第4章大數(shù)定律及中心極限定理

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第四章大數(shù)定律及中心極限定理SichuanUniversityJinjiangCollege2023/2/6

第四章大數(shù)定律及中心極限定理

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的學(xué)科.隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性只有在相同的條件下進(jìn)行大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)才會(huì)呈現(xiàn)出來.也就是說，要從隨機(jī)現(xiàn)象中去尋求必然的法則，應(yīng)該研究大量隨機(jī)現(xiàn)象.2023/2/6

研究大量的隨機(jī)現(xiàn)象，常常采用極限形式，由此導(dǎo)致對(duì)極限定理進(jìn)行研究.極限定理的內(nèi)容很廣泛，其中最重要的有兩種:與大數(shù)定律中心極限定理下面我們先介紹大數(shù)定律2023/2/6

迄今為止,人們已發(fā)現(xiàn)很多大數(shù)定律(lawsoflargenumbers)。所謂大數(shù)定律，簡單地說，就是大量數(shù)目的隨機(jī)變量所呈現(xiàn)出的規(guī)律，這種規(guī)律一般用隨機(jī)變量序列的某種收斂性來刻畫。本章僅介紹幾個(gè)最基本的大數(shù)定律。下面，先介紹一個(gè)重要的不等式：切比雪夫不等式2023/2/6概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第四章大數(shù)定律及中心極限定理

第一節(jié)切比雪夫不等式SichuanUniversityJinjiangCollege2023/2/6

設(shè)X為隨機(jī)變量，E(X)=μ,D(X)=σ2,欲知P{|X-μ|≥a}的值，在已知X的密度函數(shù)或分布律時(shí)，通過積分或求和可以得到。實(shí)際上，若有事件A={ω:|X(ω)-μ|<a}，則P{|X-μ|≥a}=1-P(A)。在未知X的密度函數(shù)或分布律時(shí)，則由下述的切比雪夫不等式，可以求出P{|X-μ|≥a}的上界。2023/2/6切比雪夫不等式

(Chebyshev)或

由切比雪夫不等式可以看出，若越小，則事件{|X-E(X)|<}的概率越大，即隨機(jī)變量X集中在期望附近的可能性越大.2023/2/6證我們只就連續(xù)型隨機(jī)變量的情況來證明.2023/2/6當(dāng)方差已知時(shí)，切比雪夫不等式給出了r.v

X與它的期望的偏差不小于的概率的估計(jì)式.

質(zhì)量管理中的3σ原理是切比雪夫不等式的一個(gè)應(yīng)用。對(duì)任意隨機(jī)變量X，記E(X)=μ,D(X)=σ2,如取,由切比雪夫不等式

可見，對(duì)任給的分布，只要期望和方差存在，則r.vX取值偏離E(X)超過3的概率小于0.111.2023/2/6例1

已知正常男性成人血液中，每一毫升白細(xì)胞數(shù)平均是7300，均方差是700.利用切比雪夫不等式估計(jì)每毫升白細(xì)胞數(shù)在5200~9400之間的概率.解：設(shè)每毫升白細(xì)胞數(shù)為X依題意，E(X)=7300,D(X)=7002所求為

P(5200X9400)

P(5200X9400)

=P(-2100X-E(X)2100)

=P{|X-E(X)|2100}2023/2/6由切比雪夫不等式

P{|X-E(X)|2100}即估計(jì)每毫升白細(xì)胞數(shù)在5200~9400之間的概率不小于8/9.2023/2/6

例2

在每次試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的概率為0.75,利用切比雪夫不等式求：n需要多么大時(shí)，才能使得在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,事件A出現(xiàn)的頻率在0.74~0.76之間的概率至少為0.90?解：設(shè)X為n

次試驗(yàn)中，事件A出現(xiàn)的次數(shù)，E(X)=0.75n,的最小的n.則X~B(n,0.75)所求為滿足D(X)=0.75×0.25n=0.1875n2023/2/6

=P(-0.01n<X-0.75n<0.01n)

