2022-2023學年北京市房山區(qū)高二年級上冊學期診斷性評價數(shù)學試題【含答案】

2022-2023學年北京市房山區(qū)高二上學期診斷性評價數(shù)學試題一、單選題1．橢圓的焦距是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)橢圓方程直接求解即可.【詳解】由得：，解得：，焦距為.故選：A.2．直線經(jīng)過定點（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】令求解.【詳解】解：令，得，此時，所以直線經(jīng)過定點，故選：D3．已知以點A(2，－3)為圓心，半徑長等于5的圓O，則點M(5，－7)與圓O的位置關(guān)系是()A．在圓內(nèi) B．在圓上C．在圓外 D．無法判斷【答案】B【詳解】因為,所以點M在圓上，選B.4．“”是“方程表示的曲線為雙曲線”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】根據(jù)雙曲線的方程以及充分條件和必要條件的定義進行判斷即可.【詳解】當，則且或且，此時方程表示的曲線一定為雙曲線；則充分性成立；若方程表示的曲線為雙曲線，則，則必要性成立，故選：.5．已知橢圓的左右焦點分別為，點A在橢圓上，點B在的延長線上，且，則點B的軌跡是（

）A．兩條平行線 B．雙曲線 C．橢圓 D．圓【答案】D【分析】結(jié)合橢圓和圓的定義求得正確答案.【詳解】根據(jù)橢圓的定義可知，由于，所以，即，所以點的軌跡是以為圓心，半徑為的圓.故選：D6．直線與直線垂直，則的值是A．－1或 B．1或 C．－或－1 D．－或1【答案】D【詳解】因為直線與直線垂直，所以故選D.7．過拋物線y2＝8x的焦點，作傾斜角為45°的直線，則被拋物線截得的弦長為()A．8 B．16 C．32 D．64【答案】B【分析】求出拋物線的焦點為F（2，0），直線的斜率k=tan45°=1，從而得到直線的方程為y=x﹣2．直線方程與拋物線方程聯(lián)解消去y得x2﹣12x+4=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得x1+x2=12，再根據(jù)拋物線的定義加以計算，即可得到直線被拋物線截得的弦長．【詳解】∵拋物線方程為y2=8x，2p=8，=2，∴拋物線的焦點是F（2，0）．∵直線的傾斜角為45°，∴直線斜率為k=tan45°=1可得直線方程為：y=1×（x﹣2），即y=x﹣2．設(shè)直線交拋物線于點A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)解，消去y得x2﹣12x+4=0，∴x1+x2=12，根據(jù)拋物線的定義，可得|AF|=x1+=x1+2，|BF|=x2+=x2+2，∴|AB|=x1+x2+4=12+4=16，即直線被拋物線截得的弦長為16．故選B．【點睛】本題給出經(jīng)過拋物線的焦點的直線傾斜角為45°，求直線被拋物線截得的弦長．著重考查了拋物線的定義與標準方程、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等知識，屬于中檔題．8．過定點作圓的切線．則切線的方程為（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【分析】根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑求得切線方程，【詳解】依題意可知，切線的斜率存在，設(shè)切線方程為，即，圓的圓心為，半徑為，所以，解得或，所以切線方程為或，即或.故選：C9．已知雙曲線過點且漸近線為，則下列結(jié)論正確的是（

）A．雙曲線的方程為 B．雙曲線的離心率為C．曲線經(jīng)過雙曲線的一個焦點 D．直線與雙曲線有兩個不同交點【答案】A【分析】根據(jù)待定系數(shù)法求得雙曲線方程，進而逐項求解判斷即可.【詳解】由題意設(shè)雙曲線方程為，將點代入解得，所以雙曲線方程為，A正確；因為，，所以，，B錯誤；因為雙曲線的焦點坐標為，代入均不滿足，C錯誤；聯(lián)立得，，所以直線與雙曲線僅有一個交點，D錯誤；故選：A10．已知是雙曲線的左、右焦點，若在右支上存在點A，使得點到直線的距離為，則雙曲線離心率e的范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)，，其中，設(shè)直線方程為，其中利用點到直線的距離為，得到關(guān)于表達式，再利用可得答案.【詳解】設(shè)，，其中，設(shè)直線方程為，則.因點到直線的距離為，則則，則.故選：D二、填空題11．直線的傾斜角是__________．【答案】【分析】根據(jù)斜率和傾斜角的對應(yīng)關(guān)系確定正確答案.【詳解】直線的斜率為，傾斜角范圍是[0,π），所以傾斜角為.故答案為：12．拋物線的準線方程為________．【答案】【詳解】拋物線的準線方程為；故填.13．圓的圓心到直線的距離是____________．【答案】【分析】將圓的一般方程化為標準方程，找出圓心，再利用點到直線的距離公式求解即可.【詳解】由圓有圓的標準方程為：，所以圓心為，則到直線的距離為：，故答案為：.14．已知雙曲線M滿足以下條件：①離心率為2；②焦點在坐標軸上；③對稱軸是坐標軸．則滿足上述條件的雙曲線M的一個方程是____________．【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)條件寫出一個雙曲線方程即可.【詳解】由雙曲線中，故離心率為2，且焦點在x軸上，曲線關(guān)于坐標軸對稱，所以雙曲線滿足題設(shè).故答案為：（答案不唯一）15．已知點是圓上一點，給出下列結(jié)論：①；②圓C的圓心為；③圓C的半徑為25；④點也是圓C上一點．其中正確結(jié)論的序號是___________．【答案】①②④【分析】利用點坐標求得，進而確定正確答案.【詳解】由于點是圓上一點，所以，①正確，圓的方程為，即，故圓心為，半徑為，②正確，③錯誤.，所以點也是圓C上一點，④正確.故答案為：①②④三、雙空題16．已知橢圓的左、右焦點分別為，離心率為，橢圓的上頂點為．且．雙曲線和橢圓有相同焦點，且雙曲線的離心率為，為曲線與的一個公共點，若．則_________，________．【答案】

