傅里葉變換與傅里葉級(jí)數(shù)

重溫傅里葉一筆記篇本文記錄的大多是基礎(chǔ)的公式，還有一些我認(rèn)為比較重要的有參考價(jià)值的說(shuō)明。(如果對(duì)這些公式已經(jīng)很熟悉，可以直接看第三部分：總結(jié)性說(shuō)明)重溫傅里葉一筆記篇一、傅里葉級(jí)數(shù)$ 關(guān)于三角函數(shù)系的正交性：三角函數(shù)系包括：1,cosx,sinx,cos2x,sin2x, cosnx,sinnx, "正交性”是說(shuō)，三角函數(shù)系中的任何一項(xiàng)與另一項(xiàng)的乘積，在(-n,n)區(qū)間內(nèi)的積分為0。(任何兩相的積總可以展成兩個(gè)頻率為整數(shù)倍基頻的正余弦函數(shù)之和或差，而這兩個(gè)展開(kāi)后的正余弦在(-n,n)上積分都為0)。不同頻率(但都是整數(shù)倍基頻)的兩個(gè)正弦函數(shù)之積，在(-n,n)上積分恒為0。同頻率的兩個(gè)正弦函數(shù)之積，只有在這兩個(gè)正弦的相位正交時(shí)，其在(-n,n)上積分才是0。三角函數(shù)系中除“T以外的任何一項(xiàng)的平方，在(-n,n)上的積分恒為n,“T在這個(gè)區(qū)間上的積分為2n。

$上公式?、佼?dāng)周期為2n時(shí):上式成立的條件是f(x)滿足狄立克雷充分條件：在任意有限區(qū)間內(nèi)連續(xù)，或只有有限多個(gè)第一類間斷點(diǎn)；任意的有限區(qū)間，都可被分成有限多個(gè)單調(diào)區(qū)間(另一種說(shuō)法是：任意有限區(qū)間內(nèi)只有有限多個(gè)極值點(diǎn)，其實(shí)是一樣的)式(1)第一行中的a0/2就是f(x)的周期平均值，而且第一行的式子只對(duì)f(x)是連續(xù)函數(shù)的情況成立；如果f(x)不連續(xù)，則應(yīng)表示成“(1/2)x[f(x-0)+f(x+0)]H，即f(x)左右極限的算術(shù)平均。下面的類似情況都是這樣，之后就不再專門說(shuō)明，這些大家應(yīng)該都懂第三、四行中，n的取值都是：1,2,3,4,……n，……(都為正，且不包含0)。②當(dāng)周期為2L時(shí)(這也是最一般的情形)：式(2):2abL*工J]=l賓 千2abL*工J]=l賓 千acos(n—x)-i-bsin(門一xR L n L1<=—ff{x)dxL」4-L|f{x)cos(n—-l Qi .|f(A)sin(A?—-L L第一行中的a0/2就是f(x)的周期平均值；第三、四行中，n的取值都是：1,2,3,4,……n，……(都為正，且不包含0)。

4-2LLj+ee22式+-F222令+bAj$傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)數(shù)表達(dá)方式同樣設(shè)周期為2L。根據(jù)歐拉公式，正余弦函數(shù)都可以用復(fù)指數(shù)表示出來(lái)。這樣上面式(2)中的第一行:可以表示為:-JJT—zsinWcos4-2LLj+ee22式+-F222令+bAj$傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)數(shù)表達(dá)方式同樣設(shè)周期為2L。根據(jù)歐拉公式，正余弦函數(shù)都可以用復(fù)指數(shù)表示出來(lái)。這樣上面式(2)中的第一行:可以表示為:-JJT—zsinWcos(n—17=1-兀m—xL+8z□T-=l.STJTJ—JC￡十GO2②右f（x）為偶（或奇）函數(shù)，則所有的bn（或an）將為0,此時(shí)的cn將變?yōu)轭^數(shù)（或純虛數(shù)）,且an（或bn）是轉(zhuǎn)換后所得的^的2（或2i）倍，而cn與cn相等（或純虛共軛）。