山西省朔州市馬辛莊中學(xué)高一數(shù)學(xué)文期末試卷含解析

山西省朔州市馬辛莊中學(xué)高一數(shù)學(xué)文期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.函數(shù)的圖象是（

）參考答案：D2.已知函數(shù)是冪函數(shù)且是上的增函數(shù)，則的值（）A．2 B．－1 C．－1或2 D．0參考答案：B3.把函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位可以得到函數(shù)的圖像，則等于（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D4.如圖，正方體AC1的棱長(zhǎng)為1，過(guò)點(diǎn)A作平面A1BD的垂線，垂足為點(diǎn)H，則以下命題中，錯(cuò)誤的命題是（）A．點(diǎn)H是△A1BD的垂心 B．AH垂直平面CB1D1C．AH的延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C1 D．直線AH和BB1所成角為45°參考答案：D【考點(diǎn)】空間中直線與直線之間的位置關(guān)系．【分析】如上圖，正方體的體對(duì)角線AC1有以下性質(zhì)：①AC1⊥平面A1BD，AC1⊥平面CB1D1；②AC1被平面A1BD與平面CB1D1三等分；③AC1=AB等．（注：對(duì)正方體要視為一種基本圖形來(lái)看待．）【解答】解：因?yàn)槿忮FA﹣A1BD是正三棱錐，所以頂點(diǎn)A在底面的射影H是底面中心，所以選項(xiàng)A正確；易證面A1BD∥面CB1D1，而AH垂直平面A1BD，所以AH垂直平面CB1D1，所以選項(xiàng)B正確；連接正方體的體對(duì)角線AC1，則它在各面上的射影分別垂直于BD、A1B、A1D等，所以AC1⊥平面A1BD，則直線A1C與AH重合，所以選項(xiàng)C正確；故選D．5.若樣本+2，+2，，+2的平均數(shù)為10，方差為3，則樣本2+3，2+3，…，2+3，的平均數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差是（

）A．19，12，

B．23，12，

C．23，18，

D．19，18，參考答案：A6.若集合，下列關(guān)系式中成立的為（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：D略7.將函數(shù)y=sin2x的圖象向左平移個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，所得圖象的函數(shù)解析式是

（）A.y=2cos2x

B.y=2sin2x

C.

D.y=cos2x參考答案：A8.函數(shù)且對(duì)任意正實(shí)數(shù)都有(

)A． B．C． D．參考答案：A9.已知

，且，則的取值范圍是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D10.已知集合，，，則等于（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.數(shù)列的前n項(xiàng)和，則 。參考答案：12.設(shè)是公比為的等比數(shù)列，其前項(xiàng)積為，且滿足，，．下列判斷：①；②；③；④使成立的最小整數(shù)為199．其中成立的是_____________．參考答案：①③④：對(duì)于①，若，則，此時(shí)，與已知矛盾；若，則與矛盾，故，∴①成立．對(duì)于②，由得，而，∴②錯(cuò)誤．對(duì)于③，由于，且，故，而，∴③成立．對(duì)于④，∵，∴，且，故使成立的最小整數(shù)為199，∴④成立．

13.若函數(shù)f（x）=loga（x+）是奇函數(shù)，則a=．參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)；對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)．【分析】由函數(shù)是奇函數(shù)，將函數(shù)的這一特征轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)方程解出a的值．【解答】解：∵函數(shù)是奇函數(shù)，∴f（x）+f（﹣x）=0即loga（x+）+loga（﹣x+）=0∴l(xiāng)oga（x+）×（﹣x+）=0∴x2+2a2﹣x2=1，即2a2=1，∴a=±又a對(duì)數(shù)式的底數(shù)，a＞0∴a=故應(yīng)填14.定義：區(qū)間[m，n]、(m，n]、[m，n)、(m，n)（n>m）的區(qū)間長(zhǎng)度為；若某個(gè)不等式的解集由若干個(gè)無(wú)交集的區(qū)間的并表示，則各區(qū)間的長(zhǎng)度之和稱為解集的總長(zhǎng)度。已知是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，它們的定義域均為[-3，3]，則不等式解集的總長(zhǎng)度的取值范圍是_________參考答案：[0,3]15.觀察下列的圖形中小正方形的個(gè)數(shù)，則第n個(gè)圖中有

個(gè)小正方形.參考答案：16.，集合，，若，則的值等于________；參考答案：略17.在△ABC中，已知AB=2，AC=3，∠A=120°，則△ABC的面積為

