北航自動控制原理課件第七章至第九章(程鵬)

第七章非線性系統(tǒng)分析17-1非線性問題概述主要內(nèi)容7-2常見非線性因素對系統(tǒng)運(yùn)動特性的影響7-3相平面法基礎(chǔ)7-4非線性系統(tǒng)相軌跡分析7-5描述函數(shù)7-6用描述函數(shù)分析非線性系統(tǒng)返回主目錄2基本要求

1.明確非線性系統(tǒng)動態(tài)過程的本質(zhì)特征。掌握系統(tǒng)中非線性部分、線性部分結(jié)構(gòu)歸化的方法。2.熟練掌握二階線性方程的相軌跡，正確理解焦點(diǎn)、節(jié)點(diǎn)、中心、鞍點(diǎn)、極限環(huán)等概念。3.熟練掌握由相軌跡計算時間的方法。已知相軌跡大致畫出時間響應(yīng)曲線的圖形。4.對簡單的非線性系統(tǒng)能熟練寫出相軌跡的解析表達(dá)式。能通過等傾線方法作出相軌跡。返回子目錄35.對分段線性的非線性系統(tǒng)，能決定開關(guān)線,寫出分區(qū)域相軌跡的方程式。6.對具有外作用和或具有速度反饋的情況能合適地選取相坐標(biāo)作出相軌跡圖。7.正確理解諧波線性化的條件及描述函數(shù)的概念。8.了解描述函數(shù)建立的一般方法，明確幾種典型非線性特性負(fù)倒描述函數(shù)曲線的特點(diǎn)。9.熟練掌握運(yùn)用描述函數(shù)法分析系統(tǒng)中是否有周期運(yùn)動,判斷周期運(yùn)動的穩(wěn)定性。4簡介非線性系統(tǒng)一般理解為非線性微分方程所描述的系統(tǒng)。線性系統(tǒng)的本質(zhì)特征是疊加原理，因此非線性系統(tǒng)也可以理解為不滿足疊加原理的系統(tǒng)。本章將介紹工程上常用的相平面法和描述函數(shù)法，并通過這兩種方法揭示非線性系統(tǒng)的一些區(qū)別于線性系統(tǒng)的現(xiàn)象。57-1非線性問題概述一、實(shí)際系統(tǒng)中的非線性因素圖7-1一些常見的非線性特性返回子目錄6除上述實(shí)際系統(tǒng)中部件的不可避免的非線性因素外，有時為了改善系統(tǒng)的性能或者簡化系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，人們還常常在系統(tǒng)中引入非線性部件或者更復(fù)雜的非線性控制器。通常，在自動控制系統(tǒng)中采用的非線性部件，最簡單和最普遍的就是繼電器。7圖7-2電磁繼電器的工作原理和輸入-輸出特性8二.非線性系統(tǒng)和線性系統(tǒng)有不同的

運(yùn)動規(guī)律在線性系統(tǒng)中，系統(tǒng)的穩(wěn)定性只取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，對常參量線性系統(tǒng)，只取決于系統(tǒng)特征方程根的分布，而和初始條件、外加作用沒有關(guān)系。對于非線性系統(tǒng)，不存在系統(tǒng)是否穩(wěn)定的籠統(tǒng)概念。必須具體討論某一運(yùn)動的穩(wěn)定性問題。非線性系統(tǒng)運(yùn)動的穩(wěn)定性，除了和系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)形式及參數(shù)大小有關(guān)以外，還和初始條件有密切的關(guān)系。9線性系統(tǒng)自由運(yùn)動的形式與系統(tǒng)的初始偏移無關(guān)。非線性系統(tǒng)則不一樣，自由運(yùn)動的時間響應(yīng)曲線可以隨著初始偏移不同而有多種不同的形式。圖7-4非線性系統(tǒng)在不同初始偏移下的自由運(yùn)動10線性系統(tǒng)在沒有外作用時，周期運(yùn)動只發(fā)生在臨界情況，而這一周期運(yùn)動是物理上不可能實(shí)現(xiàn)的。非線性系統(tǒng)，在沒有外作用時，系統(tǒng)中完全有可能發(fā)生一定頻率和振幅的穩(wěn)定的周期運(yùn)動，如圖7—5所示，這個周期運(yùn)動在物理上是可以實(shí)現(xiàn)的，通常把它稱為自激振蕩，簡稱自振。圖7-5非線性系統(tǒng)的自激振蕩11線性系統(tǒng)中，當(dāng)輸入量是正弦信號時，輸出穩(wěn)態(tài)分量也是同頻率的正弦函數(shù)，可以引入頻率特性的概念并用它來表示系統(tǒng)固有的動態(tài)特性。非線性系統(tǒng)在正弦作用下的輸出比較復(fù)雜。12三.非線性系統(tǒng)的分析方法在線性系統(tǒng)中，一般可采用傳遞函數(shù)、頻率特性、脈沖過渡函數(shù)等概念。在工程實(shí)際中對于存在線性工作區(qū)域的非線性系統(tǒng)，或者非線性不嚴(yán)重的準(zhǔn)線性系統(tǒng)，常常采用線性化的方法進(jìn)行處理，然后在線性分析的基礎(chǔ)上加以修正。而對于包括像繼電特性那樣根本不存在線性區(qū)的非線性特性，工程上常用相平面方法和描述函數(shù)方法進(jìn)行研究。137-2常見非線性因素對系統(tǒng)

運(yùn)動特性的影響一、不靈敏區(qū)不靈敏區(qū)又叫死區(qū)，系統(tǒng)中的死區(qū)是由測量元件的死區(qū)、放大器的死區(qū)以及執(zhí)行機(jī)構(gòu)的死區(qū)所造成的。圖7-6死區(qū)特性返回子目錄14死區(qū)非線性特性的數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：式中15圖7-7包含死區(qū)的非線性系統(tǒng)圖7-8

斜坡輸入時的系統(tǒng)輸出量16二、飽和圖7-9部件的飽和現(xiàn)象飽和特性也是系統(tǒng)中最常見的一種非線性特性。17理想化后的飽和特性典型數(shù)學(xué)表達(dá)式為：式中：

是線性范圍，K為線性范圍內(nèi)的傳遞系數(shù)（對于放大元件，也稱增益）。18粗略地看，飽和特性的存在相當(dāng)于

大信號作用時，增益下降。圖7-10飽和特性圖7-11飽和特性的等效增益19圖7-13圖7-12系統(tǒng)的響應(yīng)隨動系統(tǒng)的方塊圖如圖7—12所示。當(dāng)系統(tǒng)輸入端加上一個幅值較大的階躍信號時，若放大器無飽和限制，系統(tǒng)的時間響應(yīng)曲線如圖7-13中的曲線1；放大器有飽和限制時的時間響應(yīng)曲線如圖7-13中的曲線2。圖7-12非線性系統(tǒng)20若隨動系統(tǒng)的方塊圖如圖7—15所示。圖7-14根軌跡圖圖7-15非線性系統(tǒng)根軌跡分析：21圖7-16系統(tǒng)的時間響應(yīng)當(dāng)系統(tǒng)中不存在飽和特性的限制，系統(tǒng)是振蕩發(fā)散的；若系統(tǒng)中存在飽和特性的限制，則系統(tǒng)不再發(fā)散，而是出現(xiàn)穩(wěn)定的等幅振蕩，如圖7-16中的曲線2。22三、間隙圖7—17齒輪傳動中的間隙傳動機(jī)構(gòu)(如齒輪傳動、桿系傳動)的間隙也是控制系統(tǒng)中的一種常見的非線性因素。23間隙特性的典型

特性如圖7-18所示。數(shù)學(xué)表達(dá)式為圖7—18間隙非線性特性24間隙對系統(tǒng)性能的影響也很復(fù)雜，一般說來，它會增大系統(tǒng)的靜差，使系統(tǒng)波形失真，過渡過程的振蕩加劇。圖7-19間隙特性的輸入-輸出波形25四、摩擦圖7-20直流電動機(jī)的方框圖摩擦非線性對小功率角度隨動系統(tǒng)來說，是一個很重要的非線性因素。它的影響，從靜態(tài)方面看，相當(dāng)于在執(zhí)行機(jī)構(gòu)中引入了死區(qū)，從而造成了系統(tǒng)的靜差，這一點(diǎn)和死區(qū)的影響相類似。圖7-21摩擦力矩示意圖26圖7-22小功率隨動系統(tǒng)方框圖圖7-23低速爬行現(xiàn)象277-3相平面法基礎(chǔ)相平面法