n n n -nn定理：若f⑴在(-8,+8)上絕對(duì)可積，即f(t)的絕對(duì)值在(-8,+8)上收斂，則F(3)在(-8,+8)上存在且連續(xù)(F(3)的連續(xù)性在復(fù)變函數(shù)的教科書(shū)中一般都有證明)。F(3)是實(shí)變復(fù)值函數(shù)，即變量w是在實(shí)數(shù)區(qū)間(-8,+8)定義，而函數(shù)值F(w)卻在復(fù)數(shù)空間。式(9)的條件是：f(t)在(-8,+8)上絕對(duì)可積，并在任一有限區(qū)間滿足狄立克雷充分條件。$若f(t)為偶函數(shù)，則F(w)將為純實(shí)數(shù)，且同為偶函數(shù)；若f(t)為奇函數(shù)，則F(w)將為純虛數(shù)，且同為奇函數(shù)；而對(duì)任意f(t)，F(xiàn)(w)與F(-w)始終共軛，這意味著|F(w)|與|F(-w)|恒相等，即F(w)的絕對(duì)值是偶函數(shù)$ 由于要求f(t)絕對(duì)可積，所以對(duì)于周期函數(shù)一般是不能用傅里葉變換的，只能用傅里葉級(jí)數(shù)分析。(周期函數(shù)往往不能收斂)。、總結(jié)性說(shuō)明、總結(jié)性說(shuō)明周期函數(shù)可以看成由很多頻率是原函數(shù)頻率整數(shù)倍的正余弦波疊加而成，每個(gè)頻率的波都有各自的振幅和相位，必須將所有頻率的振幅和相位同時(shí)記錄才能準(zhǔn)確表達(dá)原函數(shù)。但從上面的公式來(lái)看，我們好像從沒(méi)涉及到相位？其實(shí)不然，從式（2）來(lái)看，我們將每個(gè)頻率的波分成了一個(gè)正弦分量和一個(gè)余弦分量，同時(shí)記錄了這兩個(gè)分量的振幅an、bn其實(shí)就已經(jīng)包含了這個(gè)頻率的波的相位信息；而對(duì)于式（6a），每個(gè)頻率的波被分成了正負(fù)兩個(gè)頻率的復(fù)數(shù)“波”，這種方式其實(shí)比正余弦形式更加直觀，因?yàn)閺?fù)振幅cn恰好同時(shí)記錄了這個(gè)頻率的振幅和相位，它的物理意義很明顯：cn的幅值|cn|即為該頻率的振幅（準(zhǔn)確的說(shuō)是振幅的一半），而其輻角恰好就是相位（準(zhǔn)確的說(shuō)是反相的相位，cn的輻角才恰好代表該n頻率波分量的相位）。傅里葉變換針對(duì)的是非周期函數(shù)，或者說(shuō)，周期為無(wú)窮的函數(shù)。它是傅里葉級(jí)數(shù)的一個(gè)特例（好吧，我曾經(jīng)一直以為傅里葉級(jí)數(shù)是傅里葉變換的一個(gè)特例，正好相反，剛前幾天才想通透）。當(dāng)傅里葉級(jí)數(shù)的周期L趨于無(wú)窮時(shí)，自然就變成了上面的傅里葉變換。這種關(guān)系從二者的表達(dá)式中大概能看出點(diǎn)端倪，但是也不是特別明顯，畢竟它們的表達(dá)形式差別還挺大。如果不把傅里葉級(jí)數(shù)表達(dá)成復(fù)數(shù)形式，那就更加難看出二者之間的聯(lián)系了，這也是為什么本文中詳細(xì)列出了復(fù)數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)。傅里葉變換要求f（t）在（-8,+8）上絕對(duì)可積，其實(shí)可以理解成“傅里葉級(jí)數(shù)要求函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的積分必須收斂”。在深入篇中，我再好好說(shuō)說(shuō)二者是如何聯(lián)系的。重溫傅里葉--深入篇1--傅里葉級(jí)數(shù)與傅里葉變換的關(guān)系以及頻譜圖的介紹在讀本文前，請(qǐng)先大致瀏覽一下筆記篇里的東西，下面使用的符號(hào)及其意義都跟筆記篇里是一致的。筆記篇里記錄的大都是基礎(chǔ)的公式，教科書(shū)上都可以找到。（抱歉，剛發(fā)現(xiàn)有點(diǎn)小錯(cuò)誤：在式（6-4）和式（11）里，積分項(xiàng)中的“dx”都應(yīng)改為“d3”,由于改圖不太好改，就只在這里說(shuō)明了。