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2022-2023學(xué)年內(nèi)蒙古爾沁右翼前旗第二中學(xué)高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1.中,,,,則(
)A. B.2 C. D.1【答案】B【分析】先利用三角形內(nèi)角和定理求角B,然后由正弦定理可得.【詳解】因?yàn)?,,所以由正弦定理知:,所?故選:B2.已知平面向量,,若,則(
)A. B. C. D.【答案】D【分析】根據(jù)可知,求出y,從而可求的坐標(biāo),根據(jù)向量模的坐標(biāo)計(jì)算公式即可求解.【詳解】,則,∴.故選:D.3.在中,角所對(duì)的邊分別是,若,則角的大小為(
)A. B. C. D.【答案】D【分析】由余弦定理即可求解.【詳解】解:因?yàn)椋杂捎嘞叶ɡ砜傻?,因?yàn)椋?,故選:D.4.設(shè)是兩個(gè)不共線的向量,若向量()與向量共線,則(
)A. B. C. D.【答案】A【分析】根據(jù)平面向量共線定理即可求解.【詳解】∵是兩個(gè)不共線的向量,且∥,故存在實(shí)數(shù)λ,使得.故選:A.5.已知,且,則的值為(
)A. B. C. D.【答案】B【分析】先根據(jù)角的范圍判定符號(hào),然后直接由半角公式求解.【詳解】∵,∴,∵,∴由半角公式可得.故選:B6.設(shè)D為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),則(
)A. B.C. D.【答案】C【分析】根據(jù)平面向量基本定理和向量的線性運(yùn)算展開整理化簡(jiǎn)即可求解.【詳解】因?yàn)椋布?,整理化?jiǎn)可得:,故選:.7.某人從出發(fā)點(diǎn)向正東走后到,然后向左轉(zhuǎn)150°再向前走到,測(cè)得的面積為,此人這時(shí)離出發(fā)點(diǎn)的距離為(
)A. B. C. D.【答案】D【分析】由題意可得,再由的面積為,求出的長(zhǎng),然后利用余弦定理求出即可【詳解】如圖,由題意可得,因?yàn)榈拿娣e為,,,所以,解得,由余弦定理得,所以,故選:D8.如圖所示,在菱形中,,,為的中點(diǎn),則的值是(
)A. B.C. D.【答案】A【分析】根據(jù)向量的加法運(yùn)算,表示出,然后根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算法則求得答案.【詳解】由題意得:,故,故選:A9.若的三個(gè)內(nèi)角A,B,C滿足,則(
)A.一定是銳角三角形 B.一定是直角三角形C.一定是鈍角三角形 D.一定是等腰直角三角形【答案】C【分析】設(shè),結(jié)合余弦定理和三角形內(nèi)角的范圍即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè),∴,∴角C為鈍角.故選:C10.已知,則下列結(jié)論中正確的是(
)A.與共線的一個(gè)單位向量是 B.C. D.在上的投影為【答案】C【分析】A項(xiàng)根據(jù)共線可以把單位向量表示成,根據(jù)模長(zhǎng)為,求出;B項(xiàng)根據(jù),代入即可;C項(xiàng),根據(jù),則來求解;D項(xiàng),在上的投影為來求解.【詳解】對(duì)于A項(xiàng),設(shè)與共線的單位向量為,又,所以共線的單位向量為或所以A錯(cuò)誤;對(duì)于B項(xiàng),又,故B錯(cuò)誤.對(duì)于C項(xiàng),,故C正確.對(duì)于D項(xiàng),在上的投影為,故D錯(cuò)誤.故選:C.11.在△ABC中,,O為△ABC的重心,若,則△ABC外接圓的半徑為(
)A. B. C. D.【答案】B【分析】由所給條件變形可得,即三角形為正三角,由數(shù)量積的運(yùn)算可求出三角形邊長(zhǎng),再由正弦定理求外接圓半徑即可.【詳解】因?yàn)椋?,?因?yàn)镺為△ABC的重心,且,所以△ABC為等邊三角形.因?yàn)?,所?因?yàn)椋浴鰽BC外接圓的半徑為.故選:B12.已知是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,為平面內(nèi)一點(diǎn),則的最小值是A. B. C. D.【答案】B【分析】根據(jù)條件建立坐標(biāo)系,求出點(diǎn)的坐標(biāo),利用坐標(biāo)法結(jié)合向量數(shù)量積的公式進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】建立如圖所示的坐標(biāo)系,以中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),則,,,設(shè),則,,,則當(dāng),時(shí),取得最小值,故選:.