控制系統(tǒng)的計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)2-08

本章內(nèi)容(1)

利用MATLAB實(shí)現(xiàn)串聯(lián)頻率校正的三種方法；(2)

利用MATLAB實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)狀態(tài)反饋的兩種方法；(3)

利用MATLAB實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)狀態(tài)觀測(cè)器的兩種方法；(4)

利用MATLAB實(shí)現(xiàn)帶狀態(tài)觀測(cè)器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)；(5)

利用MATLAB實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的解耦；(6)

利用MATLAB實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋的線性二次型最優(yōu)控制器的設(shè)計(jì)；(7)

利用MATLAB實(shí)現(xiàn)輸出反饋的線性二次型的最優(yōu)控制。

第8章控制系統(tǒng)的計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)18.1.3基于頻率響應(yīng)法的串聯(lián)滯后-超前校正1.滯后-超前校正裝置的特性設(shè)滯后-超前校正裝置的傳遞函數(shù)為上式等號(hào)右邊的第一項(xiàng)產(chǎn)生超前網(wǎng)絡(luò)的作用，而第二項(xiàng)產(chǎn)生滯后網(wǎng)絡(luò)的作用。2(1)極坐標(biāo)圖滯后-超前校正裝置的極坐標(biāo)圖如圖8-9所示。由圖可知，當(dāng)角頻率ω在0→ω0之間變化時(shí),滯后-超前校正裝置起著相位滯后校正的作用；當(dāng)ω在ω0→∝之間變化時(shí),它起著超前校正的作用，對(duì)應(yīng)相位角為零的頻率ω0為3（2）對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖滯后-超前校正裝置的對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖如圖8-10所示。從圖可清楚看出，當(dāng)0<ω<ω0時(shí)滯后-超前校正裝置起著相位滯后校正的作用；當(dāng)ω0<ω<∝時(shí)它起著相位超前校正的作用。42.串聯(lián)滯后-超前校正方法滯后-超前校正裝置的超前校正部分，因增加了相位超前角，并且在幅值穿越頻率(剪切頻率)上增大了相位裕量,提高了系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性；滯后部分在幅值穿越頻率以上，將使幅值特性產(chǎn)生顯著的衰減，因此在確保系統(tǒng)有滿意的瞬態(tài)響應(yīng)特性的前提下，容許在低頻段上大大提高系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)放大系數(shù)，以改善系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)特性。利用頻率法設(shè)計(jì)滯后-超前校正裝置的步驟:(1)根據(jù)性能指標(biāo)對(duì)穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)的要求，確定開(kāi)環(huán)增益k；5(2)求出未校正系統(tǒng)相位和幅值裕量；(3)如果未校正系統(tǒng)相位和幅值裕量不滿足要求，則選擇未校正系統(tǒng)相頻特性曲線上相位角等于-180的頻率，即相位交接頻率作為校正后系統(tǒng)的幅值交接頻率ωc；(4)利用ωc確定滯后校正部分的參數(shù)T2和β。通常選取滯后校正部分的第二個(gè)交接頻率ω2=1/T2=(1/10)ωc,并取β=10；(5)根據(jù)校正后系統(tǒng)在新的幅值交接頻率ωc處的幅值必為0db確定超前校正部分的參數(shù)T1；(6)畫(huà)出校正后系統(tǒng)的bode圖，并檢驗(yàn)系統(tǒng)的性能指標(biāo)是否已全部滿足要求。6例8-3

設(shè)有單位負(fù)反饋系統(tǒng)，其開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為若要求kv=10(1/s)相位裕量為50，幅值裕量為10dB，試設(shè)計(jì)一個(gè)串聯(lián)滯后超前-校正裝置，來(lái)滿足要求的性能指標(biāo)。解根據(jù)可求出k=10，即7根據(jù)其以上設(shè)計(jì)步驟，可編寫以下m文件。ex8_3.m8執(zhí)行后可得如下結(jié)果及圖8-11所示曲線。

num/den=1.8817s+1-----------------0.18817s+1num/den=7.0711s+1----------------70.7107s+19num/den=133.0595s^2+89.5281s+10-------------------------------------------------------------------------6.653s^5+55.4084s^4+120.1542s^3+72.3989s^2+s校正前：幅值裕量=-10.4567dB，相位裕量=-28.0814校正后：幅值裕量=13.7848dB，相位裕量=52.4219

