第3章隨機(jī)過程的線性變換

第三章隨機(jī)過程的線性變換在電子技術(shù)中，通常需要將信號進(jìn)行一系列的變換，才能提取到有用的信息。變換可以看作為信號通過系統(tǒng)，所以隨機(jī)過程的變換就是分析隨機(jī)過程通過系統(tǒng)后的響應(yīng)。系統(tǒng)一般分為線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)兩大類，因此隨機(jī)過程的變換也分為線性變換和非線性變換兩大類。1第三章隨機(jī)過程的線性變換3.1變換的基本概念和基本定理3.2隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)分析3.3限帶過程3.5最佳線性濾波器3.6線性系統(tǒng)輸出端隨機(jī)過程的概率分布23.1變換的基本概念和基本定理普通函數(shù)變換

給定一個函數(shù)x(t)，按照某種法則T，指定一個新的函數(shù)y(t)，那么，就說y(t)是x(t)經(jīng)過變換T后的結(jié)果。記為y(t)=T[x(t)]T稱為從x(t)到y(tǒng)(t)的變換。33.1變換的基本概念和基本定理隨機(jī)過程的變換

給定一個隨機(jī)過程X(t)，按照某種法則T，對它的每一個樣本函數(shù)x(t)，都指定一個對應(yīng)函數(shù)y(t)，于是就得到了一個新的隨機(jī)過程Y(t)，記為Y(t)=T[X(t)]T就叫做從隨機(jī)過程X(t)到Y(jié)(t)的變換，Y(t)是隨機(jī)過程X(t)通過變換后的結(jié)果。43.1變換的基本概念和基本定理隨機(jī)過程的變換示意圖確定性變換隨機(jī)性變換5T3.1變換的基本概念和基本定理線性變換

設(shè)有任意兩個隨機(jī)變量A1和A2及任意兩個隨機(jī)過程X1(t)和X2(t)，如果滿足則稱L是線性變換。

對于線性變換L，Y(t)=L[X(t)]，如果其中ε為任意常數(shù)，則稱L是線性時不變的。63.1變換的基本概念和基本定理線性變換的兩個基本定理定理1設(shè)Y(t)=L[X(t)]，其中L是線性變換，則即隨機(jī)過程經(jīng)過線性變換后，其輸出的數(shù)學(xué)期望等于輸入的數(shù)學(xué)期望通過線性變換后的結(jié)果。73.1變換的基本概念和基本定理證明(利用大數(shù)定理)設(shè)第i次試驗得樣本函數(shù)xi(t)，輸出端yi(t)Y(t)的樣本均值83.1變換的基本概念和基本定理證明（續(xù)）根據(jù)大數(shù)定理，當(dāng)n→∞時，有所以93.1變換的基本概念和基本定理定理2設(shè)Y(t)=L[X(t)]，其中L是線性變換，則其中表示對t1做L變換，

表示對t2做L變換。103.1變換的基本概念和基本定理證明因為令t=t2，可得同理可證聯(lián)合上面兩式，得113.1變換的基本概念和基本定理由兩個定理可知，對于線性變換，輸出的均值和相關(guān)函數(shù)可以分別由輸入的均值和相關(guān)函數(shù)確定。推廣，對于線性變換，輸出的k階矩可以由輸入的相應(yīng)階矩來確定，如123.1變換的基本概念和基本定理例3.1隨機(jī)過程導(dǎo)數(shù)的統(tǒng)計特性。

設(shè)，，很容易證明，導(dǎo)數(shù)是一種線性變換，可看成X(t)經(jīng)過微分變換后的輸出13X(t)3.1變換的基本概念和基本定理例3.1（續(xù)）均值即X(t)和的互相關(guān)函數(shù)143.1變換的基本概念和基本定理例3.1（續(xù)）

