廣東省東莞市潢涌中學(xué)2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析

廣東省東莞市潢涌中學(xué)2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知點(diǎn)，若直線過點(diǎn)與線段相交，則直線的斜率的取值范圍是

A．

B．

C．

D．參考答案：A2.的展開式中的系數(shù)是（）Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．

參考答案：D略3.已知函數(shù)的最小正周期為，將的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，則的一個(gè)值是（

）A.

B.

C.

D.

參考答案：D4.設(shè)命題甲;命題乙,那么甲是乙的(

)A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件參考答案：B5.雙曲線的左焦點(diǎn)為，頂點(diǎn)為，是該雙曲線右支上任意一點(diǎn)，則分別以線段為直徑的兩圓一定(

)（A）相交（B）內(nèi)切（C）外切（D）相離參考答案：B6.點(diǎn)P在曲線y=x3﹣x+上移動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P處切線的傾斜角為α，則角α的取值范圍是（）A．[0，]B．[0，）∪[，π）C．[，π）D．（，]參考答案：B【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的幾何意義．【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知切線的斜率即為該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的取值范圍求出斜率的范圍，最后再根據(jù)斜率與傾斜角之間的關(guān)系k=tanα，求出α的范圍即可．【解答】解：∵tanα=3x2﹣1，∴tanα∈[﹣1，+∞）．當(dāng)tanα∈[0，+∞）時(shí)，α∈[0，）；當(dāng)tanα∈[﹣1，0）時(shí)，α∈[，π）．∴α∈[0，）∪[，π）故選B．7.函數(shù)f（x）=x2+2x，集合A={（x，y）|f（x）+f（y）≤2}，B={（x，y）|f（x）≤f（y）}，則由A∩B的元素構(gòu)成的圖形的面積是（）A．π B．2π C．3π D．4π參考答案： B【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的應(yīng)用；集合的表示法．【分析】根據(jù)已知中函數(shù)f（x）=x2+2x，集合A={（x，y）|f（x）+f（y）≤2}，B={（x，y）|f（x）≤f（y）}，畫出滿足條件的圖形，進(jìn)而可得答案．【解答】解：A={（x，y）|f（x）+f（y）≤2}={（x，y）|（x+1）2+（y+1）2≤4}B={（x，y）|f（x）≤f（y）}={（x，y）|（x﹣y）（x+y+2）≤2}畫出可行域，正好拼成一個(gè)半徑為2的半圓，故S=×22=2π故選：B8.等比數(shù)列中，，前項(xiàng)之和，則公比的值為（）（Ａ） Ｂ） （Ｃ）或 （Ｄ）或參考答案：D9.有一段演繹推理是這樣的：“直線平行于平面，則平行于平面內(nèi)所有直線；已知直線b?平面α，直線a?平面α，直線b∥平面α，則直線b∥直線a”，結(jié)論顯然是錯(cuò)誤的，導(dǎo)致推理錯(cuò)誤的原因是（）A．推理形式錯(cuò)導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)B．小前提錯(cuò)導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)C．大前提錯(cuò)導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)D．大前提和小前提都錯(cuò)導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)參考答案：C【考點(diǎn)】演繹推理的基本方法．【分析】分析該演繹推理的三段論，即可得出錯(cuò)誤的原因是什么．【解答】解：該演繹推理的大前提是：若直線平行于平面，則該直線平行于平面內(nèi)所有直線；小前提是：已知直線b∥平面α，直線a?平面α；結(jié)論是：直線b∥直線a；該結(jié)論是錯(cuò)誤的，因?yàn)榇笄疤崾清e(cuò)誤的，正確敘述是“若直線平行于平面，過該直線作平面與已知平面相交，則交線與該直線平行”．故選：C10.設(shè)在內(nèi)單調(diào)遞增；.則是的（

）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.用1，2，3，4，5組成不含重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，要求數(shù)字4不出現(xiàn)在首位和末位，數(shù)字1，3，5中有且僅有兩個(gè)數(shù)字相鄰，則滿足條件的不同五位數(shù)的個(gè)數(shù)是．（注：結(jié)果請(qǐng)用數(shù)字作答）參考答案：48【考點(diǎn)】排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問題．【分析】對(duì)數(shù)字4分類討論，結(jié)合數(shù)字1，3，5中有且僅有兩個(gè)數(shù)字相鄰，利用分類計(jì)數(shù)原理，即可得出結(jié)論．【解答】解：數(shù)字4出現(xiàn)在第2位時(shí)，數(shù)字1，3，5中相鄰的數(shù)字出現(xiàn)在第3，4位或者4，5位，共有C32A22A22=12個(gè)，數(shù)字2出現(xiàn)在第4位時(shí)，同理也有12個(gè)；數(shù)字4出現(xiàn)在第3位時(shí)，數(shù)字1，3，5中相鄰的數(shù)字出現(xiàn)在第1，2位或第4，5位，共有C21C32A22A22=24個(gè)，故滿足條件的不同五位數(shù)的個(gè)數(shù)是48．故答案為：48．【點(diǎn)評(píng)】本題考查分類計(jì)數(shù)原理，考查排列、組合知識(shí)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．12.如圖，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，則異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為