10圖8-11滯后超前校正裝置及校正前后系統(tǒng)的伯德圖118.2.1狀態(tài)反饋狀態(tài)反饋是將系統(tǒng)的狀態(tài)變量乘以相應(yīng)的反饋系數(shù)，然后反饋到輸入端與參考輸入疊加形成控制作為受控系統(tǒng)的控制輸入，采用狀態(tài)反饋不但可以實(shí)現(xiàn)閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)任意配置，而且也是實(shí)現(xiàn)解耦和構(gòu)成線性最優(yōu)調(diào)節(jié)器的主要手段。8.2狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測(cè)器的設(shè)計(jì)121.全部極點(diǎn)配置給定控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型，則經(jīng)常希望引入某種控制器，使的該系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)移動(dòng)到某個(gè)指定位置，因?yàn)樵诤芏嗲闆r下系統(tǒng)的極點(diǎn)位置會(huì)決定系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。假設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為其中A:n×n;B:n×r;C:m×n引入狀態(tài)反饋，使進(jìn)入該系統(tǒng)的信號(hào)為

u=r–Kx式中r為系統(tǒng)的外部參考輸入，K為r×n矩陣。13可得狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為

(8-12)

可以證明，若給定系統(tǒng)是完全能控的，則可以通過(guò)狀態(tài)反饋將該系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)進(jìn)行任意配置。假定單變量系統(tǒng)的n個(gè)希望極點(diǎn)為λ1,λ2,…,λn，則可求出期望的閉環(huán)特征方程為

f*(s)=(s-λ1)(s-λ2)…(s-λn)=

sn

+a1sn-1+…+an這時(shí)狀態(tài)反饋陣K可根據(jù)下式求得

K=[0…01]Uc-1f*(A)(8-13)式中Uc=[bAb…An-1b]，f*(A)是將系統(tǒng)期望的閉環(huán)特征方程式中的s換成系統(tǒng)矩陣A后的矩陣多項(xiàng)式。14例8-4

已知系統(tǒng)的狀態(tài)方程為采用狀態(tài)反饋，將系統(tǒng)的極點(diǎn)配置到-1,-2,-3，求狀態(tài)反饋陣K。解

MATLAB程序?yàn)閑x8_4.m15執(zhí)行后得K=-124其實(shí)，在MATLAB的控制系統(tǒng)工具箱中就提供了單變量系統(tǒng)極點(diǎn)配置函數(shù)acker()，該函數(shù)的調(diào)用格式為K=acker(A,b,P)式中P為給定的極點(diǎn)，K為狀態(tài)反饋陣。對(duì)例8-4，采用下面命令可得同樣結(jié)果>>A=[-2-11;101;-101];b=[1;1;1];rc=rank(ctrb(A,b));>>p=[-1,-2,-3];K=acker(A,b,p)結(jié)果顯示K=-12416對(duì)于多變量系統(tǒng)的極點(diǎn)配置，MATLAB控制系統(tǒng)工具箱中也給出了函數(shù)place()，其調(diào)用格式為K=place(A,B,P)例8-5

已知系統(tǒng)的狀態(tài)方程為求使?fàn)顟B(tài)反饋系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)為-2,-3,(-1±j√3)/2的狀態(tài)反饋陣K。17解

MATLAB程序?yàn)閑x8_5.m執(zhí)行后得K=32.592365.684458.833246.655755.4594111.8348103.680081.0239182.部分極點(diǎn)配置在一些特定的應(yīng)用中，有時(shí)沒(méi)有必要去對(duì)所有的極點(diǎn)進(jìn)行重新配置，而只需對(duì)其中若干個(gè)極點(diǎn)進(jìn)行配置，使得其他極點(diǎn)保持原來(lái)的值，例如若系統(tǒng)開(kāi)環(huán)模型是不穩(wěn)定的，則可以將那些不穩(wěn)定的極點(diǎn)配置成穩(wěn)定的值，而不去改變那些原本穩(wěn)定的極點(diǎn)。作這樣配置的前提條件是原系統(tǒng)沒(méi)有重極點(diǎn)，這就能保證由系統(tǒng)特征向量構(gòu)成的矩陣是非奇異的。19假設(shè)xi為對(duì)應(yīng)于λi的特征向量，即A

