理論力學(xué)第十章動(dòng)量定理

用質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程解決質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力學(xué)問題在數(shù)學(xué)上會(huì)遇到很大困難。在許多工程問題中并不需要求出每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，而是只需知道質(zhì)點(diǎn)系整體的特征就夠了。

質(zhì)點(diǎn)系：由幾個(gè)或無(wú)限個(gè)相互有聯(lián)系的質(zhì)點(diǎn)所組成的系統(tǒng)。

在應(yīng)用普遍定理解決實(shí)際問題時(shí)，不僅運(yùn)算簡(jiǎn)單，而且各個(gè)量都具有明確的物理意義，便于更深入地研究機(jī)械運(yùn)動(dòng)的規(guī)律。

動(dòng)力學(xué)普遍定理包括動(dòng)量定理、動(dòng)量矩定理、動(dòng)能定理。這些定理建立了表現(xiàn)運(yùn)動(dòng)特征的量（動(dòng)量、動(dòng)量矩、動(dòng)能）和表現(xiàn)力作用效果的量（沖量、力矩、功）之間的關(guān)系。第十章

動(dòng)量定理為什么射擊時(shí)有后坐力？幾個(gè)有意義的實(shí)際問題幾個(gè)有意義的實(shí)際問題

臺(tái)式風(fēng)扇放置在光滑的臺(tái)面上的臺(tái)式風(fēng)扇工作時(shí)，會(huì)發(fā)生什么現(xiàn)象幾個(gè)有意義的實(shí)際問題水水池隔板光滑臺(tái)面抽去隔板后將會(huì)發(fā)生什么現(xiàn)象§10－1動(dòng)量與沖量1）質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量

質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與速度的乘積稱為質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量，記為

。1動(dòng)量動(dòng)量是矢量，方向與速度方向相同。動(dòng)量的單位為kg?m/s。2）質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量

質(zhì)點(diǎn)系中各質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的矢量和稱為質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量。

質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)量中心(質(zhì)心)C的矢徑質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量等于質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量與質(zhì)心速度的乘積。m2沖量作用力與作用時(shí)間的乘積稱為常力的沖量。沖量是矢量，方向與力的方向一致。沖量的單位為N?s常力的沖量變力的沖量－元沖量

而力在作用時(shí)間內(nèi)的沖量是矢量積分C已知:圓盤質(zhì)量為m,半徑為r,圖示瞬時(shí)三種情況下圓盤的，求各自的動(dòng)量。CCvC例、兩均質(zhì)桿OA和AB質(zhì)量為m，長(zhǎng)為l，鉸接于A。圖示位置時(shí)，OA桿的角速度為w，AB桿的角速度為2w。求此瞬時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)量。OABw2w解：系統(tǒng)的動(dòng)量其中：方向水平向右。vC1vC2OABC1C2w2wAB作平面運(yùn)動(dòng)vAvC2A例

OA桿繞O軸逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，均質(zhì)圓盤沿OA桿純滾動(dòng)。已知圓盤的質(zhì)量m＝20kg，半徑R＝100mm。在圖示位置時(shí)，OA桿的傾角為30o，其角速度w1＝1rad/s，圓盤相對(duì)OA桿轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度w2＝4rad/s，

,求圓盤的動(dòng)量。方向水平向右。解:取C為動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)系與OA固連1質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的增量等于作用于質(zhì)點(diǎn)上的力的元沖量。微分形式§10-2動(dòng)量定理在某一時(shí)間間隔內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的變化等于作用于質(zhì)點(diǎn)的力在此段時(shí)間內(nèi)的沖量。積分形式2質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理

設(shè)由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系。其中第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量為mivi，作用在該質(zhì)點(diǎn)上的外力內(nèi)力為，由質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理有將n個(gè)方程相加，即得改變求和與求導(dǎo)次序，則得由于內(nèi)力成對(duì)出現(xiàn)，故所有內(nèi)力的矢量和恒等于零質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量的增量等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力元沖量的矢量和。微分形式質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理的微分投影形式質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量對(duì)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力的矢量和（或外力的主矢）。質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理的積分形式在某一時(shí)間間隔內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量的改變量等于在這段時(shí)間內(nèi)作用于質(zhì)點(diǎn)系外力沖量的矢量和。質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理的積分投影形式p＝p0＝恒矢量若

如果作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力的主矢恒等于零，如果作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力主矢在某一坐標(biāo)軸上的投影恒等于零，px＝p0x

＝恒量3質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量守恒定律質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量在該坐標(biāo)軸上的投影保持不變。質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量保持不變。小兔子向前走時(shí)，船會(huì)怎么樣？動(dòng)量守恒定律為什么射擊時(shí)有后坐力？幾個(gè)有意義的實(shí)際問題幾個(gè)有意義的實(shí)際問題