=P{|X-E(X)|<0.01n}

P(0.74n<X<0.76n)可改寫為在切比雪夫不等式中取n，則

=P{|X-E(X)|<0.01n}2023/2/6解得依題意，取即n取18750時(shí)，可以使得在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,事件A出現(xiàn)的頻率在0.74~0.76之間的概率至少為0.90.2023/2/6用切比雪夫不等式估計(jì)：例3已知電站供電網(wǎng)有電燈10000盞，每盞燈開燈的概率都是0.8，且每盞燈是否開燈相互獨(dú)立，試估計(jì)同時(shí)開燈的數(shù)量在7800~8200盞之間的概率。解：令X表示夜晚同時(shí)開燈的數(shù)目,則2023/2/6

切比雪夫不等式常用來求在隨機(jī)變量分布未知，只知其期望和方差的情況下，事件概率的下限估計(jì)；同時(shí)，在理論上切比雪夫不等式常作為其它定理證明的工具。小結(jié)2023/2/6

切比雪夫不等式說明，DX越小，則越小，越大，也就是說，隨機(jī)變量X取值基本上集中在EX附近，這進(jìn)一步說明了方差的意義。同時(shí)當(dāng)EX和DX已知時(shí)，切比雪夫不等式給出了概率的一個(gè)上界，該上界并不涉及隨機(jī)變X的具體概率分布，而只與其方差DX和ε有關(guān)，因此，切比雪夫不等式在理論和實(shí)際中都有相當(dāng)廣泛的應(yīng)用。需要指出的是，雖然切比雪夫不等式應(yīng)用廣泛，但在一個(gè)具體問題中，由它給出的概率上界通常比較保守。2023/2/6概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第四章大數(shù)定律及中心極限定理

第二節(jié)大數(shù)定律SichuanUniversityJinjiangCollege2023/2/6一、大數(shù)定律的引入多次測(cè)量求平均值為什么是合理的？只要測(cè)量的次數(shù)足夠多，總可以達(dá)到要求的精度2023/2/6

在實(shí)踐中人們認(rèn)識(shí)到大量測(cè)量值的算術(shù)平均值也具有穩(wěn)定性，而這種穩(wěn)定性就是本節(jié)所要討論的大數(shù)定律的客觀背景，而這些理論正是概率論的理論基礎(chǔ)。

大數(shù)定律以確切的數(shù)學(xué)形式表達(dá)了這種規(guī)律性，并論證了它的成立條件，即從理論上闡述了這種大量的、在一定條件下的、重復(fù)的隨機(jī)現(xiàn)象呈現(xiàn)的規(guī)律性即穩(wěn)定性。由于大數(shù)定律的作用，大量隨機(jī)因素的總體作用必然導(dǎo)致某種不依賴于個(gè)別隨機(jī)事件的結(jié)果。2023/2/6

大量的隨機(jī)現(xiàn)象中平均結(jié)果的穩(wěn)定性

大數(shù)定律的客觀背景大量拋擲硬幣正面出現(xiàn)頻率字母使用頻率生產(chǎn)過程中的廢品率……2023/2/6？“概率”的概念是如何產(chǎn)生的隨機(jī)試驗(yàn)概率統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)規(guī)律性頻率穩(wěn)定性設(shè)次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件

發(fā)生的隨機(jī)變量頻率概率問題頻率穩(wěn)定性:問題背景？問題“頻率穩(wěn)定性”的嚴(yán)格數(shù)學(xué)描述是什么問題怎樣定義極限？？次數(shù)為

則當(dāng)時(shí),有n重伯努利試驗(yàn)怎樣理解“越來越接近”？2023/2/6實(shí)例

頻率的穩(wěn)定性隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加,事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定于某個(gè)常數(shù).啟示:從實(shí)踐中人們發(fā)現(xiàn)大量測(cè)量值的算術(shù)平均值有穩(wěn)定性.單擊圖形播放/暫停ESC鍵退出二、大數(shù)定律2023/2/6

“大數(shù)”就是指涉及大量數(shù)目的觀察值，它表明大數(shù)定律中所指出的現(xiàn)象，只有在大量次數(shù)的試驗(yàn)和觀察之下才成立。