xi

=λixi，這樣可以對(duì)各個(gè)特征值構(gòu)造特征向量矩陣X=[x1,x2,…,xn]，由前面的假設(shè)可知X矩陣為非奇異的，故可以得出其逆陣T=X-1，且令T的第i個(gè)行向量為Ti，且想把λi配置到μi的位置，則可以定義變量ri=（μi-λi）/bi，其中bi為向量Tb的第i個(gè)分量，這時(shí)配置全部的極點(diǎn)，則可以得出狀態(tài)反饋陣特別地，若不想對(duì)哪個(gè)極點(diǎn)進(jìn)行重新配置，則可以將對(duì)應(yīng)的項(xiàng)從上面的求和式子中刪除就可以得出相應(yīng)的狀態(tài)反饋陣，它能按指定的方式進(jìn)行極點(diǎn)配置。20例8-6對(duì)于例8-4所示系統(tǒng)，實(shí)際上只有一個(gè)不穩(wěn)定的極點(diǎn)1,若僅將此極點(diǎn)配置到-5，試采用部分極點(diǎn)配置方法對(duì)其進(jìn)行。解MATLAB程序?yàn)閑x8_6.m執(zhí)行后得

K=1.5000-1.5000-6.0000218.2.2狀態(tài)觀測(cè)器1.全維狀態(tài)觀測(cè)器的設(shè)計(jì)極點(diǎn)配置是基于狀態(tài)反饋，因此狀態(tài)x必須可量測(cè)，當(dāng)狀態(tài)不能量測(cè)時(shí)，則應(yīng)設(shè)計(jì)狀態(tài)觀測(cè)器來(lái)估計(jì)狀態(tài)。對(duì)于系統(tǒng)若系統(tǒng)完全能觀測(cè)，則可構(gòu)造如圖8-12所示的狀態(tài)觀測(cè)器。2223由上圖可得觀測(cè)器的狀態(tài)方程為即其特征多項(xiàng)式為f（s）=|sI-(A-LC)|由于工程上要求能比較快速的逼近x，只要調(diào)整反饋陣L，觀測(cè)器的極點(diǎn)就可以任意配置達(dá)到要求的性能，所以，觀測(cè)器的設(shè)計(jì)與狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置的設(shè)計(jì)類似。24假定單變量系統(tǒng)所要求的n個(gè)觀測(cè)器的極點(diǎn)為λ1,λ2,…,λn，則可求出期望的狀態(tài)觀測(cè)器的特征方程為

f*(s)=(λ-λ1)(λ-λ2)…(λ-λn)=sn

+a1sn-1

+…+an這時(shí)可求得反饋陣L為式中，,f*（A）是將系統(tǒng)期望的觀測(cè)器特征方程中s換成系統(tǒng)矩陣A后的矩陣多項(xiàng)式。25

利用對(duì)偶原理，可使設(shè)計(jì)問(wèn)題大為簡(jiǎn)化，求解過(guò)程如下：首先構(gòu)造系統(tǒng)式(8-14)的對(duì)偶系統(tǒng)