是一種求解二階常微分方程的圖解方法。設(shè)一個二階系統(tǒng)可以用下列常微分方程描述

令

,（7-9）

則（7-11）返回子目錄28相平面:描繪相平面上的點(diǎn)隨時間變化的曲線叫相軌跡。

通常把方程（7－9）稱為相軌跡微分方程式，簡稱相軌跡方程。將式（7－11）的積分結(jié)果稱為相軌跡表達(dá)式。相軌跡:把具有直角坐標(biāo)的平面叫做相平面。29一、線性系統(tǒng)的相軌跡設(shè)系統(tǒng)的微分方程為（7-12）式（7-12）的特征方程為

上述特征方程的根為

式（7-12）所表示的自由運(yùn)動，其性質(zhì)由特征方程根的分布特點(diǎn)所決定。30取相坐標(biāo)、，式（7-12）可化為

（7-14）或31（1）無阻尼運(yùn)動由方程（7-14），相軌跡方程為：其中相軌跡如圖7－24所示，在相平面上是為一族同心的橢圓。每個橢圓相當(dāng)于一個簡諧振動。（7-16）32圖7-24系統(tǒng)無阻尼運(yùn)動時的相軌跡相軌跡的方向如圖7-24中箭頭所示。相軌跡垂直穿過橫軸。坐標(biāo)原點(diǎn)處相軌跡的斜率不能由該點(diǎn)的坐標(biāo)唯一地確定，這種點(diǎn)叫做奇點(diǎn)。圖7-24的奇點(diǎn)(0,0)通常稱為中心

33（2）欠阻尼運(yùn)動其中（7-17）方程（7-12）的解為34相軌跡如圖7－25所示。從圖中可以看出，欠阻尼系統(tǒng)不管初始狀態(tài)如何，它經(jīng)過衰減振蕩，最后趨向于平衡狀態(tài)。坐標(biāo)原點(diǎn)是一個奇點(diǎn)，它附近的相軌跡是收斂于它的對數(shù)螺旋線，這種奇點(diǎn)稱為

穩(wěn)定的焦點(diǎn)。圖7-25系統(tǒng)欠阻尼運(yùn)動時的相軌跡35（3）過阻尼運(yùn)動這時方程（7－12）的解為相軌跡如圖7－26所示。36圖7-26過阻尼時的相軌跡圖7-27過阻尼運(yùn)動的時間響應(yīng)坐標(biāo)原點(diǎn)是一個奇點(diǎn)，這種奇點(diǎn)稱為穩(wěn)定的節(jié)點(diǎn)。37（4）負(fù)阻尼運(yùn)動相軌跡圖如圖7－28所示，此時相軌跡仍是對數(shù)螺旋線，但相軌跡的運(yùn)動方向與圖7－25不同，隨著t的增長，運(yùn)動過程是振蕩發(fā)散的。這種奇點(diǎn)稱為不穩(wěn)定的焦點(diǎn)。圖7-2838系統(tǒng)的相軌跡圖如圖7-29所示，奇點(diǎn)稱為不穩(wěn)定的節(jié)點(diǎn)。圖7-2939此時相軌跡如圖

7-30所示。奇點(diǎn)稱為

鞍點(diǎn)

該奇點(diǎn)是不穩(wěn)定的。圖7-30斥力系統(tǒng)的相軌跡40圖7-31特征根和奇點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系41

二、相軌跡作圖法設(shè)系統(tǒng)微分方程為化為表示相平面上的一條曲線，相軌跡通過曲線上的點(diǎn)時所取的斜率都是。這條曲線就稱為等傾線。

令其中

為某個常數(shù)1.等傾線法42例子微分方程或等傾線是直線，它的方程為：43取不同值時，可在相平面上畫出若干不同的等傾線，在每條等傾線上畫出表示該等傾線斜率值的小線段，這些小線段表示相軌跡通過等傾線時的方向，從相軌跡的起點(diǎn)按順序?qū)⒏餍【€段連接起來，就得到了所求的相軌跡。圖7-3244極限環(huán)在圖7-33中，出現(xiàn)了一種孤立的簡單的封閉相軌跡。這種相軌跡稱為穩(wěn)定的極限環(huán)。圖7-3345圖7-34各種類型的極限環(huán)46三、由相平面圖求時間解相軌跡上坐標(biāo)點(diǎn)移動到點(diǎn)所需的時間，可按下式計算（7-32）這個積分可用通常近似計算積分的方法求出，因此求時間解的過程是近似計算的過程。471.用曲線計算時間利用式（7－37）計算時間，在某些情況下可直接進(jìn)行積分運(yùn)算。圖7-37482.用小圓弧逼近相軌跡計算時間在小圓弧逼近的方法中，相軌跡是用圓心位于實(shí)軸上的一系列圓弧來近似的。軸上的P、Q、R點(diǎn)為圓心，以如圖7－36AD段，可用、、為半徑的小圓弧來逼近，這樣就有49

代入式（7-32）得令（7-33）50圖7-36用小圓弧逼近相軌跡計算時間51例7-2圖示相平面上有兩條封閉的相軌跡，已知和均是圓弧的一部分，試計算這兩條封閉相軌跡所對應(yīng)的周期運(yùn)動的周期。圖7-3752解：相軌跡和對應(yīng)的周期運(yùn)動，它們的周期分別為和s，則有537-4非線性系統(tǒng)相軌跡分析根據(jù)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)形式選取相坐標(biāo)，列寫微分方程。畫相軌跡圖。根據(jù)相軌跡圖分析系統(tǒng)的運(yùn)動情況。返回子目錄54一、繼電型系統(tǒng)系統(tǒng)中有一個或幾個元件具有繼電型非線性特性的系統(tǒng)稱為繼電型系統(tǒng)。圖7-38繼電型非線性特性55若繼電型系統(tǒng)的方框圖如圖7—41所示。

研究圖中繼電型特性為圖7-38(b)的情況。圖7-4156很明顯，相平面以直線為界被分成三個不同的區(qū)域，在每個區(qū)域里，系統(tǒng)的相軌跡完全由一個線性微分方程所確定。57

1.在c>h的區(qū)域系統(tǒng)方程為其中58所以當(dāng)592.在|c|<h區(qū)域系統(tǒng)方程為（7-42）603.在c<-h區(qū)域相軌跡方程為當(dāng)時61圖7-40圖7-39系統(tǒng)當(dāng)時的相軌跡62當(dāng)m=-1時，系統(tǒng)微分方程為對這個系統(tǒng)而言，不論初始條件如何，系統(tǒng)最終都是處于自振狀態(tài)，并且振蕩的周期與振幅僅取決于系統(tǒng)的參數(shù)，而和初始條件的大小無關(guān)。63圖7-41圖7-39系統(tǒng)當(dāng)m=-1時的相軌跡64圖7-42振蕩趨勢加大示意圖65圖7-43m逐漸減少時的相平面66二、速度反饋對繼電型系統(tǒng)自由運(yùn)動的影響圖7-44有速度反饋的繼電型系統(tǒng)67系統(tǒng)的微分方程為將此相軌跡圖與圖7—40比較可看出兩者主要是開關(guān)線不同。可以通過改變開關(guān)線的位置來改善系統(tǒng)的性能。68圖7—45速度反饋對系統(tǒng)運(yùn)動過程的影響69三、含有間隙非線性的系統(tǒng)圖7-46間隙非線性和非線性控制系統(tǒng)70方程式：71式中相軌跡方程（7-54）（7-55）72圖7-47式（7-54）和式（7-55）的相軌跡73圖7-48圖7-46系統(tǒng)的相平面74圖7-49判斷開關(guān)線所用的對應(yīng)關(guān)系75四、具有階躍或斜坡輸入時非線性系統(tǒng)的相平面圖7-50具有非線性放大器的系統(tǒng)76圖7-50（a）表示的系統(tǒng)方程為得到假定77（1）階躍輸入r(t)=R系統(tǒng)方程變?yōu)閳D7-5178（2）輸入信號r(t)=Vt+R系統(tǒng)方程為79圖7-52V<kKe0，R>e0時的相軌跡80圖7-53

kKe0<V<Ke0,R=0圖7-54V>Ke0,R=081返回子目錄

7-5描述函數(shù)描述函數(shù)可以定義為非線性特性輸出的一次諧波分量與輸入正弦量的復(fù)數(shù)比。若輸出的一次諧波分量為輸入的正弦量為則描述函數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)式如式（7-70）所示：