例如，一所大學(xué)里有上萬名學(xué)生，如果隨意地觀察一個(gè)學(xué)生的身高X1，則X1與全校學(xué)生的平均身高a可能相差甚遠(yuǎn)；如果觀察10個(gè)學(xué)生的身高并取其平均，則它就有更大的機(jī)會(huì)與a更接近；如果觀察100個(gè)學(xué)生，則這100個(gè)人的平均身高將與a更加接近，這是我們?cè)谌粘＝?jīng)驗(yàn)中所體會(huì)到的事實(shí)，大數(shù)定律正是對(duì)這一事實(shí)從理論上進(jìn)行的概括和論證。2023/2/6定義則稱記為依概率收斂于是一列隨機(jī)變量,若有設(shè)①②的直觀含義:隨著

的增大,絕對(duì)誤差較大的可能性越來越小.拋硬幣試驗(yàn)的頻率穩(wěn)定性③第點(diǎn)的縱坐標(biāo)表示前次試驗(yàn)正面出現(xiàn)的頻率kk2023/2/6如意思是:當(dāng)a而意思是:時(shí),Xn落在內(nèi)的概率越來越大.,當(dāng)2023/2/6定義4.1

設(shè)X1,

X2,…,Xn

是隨機(jī)變量序列，數(shù)學(xué)期望E(Xk)(k=1,2,...)存在，令則稱隨機(jī)變量序列{Xn

}服從大數(shù)定律或大數(shù)法則.若對(duì)于任意ε>0，有或2023/2/6皮爾遜皮爾遜蒲豐

德·摩根實(shí)驗(yàn)者羅曼諾夫斯基設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義,發(fā)生的頻率為則實(shí)例正面朝上18-19世紀(jì)幾個(gè)有名的“拋硬幣”試驗(yàn)“拋硬幣”試驗(yàn)將一枚硬幣連續(xù)拋次,記頻率穩(wěn)定性:是隨機(jī)變量列①分析次試驗(yàn)中試驗(yàn)結(jié)果:的模擬試驗(yàn)n=4048設(shè)想一下,會(huì)不會(huì)出現(xiàn)這樣的試驗(yàn)結(jié)果:正面朝上蒲豐（1707-1788）法國數(shù)學(xué)家、自然哲學(xué)家反面朝上如何理解？②是定義在樣本空間回憶微積分中函數(shù)列的收斂有收斂于是指:逐點(diǎn)收斂對(duì)于隨機(jī)變量列,是否有？不太現(xiàn)實(shí),要求太嚴(yán)!發(fā)生的次數(shù)上的函數(shù)列2023/2/6（伯努利大數(shù)定律）設(shè)是次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件

發(fā)生的次數(shù),且則有分析令第

次試驗(yàn)

發(fā)生第

次試驗(yàn)

不發(fā)生則相互獨(dú)立從而是獨(dú)立隨機(jī)變量列{}Xn具有相同數(shù)學(xué)期望和方差{}Xn問如何證明？

概率論歷史上的第一個(gè)大數(shù)定律，由雅可比·伯努利于1713年發(fā)表的著作《猜測(cè)術(shù)》中提出.

定理4.22023/2/6證明：引入隨機(jī)變量根據(jù)切比雪夫不等式有2023/2/6關(guān)于伯努利定理的說明:

故而當(dāng)n很大時(shí),事件發(fā)生的頻率與概率有較大偏差的可能性很小.在實(shí)際應(yīng)用中,當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)很大時(shí),便可以用事件發(fā)生的頻率來代替事件的概率.2023/2/6

伯努利大數(shù)定律、切比雪夫大數(shù)定律均要求隨機(jī)列變量列的方差存在，該條件可用“同分布”來代替

注機(jī)變量列,且具有相同的數(shù)學(xué)期望和方差,記（切比雪夫大數(shù)定律）設(shè)為相互獨(dú)立的隨則有回顧切比雪夫不等式設(shè)隨機(jī)變量的方差存在,則有

定理4.3表達(dá)式的意義2023/2/6證明由契比雪夫不等式可得并注意到概率不能大于1,則2023/2/6關(guān)于定理4.3的說明:（這個(gè)接近是概率意義下的接近）即在定理?xiàng)l件下,n個(gè)隨機(jī)變量的算術(shù)平均,當(dāng)n無限增加時(shí),幾乎變成一個(gè)常數(shù).2023/2/6或（辛欽大數(shù)定律）設(shè)是獨(dú)立同分布r.v列,存在，則服從大數(shù)定律,即有該定理通常稱為獨(dú)立同分布大數(shù)定律關(guān)于辛欽定理的說明:(1)與切比雪夫大數(shù)定律相比,不要求方差存在;(2)伯努利定理是辛欽定理的特殊情況.定理4.42023/2/6提供了通過試驗(yàn)來確定事件概率的方法.是數(shù)理統(tǒng)計(jì)中參數(shù)估計(jì)的重要理論依據(jù)之一.是