(8-15)然后，根據(jù)下式可求得狀態(tài)觀測(cè)器的反饋陣L。

LT=acker(AT,CT,P)或LT=place(AT,CT,P)其中P為給定的極點(diǎn)，L為狀態(tài)觀測(cè)器的反饋陣。26例8-7

已知開(kāi)環(huán)系統(tǒng)其中設(shè)計(jì)全維狀態(tài)觀測(cè)器，使觀測(cè)器的閉環(huán)極點(diǎn)為

-2±j2√3,-5。27解

為求出狀態(tài)觀測(cè)器的反饋陣L，先為原系統(tǒng)構(gòu)造一對(duì)偶系統(tǒng)。然后采用極點(diǎn)配置方法對(duì)對(duì)偶系統(tǒng)進(jìn)行閉環(huán)極點(diǎn)位置的配置，得到反饋陣K，從而可由對(duì)偶原理得到原系統(tǒng)的狀態(tài)觀測(cè)器的反饋陣L。MATLAB程序?yàn)閑x8_728執(zhí)行后得TheRankofObstrabilatyMatrixr0=3L=3.00007.0000-1.0000由于rankr0=3，所以系統(tǒng)能觀測(cè)，因此可設(shè)計(jì)全維狀態(tài)觀測(cè)器。292.降維觀測(cè)器的設(shè)計(jì)前面所討論的狀態(tài)觀測(cè)器的維數(shù)和被控系統(tǒng)的維數(shù)相同，故稱為全維觀測(cè)器，實(shí)際上系統(tǒng)的輸出y總是能夠觀測(cè)的。因此，可以利用系統(tǒng)的輸出量y來(lái)直接產(chǎn)生部分狀態(tài)變量，從而降低觀測(cè)器的維數(shù)。假設(shè)系統(tǒng)是完全能觀測(cè)器，若狀態(tài)x為n維，輸出y為m維，由于y是可量測(cè)的，因此只需對(duì)n-m個(gè)狀態(tài)進(jìn)行觀測(cè)，也就是說(shuō)用(n-m)維的狀態(tài)觀測(cè)器可以代替全維觀測(cè)器，這樣觀測(cè)器的結(jié)構(gòu)可以大大簡(jiǎn)化。3031Matlab程序?yàn)椋篹x8_8328.2.3帶狀態(tài)觀測(cè)器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)

狀態(tài)觀測(cè)器解決了受控系統(tǒng)的狀態(tài)重構(gòu)問(wèn)題，為那些狀態(tài)變量不能直接量測(cè)得到的系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋創(chuàng)造了條件。帶狀態(tài)觀測(cè)器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)由三部分組成，即原系統(tǒng)、觀測(cè)器和控制器，圖8-13是一個(gè)帶有全維觀測(cè)器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)。3334設(shè)能控能觀測(cè)的受控系統(tǒng)為（8-21）狀態(tài)反饋控制律為（8-22）狀態(tài)觀測(cè)器方程為（8-23）由以上三式可得閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為35可以證明，由觀測(cè)器構(gòu)成的狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)，其特征多項(xiàng)式等于狀態(tài)反饋部分的特征多項(xiàng)式|sI-(A-BK)|和觀測(cè)器部分的特征多項(xiàng)式|sI-(A-LC)|的乘積，而且兩者相互獨(dú)立。因此，只要系統(tǒng)∑0(A,B,C)能控能觀測(cè)，則系統(tǒng)的狀態(tài)反饋陣K和觀測(cè)器反饋陣L可分別根據(jù)各自的要求，獨(dú)立進(jìn)行配置，這種性質(zhì)被稱為分離特性。同理，用降維觀測(cè)器構(gòu)成的反饋系統(tǒng)也具有分離特性36例8-9

已知開(kāi)環(huán)系統(tǒng)設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋使閉環(huán)極點(diǎn)為-1.8±j2.4，而且狀態(tài)不可量測(cè)，因此設(shè)計(jì)狀態(tài)觀測(cè)器使其閉環(huán)極點(diǎn)為-8,-8。解

狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測(cè)器的設(shè)計(jì)分開(kāi)進(jìn)行，狀態(tài)觀測(cè)器的設(shè)計(jì)借助于對(duì)偶原理。在設(shè)計(jì)之前，應(yīng)先判別系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性，MATLAB的程序?yàn)?/p>

ex8_9.m37執(zhí)行后得TherankofControllabilityMatrixrc=2TherankofObservabilityMatrixro=2K=29.60003.6000L=16.000084.6000388.2.4離散系統(tǒng)的極點(diǎn)配置和狀態(tài)觀測(cè)器的設(shè)計(jì)

離散系統(tǒng)的極點(diǎn)配置和狀態(tài)觀測(cè)器的設(shè)計(jì)的求解過(guò)程與連續(xù)系統(tǒng)基本相同，在MATLAB中，可直接采用工具箱中的place()和acker()函數(shù)進(jìn)行設(shè)計(jì)，這里不在贅述。39Matlab程序?yàn)閑x8_10.m408.2.5系統(tǒng)解耦在多變量系統(tǒng)中，如果傳遞函數(shù)陣不是對(duì)角矩陣，則不同的輸入與輸出之間存在著耦合，即第i輸入不但會(huì)對(duì)第i輸出有影響，而且還會(huì)影響到其他的輸出，就給控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)造成了很大的麻煩，故在多變量控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)中就出現(xiàn)了解耦控制方法。41假設(shè)控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為