（7-70）82圖7-55理想繼電型特性在正弦輸入時的輸出波形和振幅頻譜83其中為非線性特性在輸入信號作用下的輸出。84例7-3若非線性特性為

其特性曲線如圖7-56。（7-71）85令則有86圖7-56式（7-71）的輸入-輸出特性圖7-57描述函數(shù)87一、不靈敏區(qū)特性的描述函數(shù)88（7-78）根據(jù)描述函數(shù)的定義，可求出不靈敏區(qū)的描述函數(shù)為89圖7-58不靈敏區(qū)特性及其輸入-輸出波形90二、飽和特性的描述函數(shù)91圖7—59表示了飽和特性和它在正弦信號作用下的輸出波形。飽和特性的描述函數(shù)為從上式可知，飽和特性的描述函數(shù)是輸入幅值的實(shí)值函數(shù)，與輸入頻率無關(guān)。92圖7-59飽和特性及其輸入-輸出波形93三、間隙特性的描述函數(shù)9495間隙特性的描述函數(shù)為圖7—62表示了間隙特性和它在正弦信號作用下的輸出波形96圖7-62間隙特性及其輸入-輸出波形97四、繼電型特性的描述函數(shù)圖7—61表示了具有滯環(huán)和不靈敏區(qū)的繼電型特性和它在正弦信號作用下的輸出波形9899100繼電特性的描述函數(shù)為可知具有滯環(huán)和不靈敏區(qū)的繼電型特性的描述函數(shù)和輸入信號的頻率無關(guān)，只是輸入信號幅值的復(fù)數(shù)值函數(shù)。101圖7-61繼電型特性及其輸入-輸出波形102當(dāng)h=0,兩位置理想繼電型特性的描述函數(shù)當(dāng)m=1,三位置理想繼電型特性的描述函數(shù)當(dāng)m=-1,得到具有滯環(huán)的兩位置繼電型特性的描述函數(shù)103返回子目錄

7-6

用描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)非線性控制系統(tǒng)可化為下列結(jié)構(gòu)形式圖7-62非線性控制系統(tǒng)104用描述分析非線性系統(tǒng)時兩個基本假設(shè)：系統(tǒng)的線性部分G(jω)具有很好的低通濾波性。系統(tǒng)若發(fā)生自激振蕩（穩(wěn)定的周期運(yùn)動），假定非線性環(huán)節(jié)N的輸入端的振蕩為正弦波。105一、特征方程的解法圖7－62所示系統(tǒng)的特征方程為（7-85）如果對于某一個和，式（7－85）成立，

那么非線性環(huán)節(jié)N輸入端將有的周期運(yùn)動。此時相當(dāng)于將整個曲線當(dāng)作臨界點(diǎn)。

106二、自激振蕩的確定

圖7-63周期運(yùn)動的確定及穩(wěn)定性判別分別將

和曲線畫在復(fù)平面上,如圖7－63所示。107圖中

曲線和曲線分別相交于M1點(diǎn)和M2點(diǎn)。M1對應(yīng)的周期運(yùn)動為X01sinω01t。M2對應(yīng)的周期運(yùn)動為X02sinω02t

。M1的周期運(yùn)動是不穩(wěn)定的。M2的周期運(yùn)動是穩(wěn)定的。上述方法適用于G(s)無右半復(fù)平面極點(diǎn)的情形。108圖7-64不穩(wěn)定的和穩(wěn)定的周期運(yùn)動109M1對應(yīng)周期運(yùn)動穩(wěn)定，M2對應(yīng)周期運(yùn)動不穩(wěn)定圖7-65當(dāng)有不穩(wěn)定根時，周期解的穩(wěn)定性判斷，需要用乃奎斯特判據(jù)。110解析法式（7－93）中的偏導(dǎo)數(shù)均在X0、處取值。則X0、對應(yīng)的周期運(yùn)動是穩(wěn)定的,否則就是不穩(wěn)定的周期運(yùn)動。令（7-92）設(shè)式（7－97）有解X0和，若有下式成立

（7-93）111三、分析系統(tǒng)自激振蕩的例題例7-4

研究如圖所示非線性系統(tǒng)。試判斷系統(tǒng)是否存在自振；若有自振，求出自振的振幅和頻率。圖7-66112解：

描述函數(shù)為113計算數(shù)據(jù)表-2-1.64-1.57-1.6410.90.80.6-1.81-2.14-2.74-4.18-7.890.50.40.30.20.1

1140.4780.9421.4062.2342.7493.8675.708-211-198.4-190.2-180-175.2-166.9-156.90.197

0.388

0.579

0.920

1.132

1.593

2.351

400300250200180150120115圖7-67圖7-66系統(tǒng)的曲線116四、系統(tǒng)穩(wěn)定性分析圖7-70非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析117本章主要知識點(diǎn)與主要線索作圖積分求解開關(guān)線結(jié)構(gòu)歸化計算查表非線性系統(tǒng)典型結(jié)構(gòu)乃氏曲線線性部分分段線性的非線性系統(tǒng)分段相跡方程奇點(diǎn)類型相跡方程等傾線法穩(wěn)定性,自振,求自振參數(shù)求時間相跡時間響應(yīng)118第八章采樣系統(tǒng)理論1198-1采樣過程與采樣定理主要內(nèi)容8-2信號的恢復(fù)與零階保持器8-3z變換與z逆變換8-4脈沖傳遞函數(shù)8-5采樣系統(tǒng)的性能分析8-6采樣系統(tǒng)的數(shù)字校正返回主目錄120基本要求正確理解采樣過程，采樣定理，信號復(fù)觀和零階保持器的作用,了解采樣系統(tǒng)與連續(xù)系統(tǒng)的區(qū)別與聯(lián)系。z變換和z逆變換，熟練掌握幾種典型信號的z變換和通過部分分式分解進(jìn)行逆變換,了解用z變換法解差分方程的主要步驟和方法。正確理解脈沖傳遞函數(shù)的概念，熟練掌握簡單采樣系統(tǒng)開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)和閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的計算方法,掌握典型閉環(huán)采樣系統(tǒng)輸出的z變換表達(dá)式。返回子目錄121熟練掌握z域穩(wěn)定性的判別方法。熟練掌握采樣瞬時的穩(wěn)態(tài)誤差的計算方法，正確理解終值定理的使用條件、積分環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的型別的關(guān)系。熟練掌握瞬態(tài)響應(yīng)與極點(diǎn)分布的對應(yīng)關(guān)系。掌握最小拍采樣系統(tǒng)的設(shè)計步驟。122圖8-1機(jī)載火力控制系統(tǒng)原理圖1238-1采樣過程與采樣定理一、采樣過程——將連續(xù)信號轉(zhuǎn)換成離散信號的過程返回子目錄該過程可以看成是一個信號的調(diào)制過程，如圖8-3所示，其中載波信號，

是一個周期為T，寬度為的脈沖序列，如圖8-3（b）所示。幅值為幅值正比于采樣瞬時值的脈沖序列，如圖8-3（c）所示。

調(diào)制后得到的采樣信號是一個周期為T，寬度為(124圖8-3信號的采樣過程T125實(shí)現(xiàn)上述采樣過程的裝置稱為采樣開關(guān)可用圖8-3（d）所示的符號表示。（8-1）由于載波信號是周期函數(shù)，故可以展成如下Fourier級數(shù)（8-2）126則采樣信號可以表示為（8-4）（8-3）其中，為采樣頻率，F(xiàn)ourier系數(shù)由下式給出127若連續(xù)信號的Fourier變換為，則采樣信號的Fourier變換為連續(xù)信號與離散信號的頻譜曲線如圖8-4所示。（8-5）128圖8-4連續(xù)信號與離散信號的頻譜

129當(dāng)時，主分量與補(bǔ)分量不再發(fā)生重疊，如圖8-5所示。

圖8-5連續(xù)信號與離散信號的頻譜130香農(nóng)（Shannon）采樣定理若存在一個理想的低通濾波器，其頻率特性如圖8-6所示，便可以將采樣信號完全恢復(fù)成原連續(xù)信號。由此可得如下著名的圖8-6香農(nóng)（Shannon）采樣定理。131如果采樣頻率滿足以下條件式中為連續(xù)信號頻譜的上限頻率。則經(jīng)采樣得到的脈沖序列可以無失真地恢復(fù)為原連續(xù)信號。（8-6）132二、理想采樣過程為了簡化采樣過程的數(shù)學(xué)描述，引入如下理想采樣開關(guān)的概念。載波信號可以近似成如下理想脈沖序列（）（8-7）133再設(shè)當(dāng)時，則采樣過程的數(shù)學(xué)描述為此時，采樣過程如圖8-7所示。

