，，由平面與平面平行的判定可得平面平面；連接，交，連接，再由平面與平面平行的性質(zhì)得，在中，過作，且，可得，由此說明過點(diǎn)且與平行的直線相交的面是平面.【詳解】如圖，由點(diǎn)到的距離為，到的距離為2，可得在內(nèi)，過作，且，，又平面，平面，所以平面；在平面中，過作，，又平面，平面，所以平面；因?yàn)?，、平面，則平面平面．連接，交于，連接，則由平面平面，平面平面，平面平面，則，在中，過作，且，則．∵線段在四邊形內(nèi)，在線段上，∴在四邊形內(nèi)．所以過點(diǎn)P且與平行的直線相交的面是平面．故選：A．16．已知正四棱柱中，底面邊長，，是長方體表面上一點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】取中點(diǎn)，將所求數(shù)量積轉(zhuǎn)化為，根據(jù)的取值范圍可求得結(jié)果.【詳解】取中點(diǎn)，則，當(dāng)為側(cè)面中點(diǎn)時，；的最大值為體對角線的一半，又，，即的取值范圍為.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查立體幾何中的向量數(shù)量積問題的求解，解題關(guān)鍵是通過轉(zhuǎn)化法將問題轉(zhuǎn)化為向量模長最值的求解問題，進(jìn)而通過確定向量模長的最值來確定數(shù)量積的取值范圍.三、解答題17．求實(shí)數(shù)m的值或取值范圍，使得復(fù)數(shù)分別滿足：(1)z是實(shí)數(shù)；(2)z是純虛數(shù)；(3)z是復(fù)平面中對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)的概念列式可求出結(jié)果；（2）根據(jù)復(fù)數(shù)的概念列式可求出結(jié)果；（3）根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可求出結(jié)果.【詳解】（1）由題意得，所以；（2）由題意得，所以；（3）由題意得，所以.18．在直三棱柱中，，.(1)求四棱錐的體積V；(2)求直線與平面所成角的大?。?3)求異面直線與所成角的大小.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)線面垂直的判定與性質(zhì)可得平面，進(jìn)而根據(jù)錐體體積公式求解即可；（2）根據(jù)線面角的性質(zhì)可得即為直線與平面所成的角，再在直角三角形中求出即可；（3）根據(jù)線線角的定義可得就是異面直線與所成的角（或其補(bǔ)角），再根據(jù)余弦定理求解即可.【詳解】（1）因?yàn)槭侵崩庵云矫?，又平面，得，又因?yàn)?，，且平面，所以平?所以三棱錐的體積，得.（2）因?yàn)?，所以?/p>

因?yàn)槭侵崩庵云矫?，又平面，進(jìn)而，所以平面，

所以即為直線與平面所成的角.

在中，，，所以，所以直線與平面所成角的大小是.（3）因?yàn)?，所以就是異面直線與所成的角（或其補(bǔ)角）在中，，，，所以所以異面直線與所成的角大小是.19．命中環(huán)數(shù)10987概

率0.320.280.180.12求：(1)該選手射擊一次，命中不足9環(huán)的概率；(2)該選手射擊兩次（兩次結(jié)果互不影響），一次命中10環(huán)，一次命中8環(huán)的概率；(3)該選手射擊兩次（兩次結(jié)果互不影響），兩次命中之和不低于18環(huán)的概率.【答案】(1)(2)(3)【分析】(1)用表示該選手射擊一次命中環(huán)數(shù)為的概率，利用計(jì)算即可；(2)分“第一次命中10環(huán)，第二次命中8環(huán)”，或者“第一次命中8環(huán)，第二次命中10環(huán)”，再根據(jù)互斥事件的概率計(jì)算公式計(jì)算即可；(3)要使兩次命中之和不低于18環(huán)，則包含兩次命中的環(huán)數(shù)為：10，10；10，9；9，10；9，9；10，8；8，10共6種情況，再根據(jù)互斥事件的概率公式計(jì)算即可.【詳解】（1）解：用表示該選手射擊一次命中環(huán)數(shù)為的概率（）則該選手射擊一次，命中不足9環(huán)的概率為:;（2）解：該選手射擊兩次（兩次結(jié)果互不影響），一次命中10環(huán)，一次命中8環(huán)，分為兩種情形：“第一次命中10環(huán)，第二次命中8環(huán)”，或者“第一次命中8環(huán)，第二次命中10環(huán)”，將上述事件分別記作事件A和事件B，則A、B互斥，又事件A中“第一次命中10環(huán)”與“第二次命中8環(huán)”相互獨(dú)立，所以，同理.所以該選手射擊兩次（兩次結(jié)果互不影響），一次命中10環(huán)，一次命中8環(huán)的概率是；（3）解：該選手射擊兩次（兩次結(jié)果互不影響），兩次命中之和不低于18環(huán)的概率.20．如圖，在棱長為2的正方體中，點(diǎn)E是棱AB上的動點(diǎn).(1)求證：；(2)點(diǎn)F、G分別是BC、CD的中點(diǎn)，求二面角的大小.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】(1)建立空間坐標(biāo)系，利用向量垂直的定義即可判斷；(2)先分別求出兩個面的法向量，求出向量角大小，觀察圖像，得出空間角與向量角的關(guān)系.【詳解】（1）如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以射線、、分別為軸、軸、軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系.則，，，設(shè)，則，∴，.

∴，∴（2）易得,,，，設(shè)平面的法向量為，∴，即取，解得，從而平面的一個法向量為.平面的一個法向量為，從而.經(jīng)觀察，二面角為鈍角，所以二面角的大小是.21．如圖，已知是正三角形，直角梯形ACDE所在平面垂直于平面ABC，且，，，，F(xiàn)是BE的中點(diǎn).(1)求證：平面ABC；(2)求證：平面平面BDE.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析