【分析】根據(jù)可得，，由此可得；假設(shè)在第一象限，由求出，，根據(jù)余弦定理得，將，代入可得，再根據(jù)離心率公式可求出結(jié)果.【詳解】在橢圓中，因為上頂點為．且，所以，所以，所以，所以.設(shè)雙曲線方程為，假設(shè)點在第一象限，則由得，，在中，由余弦定理得，所以，整理得，得，所以，所以，解得.故答案為：；.四、解答題17．已知的邊AC，AB上的高所在直線方程分別為﹐頂點．(1)求頂點C的坐標；(2)求BC邊所在的直線方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)的邊AC的高所在直線方程為和頂點，得到直線AC的方程，與的邊AB上的高所在直線方程聯(lián)立求解；（2）利用（1）的方法，再求得頂點B的坐標，然后利用兩點式寫出直線AB所在的直線方程.【詳解】（1）解：因為的邊AC的高所在直線方程為，所以﹐又頂點，所以直線AC的方程為，即，又的邊AB上的高所在直線方程為，由，解得，所以頂點；（2）由的邊AB上的高所在直線方程為，得﹐又頂點，所以直線AB的方程為，即，又的邊AC的高所在直線方程分別為，由，解得，所以頂點；所以BC邊所在的直線方程，即．18．已知圓，點．P是圓C上的任意一點．(1)求圓C的圓心坐標與半徑大?。?2)求的最大值與最小值．【答案】(1)圓心為，半徑(2)最大值、最小值分別為16、8.【分析】（1）寫出圓C的標準方程，即可確定圓心和半徑；（2）設(shè)，則有，問題轉(zhuǎn)化為求的范圍，即圓上點到原點O距離平方的范圍，即可得結(jié)果.【詳解】（1）由題設(shè)，故圓心為，半徑；（2）令，則，而為圓上點到原點O距離的平方，所以，只需確定的范圍，即可確定的最值，因為，故，所以的最大值、最小值分別為16、8.19．圓過點A(1，－2)，B(－1，4)，求：（1）周長最小的圓的方程；（2）圓心在直線2x－y－4＝0上的圓的方程．【答案】（1）x2＋(y－1)2＝10；（2）(x－3)2＋(y－2)2＝20.【分析】（1）根據(jù)當AB為直徑時，過A，B的圓的半徑最小進行求解即可；（2）根據(jù)垂徑定理，通過解方程組求出圓心坐標，進而可以求出圓的方程.【詳解】解：（1）當AB為直徑時，過A，B的圓的半徑最小，從而周長最小，即AB中點(0，1)為圓心，半徑r＝|AB|＝.故圓的方程為x2＋(y－1)2＝10；（2）由于AB的斜率為k＝－3，則AB的垂直平分線的斜率為，AB的垂直平分線的方程是y－1＝x，即x－3y＋3＝0.由解得即圓心坐標是C(3，2)．又r＝|AC|＝＝2.所以圓的方程是(x－3)2＋(y－2)2＝20.20．已知拋物線C的頂點在原點，對稱軸是y軸，焦點F在y軸正半軸，直線l與拋物線C交于A，B兩點，線段AB的中點M的縱坐標為2，且．(1)求拋物線C的標準方程；(2)若直線l經(jīng)過焦點F，求直線l的方程【答案】(1)(2)【分析】（1）首先根據(jù)中點坐標，得，再根據(jù)焦半徑公式求，即可求拋物線方程；（2）首先設(shè)直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達定理求，即可求拋物線方程.【詳解】（1）設(shè)拋物線方程，，，由條件可知，，，得，所以拋物線C的標準方程是；（2）由（1）可知，直線的斜率存在，且焦點，設(shè)直線，聯(lián)立，得，得，所以直線l的方程是.21．已知橢圓過點．離心率為，右焦點為﹐過的直線與橢圓交于，兩點，點的坐標為﹒(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)為坐標原點．證明：．【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）根據(jù)由題意，列關(guān)于的方程組求解，即可得橢圓的方程；（2）討論直線與軸重合以及垂直的情況可得，然后討論直線與軸不重合也不垂直的情況，設(shè)直線方程，聯(lián)立方程組，寫出韋達定理，表示出直線和直線的斜率之和，從而代入韋達定理計算，可得，從而得直線和直線的傾斜角互補，即可證明.【詳解】（1）由題意，列式得，解得，所以橢圓的方程為.（2）當直線與軸重合時，，當直線與軸垂直時，直線為的垂直平分線，所以.當直線與軸