MonteCarlo方法的主要數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ).大數(shù)定律的意義給出了“頻率穩(wěn)定性”的嚴(yán)格數(shù)學(xué)解釋.①②③④2023/2/6MonteCarlo方法或稱為計(jì)算機(jī)隨機(jī)模擬方法、計(jì)算機(jī)仿真方法是科學(xué)與工程中的一種重要工具.

MonteCarlo方法的原理主要基于大數(shù)定律.例設(shè)計(jì)算機(jī)屏幕上有一矩形區(qū)域不妨設(shè)的面積為現(xiàn)用鼠標(biāo)在的內(nèi)部任畫一封閉曲線求圍成的內(nèi)部圖形的面積大數(shù)定律的實(shí)際應(yīng)用-MonteCarlo方法分析量(隨機(jī)點(diǎn))立、均服從

上均勻分布的隨機(jī)變用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生一串相互獨(dú)落入中個(gè)數(shù)由伯努利大數(shù)定律有記事件產(chǎn)生的隨機(jī)點(diǎn)落入中故當(dāng)充分大時(shí)的面積的面積的面積2023/2/6

在概率論發(fā)展初期，由于概率的數(shù)學(xué)定義尚未明確，所以缺乏理解概率收斂的理論基礎(chǔ)，故把頻率“趨于”概率視為經(jīng)大量試驗(yàn)而得到的結(jié)果，就象物理學(xué)中的定律一樣.

在概率論的公理化體系建立以后，大數(shù)定律可在理論上進(jìn)行嚴(yán)格的證明而成為意義明確的定理，故現(xiàn)在教材上稱為“大數(shù)定理”.END為什么叫“大數(shù)定律”而不叫“大數(shù)定理”？2023/2/6

大數(shù)定律的應(yīng)用，關(guān)鍵是要找到一個(gè)隨機(jī)變量序列，根據(jù)計(jì)算出的E(Xi)和D(Xi),確定定理?xiàng)l件是否滿足，然后根據(jù)大數(shù)定律解決問題。常用的方法和技巧是：求E(Xi)和D(Xi)要用到計(jì)算數(shù)學(xué)期望和方差的技巧，利用切比雪夫不等式，利用有關(guān)定理與公式，利用反證法，等等，一定要根據(jù)具體情況靈活運(yùn)用方法和技巧。三、例題2023/2/6解獨(dú)立性依題意可知,檢驗(yàn)是否具有數(shù)學(xué)期望？例12023/2/6說明每一個(gè)隨機(jī)變量都有數(shù)學(xué)期望,檢驗(yàn)是否具有有限方差？說明離散型隨機(jī)變量有有限方差,故滿足契比雪夫定理的條件.2023/2/6解由辛欽大數(shù)定理知例22023/2/6四、小結(jié)三個(gè)大數(shù)定理契比雪夫定理的特殊情況伯努利大數(shù)定理辛欽大數(shù)定理頻率的穩(wěn)定性是概率定義的客觀基礎(chǔ),而伯努利大數(shù)定理以嚴(yán)密的數(shù)學(xué)形式論證了頻率的穩(wěn)定性.2023/2/6契比雪夫資料PafnutyChebyshevBorn:16May.1821inOkatovo,RussiaDied:8Dec.1894InStPetersburg,Russia2023/2/6

切比雪夫，П．Л．(ЧебbIшев，ПaфHутийЛbвович)1821年5月16日生于俄國卡盧加;1894年12月8日逝世于彼得堡.

切比雪夫出身于貴族家庭，他母親也出身名門，切比雪夫的左腳生來有殘疾，切比雪夫終身未娶，日常生活十分簡樸，他的一點(diǎn)積蓄全部用來買書和制造機(jī)器。1894年11月底，他的腿疾突然加重，隨后思維也出現(xiàn)了障礙，同年12月8日上午9時(shí)逝世于自己的書桌前。著名人物介紹2023/2/6

1837年，年方16歲的切比雪夫進(jìn)入莫斯科大學(xué)，成為哲學(xué)系下屬的物理數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生。大學(xué)畢業(yè)之后，切比雪夫一面在莫斯科大學(xué)當(dāng)助教，一面攻讀碩士學(xué)位。1853年，切比雪夫被選為彼得堡科學(xué)院候補(bǔ)院士，同時(shí)兼任應(yīng)用數(shù)學(xué)部主席.1856年成為副院士。1859年成為院士.