二、填空題13.向量_________【答案】##【分析】利用向量加法的三角形法則及向量加法的運(yùn)算律即可求解.【詳解】.故答案為:.14.已知向量,,且,則等于___.【答案】【分析】根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示列出方程,即可求出.【詳解】因?yàn)?,所以,所以,所?故答案為:.15.已知△ABC中角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若,△ABC的面積,則___________.【答案】##【分析】結(jié)合三角形的面積公式,同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、正弦定理求得【詳解】依題意,即,所以為銳角,.由正弦定理得.故答案為:16.如圖,在中,已知,D是邊BC上一點(diǎn),,,,則______.【答案】【分析】在中,利用余弦定理求得,再在,利用正弦定理求解.【詳解】由題,在中,,所以,在中,,即,所以.故答案為:三、解答題17.已知向量若(1)求的夾角;(2)求.【答案】(1)(2)【分析】(1)由可計(jì)算得答案;(2)首先計(jì)算出,然后可得答案.【詳解】(1)因?yàn)椋?,因?yàn)椋?;?)因?yàn)椋?18.在中,內(nèi)角對(duì)應(yīng)的邊分別為,已知.(1)求;(2)若,求的值及的面積.【答案】(1)(2)【分析】(1)根據(jù)正弦定理邊化角,化簡(jiǎn)題中等式,求出正切值即可;(2)直接運(yùn)用余弦定理以及三角形面積公式即可求解.【詳解】(1)在中,由正弦定理得,因?yàn)椋牖?jiǎn)得,因?yàn)椋?,所以,又因?yàn)?,所?(2)在中,由余弦定理得,代入數(shù)據(jù)解得.三角形面積為19.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn).(1)求以線段AB、AC為鄰邊的平行四邊形兩條對(duì)角線的長(zhǎng);(2)設(shè)實(shí)數(shù)滿足,求的值.【答案】(1);(2)【分析】(1)由已知,根據(jù)給的坐標(biāo)可直接表示以AB、AC為鄰邊的對(duì)角線的向量坐標(biāo),然后利用坐標(biāo)直接計(jì)算向量的模;(2)由已知,分別表示出,,帶入給的關(guān)系式中,利用向量的數(shù)量積運(yùn)算解方程即可.【詳解】(1)由已知,設(shè)以線段AB、AC為鄰邊的平行四邊形為,所以,,對(duì)角線,因此;另一條對(duì)角線,因此;(2)因?yàn)椋裕?,由,即,解得?0.設(shè)的內(nèi)角所對(duì)邊的長(zhǎng)分別是,且.(1)求的值;
(2)求的值.【答案】(1)(2)【詳解】試題分析:(1)在三角形中處理邊角關(guān)系時(shí),一般全部轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系,或全部轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系.題中若出現(xiàn)邊的一次式一般采用正弦定理,出現(xiàn)邊的二次式一般采用余弦定理,應(yīng)用正弦、余弦定理時(shí),注意公式變形的應(yīng)用,解決三角形問題時(shí),注意角的限制范圍;(2)在三角形中,注意隱含條件(3)解決三角形問題時(shí),根據(jù)邊角關(guān)系靈活的選用定理和公式.試題解析:因?yàn)?,所以,由余弦定理得,所以由正弦定理可?因?yàn)椋?,所以,?(2)解:由余弦定理得因?yàn)?,所?故.【解析】正弦定理和余弦定理的應(yīng)用.21.在銳角△ABC中,A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且.(1)求角C的大小;(2)若,且,求△ABC的周長(zhǎng).【答案】(1)(2)【分析】(1)根據(jù)正弦定理邊角互化即可求解;(2)根據(jù)余弦定理即可求解.【詳解】(1)由及正弦定理得
因?yàn)?,故?/p>
又∵為銳角三角形,所以.(2)由余弦定理,
∵,得
解得:或
∴的周長(zhǎng)為.22.已知向量,,,設(shè)函數(shù).(1)求函數(shù)的解析式及單調(diào)遞增區(qū)間;(2)設(shè),,別為內(nèi)角,,的對(duì)邊,若,,的面積為,求的值.【答案】(1),函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,(2)【分析】(1)由向量,,得,求得單調(diào)區(qū)間;(2)由,得,又的面積為,,結(jié)合余弦定理,求得【詳解】(1)令,,解
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