．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（10分）某校從參加高三模擬考試的學(xué)生中隨機(jī)抽取60名學(xué)生，將其數(shù)學(xué)成績(jī)（均為整數(shù)）分成六組后得到如下部分頻率分布直方圖，觀察圖形的信息，回答下列問(wèn)題：（1）求分?jǐn)?shù)在時(shí)的圖象，且圖象的最高點(diǎn)為B（﹣1，2）．賽道的中間部分為長(zhǎng)千米的直線跑道CD，且CD∥EF．賽道的后一部分是以O(shè)為圓心的一段圓?。?）求ω的值和∠DOE的大??；（2）若要在圓弧賽道所對(duì)應(yīng)的扇形ODE區(qū)域內(nèi)建一個(gè)“矩形草坪”，矩形的一邊在道路EF上，一個(gè)頂點(diǎn)在半徑OD上，另外一個(gè)頂點(diǎn)P在圓弧上，且∠POE=θ，求當(dāng)“矩形草坪”的面積取最大值時(shí)θ的值．參考答案：考點(diǎn)： 已知三角函數(shù)模型的應(yīng)用問(wèn)題；三角函數(shù)的最值．專題： 計(jì)算題．分析： （1）依題意，得A=2，．根據(jù)周期公式T=可得ω，把B的坐標(biāo)代入結(jié)合已知可得φ，從而可求∠DOE的大??；（2）由（1）可知OD=OP，矩形草坪的面積S關(guān)于θ的函數(shù)，有，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可求S取得最大值．解答： （1）由條件，得A=2，．（2分）∵，∴．（4分）∴曲線段FBC的解析式為．當(dāng)x=0時(shí)，．又CD=，∴．（7分）（2）由（1），可知．又易知當(dāng)“矩形草坪”的面積最大時(shí)，點(diǎn)P在弧DE上，故．（8分）設(shè)∠POE=θ，，“矩形草坪”的面積為=．（13分）∵，故取得最大值．（15分）點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查了在實(shí)際問(wèn)題中，由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定函數(shù)的解析式，一般步驟是：由函數(shù)的最值確定A的值，由函數(shù)所過(guò)的特殊點(diǎn)確定周期T，利用周期公式求ω，再把函數(shù)所給的點(diǎn)（一般用最值點(diǎn)）的坐標(biāo)代入求φ，從而求出函數(shù)的解析式；還考查了實(shí)際問(wèn)題中的最值的求解．關(guān)鍵是要把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題來(lái)求解．19.若函數(shù)f（x）滿足：對(duì)定義域內(nèi)任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)x1，x2，都有，則稱函數(shù)f（x）為H函數(shù)．已知f（x）=x2+cx，且f（x）為偶函數(shù)．（1）求c的值；（2）求證：f（x）為H函數(shù)；（3）試舉出一個(gè)不為H函數(shù)的函數(shù)g（x），并說(shuō)明理由．參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．【分析】（1）由題意可得f（﹣x）=f（x）對(duì)任意的x都成立，從而可求c及f（x）（2）要證f（x）為H函數(shù)，只要證明，即可（3）例：g（x）=log2x（說(shuō)明：底數(shù)大于1的對(duì)數(shù)函數(shù)或﹣x2都可以即上凸函數(shù)）【解答】解：（1）因?yàn)閒（x）=x2+cx，為偶函數(shù)，∴f（﹣x）=f（x）對(duì)任意的x都成立即x2﹣cx=x2+cx對(duì)任意x都成立即cx=0對(duì)任意的x都成立所以c=0，f（x）=x2（2）∵.…=，…∴，即f（x）為H函數(shù)．…（3）例：g（x）=log2x．…（說(shuō)明：底數(shù)大于1的對(duì)數(shù)函數(shù)或﹣x2都可以）．理由：當(dāng)x1=1，x2=2時(shí)，，…，…顯然不滿足，所以該函數(shù)g（x）=log2x不為H函數(shù)．…20.已知是二次函數(shù)且，求。（10分）參考答案：解：設(shè)二次函數(shù)21.如圖，四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD.(1)證明：PA⊥BD；(2)設(shè)PD＝AD＝1，求棱錐D－PBC的高．參考答案：(1)證明：因?yàn)椤螪AB＝60°，AB＝2AD，由余弦定理得BD＝AD.從而B(niǎo)D2＋AD2＝AB2，故BD⊥AD.又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD.所以BD⊥平面PAD.又PA?平面PAD，故PA⊥BD.(2)如圖，作DE⊥PB，垂足為E，已知PD⊥底面ABCD，則PD⊥BC.由(1)知BD⊥AD，又BC∥AD，所以BC⊥BD.故BC⊥平面PBD，BC⊥DE.則DE⊥平面PBC.由題設(shè)知PD＝1，則BD＝，PB＝2.根據(jù)DE·PB＝PD·BD，得DE＝．即棱錐D－PBC的高為．22.已知數(shù)列{an}滿足對(duì)任意的n∈N*，都有a13+a23+…+an3=（a1+a2+…+an）2且an＞0．（1）求a1，a2的值；（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（3）若bn=，記Sn=，如果Sn＜對(duì)任意的n∈N*恒成立，求正整數(shù)m的最小值．參考答案：【考點(diǎn)】8E：數(shù)列的求和．【分析】（1）由題設(shè)條件知a1=1．當(dāng)n=2時(shí)，有a13+a23=（a1+a2）2，由此可知a2=2．（2）由題意知，an+13=（a1+a2++an+an+1）2﹣（a1+a2++an）2，由于an＞0，所以an+12=2（a1+a2++an）+an+1．同樣有an2=2（a1+a2++an﹣1）+an（n≥2），由此得an+12﹣an2=an+1+an．所以an+1﹣an=1．所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，由通項(xiàng)公式即可得到所求．（3）求得bn===2[﹣]，運(yùn)用數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，可得Sn，結(jié)合不等式的性質(zhì)，恒成立思想可得m≥，進(jìn)而得到所求最小值．【解答】解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，有a13=a12，由于an＞0，所以a1=1．當(dāng)n=2時(shí)，有a13+a23=（a1+a2）2，將a1=1代入上式，可得a22﹣a2﹣2=0，由于an＞0，所以a2=2．（2）由于a13+a23+…+an3=（a1+a2+…+an）2，①則有a13+a23+…+an3+an+13=（a1+a2+…+an+an+1）2．②②﹣①，得an+13=（a1+a2+…+an+an+1）2﹣（a1+a2+…+an）2，由于an＞0，所以an+12=2（a1+a2+…+a