切比雪夫是彼得堡數(shù)學(xué)學(xué)派的奠基人和當(dāng)之無愧的領(lǐng)袖.他在概率論、解析數(shù)論和函數(shù)逼近論領(lǐng)域的開創(chuàng)性工作從根本上改變了法國、德國等傳統(tǒng)數(shù)學(xué)大國的數(shù)學(xué)家們對(duì)俄國數(shù)學(xué)的看法，使得俄國步入世界數(shù)學(xué)強(qiáng)國之列.著名人物介紹2023/2/6伯努利資料JacobBernoulliBorn:27Dec.1654inBasel,Switzerland

Died:16Aug.1705inBasel,Switzerland2023/2/6

近代科學(xué)史上，最著名的科學(xué)家家族可能要算伯努利家族了。自十七世紀(jì)后半葉開始至二十世紀(jì)30年代，這個(gè)名門望族的120人中近半數(shù)是優(yōu)秀人才，其中有學(xué)者、教育家、藝術(shù)家、科學(xué)家、政治家，不少人名傳典籍。特別是數(shù)學(xué)，更是人才輩出，產(chǎn)生了數(shù)十位大數(shù)學(xué)家，他們?cè)诎l(fā)展微積分理論及其應(yīng)用上起著突出的重要作用，有力地推動(dòng)了近代數(shù)學(xué)的發(fā)展。伯努利家族原籍比利時(shí)安特衛(wèi)普，1583年遭受天主教迫害，遷往德國法蘭克福,最后定居在瑞士巴塞爾。其中著名的有雅可比·伯努利、雅可比的弟弟約翰·伯努利、約翰的次子丹尼爾·伯努利等。伯努利家族著名人物介紹2023/2/6

雅格布·伯努利(1654～1705)是伯努利家族中重要的一員，卓越的數(shù)學(xué)家。最初遵從父親的意見學(xué)神學(xué)，當(dāng)他讀了R.笛卡兒、J.沃利斯的書后，頓受啟發(fā)，興趣轉(zhuǎn)向數(shù)學(xué)。

雅可比同萊布尼茲共同協(xié)作，對(duì)于微積分的發(fā)展作出了出色貢獻(xiàn)，為常微分方程的積分法奠定了充分的理論基礎(chǔ)。在研究曲線問題時(shí)他提出了一系列的概念，如對(duì)數(shù)螺線、雙紐線、懸鏈線等。他繼承和深入地研究并發(fā)展了微積分學(xué)，創(chuàng)立了變分法，提出并部分地解決了等同問題及捷線問題。雅可比還是概率論的早期研究者，許多概率論方面的術(shù)語都是以他的名字命名的。對(duì)于物理學(xué)方面，雅可比也有一定貢獻(xiàn)。著名人物介紹2023/2/6

約翰·伯努利(1667～1748)青年時(shí)曾經(jīng)商，后研究數(shù)學(xué)和醫(yī)學(xué)。曾在巴黎留學(xué)，1695年任荷蘭格羅寧根大學(xué)教授，1705年任巴塞爾大學(xué)教授。1699年被選為法國科學(xué)院院士，1712年被選為英國皇家學(xué)會(huì)會(huì)員，他還是彼得堡科學(xué)院和柏林科學(xué)院的名譽(yù)院士。

約翰于1691年到巴黎,曾為洛必達(dá)的私人教師?，F(xiàn)今求不定式極限的洛必達(dá)法則，實(shí)出自約翰。約翰·伯努利也是變分法的重要?jiǎng)?chuàng)始人之一。約翰在物理學(xué)發(fā)展中同樣作出了出色貢獻(xiàn)。他所發(fā)現(xiàn)的虛功原理對(duì)物理學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了重大的推動(dòng)作用。這一原理也稱虛位移原理，是約翰于1717年發(fā)現(xiàn)的。著名人物介紹2023/2/6