．參考答案：13.某班有52人，現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣的方法，抽取一個(gè)容量為4的樣本，已知座位號(hào)分別為6，30，42的同學(xué)都在樣本中，那么樣本中另一位同學(xué)的座位號(hào)是

。參考答案：18略14.已知在上是的減函數(shù)，則的取值范圍是__________.參考答案：(1，2)15.已知，則的最大值為__________________；參考答案：略16.定義在R上的奇函數(shù)f（x），對(duì)任意x∈R都有f（x+2）=f（﹣x），當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，f（x）=4x，則f（2015）=．參考答案：-4考點(diǎn)： 抽象函數(shù)及其應(yīng)用．

專題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析： 根據(jù)條件f（x+2）=f（﹣x），得到函數(shù)的周期是4，利用函數(shù)的奇偶性，將條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可得到結(jié)論．解答： 解：∵f（x+2）=f（﹣x），f（x）關(guān)于x=1對(duì)稱，函數(shù)是奇函數(shù)，f（x+2）=f（﹣x）=﹣f（x），f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），可得函數(shù)是周期函數(shù)．∴函數(shù)f（x）的周期是4，∴f（2015）=f（504×4﹣1）=f（﹣1）=﹣f（1），∵當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，f（x）=4x，∴f（1）=4，∴f（2015）=﹣f（1）=﹣4，故答案為：﹣4．點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查函數(shù)值的計(jì)算，抽象函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)奇偶性和周期性進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．17.設(shè)z∈C，且|z+1|﹣|z﹣i|=0，則|z+i|的最小值為．參考答案：【考點(diǎn)】A8：復(fù)數(shù)求模；A4：復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義．【分析】根據(jù)題意，可得滿足|z+1|﹣|z﹣i|=0的點(diǎn)Z幾何意義為復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)到（﹣1，0）與（0，1）的中垂直平分線，進(jìn)而分析|z+i|的幾何意義，可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，可得滿足|z+1|﹣|z﹣i|=0的點(diǎn)Z幾何意義為復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)到（﹣1，0）與（0，1）的垂直平分線：x+y=0，|z+i|的最小值，就是直線上的點(diǎn)與（0，﹣1）距離的最小值：=．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題是基礎(chǔ)題，考查復(fù)數(shù)的模的基本運(yùn)算，復(fù)數(shù)模的幾何意義，點(diǎn)到直線的距離的求法，考查計(jì)算能力．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知點(diǎn)A（2，0）是橢圓C：的右頂點(diǎn)，且橢圓C的離心率為．過點(diǎn)M（﹣3，0）作直線l交橢圓C于P、Q兩點(diǎn)．（1）求橢圓C的方程，并求出直線l的斜率的取值范圍；（2）橢圓C的長(zhǎng)軸上是否存在定點(diǎn)N（n，0），使得∠PNM=∠QNA恒成立？若存在，求出n的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．參考答案：【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【專題】綜合題；方程思想；分析法；直線與圓；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】（1）根據(jù)離心率e==，長(zhǎng)軸右端點(diǎn)為A，求出幾何量a，b，c，即可求橢Γ的方程；設(shè)直線l的方程為：y=k（x+3），聯(lián)立橢圓方程，運(yùn)用判別式大于0，解不等式即可得到所求范圍；（2）假設(shè)存在定點(diǎn)N（n，0），使得∠PNM=∠QNA恒成立，即kPN+kQN=0恒成立．運(yùn)用直線的斜率公式，化簡(jiǎn)整理，結(jié)合韋達(dá)定理，即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）由已知得，解得，則橢圓C得方程；設(shè)直線l的方程為：y=k（x+3），則聯(lián)立，得（1+4k2）x2+24k2x+36k2﹣4=0，由△＞0，解得；（2）假設(shè)存在定點(diǎn)N（n，0），使得∠PNM=∠QNA恒成立，即kPN+kQN=0恒成立．設(shè)點(diǎn)P（x1，y1），Q（x2，y2），由（1）知，==，得，故存在定點(diǎn)．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的幾何性質(zhì)與標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．19.（本小題滿分12分）已知均為實(shí)數(shù)，且，

