傅里葉級(jí)數(shù)展開

周期信號(hào)是定義在區(qū)間，每隔一定時(shí)間丁，按相同規(guī)律重復(fù)變化的信號(hào)?？杀硎緸?北）二九+呵式中：嗨一任意整數(shù)，『一信號(hào)的周期1周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)三角函數(shù)集{I匚oscos2%匚…?cos ?rsin%—sin2%： ?sin旳嗎匚■■■}7=—在區(qū)間+門（式中%）是一個(gè)完備正交函數(shù)集。復(fù)指數(shù)函數(shù)集{*曲〕心=1±9±玄…〕在區(qū)間龜,％+T）內(nèi)也是完備正交函數(shù)集。所以函數(shù)在鋭兒+口區(qū)間內(nèi)可以展開為正交三角函數(shù)或是正交復(fù)指數(shù)函數(shù)的加權(quán)和，將函數(shù)周期化擴(kuò)展到整個(gè)時(shí)間軸，就得到周期函數(shù)的三角函數(shù)級(jí)數(shù)展開或復(fù)指數(shù)函數(shù)級(jí)數(shù)展開，它們是傅里葉級(jí)數(shù)兩種不同的表示形式。1、三角形式傅里葉級(jí)數(shù)型-27f設(shè)周期信號(hào)了①,其周期為丁，角頻率為" °T，則該信號(hào)可展開為下面三角形式的傅里葉級(jí)數(shù)扌遇=險(xiǎn)+?。輈os朮也+呦cos2^H 百sin冏￡+為sm2確￡H—QZ-二血十》（爼co5總為f十筑sin吃軸f）式（2）中各正、余弦項(xiàng)的系數(shù)玉「氏稱為傅里葉系數(shù)。1呼^=~打(0心2喟%二一If(t)cos 旳二12…尸%2F俎=〒］孑。)曲占嗨城用=12…10 (3)上面積分區(qū)間可以是周期信號(hào)的任意一個(gè)周期。式(3-2)還可寫成下列形式,u>f(t>}=4+送&U0血敘+僞)(4)式中Ai—「厲+盯□N…%=—泣匚tg——若將式(3-4)轉(zhuǎn)化成式(3-2),其系數(shù)之間的關(guān)系如下:叫二&cos(pn川二1,2,■■■綣=—4佃他從物理概念上來(lái)說(shuō)，式(4)中凡――信號(hào)了")的直流分量出匚誠(chéng)%￡+如――信號(hào)九)的基波或基波分量，它的角頻率與原周期信號(hào)相同，國(guó)是基波振幅，円是基波初相角；堆小(2陽(yáng)+陰)——信號(hào)兀)的二次諧波，它的頻率是基波頻率的二倍，4是二次諧波振幅，卩是其初相角；以此類推，凡皿血V+厲)稱為信號(hào)九)的衛(wèi)次諧波，°是總次諧波振幅，耳是其初相角；用比較大的那些分量有時(shí)候又通稱為高次諧波

2、復(fù)指數(shù)形式傅里葉級(jí)數(shù)三角形式傅里葉級(jí)數(shù)，物理含義明確，但運(yùn)算不便，因而常用復(fù)指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)。設(shè)周期信號(hào)了^,其周期為丁，角頻率為磯一2叭—尸，該信號(hào)復(fù)指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)為Uy ⑺其中代A⑷尹咄必 挖=0,±1,±2,…1_r-(8)稱為復(fù)指數(shù)形式傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)。三角形式的傅里葉級(jí)數(shù)物理含義明確，而指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)數(shù)學(xué)處理方便，而且很容易與后面介紹的傅里葉變換統(tǒng)一起來(lái)。兩種形式的傅里葉級(jí)數(shù)的關(guān)系可由下式表示M-1 ￡M-1 ￡其中:表綜合了三角形式和復(fù)指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)及其系數(shù)之間的關(guān)系。表1周期信號(hào)展開為傅里葉級(jí)數(shù)：傅里葉級(jí)數(shù)形展開式傅里葉系數(shù)傅里葉系數(shù)之間關(guān)系式了⑵二叫J+2込閃訛即1冷+『凡=%三角K-1=-”⑵曲A=Vffn2+擴(kuò)Jj形式H-11ffl免=-arctg—ri0=4+乞良曲芹礪+如2訶舛二〒］了?找託即疣ao=AM-11*斥=12…aB=^cos^24+rbK=