丹尼爾·伯努利(1700～1782)由于受家庭的影響，從小就對(duì)自然科學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域都有著極大的興趣。曾經(jīng)在多所大學(xué)學(xué)習(xí)過醫(yī)學(xué)、哲學(xué)、倫理學(xué)，最后專攻數(shù)學(xué)。曾擔(dān)任過數(shù)學(xué)教師、解剖學(xué)教授、植物學(xué)教授、物理學(xué)教授和哲學(xué)教授，英國皇家學(xué)會(huì)會(huì)員。

丹尼爾是伯努利家庭中成就最大的科學(xué)家.在數(shù)學(xué)方面，丹尼爾的研究涉及代數(shù)、概率論、微積分、級(jí)數(shù)理論、微分方程等多學(xué)科的內(nèi)容，取得了重大成就；在物理學(xué)方面，丹尼爾對(duì)流體力學(xué)和氣體動(dòng)力學(xué)的研究所取得的成功是驚人的。

著名人物介紹2023/2/6辛欽資料AleksandrYakovlevichKhinchinBorn:19Jul.1894inKondrovo,Kaluzhskayaguberniya,Russia

Died:18Nov.1959inMoscow,USSR2023/2/6

辛欽（ХИНЧИН

1894

-1959）蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家，現(xiàn)代概率論的奠基者之一.

辛欽1894年7月19日生于莫斯科康德羅沃，1959年11月18日逝世于莫斯科.1916年畢業(yè)于莫斯科大學(xué)，先後在莫斯科大學(xué)和蘇聯(lián)科學(xué)院斯捷克洛夫數(shù)學(xué)研究所等處工作.1927年成為教授.1935年獲得物理數(shù)學(xué)博士學(xué)位.1939年被選為蘇聯(lián)科學(xué)院通訊院士.辛欽在分析學(xué)、數(shù)論、概率論及對(duì)統(tǒng)計(jì)學(xué)力學(xué)的應(yīng)用等方面有重要貢獻(xiàn).歷史人物介紹2023/2/6概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第四章大數(shù)定律及中心極限定理

第三節(jié)中心極限定理SichuanUniversityJinjiangCollege2023/2/6

中心極限定理的客觀背景

在實(shí)際問題中，常常需要考慮許多隨機(jī)因素所產(chǎn)生總影響.例如：炮彈射擊的落點(diǎn)與目標(biāo)的偏差，就受著許多隨機(jī)因素的影響.2023/2/6

空氣阻力所產(chǎn)生的誤差，對(duì)我們來說重要的是這些隨機(jī)因素的總影響.如瞄準(zhǔn)時(shí)的誤差，炮彈或炮身結(jié)構(gòu)所引起的誤差等等.2023/2/6

這種偏差是大量微小的偶然因素造成的微小誤差的總和,這些因素包括:瞄準(zhǔn)誤差、測(cè)量誤差、子彈制造過程方面(如外形、重量等)的誤差以及射擊時(shí)武器的振動(dòng)、氣象因素(如風(fēng)速、風(fēng)向、能見度、溫度等)的作用,所有這些不同因素所引起的微小誤差是相互獨(dú)立的,并且它們中每一個(gè)對(duì)總和產(chǎn)生的影響不大.問題:

某個(gè)隨機(jī)變量是由大量相互獨(dú)立且均勻小的隨機(jī)變量相加而成的,研究其概率分布情況.2023/2/6

觀察表明，如果一個(gè)量是由大量相互獨(dú)立的隨機(jī)因素的影響所造成，而每一個(gè)別因素在總影響中所起的作用不大.則這種量一般都服從或近似服從正態(tài)分布.

自從高斯指出測(cè)量誤差服從正態(tài)分布之后，人們發(fā)現(xiàn)，正態(tài)分布在自然界中極為常見.2023/2/6

現(xiàn)在我們就來研究獨(dú)立隨機(jī)變量之和所特有的規(guī)律性問題.

當(dāng)n無限增大時(shí)，這個(gè)和的極限分布是什么呢？在什么條件下極限分布會(huì)是正態(tài)的呢？2023/2/6

由于無窮個(gè)隨機(jī)變量之和可能趨于∞，故我們不研究n個(gè)隨機(jī)變量之和本身而考慮它的標(biāo)準(zhǔn)化的隨機(jī)變量的分布函數(shù)的極限.2023/2/6的分布函數(shù)的極限.