理想采樣開關(guān)的輸出是一個理想脈沖序列。（8-8）134圖8-7理想采樣開關(guān)的采樣過程135同樣，可以展成如下Fourier級數(shù)其中（8-10）則有（8-11）和（8-12）136圖8-9連續(xù)信號和采樣信號的頻譜137注意：上述香農(nóng)采樣定理要求滿足以下兩個條件：頻譜的上限頻率是有限的。2.存在一個理想的低通濾波器。但可以證明理想的低通濾波器在物理上是不可實(shí)現(xiàn)的，在實(shí)際應(yīng)用中只能用非理想的低通濾波器來代替理想的低通濾波器。1388-2信號的恢復(fù)與零階保持器信號的恢復(fù)是指將采樣信號恢復(fù)為連續(xù)信號的過程，能夠?qū)崿F(xiàn)這一過程的裝置稱為保持器?？蓪⒄钩扇缦绿├占墧?shù)時，（8-13）返回子目錄139各階導(dǎo)數(shù)的近似值由此類推，計算n階導(dǎo)數(shù)的近似值需已知n+1個采樣時刻的瞬時值。若式（8-13）的右邊只取前n+1項(xiàng)，便得到n階保持器的數(shù)學(xué)表達(dá)式。（8-14）140零階保持器的數(shù)學(xué)表達(dá)式為（8-16）圖8-10信號的采樣與保持過程141理想采樣開關(guān)的輸出Laplace變換為零階保持器的輸出為(8-17)(8-18)142由上式可知零階保持器的(8-20)(8-19)傳遞函數(shù)143零階保持器的頻率特性為相頻特性為(8-22)(8-23)其幅頻特性為144其中零階保持器的頻率特性曲線如圖8-11所示，對比圖8-6可知零階保持器是一個低通濾波器，但不是理想的低通濾波器，它除了允許信號的主頻譜分量通過外，還允許部分高頻分量通過。145圖8-11零階保持器的頻率特性曲線幅頻特性(b)相頻特性1468-3z變換與z逆變換一、z變換連續(xù)信號經(jīng)采樣后得到的脈沖序列為對上式進(jìn)行Laplace變換，得（8-25）（8-26）返回子目錄147引入一個新的復(fù)變量將式上式代入式（8-26）可得z變換的定義式如下稱為的z變換，記作或由此可看出是關(guān)于復(fù)變量的冪級數(shù)。（8-28）（8-29）148例8-1

求單位脈沖信號的z變換。

解：設(shè)，則由于在時刻的脈沖強(qiáng)度為1，其余時刻的脈沖強(qiáng)度均為零，所以有149例8-2

求單位階躍信號的z變換。

解：設(shè)，則

該級數(shù)的收斂域?yàn)?，在該收斂域?nèi)，上式可以寫成如下閉合形式150例8-3

求單位斜坡信號的z變換。

設(shè)，則上式兩邊對z求導(dǎo)數(shù)，并將和式與導(dǎo)數(shù)交換，得上式兩邊同乘，便得單位斜坡信號的z變換解：151例8-4求指數(shù)函數(shù)的z變換。解：設(shè)，則152例8-5設(shè)，求的z變換。解：上式兩邊求Laplace逆變換，得再由例8-2和例8-4有153注意：不能直接將代入來求，因?yàn)閦變換是針對采樣信號進(jìn)行z變換。154二、z變換的基本定理其中和為任意實(shí)數(shù)。1．線性定理（8-30）若和的z變換為和，則155證明：1562．實(shí)數(shù)位移定理若的z變換為，則（8-31）（8-32）157證明：證明式（8-31）由于當(dāng)時，，所以有158證明式（8-32）1593．復(fù)位移定理已知的z變換函數(shù)為，則證明：1604．z域尺度定理若已知的z變換函數(shù)為，則證明：其中，為任意常數(shù)。（8-34）161三、z逆變換

z逆變換是z變換的逆運(yùn)算。其目的是由象函數(shù)求出所對應(yīng)的采樣脈沖序列（或），記作（8-35）

z逆變換只能給出采樣信號，而不能給出連續(xù)信號。注意1621.部分分式法上式兩邊同乘z，再取z反變換得（8-36）（8-37）（8-38）若象函數(shù)是復(fù)變量z的有理分式，且的極點(diǎn)互異，則可展成如下形式：163例8-6已知z變換函數(shù)求其z逆變換。164解：首先將展成部分分式1652.長除法對比式（8-29）可知若z變換函數(shù)是復(fù)變量z的有理函數(shù)，則可將展成的無窮級數(shù)，即（8-40）（8-41）166例8-7已知z變換函數(shù)為求其z逆變換。167解：由運(yùn)用長除法得由此得于是脈沖序列可以寫成1683.留數(shù)計算法由z變換的定義可知（8-43）169設(shè)的極點(diǎn)為，則包圍了的所有極點(diǎn)。（8-48）170例8-8已知z變換函數(shù)為試用圍線積分方法求z逆變換。171解：上式有兩個極點(diǎn)和，且所以172四、初值定理和終值定理1.初值定理

設(shè)的z變換為，并且有極限存在，則

（8-49）1732終值定理

設(shè)的z變換為，且的極點(diǎn)均在z平面的單位圓內(nèi)，則（8-50）174五、用z變換法解線性常系數(shù)差分方程1.差分的定義假設(shè)在圖8-1所示的采樣系統(tǒng)中，模擬-數(shù)字轉(zhuǎn)換器在離散時間對誤差信號進(jìn)行采樣，并將瞬時值記為或，則的一階前項(xiàng)差分定義為175二階前向差分定義為n階前向差分定義為n階后向差分定義為1762.線性定常差分方程線性n階差分方程可表示為3.線性差分方程的求解例8-9已知差分方程為輸入信號，初始條件，求響應(yīng)

。177解對差分方程兩邊進(jìn)行z變換，可得

其中由所給初始條件得z逆變換得178例8-10已知差分方程為初始條件為。

解對方程兩邊進(jìn)行z變換，得則逆變換得1798-4脈沖傳遞函數(shù)一、脈沖傳遞函數(shù)的定義脈沖傳遞函數(shù)定義為輸出采樣信號的z變換與輸入采樣信號的z變換之比（8-59）返回子目錄圖8-12180系統(tǒng)輸出的采樣信號為經(jīng)虛設(shè)采樣開關(guān)得到的脈沖序列反映的是連續(xù)輸出在采樣時刻的瞬時值。181二、開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)1．開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的推導(dǎo)182（8-66）由此183求該開環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)。例8-11系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖8-12所示，其中連續(xù)部分的傳遞函數(shù)為184解：連續(xù)部分的脈沖響應(yīng)函數(shù)為脈沖傳遞函數(shù)為185或由得查表得1862．串聯(lián)環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù)（1）串聯(lián)環(huán)節(jié)間無采樣開關(guān)時的脈沖傳遞函數(shù)（8-67）圖8-13187例8-12系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖8-13所示，其中求開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)。188解：189(2)串聯(lián)環(huán)節(jié)間有采樣開關(guān)時的脈沖傳遞函數(shù)如圖8-14所示，其脈沖傳遞函數(shù)為各個連續(xù)環(huán)節(jié)z變換的乘積，記為（8-68）圖8-14串聯(lián)環(huán)節(jié)間有采樣開關(guān)的開環(huán)系統(tǒng)190例8-13系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖8-14所示，其中求開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)。191解：所以由于192（3）有零階保持器時的脈沖傳遞函數(shù)開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為

圖8-15帶零階保持器的開環(huán)采樣系統(tǒng)193例8-14系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖8-15所示，其中采樣周期s，求其開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)。194解：由于所以195三、閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)圖8-16閉環(huán)采樣系統(tǒng)196采樣開關(guān)的輸入和系統(tǒng)的輸出分別為197整理得于是閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為198例8-15閉環(huán)采樣系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖8-16所示，其中采樣周期s，求閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)。若，求。199解：對于階躍輸入函數(shù)有200則輸出信號的z變換為于是201注意有些閉環(huán)采樣系統(tǒng)不可能求出形式的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)，而只能求出輸出信號的表達(dá)式。如圖8-17所示的閉環(huán)采樣系統(tǒng)（8-17）202