臺(tái)式風(fēng)扇放置在光滑的臺(tái)面上的臺(tái)式風(fēng)扇工作時(shí)，會(huì)發(fā)生什么現(xiàn)象若

px＝p0x

＝恒量幾個(gè)有意義的實(shí)際問題水水池隔板光滑臺(tái)面抽去隔板后將會(huì)發(fā)生什么現(xiàn)象若

px＝p0x

＝恒量

例

圖示系統(tǒng)，重物A和B的質(zhì)量分別為m1、m2。若A下降的加速度為a，滑輪質(zhì)量不計(jì)。求支座O的約束力。

解：以整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象,受力如圖系統(tǒng)的動(dòng)量在坐標(biāo)軸上的投影為由質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理得:設(shè)A下降的速度為vA，B上升的速度為vB則由運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系得

質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理的微分投影形式質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量對(duì)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力的矢量和（或外力的主矢）。質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量的增量等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力元沖量的矢量和。

質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理微分形式質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理的積分形式在某一時(shí)間間隔內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量的改變量等于在這段時(shí)間內(nèi)作用于質(zhì)點(diǎn)系外力沖量的矢量和。質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理的積分投影形式p＝p0＝恒矢量若

如果作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力的主矢恒等于零，如果作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力主矢在某一坐標(biāo)軸上的投影恒等于零，px＝p0x

＝恒量

質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量守恒定律質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量在該坐標(biāo)軸上的投影保持不變。質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量保持不變。例

如圖所示，質(zhì)量為mA的均質(zhì)三棱柱A在重力作用下沿著質(zhì)量為mB的大均質(zhì)三棱柱B的斜面下滑，大三棱柱傾角為q。設(shè)各處摩擦不計(jì)，初始時(shí)系統(tǒng)靜止。求：(1)B的加速度；(2)地面的支反力。解：對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)分析，受力如圖于是系統(tǒng)因SFx(e)＝0，且初始系統(tǒng)靜止，水平方向動(dòng)量守恒設(shè)B的速度為vB，A相對(duì)B的速度為vr兩邊對(duì)t求導(dǎo)再以A為研究對(duì)象，受力如圖聯(lián)立求解(1)、(2)、(3)式得以整體為研究對(duì)象，由動(dòng)量定理得質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理的微分投影形式質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量對(duì)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力的矢量和（或外力的主矢）。質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量的增量等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力元沖量的矢量和。

質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理微分形式質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理的積分形式在某一時(shí)間間隔內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量的改變量等于在這段時(shí)間內(nèi)作用于質(zhì)點(diǎn)系外力沖量的矢量和。質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理的積分投影形式p＝p0＝恒矢量若

如果作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力的主矢恒等于零，如果作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力主矢在某一坐標(biāo)軸上的投影恒等于零，px＝p0x

＝恒量

質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量守恒定律質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量在該坐標(biāo)軸上的投影保持不變。質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量保持不變?！?0-3質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理1質(zhì)量中心2.質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理對(duì)于質(zhì)量不變的質(zhì)點(diǎn)系，上式可改寫為質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量與質(zhì)心加速度的乘積等于作用于質(zhì)點(diǎn)系外力的矢量和(外力的主矢)。

形式上，質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理與質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)基本方程完全相似，因此質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理也可敘述如下：質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)，可以看成一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，設(shè)想此質(zhì)點(diǎn)集中了整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量及其所受的外力。由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理可知，質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力不影響質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)，只有外力才能改變質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)。

質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理直角坐標(biāo)投影式自然軸上的投影式

如果作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力主矢恒等于零，則質(zhì)心作勻速直線運(yùn)動(dòng)；若系統(tǒng)開始靜止，則質(zhì)心位置始終保持不變。以上結(jié)論，稱為質(zhì)心運(yùn)動(dòng)守恒定理。3.質(zhì)心運(yùn)動(dòng)守恒定律如果作用于質(zhì)點(diǎn)系的所有外力在某軸上的投影的代數(shù)和恒等于零，則質(zhì)心速度在該軸上的投影保持不變；若開始時(shí)速度投影等于零，則質(zhì)心沿該軸的坐標(biāo)保持不變。

例

如圖所示，電動(dòng)機(jī)外殼固定在水平基礎(chǔ)上，定子、轉(zhuǎn)子的質(zhì)量分別為m1、m2。設(shè)定子質(zhì)心位于轉(zhuǎn)軸中心O1，由于制造誤差，轉(zhuǎn)子質(zhì)心O2到O1的距離為e，已知轉(zhuǎn)子以勻角速度w轉(zhuǎn)動(dòng)。求：(1)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程；(2)基礎(chǔ)對(duì)電機(jī)總的水平和鉛垂約束反力；(3)若電機(jī)沒有螺栓固定，各處摩擦不計(jì)，初始時(shí)電機(jī)靜止，求轉(zhuǎn)子以勻角速度w轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)電動(dòng)機(jī)外殼的運(yùn)動(dòng)。

解：(1)建立如圖坐標(biāo)，任一瞬時(shí)，q＝wt，即有故質(zhì)心坐標(biāo)為

(2)以系統(tǒng)為研究對(duì)象,受力如圖由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理故得（3）以系統(tǒng)為研究對(duì)象，受力如圖。在圖示坐標(biāo)下，初始時(shí)xC1＝0，當(dāng)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)過q，定子向右移動(dòng)距離s，則解得由此可見，電動(dòng)機(jī)在水平面上作往復(fù)運(yùn)動(dòng)。由于SFx(e)＝0，水平方向質(zhì)心運(yùn)動(dòng)