可以證明，滿足一定的條件，上述極限分布是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.考慮中心極限定理這就是下面要介紹的2023/2/6中心極限定理說明，在任何條件下，下式成立：2023/2/6

在概率論中，習(xí)慣于把和的分布收斂于正態(tài)分布這一類定理都叫做中心極限定理.我們只討論幾種簡單情形.

下面給出的獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列的中心極限定理，也稱列維一林德伯格（Levy－Lindberg）定理.2023/2/6同分布的r.v

列，其數(shù)學(xué)期望和方差分別為則服從中心極限定理的分布函數(shù)對(duì)任意滿足定理4.6(獨(dú)立同分布的中心極限定理)設(shè)為獨(dú)立,即標(biāo)準(zhǔn)化r.v2023/2/6對(duì)于均值為方差的獨(dú)立同分布的

r.v

列有近似即或近似中心極限定理的實(shí)際含義故每個(gè)因素都是微小的、沒有一個(gè)因獨(dú)立同分布X1X2、、Xn...、因?yàn)樗仄鸬酵怀鲎饔眠@些隨機(jī)因素都是微小的、沒有一個(gè)因素起到在實(shí)際問題中,如果某數(shù)量指標(biāo)滿足該指標(biāo)是由大量相互獨(dú)立的隨機(jī)因素迭加而成則這個(gè)數(shù)量指標(biāo)近似地服從正態(tài)分布突出的作用2023/2/6解由定理5.6,隨機(jī)變量Z20

近似服從正態(tài)分布N(0,1),例12023/2/6其中2023/2/6由獨(dú)立同分布的中心極限定理,有定理4.5(棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理)設(shè)為服從參數(shù)為的二項(xiàng)分布r.v列,則對(duì)任意有證其中為獨(dú)立同分布的(0-1)分布r.v,且因二項(xiàng)分布產(chǎn)生于

重伯努利試驗(yàn),故可分解為注記

該定理是概率論歷史上第一個(gè)中心極限定理,由棣莫弗于1730年給出到時(shí)的證明,幾十年后經(jīng)拉普拉斯推廣的一般情形.2023/2/6推論：說明：這個(gè)公式給出了n較大時(shí)二項(xiàng)分布的概率

計(jì)算方法。2023/2/6用頻率估計(jì)概率時(shí)誤差的估計(jì)：由上面的定理知用這個(gè)關(guān)系式可解決許多計(jì)算問題。2023/2/6第一類問題是第二類問題是問最少應(yīng)做多少次試驗(yàn)？這時(shí)只需求滿足下式的最小的n,第三類問題是2023/2/6對(duì)于一列二項(xiàng)分布r.v

，有近似近似

的圖形為棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理的應(yīng)用例如于是當(dāng)

充分大時(shí)，可以認(rèn)為

近似人物介紹棣莫弗人物介紹拉普拉斯2023/2/6Ox-8-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

12345678記則近似高爾頓釘板試驗(yàn)？什么曲線共15層小釘小球碰第層釘后向右落下小球碰第層釘后向左落下高爾頓(FrancisGalton,1822-1911)英國人類學(xué)家和氣象學(xué)家2023/2/6例2

根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，某種電器元件的壽命服從均值為100小時(shí)的指數(shù)分布.現(xiàn)隨機(jī)地取16只，設(shè)它們的壽命是相互獨(dú)立的.求這16只元件的壽命的總和大于1920小時(shí)的概率.由題給條件知，諸Xi獨(dú)立，16只元件的壽命的總和為解:設(shè)第i只元件的壽命為Xi

,i=1,2,…,16E(Xi)=100,D(Xi)=10000依題意，所求為P(Y>1920)2023/2/6由題給條件知,諸Xi獨(dú)立,16只元件的壽命的總和為解:設(shè)第i只元件的壽命為Xi