8-5采樣系統(tǒng)的性能分析一、穩(wěn)定性1.從s平面到z平面的影射關(guān)系由z變換的定義（8-80）若令（8-81）則有（8-82）返回子目錄203左半s平面上的帶稱為主帶，其他稱為次帶。圖8-18從s平面到z平面的影射2042.z域的穩(wěn)定條件和穩(wěn)定性判據(jù)在z平面上系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是，系統(tǒng)的特征根必須全部位于z平面的單位圓內(nèi)。設(shè)采樣系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為則閉環(huán)特征方程為（8-84）205(1)朱利（Jury）穩(wěn)定判據(jù)且，根據(jù)特征方程的系數(shù)構(gòu)造朱利陣列，則特征方程的根均位于單位圓內(nèi)的充分必要條件為共（n-1）個約束條件（8-86）（8-87）206例8-16已知采樣系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為試判斷該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：207朱利陣列行數(shù)1-0.1250.75-1.5121-1.50.75-0.1253-0.981.41-0.564-0.561.41-0.96系統(tǒng)是穩(wěn)定的208(2)勞思(Routh)穩(wěn)定判據(jù)在分析連續(xù)系統(tǒng)時，曾應(yīng)用Routh穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的特征根位于s右半平面的個數(shù)，并依此來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。對于采樣系統(tǒng)，也可用Routh判據(jù)分析其穩(wěn)定性，但由于在z域中穩(wěn)定區(qū)域是單位圓內(nèi)，而不是左半平面，因此不能直接應(yīng)用Routh判據(jù)。209引入如下雙線性變換此時可用Routh判據(jù)判斷采樣系統(tǒng)的穩(wěn)定性。210(3)z平面的根軌跡方法以上述例8-15的閉環(huán)采樣系統(tǒng)為例，其特征方程為可知使系統(tǒng)穩(wěn)定的最大K值為4.33。例8-19的根軌跡圖211二、閉環(huán)極點(diǎn)與瞬態(tài)響應(yīng)之間的關(guān)系設(shè)采樣系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為（8-91）若輸入信號為單位階躍，則

212將按部分分式展開，得上式中第一項(xiàng)為穩(wěn)態(tài)分量，第二項(xiàng)為瞬態(tài)分量，顯然瞬態(tài)分量的變化規(guī)律取決于極點(diǎn)在z平面中的位置。213圖8-20不同極點(diǎn)所對應(yīng)的瞬態(tài)響應(yīng)214三、穩(wěn)態(tài)誤差圖8-21單位負(fù)反饋采樣系統(tǒng)（8-97）在輸入信號作用下，誤差的z變換表達(dá)式為2151.當(dāng)輸入為階躍函數(shù)時定義靜態(tài)位置誤差系數(shù)為則根據(jù)終值定理，有2162.當(dāng)輸入是斜坡函數(shù)時定義靜態(tài)速度誤差系數(shù)為穩(wěn)態(tài)誤差為2173.當(dāng)輸入是等加速信號時定義靜態(tài)加速度誤差系數(shù)為穩(wěn)態(tài)誤差為218例8-17已知采樣系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖所示，其中，，采樣周期s，求在輸入信號的作用下，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。圖8-22219解：采樣系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為采樣系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為220該采樣系統(tǒng)穩(wěn)定在階躍和斜坡函數(shù)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為零靜態(tài)加速度誤差系數(shù)為因此，在輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為2218-6采樣系統(tǒng)的數(shù)字校正如圖所示的閉環(huán)采樣系統(tǒng)，閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為圖8-23含數(shù)字校正裝置的采樣系統(tǒng)返回子目錄222系統(tǒng)的誤差為其中為的有限次多項(xiàng)式，若能選擇合適的，使其中為關(guān)于的多項(xiàng)式，并且不含因子。設(shè)輸入為時間的冪函數(shù)Atq

（），其中為正整數(shù)，則223則穩(wěn)態(tài)誤差為零。（8-108）（8-109）將代入上式，便可確定所需要的數(shù)字校正裝置的脈沖傳遞函數(shù)。又為了使系統(tǒng)能在盡可能少的周期內(nèi)實(shí)現(xiàn)對輸入的完全跟蹤，應(yīng)使中所含項(xiàng)的數(shù)目最少，為此應(yīng)取2241.當(dāng)時最少拍無差系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為此時誤差信號的z變換為系統(tǒng)經(jīng)過1拍便可以完全跟蹤上輸入信號。（8-110）（8-111）2252.當(dāng)時最少拍無差系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為此時誤差信號的z變換為系統(tǒng)經(jīng)過2拍便可以完全跟蹤上輸入信號。（8-112）（8-113）2263.當(dāng)時最少拍無差系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為此時誤差信號的z變換為系統(tǒng)經(jīng)過3拍便可以完全跟蹤上輸入信號。（8-114）（8-115）227例8-18已知采樣系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖所示，其中，采樣周期s，，試設(shè)計使該系統(tǒng)在單位階躍信號作用下為最少拍無差系統(tǒng)。圖8-24最少拍無差系統(tǒng)228解：將上式求z逆變換可得輸出序列229本章主要知識點(diǎn)與主要線索穩(wěn)態(tài)誤差根軌跡開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)閉環(huán)零、極點(diǎn)系統(tǒng)穩(wěn)定性、品質(zhì)系統(tǒng)型別(穩(wěn)定系統(tǒng))勞思判據(jù)雙線性變換終值定理特征式D(z)穩(wěn)定性一定條件下長除法部分分式分解求留數(shù)朱利判據(jù)閉環(huán)零、極點(diǎn)穩(wěn)定性平穩(wěn)性、快速性230231第九章狀態(tài)空間分析方法231232主要內(nèi)容9-1狀態(tài)空間方法基礎(chǔ)9-2線性系統(tǒng)的可控性和可觀性9-3狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測器9-4有界輸入、有界輸出的穩(wěn)定性9-5李雅普諾夫第二方法返回主目錄232233引言：前面幾章所學(xué)的內(nèi)容稱為經(jīng)典控制理論；下面要學(xué)的內(nèi)容稱為現(xiàn)代控制理論。兩者作一簡單比較。經(jīng)典控制理論(20世紀(jì)50年代前)現(xiàn)代控制理論(20世紀(jì)50年代后)研究對象單輸入單輸出的線性定常系統(tǒng)可以比較復(fù)雜數(shù)學(xué)模型傳遞函數(shù)(輸入、輸出描述)狀態(tài)方程(可描述內(nèi)部行為)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)運(yùn)算微積、復(fù)變函數(shù)線性代數(shù)、矩陣?yán)碚撛O(shè)計方法的特點(diǎn)非唯一性、試湊成分多,經(jīng)驗(yàn)起很大作用。主要在復(fù)數(shù)域進(jìn)行。設(shè)計的解析性，與計算機(jī)結(jié)合，主要在時間域進(jìn)行。233234基本要求

掌握由系統(tǒng)輸入-輸出的微分方程式、系統(tǒng)動態(tài)結(jié)構(gòu)圖及簡單物理模型圖建立系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的方法。熟練掌握矩陣指數(shù)的計算方法，熟練掌握由時域和復(fù)數(shù)域求解狀態(tài)方程的方法。熟練掌握由動態(tài)方程計算傳遞函數(shù)的公式。正確理解可逆線性變換,熟練掌握可逆線性變換前、后動態(tài)方程各矩陣的關(guān)系。正確理解可控性和可觀測性的概念，熟練掌握和運(yùn)用可控性判據(jù)和可觀性判據(jù)。返回子目錄234235熟練掌握可逆線性變換矩陣的構(gòu)成方法,能將可控系統(tǒng)

