Chap4-控制系統(tǒng)的頻率特性

第四章控制系統(tǒng)的頻率特性頻率特性概述典型環(huán)節(jié)的頻率特性曲線圖

-------極坐標(biāo)圖（Nyquist圖）

-------伯德圖（Bode圖）控制系統(tǒng)開環(huán)頻率特性曲線的繪制根據(jù)系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性圖求系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)頻率特性概述頻率特性：頻率特性又稱頻率響應(yīng)，是系統(tǒng)對(duì)不同頻率

正弦輸入信號(hào)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。設(shè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為已知輸入,其拉氏變換為

第四章控制系統(tǒng)的頻率特性R(S)C(S)系統(tǒng)G(S),A為常量.則系統(tǒng)輸出為若系統(tǒng)是穩(wěn)定的,即G(s)的所有極點(diǎn)都位于復(fù)平面的左半平面，則等式兩邊同乘并令

s=j，則有等式兩邊幅值相等，則等式兩邊相位相等，則頻率特性概述系統(tǒng)在正弦信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)輸出是與輸入同頻率的正弦信號(hào)，輸出與輸入的幅值之比為|G(jω)|,穩(wěn)態(tài)輸出與輸入間的相位差為∠G(jω)。R(S)C(S)系統(tǒng)G(S)頻率特性:

幅頻特性：

相頻特性：

頻率特性表征了系統(tǒng)輸入輸出之間的關(guān)系，故可由頻率特性來分析系統(tǒng)性能。頻率特性概述幾點(diǎn)認(rèn)識(shí)：（1）頻率特性有明確的物理意義，可以用實(shí)驗(yàn)的手段準(zhǔn)確地得到系統(tǒng)的頻率響應(yīng)，當(dāng)系統(tǒng)傳遞函數(shù)未知時(shí)，可以通過測量頻率響應(yīng)來推導(dǎo)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)；(2)系統(tǒng)頻率特性能間接地揭示系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性和穩(wěn)態(tài)特性，可簡單迅速地判斷某些環(huán)節(jié)或參數(shù)對(duì)系統(tǒng)性能的影響，指出系統(tǒng)改進(jìn)方向。（3）頻率特性是在系統(tǒng)穩(wěn)定的條件下分析穩(wěn)態(tài)響應(yīng)得到的，它與傳遞函數(shù)一樣，也表征了系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，是系統(tǒng)頻域分析的理論依據(jù)，但只適應(yīng)于線性定常系統(tǒng)。（4）頻率特性正好是線性系統(tǒng)的傅里葉變換。例:求圖所示RC電路的頻率特性，并求該電路正弦信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)輸出響應(yīng)。頻率特性概述Uc(t)+-Ur(t)+-Ci(t)R解:

傳遞函數(shù)為

頻率特性:

幅頻特性:相頻特性:穩(wěn)態(tài)輸出:

頻率特性曲線之極坐標(biāo)圖（Nyquist圖，幅相曲線圖）頻率特性曲線在頻域內(nèi)，可以將頻率特性表示成實(shí)部和虛部的形式極坐標(biāo)圖(幅相曲線)

：以ω為參數(shù)，當(dāng)ω從０變到∞時(shí)，在復(fù)平面上按實(shí)部和虛部的相應(yīng)變化，繪制出的頻率特性曲線。在極坐標(biāo)圖上，每個(gè)點(diǎn)的模對(duì)應(yīng)于幅頻特性，相角對(duì)應(yīng)于相頻特性。0U(ω)1繪制極坐標(biāo)圖時(shí)，可以計(jì)算出實(shí)部和虛部，也可以分別算出幅值和相角。V(ω)0U(ω)ω∞V(ω)ωω=0ω=0ω∞頻率特性概述頻率特性曲線之伯德圖(Bode圖,對(duì)數(shù)頻率特性曲線）Bode圖分別用兩個(gè)對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖即對(duì)數(shù)幅頻特性和對(duì)數(shù)相頻特性圖來表示頻率特性。-20dB/dec-40dB/dec-20dB/dec-400-202040-1800-901100.1ω1100.1ω對(duì)數(shù)幅頻特性十倍頻程縱坐標(biāo)表示為：橫坐標(biāo)表示為：dBL(ω)=20lgA(ω)

lgω-101dec為方便只用ω表示單位為dB

斜率對(duì)數(shù)相頻特性)

