2021-2022學(xué)年上海市復(fù)興高一年級(jí)上冊(cè)學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題【含答案】

2021-2022學(xué)年上海市復(fù)興高級(jí)中學(xué)高一上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題一、填空題1．集合且，且，則____．【答案】【分析】根據(jù)題意先求出集合的具體取值，然后利用交集的定義即可求解.【詳解】因?yàn)榧锨遥?，則，且且，所以，則有，故答案為：.2．已知集合，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)___．【答案】【分析】數(shù)形結(jié)合，即可得到答案.【詳解】根據(jù)，結(jié)合數(shù)軸可知，在的左側(cè)或與之重合，故.故答案為：.3．已知方程的兩根為，，則______.【答案】【分析】由方程易知，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系寫(xiě)出、，由即可求值.【詳解】由題設(shè)知：，∴，，∴.故答案為：.4．已知正實(shí)數(shù)滿足及，則中至少有一個(gè)小于1，用反證法證明該命題時(shí)，第一步是假設(shè)結(jié)論不成立，則____．【答案】都不小于1【分析】存在量詞命題的否定為全稱量詞命題，寫(xiě)出答案即可.【詳解】至少有一個(gè)小于1的否定是都不小于1.故答案為：都不小于15．已知條件，，且p是q的必要條件，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為_(kāi)________．【答案】【分析】根據(jù)集合的包含關(guān)系得到關(guān)于的不等式組解出即可．【詳解】∴，∴，解得，故答案為：．【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：一般可根據(jù)如下規(guī)則判斷：（1）若是的必要不充分條件，則對(duì)應(yīng)集合是對(duì)應(yīng)集合的真子集；（2）是的充分不必要條件，則對(duì)應(yīng)集合是對(duì)應(yīng)集合的真子集；（3）是的充分必要條件，則對(duì)應(yīng)集合與對(duì)應(yīng)集合相等；（4）是的既不充分又不必要條件，對(duì)的集合與對(duì)應(yīng)集合互不包含．6．已知等式恒成立，其中為實(shí)數(shù)，則_____．【答案】【分析】方法一：將等式左邊展開(kāi)，比較系數(shù)可得答案；方法二：令可得答案.【詳解】法一：，所以；法二：在中，令得.故答案為：7．已知集合，，則____．【答案】【分析】解分式不等式得到，得到，進(jìn)而求出交集.【詳解】等價(jià)與，解得：或，故或，又，故，所以．故答案為：.8．已知若關(guān)于的方程有實(shí)根，則的取值范圍是______________．【答案】【詳解】本題考查二次方程有關(guān)知識(shí)與絕對(duì)值不等式知識(shí)的綜合應(yīng)用；由于關(guān)于的二次方程有實(shí)根，那么即，而，從而，解得．9．若不等式的解集中的整數(shù)有且僅有1，2，3，則的取值范圍是_____【答案】【詳解】由得由整數(shù)有且僅有1，2，3知，解得10．定義集合運(yùn)算，集合，則集合所有元素之和為_(kāi)_______【答案】18【分析】由題意可得，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)和為故答案為：1811．已知集合有整數(shù)解，非空集合滿足條件：（1），（2）若，則，則所有這樣的集合的個(gè)數(shù)為_(kāi)___．【答案】【分析】根據(jù)集合有整數(shù)解，結(jié)合韋達(dá)定理可求出集合，再由題目信息中集合滿足的兩個(gè)條件，得到集合中互為相反數(shù)的兩個(gè)元素同屬于集合或同不屬于集合，即可求解.【詳解】因?yàn)榈恼麛?shù)解只能是36的約數(shù)，當(dāng)方程的解為，36時(shí)，；當(dāng)方程的解為，18時(shí)，；當(dāng)方程的解為，12時(shí)，；當(dāng)方程的解為，9時(shí)，；當(dāng)方程的解為，6時(shí)，；當(dāng)方程的解為1，時(shí)，；當(dāng)方程的解為2，時(shí)，；當(dāng)方程的解為，時(shí)，；當(dāng)方程的解為，時(shí)，；故集合由非空集合滿足條件：（1），（2）若，則，即集合中互為相反數(shù)的兩個(gè)元素同屬于集合或同不屬于集合，得這樣的集合共有個(gè)，故答案為：.12．已知集合，其中，，且．若正整數(shù)m、n∈A，且m+n=2010(m>n)，則符合條件的正整數(shù)m有_______個(gè)．【答案】662【詳解】依題意，知m、n是七進(jìn)制中的四位數(shù)，而七進(jìn)制四位數(shù)中最大的一個(gè)數(shù)為，最小的一個(gè)數(shù)為.因?yàn)閙+n=2010(m>n)，所以，1006≤m≤1667.故符合條件的正整數(shù)m有1667-1006+1=662(個(gè)).二、單選題13．若集合中的元素是△ABC的三邊長(zhǎng)，則△ABC一定不是（