化為可控標(biāo)準(zhǔn)形。能對不可控系統(tǒng)進(jìn)行可控性分解。正確理解對偶原理,會將原系統(tǒng)的有關(guān)可觀測性的問題轉(zhuǎn)化為對偶系統(tǒng)的可控性問題來研究。正確理解單變量系統(tǒng)零、極點(diǎn)對消與動態(tài)方程可控、可觀測的關(guān)系。熟練掌握傳遞函數(shù)的可控性標(biāo)準(zhǔn)形實(shí)現(xiàn)、可觀性標(biāo)準(zhǔn)形實(shí)現(xiàn)的構(gòu)成方法。正確理解狀態(tài)反饋對可控性、可觀性的影響,正確理解狀態(tài)反饋可任意配置閉環(huán)極點(diǎn)的充要條件。235236熟練掌握全維狀態(tài)觀測器的公式和設(shè)計方法,熟練掌握由觀測器得到的狀態(tài)估計值代替狀態(tài)值構(gòu)成的狀態(tài)反饋系統(tǒng),可進(jìn)行閉環(huán)極點(diǎn)配置和觀測器極點(diǎn)配置。正確理解系統(tǒng)齊次方程漸近穩(wěn)定和系統(tǒng)BIBO穩(wěn)定的概念,熟練掌握判別漸近穩(wěn)定的方法和判別系統(tǒng)BIBO穩(wěn)定的方法。正確理解李雅普諾夫方程正定對稱解存在的條件和解法,能通過解李雅普諾夫方程進(jìn)行穩(wěn)定性分析。2362379-1狀態(tài)空間方法基礎(chǔ)在經(jīng)典控制理論中，用傳遞函數(shù)來設(shè)計和分析單輸入、單輸出系統(tǒng)。在現(xiàn)代控制理論中，用狀態(tài)變量來描述系統(tǒng)。采用矩陣表示法可以使系統(tǒng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式簡潔明了，為系統(tǒng)的分析研究提供了有力的工具。返回子目錄237238狀態(tài)：動力學(xué)系統(tǒng)的狀態(tài)可以定義為信息的集合。一、狀態(tài)空間的基本概念已知時狀態(tài)，時的輸入，可確定時任一變量的運(yùn)動狀況。狀態(tài)變量：確定動力學(xué)系統(tǒng)狀態(tài)的最小一組變量。238239狀態(tài)空間：由張成的n維向量空間。狀態(tài)向量：

如果完全描述一個給定系統(tǒng)的動態(tài)行為需要n個狀態(tài)變量，那么狀態(tài)向量定義為X(t)。對于確定的某個時刻，狀態(tài)表示為狀態(tài)空間中一個點(diǎn)，狀態(tài)隨時間的變化過程，構(gòu)成了狀態(tài)空間中的一條軌跡。239240例9-2設(shè)一RLC網(wǎng)絡(luò)如圖所示?；芈贩匠虨閳D9-2RLC網(wǎng)絡(luò)240241則有寫成輸出選擇狀態(tài)變量,241242寫成則有若選另一組狀態(tài)變量,242243

若給出(t=0)時的初值、、…、和時就可確定系統(tǒng)的行為。單輸入-單輸出線性定常系統(tǒng)選取狀態(tài)變量二、系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式243244（9-17）244245或?qū)懗桑?-19）245246系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示圖9-3246247例9-3輸入為u，輸出為y。試求系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程?？紤]用下列常微分方程描述的系統(tǒng)247248解：狀態(tài)方程為寫成取狀態(tài)變量248249輸出圖9-4例9-3系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖249250多輸入-多輸出系統(tǒng)圖9-6多變量系統(tǒng)250251………為狀態(tài)變量；為輸入量；為輸出變量。251252矩陣形式：式中252253……….輸出變量方程253254式中254255圖9-7系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖255256三、線性定常系統(tǒng)狀態(tài)方程的解式中均為列向量。（9-28）齊次向量微分方程（9-29）方程的解為1、齊次狀態(tài)方程的解256257可得代入方程將方程兩邊系數(shù)必相等,即257258我們定義(9-31)(9-32)因此，齊次狀態(tài)方程的解為將t=0代入式（9-29）中得258259(9-33)（9-34）（9-35）為n×n矩陣，稱矩陣指數(shù)。于是齊次狀態(tài)方程的解為用拉氏變換法求解259260拉氏逆變換后得到（9-37）（9-38）260261最終得到與前一種解法所得結(jié)果一致。式中（9-41）261262狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣具有以下性質(zhì)：262263圖9-8狀態(tài)轉(zhuǎn)移特性性質(zhì)3263264例9-5設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為試求狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。264265解：求狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為其中可以寫出方程解為265266例9-6設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為試求狀態(tài)方程的解。266267解：用拉氏變換求解。先求出矩陣指數(shù)267268狀態(tài)方程之解為將上式進(jìn)行拉氏逆變換268269圖9-9系統(tǒng)的瞬態(tài)解（a）與相軌跡（b）269270改寫為用左乘等式兩邊2非齊次狀態(tài)方程的解非齊次方程(9-53)(9-54)270271用左乘上式兩邊(9-54)則式（9-54）可以寫成(9-55)積分上式得271272討論非齊次狀態(tài)方程的拉氏變換解法拉氏逆變換得由于由卷積定理有272273因此由于最后得到273274例9-7求下述系統(tǒng)狀態(tài)的時間響應(yīng)控制量u為單位階躍函數(shù)。274275解：由狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣275276若初始狀態(tài)為零狀態(tài)，則276277四、傳遞函數(shù)矩陣（9-58）系統(tǒng)狀態(tài)方程（9-59）輸出方程拉氏變換為277278解出定義傳遞函數(shù)矩陣為（9-63）278279所以特征方程為（9-64）279280例9-8設(shè)系統(tǒng)的動態(tài)方程為試求該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣。280281解：已知故281282282283例9-9設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為試求系統(tǒng)的特征方程和特征值。283284解：系統(tǒng)的特征方程為特征方程的根為-1、-2和-3。矩陣A的特征值也為-1、-2和-3。兩者是一樣的。284285五、動態(tài)方程的可逆線性變換其中P是n×n

矩陣285286特征多項(xiàng)式特征多項(xiàng)式?jīng)]有改變。286287傳遞函數(shù)陣傳遞函數(shù)陣沒有改變287288例9-10對例9-9之系統(tǒng)進(jìn)行坐標(biāo)變換，其變換關(guān)系為試求變換后系統(tǒng)的特征方程和特征值。288289解：

根據(jù)題意求變換矩陣代入289290特征方程為特征值為-1，-2，-3，與例9-9結(jié)果相同?？傻?902919-2線性系統(tǒng)的可控性和可觀測性在狀態(tài)空間法中，對系統(tǒng)的描述可由狀態(tài)方程和輸出方程來表示。狀態(tài)方程是描述由輸入和初始狀態(tài)所引起的狀態(tài)的變化；輸出方程則是描述由于狀態(tài)變化而引起輸出的變化可控性和可觀測性的概念，就是回答“系統(tǒng)的輸入是否能控制狀態(tài)的變化’’和“狀態(tài)的變化能否由輸出反映出來’’這樣兩個問題。返回子目錄291292一、準(zhǔn)備知識設(shè)A

是n×n

矩陣,x

是n×1向量,齊次方程組若|A|=0,式（9-70）存在非零解；若|A|≠0,式（9-70）只有零解。Ax=0（9-70）1.齊次方程組的非零解2922932.凱萊-哈米爾頓(Cayley-Hamilton)定理

Cayley-Hamilton定理指出，矩陣A滿足自己的特征多項(xiàng)式。則A滿足（9-71）（9-72）A的特征多項(xiàng)式293294應(yīng)用Cayley-Hamilton定理（9-78）對于矩陣指數(shù)可以用來表示。294295例9-11解：矩陣A的特征多項(xiàng)式要求計算矩陣的295296矩陣A滿足自己的特征多項(xiàng)式，有本題中n=100，故有M2962973.引理的充分必要條件是：存在使（9-80）非奇異。這里A:n×n,b:n×1。297298若對任意狀態(tài)，存在一個有限時刻和控制量，能在時刻將狀態(tài)轉(zhuǎn)移到0，則稱此系統(tǒng)的狀態(tài)完全可控。二、線性系統(tǒng)的可控性1.定義對于任意時刻和，若存在控制向量，能將的每個初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到時刻的另一任意狀態(tài),則稱此系統(tǒng)的狀態(tài)完全可控。等價的定義298299例如圖9-10二維系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程如圖所示系統(tǒng)可控。2993002.可控性判據(jù)其中A(n×n),b(n×1),c(1×n),d(1×1)系統(tǒng)可控的充分必要條件是（9-84）（9-85）(9-86)單變量線性定常系統(tǒng)300301證明：將u(t)代入式(9-54)，可得(9-87)若式(9-86)成立，由前面準(zhǔn)備知識的引理，存在t1>0，使得式(1-30)定義的W(0,t1)矩陣非奇異，取t1為可控性定義中的tf