(ωφ

對(duì)數(shù)頻率特性表示法的優(yōu)點(diǎn)能在很寬廣的頻率范圍表示頻率特性在一張圖上,可畫出頻率特性的低、中、高頻率段,有利于分析和設(shè)計(jì)系統(tǒng)。簡化繪制系統(tǒng)頻率特性的工作系統(tǒng)通常由許多環(huán)節(jié)串聯(lián)構(gòu)成。系統(tǒng)的對(duì)數(shù)頻率特性即為各環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)頻率特性疊加。簡明展現(xiàn)各環(huán)節(jié)對(duì)整個(gè)系統(tǒng)的影響

給分析和設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)帶來很大方便。典型環(huán)節(jié)的頻率特性曲線圖1．比例環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)：頻率特性:

幅頻特性:相頻特性:0KReImNyquist

圖

Bode圖

對(duì)數(shù)幅頻特性：對(duì)數(shù)相頻特性：20lgK010.1ωdBL(ω)010.1ω)

(ωφ典型環(huán)節(jié)的頻率特性曲線圖2．積分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)：頻率特性:

幅頻特性:相頻特性:Nyquist

圖

Bode圖

對(duì)數(shù)幅頻特性：對(duì)數(shù)相頻特性：ReIm0ω=0∞10.1100-9010.110-20dB/decωω)

(ωφdBL(ω)020-20典型環(huán)節(jié)的頻率特性曲線圖3．微分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)：頻率特性:

幅頻特性:相頻特性:Nyquist

圖

Bode圖

對(duì)數(shù)幅頻特性：對(duì)數(shù)相頻特性：ReIm0ω=0∞10.11010.11020dB/decωω)

(ωφdBL(ω)020-20090典型環(huán)節(jié)的頻率特性曲線圖4．慣性環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)：頻率特性:

幅頻特性:相頻特性:Nyquist

圖

ReIm0ω=011ω=T-45ω∞0.707可證:慣性環(huán)節(jié)Nyquist圖是以(1/2,jo)為圓心,以1/2為半徑的半圓。Bode圖

對(duì)數(shù)幅頻特性：ω<1/T頻段用0dB漸近線近似替代ω>1/T頻段用-20dB/dec漸近線近似替代兩漸近線相交點(diǎn)的轉(zhuǎn)折頻率ωT=1/T對(duì)數(shù)相頻特性：轉(zhuǎn)折頻率-20dB/decT110TωdBL(ω)-20020漸近線精確曲線ω0-45-90)

(ωφ漸近線最大誤差典型環(huán)節(jié)的頻率特性曲線圖5．一階微分環(huán)節(jié)(導(dǎo)前環(huán)節(jié))傳遞函數(shù)：頻率特性:

幅頻特性:相頻特性:Nyquist

圖

1∞ReIm0ω=0Bode圖

一階微分環(huán)節(jié)的頻率特性與慣性環(huán)節(jié)成反比,所以它們的伯德圖對(duì)稱于橫軸。對(duì)數(shù)幅頻特性：對(duì)數(shù)相頻特性：20dB/decT110TωdBL(ω)-20020ω)

(ωφ漸近線45090漸近線最大誤差典型環(huán)節(jié)的頻率特性曲線圖6．振蕩環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)：頻率特性:

幅頻特性:相頻特性:Nyquist

圖

1ReIm0ω=0ω∞ω=ωnζ=0.4ζ=0.6ζ=0.8Nyquist圖因ζ值的不同而異。諧振峰值諧振頻率ωA(ω)Ar10ωrBode圖

對(duì)數(shù)幅頻特性：由Nyquist圖分析可知精確曲線與漸近線之間存在的誤差與ζ值有關(guān)，ζ較小時(shí)幅值出現(xiàn)了峰值。

典型環(huán)節(jié)的頻率特性曲線圖相頻特性曲線：ζ不同，相頻特性曲線的形狀有所不同ωdBL(ω)ωn-20020-40ωn10ζ=0.1ζ=0.3ζ=0.5ω0-90-180)