(8-25)其中A:n×n;B:n×r;C:m×n;D:m×r引入狀態(tài)反饋

(8-26)其中R為r×1參考輸入向量，在解耦控制中實(shí)際還應(yīng)要求r=m，亦即系統(tǒng)的輸入個(gè)數(shù)等于輸出個(gè)數(shù)，這時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣可以寫成42若閉環(huán)系統(tǒng)的m×r矩陣G(s)為對(duì)角的非奇異矩陣，則稱該系統(tǒng)是動(dòng)態(tài)解耦的系統(tǒng)，若G(0)為對(duì)角非奇異矩陣，且系統(tǒng)為穩(wěn)定的，則稱該系統(tǒng)是靜態(tài)解耦的。在給定的控制結(jié)構(gòu)下，若系統(tǒng)的D矩陣為0，則閉環(huán)傳遞函數(shù)陣G(s)可以簡(jiǎn)化成

(8-28)43由上式可見(jiàn)，若H矩陣為奇異矩陣，則G(s)矩陣必為奇異的，所以為使得系統(tǒng)可以解耦，首先應(yīng)該要求H為非奇異矩陣。對(duì)于給定系統(tǒng),狀態(tài)方程可以寫成為可控標(biāo)準(zhǔn)型，故其中44首先這里將給出能解耦的條件：可以證明，若按下面方法生成的矩陣B*為非奇異的，若取H=(B*)-1，則由前面給出的控制格式得出的系統(tǒng)能解耦原系統(tǒng)。（8-29）式中C１,C２,…,Cm為C矩陣的行向量，參數(shù)d１,d２,…,dm是在保證B＊為非奇異的前提下任選區(qū)間［0,n-1］上的整數(shù)。若確定了di參數(shù)，則可以直接獲得解耦矩陣45例8-11

對(duì)如下系統(tǒng)進(jìn)行解耦解

MATLAB程序?yàn)镋xample8_11.m46執(zhí)行后可得H=1.00000-1.33330.3333K=-1.0000001.66671.33333.0000n1=01.0000-0.0000-0.000000.00000.00000.0000d1=1.0000-0.0000-0.00000n2=

000000.00001.00000d2=1.0000-0.0000-0.0000047亦即系統(tǒng)解耦后的傳遞函數(shù)陣為

解耦控制系統(tǒng)的目的是將原模型變換成解耦的模型，而并不必去考慮變換之后的響應(yīng)品質(zhì)，因?yàn)轫憫?yīng)品質(zhì)這類問(wèn)題可以在解耦之后按照單變量系統(tǒng)進(jìn)行設(shè)計(jì)補(bǔ)償，單回路的設(shè)計(jì)當(dāng)然可以采用單變量系統(tǒng)的各種方法，例如可以采用超前滯后補(bǔ)償，PI設(shè)計(jì)以及PID設(shè)計(jì)等，并能保證這樣設(shè)計(jì)出來(lái)的控制器不會(huì)去影響其他回路。488.2.6狀態(tài)估計(jì)器或觀測(cè)器假設(shè)控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為函數(shù)estim()將生成下述狀態(tài)和輸出估計(jì)器49在MATLAB中，函數(shù)estim()的調(diào)用格式如下est=estim(A,B,C,D,L)其中A,B,C,D為系統(tǒng)系數(shù)矩陣，L為狀態(tài)估計(jì)增益矩陣。狀態(tài)估計(jì)增益矩陣L可由極點(diǎn)配置函數(shù)place()形成，或者由Kalman濾波函數(shù)kalman生成。利用以上命令可生成給定增益矩陣L下的狀態(tài)空間模型A,B,C,D的輸出估計(jì)器est。5051例8-13

利用例8-7所得的狀態(tài)觀測(cè)器的反饋陣L，求其系統(tǒng)的狀態(tài)估計(jì)器。解MATLAB程序?yàn)?gt;>A=[010;001;-6-11-6];b=[0;0;1];C=[100];>>L=[3;7;-1]>>est=estim(A,b,C,0,L)執(zhí)行后得est=-3.00001.00000-7.000001.0000-5.0000-11.0000-6.0000528.2.7系統(tǒng)控制器假設(shè)控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為利用函數(shù)reg()可生成下述控制器53在MATLAB中，函數(shù)reg()的調(diào)用格式為est=reg(A,B,C,D,K,L)

