山西省陽泉市仙人中學(xué)2023年高三數(shù)學(xué)文期末試題含解析

山西省陽泉市仙人中學(xué)2023年高三數(shù)學(xué)文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.若實(shí)數(shù)x，y滿足的約束條件，將一顆骰子投擲兩次得到的點(diǎn)數(shù)分別為a，b，則函數(shù)z=2ax+by在點(diǎn)（2，﹣1）處取得最大值的概率為（）A． B． C． D．參考答案：D考點(diǎn)：幾何概型；簡(jiǎn)單線性規(guī)劃．專題：應(yīng)用題；概率與統(tǒng)計(jì)．分析：利用古典概型概率計(jì)算公式，先計(jì)算總的基本事件數(shù)N，再計(jì)算事件函數(shù)z=2ax+by在點(diǎn)（2，﹣1）處取得最大值時(shí)包含的基本事件數(shù)n，最后即可求出事件發(fā)生的概率．解答：解：畫出不等式組表示的平面區(qū)域，∵函數(shù)z=2ax+by在點(diǎn)（2，﹣1）處取得最大值，∴直線z=2ax+by的斜率k=﹣≤﹣1，即2a≥b．∵一顆骰子投擲兩次分別得到點(diǎn)數(shù)為（a，b），則這樣的有序整數(shù)對(duì)共有6×6=36個(gè)其中2a≥b的有（1，1），（1，2），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6），共30個(gè)則函數(shù)z=2ax+by在點(diǎn)（2，﹣1）處取得最大值的概率為=．故選：D．點(diǎn)評(píng)：本題考查了古典概型概率的計(jì)算方法，乘法計(jì)數(shù)原理，分類計(jì)數(shù)原理，屬于基礎(chǔ)題2.已知向量等于 （

）A.30° B.45° C.60° D.75°參考答案：B3.已知，則一定滿足A．

B．C．

D．參考答案：答案：D4.設(shè)雙曲線的虛軸長(zhǎng)為2，焦距為，則雙曲線的漸近線方程為（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：C略5.已知函數(shù)f（x）=，則f（f（﹣1））的值為（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2參考答案：D【考點(diǎn)】3T：函數(shù)的值．【分析】利用分段函數(shù)的性質(zhì)先求f（﹣1）的值，再求f（f（﹣1））的值．【解答】解：∵函數(shù)f（x）=，∴f（﹣1）=3﹣（﹣1）=4，f（f（﹣1））=f（4）==2．故選：D．6.已知是正數(shù)，且滿足．那么的取值范圍是（

）（A）（B）（C）（D）參考答案：B原不等式組等價(jià)為，做出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖陰影部分，，表示區(qū)域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方，由圖象可知當(dāng)在D點(diǎn)時(shí)，最大，此時(shí)，原點(diǎn)到直線的距離最小，即，所以，即的取值范圍是，選B.7.已知函數(shù)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為，且，則的最小值為（

）A.

B.1

C.

D.2參考答案：A由題意得或，∴或，∴或，又，∴或．∴的最小值為．選A．

8.下列說法正確的是(

).

A.命題“使得”的否定是：“”B.“”是“”的必要不充分條件C.命題p：“”，則p是真命題D.“”是“在上為增函數(shù)”的充要條件參考答案：D略9.定義為a，b，c中的最大值，設(shè)，則M的最小值是（

）A．2

B．3

C.

4

D．6參考答案：C10.函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B．

C．

D．參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.（幾何證明選講選做題）如圖,△ABC中，D、E分別在邊AB、AC上，CD平分∠ACB，DE∥BC，如果AC=10，BC=15，那么AE=___________.參考答案：略12.甲、乙兩人同時(shí)參加一次數(shù)學(xué)測(cè)試，共有道選擇題，每題均有個(gè)選項(xiàng)，答對(duì)得分，答錯(cuò)或不答得分．甲和乙都解答了所有的試題，經(jīng)比較，他們有道題的選項(xiàng)不同，如果甲最終的得分為分，那么乙的所有可能的得分值組成的集合為____________．參考答案：【測(cè)量目標(biāo)】邏輯思維能力/具有對(duì)數(shù)學(xué)問題或資料進(jìn)行觀察、分析、綜合、比較、抽象、概括、判斷和論證的能力.【知識(shí)內(nèi)容】數(shù)據(jù)整理與概率統(tǒng)計(jì)/概率與統(tǒng)計(jì)初步/隨機(jī)變量的分布及數(shù)字特征.【試題分析】因?yàn)?0道選擇題每題3分，甲最終的得分為54分，所以甲答錯(cuò)了2道題，又因?yàn)榧缀鸵矣袃傻李}的選項(xiàng)不同，則他們最少有16道題的答案相同，設(shè)剩下的4道題正確答案為AAAA,甲的答案為BBAA,因?yàn)榧缀鸵矣袃傻李}的選項(xiàng)不同，所以乙可能的答案為BBCC,BCBA,CCAA,CAAA,AAAA等，所以乙的所有可能的得分值組成的集合為，故答案為.13.要得到函數(shù)的圖象,可將函數(shù)的圖象向