，且在[0,tf]上定義301302由定義可知式(9-86)成立時，系統(tǒng)可控。302303再證明若系統(tǒng)可控，則式(9-86)成立。根據(jù)凱萊-哈密爾頓定理（9-88）（9-89）假定系統(tǒng)由任意初始狀態(tài)被控制到零狀態(tài)，即x(tf)=0。根據(jù)(9-54)式，則有303304把(9-89)式代入(9-88)式，得記這時（9-90）304305由于x(0)是任意的n維向量，式(9-90)要有解，一定有(9-86)式成立，即由上述可控性判據(jù)可知，系統(tǒng)的可控性只取決于式(9-84)中的A陣和b陣。今后為了方便起見，將可控性矩陣記為S，這樣，可控的充要條件就寫成：rankS=n或detS≠0。305306圖9-11不可控系統(tǒng)306307例子系統(tǒng)可控。系統(tǒng)3073083.約當(dāng)型方程的可控性判據(jù)

約當(dāng)塊的一般形式為由前面討論可知，等價變換不改變可控性。308309可控的充分必要條件為①同一特征值對應(yīng)的約當(dāng)塊只有一塊，即各約當(dāng)塊的特征值不同。②每一約當(dāng)塊最后一行，所對應(yīng)的b中的元素不為零。這一充分必要條件又稱為單輸入系統(tǒng)約當(dāng)形方程的可控性判據(jù)。309310例9-12系統(tǒng)狀態(tài)方程為試確定系統(tǒng)可控時，應(yīng)滿足的條件。310311解：

如果用直接計算可控性矩陣的方法也可得到同樣結(jié)果.因?yàn)锳陣有兩個約當(dāng)塊，根據(jù)判據(jù)的①應(yīng)有，由判據(jù)的②，A的第二行所對應(yīng)的b中的元素b2,b4均不為零，因此系統(tǒng)可控的充要條件為3113124.可控標(biāo)準(zhǔn)形(9-92)則系統(tǒng)一定可控。一個單輸入系統(tǒng)，如果具有如下形式312313式(9-92)的形式被稱為單輸入系統(tǒng)的

可控標(biāo)準(zhǔn)形。對于一般的單輸入n維動態(tài)方程

(9-93)其中A，b分別為n×n,n×1的矩陣。成立以下定理：若n維單輸入系統(tǒng)可控，則存在可逆線性變換，將其變換成可控標(biāo)準(zhǔn)形。313314下面給出變換矩陣P的構(gòu)成方法計算可控性矩陣S；計算，并記的最后一行為h。構(gòu)造矩陣P令

即可求出變換后的系統(tǒng)狀態(tài)方程。，，，，314315例9-13設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為試將系統(tǒng)狀態(tài)方程化為可控標(biāo)準(zhǔn)形。315316解：

先判斷可控性，再計算變換矩陣，將狀態(tài)方程化為可控標(biāo)準(zhǔn)形。故系統(tǒng)可控。一定可將它化為可控標(biāo)準(zhǔn)形。316317此時標(biāo)準(zhǔn)形中的系統(tǒng)矩陣的最后一行系數(shù)就是A陣特征式的系數(shù)，但符號相反。則變換矩陣為317318可求出3183195.系統(tǒng)按可控性進(jìn)行分解

系統(tǒng)可控時，可通過可逆線性變換變換為可控標(biāo)準(zhǔn)形，現(xiàn)在研究不可控的情況，這時應(yīng)有下面的結(jié)果被稱為系統(tǒng)按可控性進(jìn)行分解的定理

（9-103）319320若單變量系統(tǒng)式(9-84)，(9-85)的可控性矩陣滿足式(9-103），則存在可逆線性變換矩陣P，使得變換后的系統(tǒng)方程具有以下形式（9-106）（9-107）式中是n1維向量，是n2維向量，并且320321式(9-106)表明下面的動態(tài)方程是可控的：式（9-107)表明的動態(tài)方程(9-108)，(9-109)和原來的n維動態(tài)方程(9-84)，(9-85)具有相同的傳遞函數(shù)?；蛘哒f傳遞函數(shù)中未能反映系統(tǒng)中不可控的部分。（9-108）（9-109）321322證明：(9-110)考察(9-103)式，并將它重新寫出如下進(jìn)而可以證明補(bǔ)充選取線性無關(guān)的向量并使得向量組線性無關(guān)。322即可證明具有定理所要求的(9-104)的形式。323令若將式(9-104，105)所表示的系統(tǒng)用方框圖表示，可控性分解的意義就能更直觀地體現(xiàn)出來，式(9-104)，(9-105)的系統(tǒng)方框圖如圖9-12所示。323324圖9-12系統(tǒng)按可控性分解324325從圖9-12中可見，控制輸入不能直接改變也不能通過影響間接改變，故這一部分狀態(tài)分量是不受輸入影響的，它是系統(tǒng)中的不可控部分。由圖上還可看出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)完全由圖中虛線以上的部分所決定，即傳遞函數(shù)未能反映系統(tǒng)的不可控部分。325326例9-14設(shè)有系統(tǒng)方程如下其傳遞函數(shù)為試進(jìn)行可控性分解。326327解：系統(tǒng)的可控性矩陣由于S的第3列是第1列與第2列的線性組合，系統(tǒng)不可控。選取327328計算出構(gòu)成328329故有因而得329330三、線性系統(tǒng)的可觀測性設(shè)n維單變量線性定常系統(tǒng)的動態(tài)方程為(9-113,114)

如果在有限時間間隔[0,t1]內(nèi)，根據(jù)輸出值y(t)和輸入值u(t)，能夠唯一確定系統(tǒng)的初始狀態(tài)x(0)的每一個分量，則稱此系統(tǒng)是完全可觀測的，簡稱可觀的。1.可觀測性的定義式中A,b,c分別為矩陣。330331

若系統(tǒng)中至少有一個狀態(tài)變量是不可觀測(不能被確定)的，則稱系統(tǒng)不可觀。圖9-13不可觀測系統(tǒng)331332

分析式(9-117)，當(dāng)知道某一時刻的輸出時，式(9-117)是n個未知量x(0)的(一個)方程，顯然不能唯一確定初值，要解出x(0)，必須要利用一段時間上的輸入和輸出的值。將式(9-117)左乘一個列向量，再從0到t1積分就可得到n個未知數(shù)x(0)的n個方程。就可利用線性方程組存在唯一解的條件來研究。(9-117)我們考慮沒有外作用的系統(tǒng)，可求出3323332.可觀測性判據(jù)

可觀測的充分必要條件是(9-118)式(9-118)中的矩陣稱為可觀性矩陣。并記為V。333334式（9-118）又可以寫成取x(0)=α，這一非零的初始狀態(tài)引起的輸出為（9-120）根據(jù)準(zhǔn)備知識中的引理，存在334335將代入上式，得

顯然α不可能由y(t)=0來確定。即系統(tǒng)不可觀測。335336試判斷系統(tǒng)的可觀測性。設(shè)系統(tǒng)動態(tài)方程為例題9-15336337解：系統(tǒng)的可觀性矩陣是奇異的，故系統(tǒng)不可觀測。系統(tǒng)可觀性矩陣的秩，在對系統(tǒng)作可逆線性變換下保持不變，因而可逆線性變換不改變系統(tǒng)的可觀測性。

337338事實(shí)上因?yàn)槭强赡骊嚕陨鲜絻啥司仃嚨闹认嗤?383393.對偶原理上面兩個系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣、輸入矩陣、輸出矩陣之間有確定的關(guān)系，稱系統(tǒng)Ⅰ、Ⅱ是互為對偶的系統(tǒng)。系統(tǒng)Ⅰ系統(tǒng)Ⅱ339340對偶原理

系統(tǒng)Ⅰ的可控性(可觀性)等價于系統(tǒng)Ⅱ的可觀性(可控性)。只要寫出系統(tǒng)Ⅰ的可控性矩陣(可觀性矩陣)和系統(tǒng)Ⅱ的可觀性矩陣(可控性矩陣)即可證明以上結(jié)論。利用對偶原理，可以將可控性的研究結(jié)果應(yīng)用到可觀測性的研究上。因?yàn)閷ε枷到y(tǒng)的可控性研究就相當(dāng)于對原系統(tǒng)的可觀性研究。340341應(yīng)用：