(ωφζ=0.1ζ=0.３ζ=0.５-40dB/decζ=0.7典型環(huán)節(jié)的頻率特性曲線圖7．延時(shí)環(huán)節(jié)典型環(huán)節(jié)的頻率特性曲線圖傳遞函數(shù)：頻率特性:

幅頻特性:相頻特性:Nyquist

圖

1ω=0ReIm0Bode圖

對(duì)數(shù)幅頻特性：對(duì)數(shù)相頻特性：ωdBL(ω)020ω)

(ωφ0-100-200-300環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)

斜率dB/dec

特殊點(diǎn)φ(ω)0o1s1Ts+11s2KL(ω)=0ω=1,L(ω)=20lgKT1ω=轉(zhuǎn)角頻率轉(zhuǎn)角頻率1ω=τ轉(zhuǎn)角頻率ω=ωn-90o-180o0o～-90o0o～90o0o～-180o比例積分重積分慣性一階微分振蕩00,-20-20-400,200,-40L(ω)=0ω=1,s2+2ωnζωns+22ωn1+τs常用典型環(huán)節(jié)伯德圖特征表

典型環(huán)節(jié)的頻率特性曲線圖最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)所有零、極點(diǎn)全部位于s左半平面的傳遞函數(shù)稱為最小相位傳遞函數(shù)，具有最小相位傳遞函數(shù)的系統(tǒng)稱為最小相位系統(tǒng)。顯然對(duì)于同階次的基本環(huán)節(jié)，當(dāng)頻率ω從0連續(xù)變化到+∞時(shí)，最小相位的基本環(huán)節(jié)造成的相移是最小的。對(duì)于最小相位系統(tǒng)，知道了系統(tǒng)的幅頻特性，其相頻特性就唯一確定。

有零點(diǎn)位于s右半平面的傳遞函數(shù)稱為非最小相位傳遞函數(shù)。

最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)例：兩個(gè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)分別為（T1>T2）對(duì)數(shù)幅頻和相頻特性為顯然,兩個(gè)系統(tǒng)的幅頻特性一樣，但相頻特性不同.最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)例：控制系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的曲線繪制

頻率特性法的最大特點(diǎn)是可以根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性曲線分析系統(tǒng)的閉環(huán)性能。下面介紹開環(huán)系統(tǒng)的幅相頻率特性曲線（Nyquist圖）和對(duì)數(shù)頻率特性曲線（Bode圖）的繪制。系統(tǒng)開環(huán)幅相頻率特性曲線系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)一般是由典型環(huán)節(jié)串聯(lián)而成的：積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)時(shí)間常數(shù)系統(tǒng)的階次開環(huán)增益幅頻特性:近似繪制系統(tǒng)的Nyquist圖:先把特殊點(diǎn)(ω→0、ω

→∞及頻率特性與虛實(shí)軸的交點(diǎn))找出來，然后在各頻段插入一些點(diǎn)，最后用平滑曲線將它們連接起來。相頻特性:

系統(tǒng)開環(huán)幅相頻率特性曲線(1)0型系統(tǒng)υ=0幅頻和相頻特性:

特殊點(diǎn):

系統(tǒng)起點(diǎn)和終點(diǎn)Kυ=0n-m=2n-m=1n-m=3ReIm0ω=0ω=∞系統(tǒng)開環(huán)幅相頻率特性曲線例:例:例:例:KReIm0KTτ

ω=0ω=∞Kω=0KTτ

ω=∞τ<Tτ<T系統(tǒng)開環(huán)幅相頻率特性曲線(2)I型系統(tǒng)υ=1幅頻和相頻特性:

特殊點(diǎn):