自相關(guān)函數(shù)如果X(t)為平穩(wěn)隨機(jī)過程，則153.1變換的基本概念和基本定理隨機(jī)過程及其導(dǎo)數(shù)相關(guān)函數(shù)示意圖16第三章隨機(jī)過程的線性變換3.1變換的基本概念和基本定理3.2隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)分析3.3限帶過程3.5最佳線性濾波器3.6線性系統(tǒng)輸出端隨機(jī)過程的概率分布173.2隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)分析沖激響應(yīng)法輸出均值若X(t)平穩(wěn)18X(t)Y(t)h(t)3.2隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)分析輸入輸出的互相關(guān)函數(shù)為輸出的自相關(guān)函數(shù)為綜合二式得同理可證193.2隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)分析平穩(wěn)過程通過線性系統(tǒng)輸入輸出相關(guān)函數(shù)的關(guān)系20),(21ttRX),(21ttRXY),(21ttRY)(2th)(1th),(21ttRX),(21ttRYX),(21ttRY)(2th)(1th3.2隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)分析如果X(t)為平穩(wěn)隨機(jī)過程，則其中，τ=t1-t2，即213.2隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)分析同理即223.2隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)分析所以類似地233.2隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)分析平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)輸入輸出相關(guān)函數(shù)之間的關(guān)系243.2隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)分析例3.2設(shè)有微分方程描述的線性系統(tǒng)：其中α為常數(shù)，系統(tǒng)的起始狀態(tài)為Y(0)=0，輸入X(t)為平穩(wěn)隨機(jī)過程，且E[X(t)]=λ，RX(τ)=λ2+λδ(τ)，求輸出Y(t)的統(tǒng)計特性。253.2隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)分析解令輸入為δ(t)，則沖激響應(yīng)為可解得由于系統(tǒng)為因果系統(tǒng)，所以輸出Y(t)的均值為263.2隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)分析解（續(xù)1）輸入輸出的互相關(guān)函數(shù)為273.2隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)分析解（續(xù)2）輸出的自相關(guān)函數(shù)為283.2隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)分析解（續(xù)3）由于RX(t1,t2)=RX(t2,t1)，所以可見，輸出過程是非平穩(wěn)的隨機(jī)過程。293.2隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)分析解（續(xù)4）當(dāng)t1→∞，t2→∞時，輸出Y(t)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)，這時所以，穩(wěn)態(tài)情況下，輸出是平穩(wěn)隨機(jī)過程。303.2隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)分析例3.3設(shè)有下圖所示的RC電路。假定輸入為零均值的平穩(wěn)隨機(jī)過程，且相關(guān)函數(shù)為RX(τ)=e-β|τ|，求穩(wěn)態(tài)時輸出Y(t)的自相關(guān)函數(shù)。31X(t)Y(t)RC3.2隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)分析解RC電路的沖激響應(yīng)為輸入與輸出的自相關(guān)函數(shù)為323.2隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)分析解（續(xù)1）當(dāng)τ≥0時，當(dāng)τ<0時，333.2隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)分析解（續(xù)2）當(dāng)τ<0時，343.2隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)分析解（續(xù)3）由于RY(τ)是偶函數(shù)，所以353.2隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)分析頻譜法：利用系統(tǒng)的傳遞函數(shù)來分析輸出的統(tǒng)計特性

363.2隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)分析例3.4如例3.2所述，運用頻譜法求輸出的功率譜和自相關(guān)函數(shù)解對例3.2所求沖激響應(yīng)做傅里葉變換，得系統(tǒng)傳輸函數(shù)

373.2隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)分析輸入功率譜密度為可得自相關(guān)函數(shù)為383.2隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)分析例3.5如例3.3所述，運用頻譜法求輸出的功率譜和自相關(guān)函數(shù)解系統(tǒng)傳遞函數(shù)為輸入X(t)的功率譜為393.2隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)分析進(jìn)一步可得求上式的傅里葉反變換，可得403.2隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)分析物理可實現(xiàn)系統(tǒng)，即當(dāng)t<0時，h(t)=0假定輸入X(t)是平穩(wěn)的，且從-∞時加入413.2隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)分析若X(t)是從t=0加入，則423.2隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)分析電路H(ω)h(t)43第三章隨機(jī)過程的線性變換3.1變換的基本概念和基本定理3.2隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)分析3.3限帶過程3.5最佳線性濾波器3.6線性系統(tǒng)輸出端隨機(jī)過程的概率分布443.3限帶過程低通隨機(jī)過程：隨機(jī)過程的功率譜GX(ω)在|ω|<ωc