求證：中至少有一個(gè)大于參考答案：證明：假設(shè)中沒有一個(gè)大于即，則-----3因?yàn)樗?/p>

-----10又因?yàn)?/p>

所以假設(shè)不成立所以原命題成立，即中至少有一個(gè)大于-----1220.某飲料公司對(duì)一名員工進(jìn)行測(cè)試以便確定考評(píng)級(jí)別，公司準(zhǔn)備了兩種不同的飲料共5杯，其顏色完全相同，并且其中的3杯為A飲料，另外的2杯為B飲料，公司要求此員工一一品嘗后，從5杯飲料中選出3杯A飲料．若該員工3杯都選對(duì)，測(cè)評(píng)為優(yōu)秀；若3杯選對(duì)2杯測(cè)評(píng)為良好；否測(cè)評(píng)為合格．假設(shè)此人對(duì)A和B飲料沒有鑒別能力（1）求此人被評(píng)為優(yōu)秀的概率（2）求此人被評(píng)為良好及以上的概率．參考答案：【考點(diǎn)】列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率；古典概型及其概率計(jì)算公式．【分析】根據(jù)題意，首先將飲料編號(hào)，進(jìn)而可得從5杯飲料中選出3杯的所有可能的情況，即所有的基本事件；再記“此人被評(píng)為優(yōu)秀”為事件D，記“此人被評(píng)為良好及以上”為事件E，（1）分析查找可得，D包括的基本事件數(shù)目，由古典概型公式，計(jì)算可得答案；（2）分析查找可得，E包括的基本事件數(shù)目，由古典概型公式，計(jì)算可得答案．【解答】解：將5杯飲料編號(hào)為1、2、3、4、5，編號(hào)1、2、3表示A飲料，編號(hào)4、5表示B飲料；則從5杯飲料中選出3杯的所有可能的情況為：（123），（124），（125），（134），（135），（145），（234），（235），（245），（345）；共10個(gè)基本事件；記“此人被評(píng)為優(yōu)秀”為事件D，記“此人被評(píng)為良好及以上”為事件E，（1）分析可得，D包括（123）1個(gè)基本事件，則P（D）=；（2）E包括（123），（124），（125），（134），（135），（234），（235）7個(gè)基本事件；則P（E）=．【點(diǎn)評(píng)】本題考查列舉法計(jì)算概率，注意列舉時(shí)按一定的規(guī)律、順序，一定做到不重不漏，還有助于查找基本事件的數(shù)目．21.設(shè)橢圓C：的離心率e=，左頂點(diǎn)M到直線=1的距離d=，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設(shè)直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，若以AB為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：點(diǎn)O到直線AB的距離為定值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，試求△AOB的面積S的最小值．參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合問題．【分析】（Ⅰ）由已知得，又a2=b2+c2，由此能求出橢圓C的方程．（Ⅱ）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，x1x2+y1y2=0，點(diǎn)O到直線AB的距離為．當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)AB的方程為y=kx+m，聯(lián)立，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，由此利用韋達(dá)定理結(jié)合已知條件推導(dǎo)出點(diǎn)O到直線AB的距離為，由此能證明點(diǎn)O到直線AB的距離為定值．（3）設(shè)直線OA的斜率為k0，OA的方程為y=k0x，OB的方程為y=﹣，聯(lián)立，得，同理，得，由此能求出△AOB的面積S的最小值．【解答】解：（Ⅰ）由已知得，又a2=b2+c2，解得a=2，b=1，c=，∴橢圓C的方程為．（Ⅱ）證明：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），①當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，則由橢圓的對(duì)稱性知x1=x2，y1=﹣y2，∵以AB為直線的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，∴=0，∴x1x2+y1y2=0，∴，又點(diǎn)A在橢圓C上，∴=1，解得|x1|=|y1|=．此時(shí)點(diǎn)O到直線AB的距離．（2）當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)AB的方程為y=kx+m，聯(lián)立，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，∴，，∵以AB為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn)O，∴OA⊥OB，∴=x1x2+y1y2=0，∴（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2=0，∴（1+k2）?，整理，得5m2=4（k2+1），∴點(diǎn)O到直線AB的距離=，綜上所述，點(diǎn)O到直線AB的距離為定值．（3）設(shè)直線OA的斜率為k0，當(dāng)k0≠0時(shí)，OA的方程為y=k0x，OB的方程為y=﹣，聯(lián)立，得，同理，得，∴△AOB的面積S==2，令1