其中A,B,C,D為系統(tǒng)系數(shù)矩陣，K為狀態(tài)反饋增益矩陣，L為狀態(tài)估計(jì)增益矩陣。利用以上命令可生成給定狀態(tài)反饋增益矩陣K及狀態(tài)估計(jì)增益矩陣L下的狀態(tài)空間模型A,B,C,D的控制器est。假定系統(tǒng)的所有輸出可測(cè)。54例8-14

利用例8-7所得的狀態(tài)觀測(cè)器的反饋陣L，求其系統(tǒng)的控制器。假設(shè)狀態(tài)反饋陣K=[-124]。解MATLAB程序?yàn)?gt;>A=[010;001;-6-11-6];b=[0;0;1];C=[100];>>K=[-124];>>L=[3;7;-1]>>est=reg(A,b,C,0,K,L)執(zhí)行后得

est=-310-701-4-13-10558.3最優(yōu)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)

MATLAB控制系統(tǒng)工具箱中也提供了很多函數(shù)用來(lái)進(jìn)行系統(tǒng)的最優(yōu)控制設(shè)計(jì)，相關(guān)函數(shù)如表8-3所示。56578.3.1狀態(tài)反饋的線性二次型最優(yōu)控制設(shè)線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為

(8-31)式中A:n×n;B:n×r;C:m×n并設(shè)目標(biāo)函數(shù)為二次型性能指標(biāo)

(8-32)式中Q(t)為n×n半正定實(shí)對(duì)稱矩陣，R(t)為r×r正定實(shí)對(duì)稱矩陣。一般情況下，假定這兩個(gè)矩陣為定常矩陣，它們分別決定了系統(tǒng)暫態(tài)誤差與控制能量消耗之間的相對(duì)重要性。S為對(duì)稱半正定終端的加權(quán)陣，它為常數(shù)。58當(dāng)x(tf)值固定時(shí)，則為終端控制問(wèn)題，特別是當(dāng)x(tf)＝0時(shí)，則為調(diào)節(jié)器問(wèn)題；當(dāng)t0

,tf均固定時(shí)，則為暫態(tài)過(guò)程最優(yōu)控制。最優(yōu)控制問(wèn)題是為給定的線性系統(tǒng)式（8-31）尋找一個(gè)最優(yōu)控制律u*(t)，使系統(tǒng)從初始狀態(tài)x(t0)轉(zhuǎn)移到終端狀態(tài)x(tf)，且滿足性能指標(biāo)式（8-32）最小。它可以用變分法、極大值原理和動(dòng)態(tài)規(guī)劃等三種方法中的任一種求解。這里我們采用極大值原理求解u*(t)。59

MATLAB的控制系統(tǒng)工具箱中也提供了完整的解決線性二次型最優(yōu)控制的函數(shù)，其中命令lqr()和lqry()可以直接求解二次型調(diào)節(jié)器問(wèn)題及相關(guān)的Riccati方程，它們的調(diào)用格式分別為

[K,P,r]=lqr(A,B,Q,R)(8-43)和[K,P,r]=lqry(A,B,C,D,Q,R)(8-44)其中矩陣A,B,C,D,Q,R的意義是相當(dāng)明顯的，返回的K矩陣為狀態(tài)反饋矩陣，P為Riccati方程解，r為A-BK的特征值。lqry()命令用于求解二次調(diào)節(jié)器問(wèn)題的特例，即目標(biāo)函數(shù)中用輸出y來(lái)代替狀態(tài)x，則目標(biāo)函數(shù)為60例8-15已知系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為試求使得性能指標(biāo)為最小的最優(yōu)控制u=-Ku的反饋增益矩陣K。其中61解MATLAB程序?yàn)閑x8_15.m62執(zhí)行后得如下結(jié)果和如圖8-15所示的階躍響應(yīng)曲線。K=10.00008.42232.1812P=104.222551.811710.000051.811737.99958.422310.00008.42232.1812r=-2.6878-1.2467+1.4718i-1.2467-1.4718i63圖8-15閉環(huán)系統(tǒng)輸出和狀態(tài)的階躍響應(yīng)曲線由此構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)的三個(gè)極點(diǎn)均位于