內(nèi)不為零，而在其外為零低通隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)為它的自相關(guān)函數(shù)任意n階導(dǎo)都存在45圖3-1低通隨機(jī)過程的功率譜3.3限帶過程若低隨機(jī)過程在頻帶內(nèi)功率譜密度為常數(shù)，即則稱X(t)為理想低通隨機(jī)過程或理想低通白噪聲其自相關(guān)函數(shù)為總的平均功率為463.3限帶過程從圖中可以看出，當(dāng)τ=kπ/ωc(k=±1，±2，···)時，有所以理想低通白噪聲X(t)與X(t+kπ/ωc)(k=±1，±2，···)正交。若對理想低通白噪聲以Δt=π/ωc的時間間隔對其進(jìn)行采樣，那么采樣后的離散數(shù)據(jù){X(n),n=0,=±1，±2，···}是相互正交的47圖3-2理想低通隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)3.3限帶過程帶通隨機(jī)過程：隨機(jī)過程X(t)的功率譜GX(ω)集中在ω0為中心的頻帶內(nèi)理想帶通隨機(jī)過程：在頻帶內(nèi)，功率譜密度為常數(shù)48（b）理想帶通隨機(jī)過程（a）一般帶通隨機(jī)過程3.3限帶過程理想帶通隨機(jī)過程的功率譜密度為自相關(guān)函數(shù)為總的平均功率為493.3限帶過程50圖3-3理想帶通隨機(jī)過程自相關(guān)函數(shù)3.3限帶過程噪聲等效通能帶（噪聲等效矩形帶寬）：把白噪聲通過線性系統(tǒng)后的非均勻物理譜密度等效成在一定頻帶內(nèi)均勻的的物理譜密度，這個頻帶稱為等效通能帶，記為Δfe51圖3-4噪聲等效通能帶（噪聲等效矩形帶寬）示意圖3.3限帶過程由上圖可以看出噪聲等效矩形帶寬為對于低通網(wǎng)絡(luò)，等效矩形帶寬為對于帶通網(wǎng)絡(luò)，輸出的平均功率為523.3限帶過程例3.6設(shè)有n階巴特沃斯濾波器其中Δf是濾波器3dB帶寬，求噪聲等效矩形帶寬。解n=1時，Δfe=(π/2)Δf=1.57Δf；n=2時，Δfe

=1.11Δf

；n越大，濾波器帶沿越陡峭，其噪聲等效通能帶也越趨近于它的3dB帶寬，當(dāng)n→∞時，Δfe→Δf533.3限帶過程例3.7白噪聲通過如圖所示的RC電路，分析輸出的統(tǒng)計特性解RC電路為一低通網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為輸出功率譜密度為

54圖3-5RC電路3.3限帶過程輸出自相關(guān)函數(shù)為相關(guān)系數(shù)為噪聲等效矩形帶寬為553.3限帶過程輸出隨機(jī)過程的相關(guān)時間為即，相關(guān)時間與系統(tǒng)的噪聲等效矩形帶寬是成反比的。56第三章隨機(jī)過程的線性變換3.1變換的基本概念和基本定理3.2隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)分析3.3限帶過程3.5最佳線性濾波器3.6線性系統(tǒng)輸出端隨機(jī)過程的概率分布573.5.1

輸出信噪比最大的最佳線性濾波器如圖3.17所示線性系統(tǒng)，假定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為，輸入波形為58(3.5.1)X(t)Y(t)圖3.17線性系統(tǒng)示意圖其中

是確知信號，是零均值平穩(wěn)隨機(jī)過程，功率譜密度為。根據(jù)線性系統(tǒng)的理論，輸出Y(t)可表示為(3.5.2)其中(3.5.3)3.5.1

輸出信噪比最大的最佳線性濾波器式中是輸入信號的頻譜，是系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，是輸出的噪聲，它的功率譜密度為(3.5.4)

輸出噪聲的平均功率為定義：在某個時刻時濾波器輸出端信號的瞬時功率與噪聲的平均功率之比（簡稱信噪比）為(3.5.5)(3.5.6)3.5.1

輸出信噪比最大的最佳線性濾波器

3.5.1

輸出信噪比最大的最佳線性濾波器將(3.5.3)式和(3.5.5)式代入(3.5.6)式，得61(3.5.7)我們的任務(wù)是要設(shè)計一個線性系統(tǒng)，使得輸出的信噪比達(dá)到最大?？梢宰C明，當(dāng)時，輸出信噪比達(dá)到最大。(3.5.8)3.5.1

輸出信噪比最大的最佳線性濾波器3.5.1

輸出信噪比最大的最佳線性濾波器把最大的信噪比記為。將(3.5.8)式代入(3.5.7)式可得最大的信噪比為63(3.5.9)將(3.5.8)式代入(3.5.3)式得到輸出信號為(3.5.10)由上式可以看出，當(dāng)時，輸出信號達(dá)到最大。3.5.1

輸出信噪比最大的最佳線性濾波器3.5.1

輸出信噪比最大的最佳線性濾波器物理意義濾波器的幅頻特性為65(3.5.11)

實際上是對輸入信號的頻譜進(jìn)行加權(quán)，對于某個頻率點，信號越強，該頻率點的加權(quán)系數(shù)越大，噪聲越強，加權(quán)越小。最佳線性濾波器的幅頻特性有抑制噪聲的作用。相頻特性由(3.5.8)式得(3.5.12)由(3.5.3)式得濾波器對信號的各頻率分量起到的是幅度同相相加的作用，而對噪聲的各頻率分量起到的是功率相加的作用。綜合而言，信噪比得到提高。3.5.1