請(qǐng)讀者看的時(shí)候注意）為了下面敘述方便，我先做幾點(diǎn)約定和說(shuō)明:本文中提到的傅里葉級(jí)數(shù)都是復(fù)數(shù)形式的級(jí)數(shù)，下標(biāo)n都是負(fù)無(wú)窮到正無(wú)窮；對(duì)于筆記篇里經(jīng)常出現(xiàn)的“nn/L”，它可以看成一個(gè)角頻率，用w表示。（角頻率與頻率（通常用f表示）之間的關(guān)系是：w=2nf）。（參見(jiàn)筆記篇中的式（3）、（4）、（6）等）；進(jìn)一步，我將“n/L”稱為“角基頻”，這樣的話“nn/L”就是n倍角基頻。當(dāng)周期為2n時(shí)，角基頻恰好為1；一定別搞混：cn代表的不是角頻率為n的波分量的振幅，而是角頻率為n倍角基頻的波分量的振幅；對(duì)于周期函數(shù)，除了角頻率為整數(shù)倍（包括負(fù)整數(shù)倍）角基頻的波分量振幅可以不為0外，角頻率為其他值的波分量振幅都是0。（下面介紹頻譜圖時(shí)會(huì)再提到此事）；*對(duì)于周期L等于無(wú)窮大的函數(shù)（非周期函數(shù)），其角基頻為n/L=0，這樣實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的所有角頻率都可以看成整數(shù)倍角基頻了，因此非周期函數(shù)在所有的角頻率處都有波分量!（就是說(shuō)，頻譜圖由離散變得連續(xù)了）。什么，那不亂套了？如果所有的角頻率都有波分量而且每個(gè)波分量都有一個(gè)不為0的振幅，那級(jí)數(shù)怎么可能收斂？還好，每個(gè)cn的表達(dá)式中都有一個(gè)1/2L的系數(shù)，這樣周期無(wú)窮大時(shí)，所有的振幅cn也都變成“0”了，所以不會(huì)亂套，但是這么多0加一塊應(yīng)該還是0,怎么能湊出原來(lái)的f（x）呢？這就像對(duì)一個(gè)函數(shù)積分一樣，函數(shù)在任意一個(gè)點(diǎn)處的積分都是0（好吧我知道這說(shuō)法不科學(xué)，但是方便理解），但對(duì)一個(gè)區(qū)間積分，這么多0加起來(lái)就成了一個(gè)有限值。好了，不亂說(shuō)了，越說(shuō)越亂，本文就從這里開(kāi)始，看完下面的幾段大家就能清楚的知道是怎么一回事了。為了方便大家翻閱，我先將一會(huì)兒涉及到的幾個(gè)公式重新貼一遍在這里。這些公式及公式的標(biāo)號(hào)都與筆記篇中相同。周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)相關(guān)公式:-KE1尸（血）=J—g周期級(jí)數(shù)公式如式（6）和式（7）那樣，我們現(xiàn)在要做的是，搞明白為什么周期L趨于無(wú)窮時(shí)，就會(huì)有式（9）和式（8）的結(jié)果。

好，現(xiàn)在我們對(duì)式（6）和式（7）進(jìn)行第一步加工：將式中的“nn/L"用角頻率wn來(lái)表示,代表n倍角基頻。這樣，會(huì)產(chǎn)生下面的新式子：對(duì)比式（7-1）和式（8）,發(fā)現(xiàn)他們右邊的積分式主體部分形式幾乎是一樣的，只是上下限和系數(shù)不同。好吧，為了更直觀的對(duì)比，我再創(chuàng)造一個(gè)符號(hào)，F(xiàn)n，將它定義如下：F=cx2Lnn這樣我們就可以徹底拋棄Cn這個(gè)礙眼的符號(hào)了，全部用Fn代替。然后重寫(xiě)式（6）和式（7）：再拿式(7-2)和式(8)對(duì)比，會(huì)發(fā)現(xiàn)很讓人興奮的結(jié)果，他們的形式幾乎一樣！但是式(6-2)和式(9)貌似差別還不小，他們的系數(shù)一個(gè)是(1/2L),—個(gè)(1/2n)。