平移

個(gè)單位．參考答案：右，考點(diǎn)：正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)及運(yùn)用．【易錯(cuò)點(diǎn)晴】三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)是中學(xué)數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容和工具,也高考和各級(jí)各類考試的重要內(nèi)容和考點(diǎn).本題以三角函數(shù)的解析式為背景考查的是三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的平移的有關(guān)知識(shí)和運(yùn)用.解答本題時(shí)要充分利用題設(shè)中提供的有關(guān)信息,先將變?yōu)?再依據(jù)函數(shù)圖象平移的規(guī)律,對(duì)問題作出解答使得問題獲解.14.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率為，P是橢圓上一點(diǎn)，且面積的最大值等于2．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ)直線y=2上是否存在點(diǎn)Q，使得從該點(diǎn)向橢圓所引的兩條切線相互垂直？若存在，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由。參考答案：

略15.已知，則對(duì)應(yīng)的的集合為

.參考答案：16.一個(gè)長(zhǎng)方體的各頂點(diǎn)均在同一球的球面上，且一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱的長(zhǎng)分別為1，2，3，則此球的表面積為_________________參考答案：17.展開式中的系數(shù)為

．參考答案：210

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)，若存在，則稱是函數(shù)的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，設(shè)

(Ⅰ）求函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)；

(Ⅱ）對(duì)（Ⅰ）中的二個(gè)不動(dòng)點(diǎn)、（假設(shè)），求使恒成立的常數(shù)的值；參考答案：（Ⅰ）設(shè)函數(shù)

(Ⅱ）由（Ⅰ）可知可知使恒成立的常數(shù).(x≠0，常數(shù)a∈R)．19.已知函數(shù)f（x）=1﹣﹣alnx（a∈R），g（x）=2x﹣ex（e=2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．（Ⅰ）求函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）判斷a＞1時(shí)，f（）的符號(hào)；（Ⅲ）若函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；6D：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（Ⅱ）求出f（）的解析式，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷即可；（Ⅲ）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出f（x）的最大值，得到關(guān)于a的不等式，求出a的范圍即可．【解答】解：（Ⅰ）∵g（x）=2x﹣ex，∴x∈R，且g′（x）=2x﹣ex．∴當(dāng)x＜ln2時(shí)，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增，當(dāng)x＞ln2時(shí)，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減，所以函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（﹣∞，ln2]，單調(diào)遞減區(qū)間是[ln2，+∞）．…（2分）（Ⅱ）∵f（x）=1﹣﹣alnx，∴f（）=1﹣ea+a2（a＞1）．設(shè)h（x）=1﹣ex+x2，∴h′（x）=﹣ex+2x．由（Ⅰ）知，當(dāng)x＞1時(shí)，h′（x）＜h′（1）=2﹣e＜0，h（x）在區(qū)間[1，+∞）單調(diào)遞減，∴x＞1時(shí)，h（x）＜h（1）=﹣e＜0．∴a＞1時(shí)，f（）＜0，即f（）符號(hào)是“﹣”．…（Ⅲ）由函數(shù)f（x）=1﹣﹣alnx得，x＞0且f′（x）=．當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，f（x）沒有兩個(gè)零點(diǎn)，∴a＞0…（6分）∴f′（x）=﹣（x﹣）．∴當(dāng)0＜x＜時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．當(dāng)x＞時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減．又f′（）=0，∴f（x）max=f（）=1﹣a+alna．…（7分）設(shè)s（x）=1﹣x+xlnx，∴x＞0且s′（x）=lnx，同上可得s（x）min=s（1）=0，∴當(dāng)a＞0且a≠1時(shí)，f（x）max＞0，當(dāng)a=1時(shí)，f（x）沒有兩個(gè)零點(diǎn)．…（8分）設(shè)t（x），則t′（x）=ex﹣1，∴x＞1時(shí)，t′（x）＞0，t（x）單調(diào)遞增，所以x＞1時(shí)，t（x）＞t（1），即x＞1時(shí)，ex＞x．…（9分）當(dāng)a＞1時(shí)，ex＞a，∴＜＜1．∵f（），∴f（x）在區(qū)間（，）上有一個(gè)零點(diǎn)，又f（1）=0，∴f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)．…（10分）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，1＜＜．∵f（）=﹣＜0，∴f（x）在區(qū)間（，）上有一個(gè)零點(diǎn)，又f（1）=0，∴f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)．…（11分）綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，1）∪（1，+∞）．…（12分）【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題．20.已知函數(shù)的最小值等于3.（1）求m的值；（2）若正數(shù)a、b、c滿足，求的最大值.參考答案：（1）；（2）3.【分析】（1）分、、三種情況討論，分析函數(shù)的單調(diào)性，可得出函數(shù)的最小值，進(jìn)而可求得的值；（2）利用柯西不等式得出，由此可得出的最大值.【詳解】（1）.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，則；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，則；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，則綜上所述，，解得；（2）由（1）可得，且、、均為正數(shù)，由柯西不等式得，即，.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，的最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查含絕對(duì)值函數(shù)最值的求解，同時(shí)也考查了利用柯西不等式求三元代數(shù)式的最值，考查分類討論思想以及計(jì)算能力，屬于中等題.21.已知曲線（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為．（1）將曲線C1的參數(shù)方程化為普通方程，將曲線C2的極坐