輸出信噪比最大的最佳線性濾波器是在白噪聲環(huán)境下以輸出信噪比最大作為準(zhǔn)則的最佳線性濾波器。匹配濾波器的沖激響應(yīng)是輸入信號的共軛鏡像。對于實信號3.5.2匹配濾波器(3.5.13)(3.5.14)(3.5.15)當(dāng)c=1時，與關(guān)于呈偶對稱關(guān)系。性質(zhì)和特點-1:輸出的最大信噪比與輸入信號的波形無關(guān)由于白噪聲的功率譜為一個常數(shù)，由(3.5.9)式可得其中E代表信號的能量，由(3.5.16)式可以看出，最大信噪比只與信號的能量和噪聲的強度有關(guān)，與信號的波形無關(guān)。(3.5.16)3.5.2匹配濾波器3.5.2匹配濾波器性質(zhì)和特點-2：應(yīng)該選在信號

結(jié)束之后。由(3.5.15)式可以看出，如果要求系統(tǒng)是物理可實現(xiàn)的，那么必須選擇在信號結(jié)束之后才能滿足。對于物理可實現(xiàn)系統(tǒng)，因為只有選在信號結(jié)束之后，才能把信號的能量全部利用上，信噪比才能達(dá)到最大。693.5.2匹配濾波器性質(zhì)和特點-3：匹配濾波器對信號幅度和時延具有適應(yīng)性如果發(fā)射信號為

，那么接收信號為，的頻譜為對的匹配濾波器的傳遞函數(shù)為70需要注意的是，匹配濾波器對信號的頻移不具有適應(yīng)性。即，如果有個信號的頻譜為，可以看做為目標(biāo)由于運動產(chǎn)生的多普勒頻移，那么，對應(yīng)的匹配濾波器為可見與是不同的。3.5.2匹配濾波器例3.11

單個矩形脈沖的匹配濾波器設(shè)計。設(shè)脈沖信號為其中a是已知常數(shù)。求匹配濾波器的傳遞函數(shù)和輸出波形。(3.5.17)3.5.2匹配濾波器3.5.2匹配濾波器解：信號的頻譜為取匹配濾波器的時間，由(3.5.13)式矩形脈沖信號的匹配濾波器的傳遞函數(shù)為其沖激響應(yīng)為73(3.5.18)(3.5.19)(3.5.20)匹配濾波器的輸出信號為(3.5.21)3.5.2匹配濾波器s(t)0at(a)矩形脈沖信號h(t)0cat(b)匹配濾波器的沖激響應(yīng)0t(c)匹配濾波器的輸出信號圖3.18矩形脈沖的匹配濾波器積分器延遲線+-圖3.19矩形脈沖信號匹配濾波器實現(xiàn)框圖3.5.2匹配濾波器例3.12

設(shè)計矩形脈沖串信號的匹配濾波器解：設(shè)矩形脈沖信號為(3.5.22)其中s1(t)是如（3.5.17）所示的單個矩形脈沖信號(3.5.23)

3.5.2匹配濾波器3.5.2匹配濾波器解（續(xù)）取,那么可見，匹配濾波器可以表示為77匹配濾波器的組成如下圖所示其中:(3.5.26)圖3.20矩形脈沖串信號的匹配濾波器3.5.2匹配濾波器

由延遲單元的求和器構(gòu)成，通常稱為相參積累器。匹配濾波器輸出的最大信噪比(3.5.28)3.5.2匹配濾波器有噪聲功率譜討論（3.5.8）式其中3.5.3廣義匹配濾波器（3.5.29）（3.5.30）（3.5.31）（3.5.32）3.5.3廣義匹配濾波器平穩(wěn)噪聲n(t)通過

后為n’(t)

，其功率譜密度為為白噪聲

為白化濾波器，

為白噪聲環(huán)境下的匹配濾波器，其匹配的信號為s’(t).813.5.3廣義匹配濾波器（3.5.33）考慮物理可實現(xiàn)

是物理可實現(xiàn)的濾波器。

可能是物理不可實現(xiàn)的。取物理可實現(xiàn)的部分濾波器的傳遞函數(shù)為其中[]+為物理可實現(xiàn)的部分利用拉普拉斯變換，有（3.5.33）、（3.5.34）式被稱為廣義匹配濾波器。其實現(xiàn)結(jié)構(gòu)3.5.3廣義匹配濾波器（3.5.34）3.5.3廣義匹配濾波器例3.13

設(shè)信號為

噪聲的功率譜為

求廣義匹配濾波器的傳遞函數(shù)。84解：首先將噪聲功率譜用拉普拉斯變換表示為：所以，信號的拉氏變換為3.5.3廣義匹配濾波器3.5.3廣義匹配濾波器解(續(xù))：求拉氏反變換得到?jīng)_激響應(yīng)為顯然，h2(t)在t<0的時候不為零，不是物理可實現(xiàn)的濾波