好吧，接著來(lái)，我們?cè)賱?chuàng)造一個(gè)符號(hào)，43,定義如下：Aw=(n/L) (其實(shí)就是角基頻的大小)利用它來(lái)再次加工式(6)：(式(7-2)不變，但還是一塊列了出來(lái))重新對(duì)比式(6-3)和式(9),發(fā)現(xiàn)形式已經(jīng)很相近了，只不過(guò)一個(gè)是積分一個(gè)是和式??…等一下！和式？再仔細(xì)看看看式(6-3)，發(fā)現(xiàn)這時(shí)它很像一個(gè)函數(shù)積分的和式展開(kāi)式！那我們現(xiàn)在來(lái)構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)吧：F*(w)和w*(w)，構(gòu)造方法如下：F*(w)=Fn 當(dāng)[(n-1/2)Aw]<w<[(n+1/2)Aw]時(shí)；w*(w)=wn 當(dāng)[(n-1/2)Aw]<w<[(n+1/2)Aw]時(shí)；這是兩個(gè)分段跳躍函數(shù)，它們都以w為自變量，并每隔Aw,函數(shù)值變化一次。好吧，數(shù)字太不直觀，我把F*(w)的函數(shù)圖象大致畫(huà)出來(lái)方便大家理解:

上面這個(gè)階梯狀的東西就是F*（3）的函數(shù)圖象。W*（3）的圖像也是類似的階梯狀，而且它的更簡(jiǎn)單，是一個(gè)從負(fù)無(wú)窮到正無(wú)窮逐步升高的形狀（每次升高一個(gè)角基頻的大?。＿@里有必要說(shuō)明一下，以免誤導(dǎo)大家：Fn一般都是復(fù)數(shù)，只有在f（x）本身是偶函數(shù)時(shí)才是實(shí)數(shù)，因此函數(shù)F*的值也應(yīng)為復(fù)數(shù)。也就是說(shuō)，將F*的函數(shù)圖象畫(huà)成圖1那樣的實(shí)數(shù)形式其實(shí)是不合理的。我這樣做只是為了方便大家理解（6-3）中的和式是如何變成積分式的。好了，有了這兩個(gè)函數(shù)，我們?cè)賮?lái)仔細(xì)看看式（6-3），不難看出，這個(gè)和式其實(shí)就是函數(shù)尺在（-8,+8）上的積分（面積）！這次我們?cè)龠M(jìn)一步，將上面兩個(gè)式子中的Fn和wn也都換掉，使其變成"和F*這兩個(gè)函數(shù)之間的關(guān)系式（離成功不遠(yuǎn)了）：這就是轉(zhuǎn)換后的結(jié)果。筆記篇中的式（6b）與式（7），跟現(xiàn)在推出的式（6-4）與式（7-4），是完全等價(jià)的，因?yàn)楹竺娴膬蓚€(gè)就是根據(jù)前兩個(gè)換算來(lái)的，只不過(guò)借助了F*（3）和3*（3）這兩個(gè)新構(gòu)造的函數(shù)而已。表達(dá)的意義一樣，適用范圍也一樣（都適用于周期函數(shù)），但形式卻大變！這時(shí)再回頭看看式（9）和式（8），我們終于可以松口氣了，形式完全一樣！好了，現(xiàn)在我們?cè)倏纯纯粗芷贚趨于無(wú)窮時(shí)會(huì)發(fā)生什么。如果直接分析筆記篇中的式（6b）與式（7），我們會(huì)很失望，因?yàn)長(zhǎng)趨于無(wú)窮時(shí)，它們都“退化”了，很難直接地從這兩個(gè)式子中得到有用的信息（如果用這兩個(gè)式子，我們所能得到的“直觀”結(jié)果就是：cn全變0了，所以f（x）是0。顯然這是錯(cuò)的）。但我們后來(lái)創(chuàng)造出來(lái)的式（6-4）與式（7-4），適應(yīng)環(huán)境的能力就很強(qiáng)了。1.首先，L趨于無(wú)窮時(shí)，43會(huì)變得越來(lái)越小直至變成0（Aw是什么？忘了？前面有，43=（n/L））；2.同時(shí)，對(duì)于3*（3）=叫，由于43其實(shí)就是角基頻，而相鄰的兩個(gè)叫差就是一個(gè)角基頻，根據(jù)1可知，L趨于無(wú)窮時(shí)，3*（3）就由階梯跳躍變得連續(xù)了，這時(shí)3*（3）=3。3.