）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形【答案】D【分析】根據(jù)集合元素的互異性即可判斷.【詳解】由題可知，集合中的元素是的三邊長(zhǎng)，則，所以一定不是等腰三角形．故選：D．14．設(shè)集合，在上定義運(yùn)算，其中為被4除的余數(shù)（其中，則滿足關(guān)系式的的個(gè)數(shù)為（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【分析】根據(jù)題目信息，在集合中取值驗(yàn)證即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，則滿足關(guān)系式的的個(gè)數(shù)為2個(gè)，故選：C．15．已知，則滿足關(guān)于的方程的充要條件是A． B．C． D．【答案】C【詳解】試題分析：滿足關(guān)于的方程，則，則處取得函數(shù)最小值，函數(shù)為二次函數(shù)，，所以滿足關(guān)于的方程的充要條件是【解析】充分條件與必要條件點(diǎn)評(píng)：若則是的充分條件，是的必要條件16．若關(guān)于的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．【答案】B【分析】分類討論去絕對(duì)值求解.【詳解】（1）當(dāng)或時(shí)，，不等式為，若不等式恒成立，必需所以；（2）當(dāng)時(shí)，，不等式為即，（ⅰ）當(dāng)時(shí)，不等式對(duì)任意恒成立，（ⅱ）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立即恒成立，所以，解得，（ⅲ）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立即恒成立，所以，解得綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值不等式，含參數(shù)的二次不等式恒成立.含參數(shù)的二次不等式恒成立通常有兩種方法：1、根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為不等式組；2、分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值.三、解答題17．已知不等式：①，②，③．(1)分別求出不等式①與②的解集；(2)若同時(shí)滿足①②的值也滿足③，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)，或(2)【分析】（1）解一元二次不等式和高次不等式即可求解；（2）根據(jù)不等式的解集包含，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】（1）由①得，即，故解集為，由②得，即，解得解集或，（2）或，由題意得不等式的解集包含，令，只需，解得．18．在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下列橫線中，求解下列問(wèn)題．設(shè)集合__________，集合．（1）若集合B的子集有2個(gè)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】答案見(jiàn)解析【分析】（1）依題意集合B元素個(gè)數(shù)為1，則，計(jì)算可得；（2）分別求出集合，再由，則，即可得到不等式組，解得即可；【詳解】解：（1）∵集合B的子集有2個(gè)，∴集合B元素個(gè)數(shù)為1∴解得：（2）選①集合集合∵∴顯然有要滿足條件，必有：，解，即，所以解得或；解，即，所以解得或；綜上可得選②，集合∵∴要滿足條件，必有：解得；選③解得集合∵∴要滿足條件，必有：解得；19．選修4-5不等式選講設(shè)均為正數(shù)，且，證明：（Ⅰ）若，則；（Ⅱ）是的充要條件．【答案】（Ⅰ）詳見(jiàn)解析；（Ⅱ）詳見(jiàn)解析．【詳解】（Ⅰ）因?yàn)椋?，由題設(shè)，，得．因此．（Ⅱ）（?。┤?，則．即．因?yàn)?，所以，由（Ⅰ）得．（ⅱ）若，則，即．因?yàn)?，所以，于是．因此，綜上，是的充要條件．【解析】推理證明．20．已知關(guān)于的不等式的解集為；(1)若,求的取值范圍；(2)若存在兩個(gè)不相等負(fù)實(shí)數(shù)，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)是否存在實(shí)數(shù)，滿足：“對(duì)于任意，都有；對(duì)于任意的，都有”，若存在，求出的值，若不存在，說(shuō)明理由．【答案】(1)；(2)；(3)存在，3【分析】（1）討論二次項(xiàng)系數(shù)和不為0時(shí)，求出原不等式的解集為R時(shí)k的取值范圍；（2）若存在兩個(gè)不相等負(fù)實(shí)數(shù)，使得，即和是方程的兩根，由判別式及韋達(dá)定理求解即可；（3）根據(jù)題意得出解集，討論的取值，求出原不等式的解集，判斷是否滿足條件即可．【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，解得或，當(dāng)時(shí)，不等式化為1＞0，∴時(shí)，解集為R，當(dāng)時(shí)，不等式化為，對(duì)任意實(shí)數(shù)x不等式不成立，當(dāng)時(shí)，，解得：,綜上，的取值范圍是；（2）解：若存在兩個(gè)不相等負(fù)實(shí)數(shù)，使得，所以方程的兩根分別為和,所以，解得：；（3）解：根據(jù)題意，得出解集，；當(dāng)時(shí)，解得或，時(shí)，不等式的解集為，滿足條件；時(shí)，1＞0恒成立，不滿足條件；當(dāng)時(shí)，此時(shí)對(duì)應(yīng)的一元二次不等式的解集形式不是的形式，不滿足條件；當(dāng)時(shí)，此時(shí)對(duì)應(yīng)的一元二次不等式的解集形式不是的形式，不滿足條件；綜上，滿足條件的值為3.21．已知集合，其中，由中的元素構(gòu)成兩個(gè)相應(yīng)的集合：，．其中是有序數(shù)對(duì)，集合和中的元素個(gè)數(shù)分別為和．若對(duì)于任意的，總有，則稱集合具有性質(zhì)．（Ⅰ）檢驗(yàn)集合與是否具有性質(zhì)并對(duì)其中具有性質(zhì)的集合，寫(xiě)出相應(yīng)的集合和．（Ⅱ）對(duì)任何具有性質(zhì)的集合，證明．（Ⅲ）判斷和的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【答案】（Ⅰ）集合不具有性質(zhì)，集合具有性質(zhì)，相應(yīng)集合，，集合，（Ⅱ）見(jiàn)解析（Ⅲ）【詳解】解：集合不具有性質(zhì)．集合具有性質(zhì)，其相應(yīng)的集合和是，．（II）證明：首先，由中元素構(gòu)成的有序數(shù)對(duì)共有個(gè)．因?yàn)?，所以；又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，．從而，集合中元素的個(gè)數(shù)最多為，即．（III）解：，證明如下