系統(tǒng)起點(diǎn)和終點(diǎn)n-m=2n-m=1n-m=3ReIm0ω=0ω=∞υ=1系統(tǒng)開環(huán)幅相頻率特性曲線例:ReIm0ω=0ω=∞例:ω-KT系統(tǒng)開環(huán)幅相頻率特性曲線(3)II型系統(tǒng)υ=2幅頻和相頻特性:

特殊點(diǎn):

系統(tǒng)起點(diǎn)和終點(diǎn)n-m=2n-m=1n-m=3ReIm0ω=0ω=∞υ=2控制系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的曲線繪制系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性曲線（Bode圖）系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)一般是由典型環(huán)節(jié)串聯(lián)而成的：開環(huán)系統(tǒng)的頻率特性

對(duì)數(shù)幅頻特性對(duì)數(shù)相頻特性

顯然將各環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)頻率特性曲線相加，即為開環(huán)系統(tǒng)的對(duì)數(shù)頻率特性曲線。繪制系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性曲線的一般步驟：1)將開環(huán)傳遞函數(shù)化成標(biāo)準(zhǔn)典型環(huán)節(jié)的乘積。3)將各環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻、相頻曲線相加。2）畫出各典型環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻和對(duì)數(shù)相頻特性曲線；系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性曲線例:已知開環(huán)傳遞函數(shù),試畫出系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性曲線。解:化成標(biāo)準(zhǔn)典型環(huán)節(jié)

畫出各環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)頻率特性曲線ω-20dB\decφ3φ1φ4φ2L1L3L2L41100.5-20020400-180-9090-40dB/decωdBL(ω)-20dB/dec)

(ωφ最后各環(huán)節(jié)曲線相加，即為開環(huán)系統(tǒng)的對(duì)數(shù)頻率特性曲線。顯然低頻段幅頻特性可近似表示為：低頻段曲線的斜率低頻段曲線在ω=1時(shí)的高度L(1)=20lgK系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性曲線系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性曲線例:已知開環(huán)傳遞函數(shù),試畫出系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性曲線。解:已是標(biāo)準(zhǔn)典型環(huán)節(jié)，共五個(gè)基本環(huán)節(jié)構(gòu)成

畫出各環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)頻率特性曲線，最后各環(huán)節(jié)曲線相加，即為開環(huán)系統(tǒng)的對(duì)數(shù)頻率特性曲線。

①②③④⑤2040-20-40121020100①121020100②③⑤④系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性曲線例:畫系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性曲線解:化成標(biāo)準(zhǔn)典型環(huán)節(jié)

各轉(zhuǎn)折頻率為：低頻段曲線：20lgK=20lg10=20dB相頻特性曲線：ω1-20dB/dec202-40dB/dec-20dB/decω0-180-90-40dB/dec-2002040dBL(ω))

(ωφ顯然根據(jù)對(duì)數(shù)幅頻特性曲線的低頻段和各轉(zhuǎn)折頻率即可確定系統(tǒng)的對(duì)數(shù)頻率特性曲線。實(shí)際的作圖過程可簡化為：1)

將開環(huán)傳遞函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)化；在坐標(biāo)中標(biāo)出各環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率；過ω=1，L(ω)=20lgK這點(diǎn)，作斜率為

-20υdB/dec的低頻漸近線；每到某一環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率處，根據(jù)該環(huán)節(jié)的特性改變一次漸近線的斜率。5)畫出對(duì)數(shù)相頻特性的近似曲線。根據(jù)系統(tǒng)開環(huán)Bode圖求系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)

實(shí)際中可由實(shí)驗(yàn)確定系統(tǒng)的Bode圖。給系統(tǒng)加不同頻率的正弦信號(hào)，測量出系統(tǒng)的對(duì)數(shù)幅頻特性和相頻特性曲線。用標(biāo)準(zhǔn)斜率的直線近似被測對(duì)數(shù)幅頻特性曲線，得曲線的漸近線。ωω-20020400-180-90-270dB

L(ω))

(ωφ2-20dB/dec10-40dB/dec-60dB/dec顯然我們可以根據(jù)Bo