若式(9-113)和式(9-114)的動態(tài)方程中A陣具有約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形，則系統(tǒng)可觀測的充分必要條件為

①同一特征值對應(yīng)的約當(dāng)塊只有一塊。②每一約當(dāng)塊的第1列所對應(yīng)的c中的元素非零。上述條件就是約當(dāng)形動態(tài)方程的可觀測性判據(jù)。它可以由對偶系統(tǒng)的可控性判據(jù)得到。341342例9-16

設(shè)動態(tài)方程為試確定系統(tǒng)可觀測時應(yīng)滿足的條件。342343解：由對偶系統(tǒng)的可控性判據(jù)可知，其可控的充要條件為這也就是原系統(tǒng)可觀測的條件。構(gòu)造原系統(tǒng)的對偶系統(tǒng)如下：3433444.可觀測標(biāo)準(zhǔn)形

一個單輸出系統(tǒng)如果其A,c

陣有如下的標(biāo)準(zhǔn)形式，它一定是可觀測的。式（9-122）稱為單輸出系統(tǒng)的可觀測標(biāo)準(zhǔn)形。（9-122）344345通過對偶原理證明：給定系統(tǒng)方程如下（9-123）若有等價變換將其化為可觀測標(biāo)準(zhǔn)形式中具有式(9-122)的形式。345346構(gòu)造原系統(tǒng)的對偶系統(tǒng)

根據(jù)對偶原理，因原系統(tǒng)為可觀測，所以其對偶系統(tǒng)一定可控。

化為下列的可控標(biāo)準(zhǔn)形，其變換矩陣為P。346347因此有(9-134)比較上面兩組式子，可知欲求之線性變換矩陣它可將系統(tǒng)方程化為可觀測標(biāo)準(zhǔn)形。347348例9-17系統(tǒng)動態(tài)方程為將系統(tǒng)動態(tài)方程化為可觀標(biāo)準(zhǔn)形，并求出變換矩陣。348349解：顯然該系統(tǒng)可觀測，可以化為可觀標(biāo)準(zhǔn)形。寫出它的對偶系統(tǒng)的A,b陣，分別為根據(jù)A,b陣，按化可控標(biāo)準(zhǔn)形求變換陣的步驟求出P陣。349350計算可控性矩陣S由(9-129)式求出P陣由(9-134)式求出M陣350351式中351352

5.系統(tǒng)按可觀性進(jìn)行分解

系統(tǒng)可觀測，則通過等價變換可以化為可觀測標(biāo)準(zhǔn)形?，F(xiàn)在研究系統(tǒng)不可觀的情況，它是系統(tǒng)不可控的對偶結(jié)果。若式(9-113，114)的系統(tǒng)不可觀測，且352353則存在可逆矩陣P，將動態(tài)方程化為式中是n2維向量,是n-n2維向量，并且（9-137）（9-135）（9-136）353354(9-135,136)的式子也可用圖9-14表示。

這可以用前面證明可觀標(biāo)準(zhǔn)形的方法論證。式(9-137)表明n2維的子系統(tǒng)(A1b1c1)是可觀的；這部分狀態(tài)變量是不可觀的；式(9-138)表明傳遞函數(shù)未能反映系統(tǒng)的不可觀部分。系統(tǒng)按可觀性分解的結(jié)果(9-138)354355圖9—14系統(tǒng)按可觀測性分解由上圖可以看出傳遞函數(shù)完全由圖中虛線以上的部分所決定，即傳遞函數(shù)未能反映系統(tǒng)中不可觀測的部分。355356四、可控性、可觀測性與傳遞函數(shù)的關(guān)系（9-141）對應(yīng)的傳遞函數(shù)為(9-140)考慮單變量系統(tǒng)，其動態(tài)方程為1.可控性、可觀測性與零、極點(diǎn)對消問題356357式中：

N(s)=0的根稱為傳遞函數(shù)g(s)的零點(diǎn)，D(s)=0的根稱為傳遞函數(shù)g(s)的極點(diǎn)。下面是本段的主要結(jié)果。定理

動態(tài)方程式(9-140)可控、可觀測的充分必要條件是g(s)無零、極點(diǎn)對消，即D(s)和N(s)無非常數(shù)的公因式。357358證明：首先用反證法證明條件的必要性，若有s=s0即使N(s0)=0，又使D(s0)=0，由(9-141)式即得(9-143)利用恒等式可得(9-144)358359將s=s0代入式(9-144)，并利用式(9-143)，可得(9-145)將上式前乘c、后乘b后，即有（9-146）將式(9-145)前乘cA、后乘b后，即有（9-147）359360依次類推可得這組式子又可寫成360361

出現(xiàn)矛盾，矛盾表明N(s)和D(s)無相同因子，即g(s)不會出現(xiàn)零、極點(diǎn)相消的現(xiàn)象。因?yàn)閯討B(tài)方程可觀測，故上式中前面的可觀性矩陣是可逆矩陣，故有又由于系統(tǒng)可控，不妨假定A、b具有可控標(biāo)準(zhǔn)形式(9-92)的形式，直接計算可知（9-148）361362例9-18設(shè)系統(tǒng)動態(tài)方程為驗(yàn)證系統(tǒng)是可控、可觀測的。362363顯然N(s)和D(s)無非常數(shù)的公因式，這時傳遞函數(shù)沒有零、極點(diǎn)相消。事實(shí)上解：分別計算3633642.傳遞函數(shù)的最小階動態(tài)方程實(shí)現(xiàn)

已知動態(tài)方程，可以用式(9-64)計算出傳遞函數(shù)。如果給出傳遞函數(shù)如何找出它所對應(yīng)的動態(tài)方程？這一問題稱為傳遞函數(shù)的實(shí)現(xiàn)。如果又要求所找出的動態(tài)方程階數(shù)最低，就稱為傳遞函數(shù)的最小實(shí)現(xiàn)問題。364365設(shè)給定有理函數(shù)(9-149)式(9-149)中的d就是下列動態(tài)方程中的直接傳遞部分(9-150)所以只需討論式(9-149)中的嚴(yán)格真有理分式部分。365366給定嚴(yán)格真有理函數(shù)(9-151)要求尋找A,b,c，使得(9-152)并且在所有滿足式(9-152)的A,b,c中，要求A的維數(shù)盡可能的小。下面分兩種情況討論366367可控標(biāo)準(zhǔn)形的最小階實(shí)現(xiàn)式(9-153)對式(9-151)，可構(gòu)造出如下的實(shí)現(xiàn)(A,b,c)(9-153)（1）g(s)的分子和分母無非常數(shù)公因式的情況367368(9-154)可觀標(biāo)準(zhǔn)形的最小階實(shí)現(xiàn)式(9-153)給出的(A,b,c)具有可控標(biāo)準(zhǔn)形，故一定是可控的。可直接計算它對應(yīng)的傳遞函數(shù)就是式(9-151)的傳遞函數(shù)。由于g(s)無零、極點(diǎn)對消，故可知式(9-153)對應(yīng)的動態(tài)方程也一定可觀。同樣可以說明式(9-154)是式(9-151)的可觀標(biāo)準(zhǔn)形的最小實(shí)現(xiàn)。368369

若g(s)的分母已經(jīng)分解成一次因式的乘積，通過部分分式分解，容易得到約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的最小階實(shí)現(xiàn)。現(xiàn)用例子說明,設(shè)g(s)有以下的形式(9-155)約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的最小階實(shí)現(xiàn)因?yàn)間(s)無零、極點(diǎn)對消，故可知上式中c1、c4均不為零。369370令分別對應(yīng)于370371而綜合上面各式并令x=[x1x2x3x4]T可得由約當(dāng)形方程的可控性判據(jù)和可觀測性判據(jù)可知上式是可控、可觀測的，因而它是g(s)一個最小階實(shí)現(xiàn)。371372

若g(s)的分母是n階多項(xiàng)式，但分子和分母有相消的公因式時,這時n階的動態(tài)方程實(shí)現(xiàn)就不是最小階實(shí)現(xiàn)，而是非最小實(shí)現(xiàn)(或是不可控的，或是不可觀的，或是既不可控也不可觀的)。g(s)的最小實(shí)現(xiàn)的維數(shù)一定小于n。（2）g(s)的分子和分母有相消因式的情況372373例9-19設(shè)g(s)的分子N(s)=s+1,而分母D(s)=，分子與分母有公因子(s+1)。仿照式(9-153)，可寫出g(s)的一個三維的可