同時(shí)，兩個(gè)相鄰的Fn，他們的差別也越來(lái)越小直至變成0，（Fn=Cnx2L,從Cn的表達(dá)式可以看出，L趨于無(wú)窮時(shí)cn本身就是一個(gè)與（1/L）同階的無(wú)窮小量，那相鄰的cn之間的差值就是比（1/L）更高階的無(wú)窮小量，因此相鄰的Fn之間的差值就趨于0了）。這樣一來(lái)，圖1中表示的函數(shù)F（3）就漸漸的由階梯跳躍變成］果，這時(shí)F*（＜o(jì)）就可以表達(dá)為：心U二 J心嚴(yán)dx—Z（—so）而式（6-4）也可表示成：屮fix}=——fF'e^dx式（10）和（11）其實(shí)就是式（S）和（9〉匚OK完結(jié)，多么簡(jiǎn)單，可是以前就沒(méi)想到，剛現(xiàn)在才開(kāi)竅。數(shù)字游戲玩完之后，我們?cè)俸煤美斫庖幌率剑?）（9）中的F（3）。從我們剛才的證明過(guò)程中，可以看到Fn=Cnx2L，在筆記篇中我說(shuō)過(guò)，cn其實(shí)就代表某個(gè)頻率波分量的振幅和相位，而Fn與Cn是成正比的，它的值同樣可以表征一個(gè)波分量的振幅和相位。F（3）與Fn有相同的意義，因此F（3）的分布其實(shí)就代表了各角頻率波分量的分布。具體的說(shuō)：|F（3）|的分布正比地體現(xiàn)了各個(gè)角頻率波分量的振幅分布。（別忘了F（3）是復(fù)數(shù)）F（3）的輻角體現(xiàn)了各個(gè)角頻率波分量的相位分布。我們平時(shí)所說(shuō)的“頻譜圖”，其實(shí)指的就是|F（3）|的函數(shù)圖象，它始終是偶函數(shù)（這個(gè)就是實(shí)數(shù)了，因?yàn)槲覀內(nèi)〉氖荈（w）的幅值而不是F（w）本身）。對(duì)于滿足傅里葉變換條件的非周期函數(shù)，他們的頻譜圖一般都是連續(xù)的；而對(duì)于周期函數(shù)，他們的頻譜則都是離散的點(diǎn)，只在整數(shù)倍角基頻的位置有非零的頻譜點(diǎn)存在。根據(jù)頻譜圖可以很容易判斷該原函數(shù)是周期函數(shù)還是非周期的（看頻譜圖是否連續(xù)就行了），而且對(duì)于周期函數(shù)，可以從頻譜圖讀出周期大?。ㄏ噜彽碾x散點(diǎn)之間的橫軸間距就是角基頻，這個(gè)角頻率對(duì)應(yīng)的周期就是原函數(shù)的周期）。那怎樣讀出每個(gè)頻率的振幅呢？|F（w）|與振幅成正比，要想讀出某個(gè)頻率波分量的實(shí)際振幅，只需讓|F（w）|乘以相鄰離散點(diǎn)的橫軸間距再除以n即可。其實(shí)就是讓|F（w）|除以原函數(shù)周期值的一半（即L）,參考一下我們上面說(shuō)到的Fn和cn之間的關(guān)系式以及我在筆記篇中提到的“|cn|的幅值是實(shí)際振幅的一般'，就可以輕松得到得到這個(gè)結(jié)論。對(duì)于非周期函數(shù)來(lái)說(shuō)，其頻譜圖已趨于連續(xù)，相鄰“離散點(diǎn)”的橫軸間距就是一個(gè)無(wú)窮小量，而|F（w）|是有限值，那么每個(gè)頻率波分量的實(shí)際振幅就都是0了。所以對(duì)于非周期函數(shù)，說(shuō)“|F（3）|代表了振幅密度的大小”比說(shuō)“|F（3）|代表了振幅的大小”更貼切一點(diǎn)。在某個(gè)寬度為厶3的區(qū)間內(nèi)（頻帶），對(duì)這個(gè)'密度”進(jìn)行積分，（其實(shí)還要再除以n的）就能得到這個(gè)寬度為厶3的頻帶中所有頻率產(chǎn)生的振幅之和（雖然大家的振幅都是趨于0,但無(wú)數(shù)個(gè)加一塊就有非零值了）。怎么理解呢？先把這個(gè)連續(xù)頻譜圖想象成一個(gè)由很多離散點(diǎn)組成的離散頻譜圖，只不過(guò)相鄰離散點(diǎn)之間的橫軸間距特別小（用dw表示吧，方便我敘述），其實(shí)相當(dāng)于先把這個(gè)非周期函數(shù)想象成了一個(gè)周期很長(zhǎng)的周期函數(shù)（周期