,i=1,2,…,16E(Xi)=100,D(Xi)=10000依題意，所求為P(Y>1920)由于E(Y)=1600,D(Y)=160000由中心極限定理,近似N(0,1)P(Y>1920)=1-P(Y1920)=1-(0.8)1-=1-0.7881=0.21192023/2/6例3:保險(xiǎn)業(yè)是最早使用概率論的部門之一，保險(xiǎn)公司為了估計(jì)企業(yè)的利潤，需要計(jì)算各種概率。假設(shè)現(xiàn)要設(shè)置一項(xiàng)保險(xiǎn)：一輛自行車年交保費(fèi)2元，若自行車丟失，保險(xiǎn)公司賠償200元，設(shè)在一年內(nèi)自行車丟失的概率為0.001,問至少要有多少輛自行車投保才能以不小于0.9的概率保證這一保險(xiǎn)不虧本？解:設(shè)有n

輛自行車投保，Yn表示一年內(nèi)n輛自行車中丟失的數(shù)量。則

YnB(n,0.001),問題歸結(jié)為n至少為多少時(shí)，

P{2n-200Yn≥0}≥0.9

2023/2/6上式化為P{Yn≦0.01n}≥0.9查表得,解不等式得n≥21.2023/2/6

一船舶在某海區(qū)航行,已知每遭受一次海浪的沖擊,縱搖角大于3o

的概率為1/3,若船舶遭受了90000次波浪沖擊,問其中有29500～30500次縱搖角大于3o

的概率是多少？解

將船舶每遭受一次海浪的沖擊看作一次試驗(yàn),并假設(shè)各次試驗(yàn)是獨(dú)立的,在90000次波浪沖擊中縱搖角大于3o

的次數(shù)為X,則X是一個(gè)隨機(jī)變量,例42023/2/6所求概率為分布律為直接計(jì)算很麻煩，利用棣莫弗－拉普拉斯定理2023/2/62023/2/6在一個(gè)物理實(shí)驗(yàn)中的測(cè)量誤差是由許多不可能觀察到的,而可看作是可加的小誤差所組成.2023/2/6

一個(gè)懸浮于一種液體中的小質(zhì)點(diǎn)受到分子的碰撞,而使它在隨機(jī)的方向作隨機(jī)大小的位移,而該質(zhì)點(diǎn)在一定長時(shí)間之后的位置可以看作各個(gè)位移的總和.2023/2/6

在任一給定時(shí)刻,一個(gè)城市的耗電量是大量單獨(dú)的耗電者需用電量的總和.

在一個(gè)蓄水池中的儲(chǔ)水量可以看作是極大數(shù)量的單獨(dú)供水池的供水量的總和.2023/2/6不難發(fā)現(xiàn),在許多領(lǐng)域里,研究的課題所碰到的許多隨機(jī)現(xiàn)象都很好地近似正態(tài)分布,從中心極限定理看來,這是合理的.2023/2/6我們介紹了中心極限定理

在后面的課程中，我們還將經(jīng)常用到中心極限定理.

中心極限定理是概率論中最著名的結(jié)果之一，它不僅提供了計(jì)算獨(dú)立隨機(jī)變量之和的近似概率的簡單方法，而且有助于解釋為什么很多自然群體的經(jīng)驗(yàn)頻率呈現(xiàn)出鐘形曲線這一值得注意的事實(shí).2023/2/6四、小結(jié)中心極限定理獨(dú)立同分布的中心極限定理德莫佛－拉普拉斯定理

中心極限定理表明,在相當(dāng)一般的條件下,

當(dāng)獨(dú)立隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)增加時(shí),

其和的分布趨于正態(tài)分布.

2023/2/6棣莫弗資料AbrahamdeMoivreBorn:26May.1667inVitry(nearParis),France

Died:27Nov.1754inLondon,England2023/2/6

棣莫弗(

DeMoivre,Abraham1667—1754)于1667年5月26日出生在法國維特里的勒弗朗索瓦。早年為法國加爾文派教徒,于新舊教斗爭中遭監(jiān)禁.1685年廢除南特法令,棣莫弗獲釋后遷居到政治氣氛較好的倫敦，并一直從事家庭教師及保險(xiǎn)業(yè)顧問等職,并成為牛頓的親密朋友.棣莫弗與牛頓、天文學(xué)家哈雷為友，專心研究科學(xué).1695年，寫了有關(guān)牛頓流數(shù)術(shù)研究之論文.兩年后當(dāng)選為英國皇家學(xué)會(huì)會(huì)員,及后獲柏林科學(xué)院與巴黎科學(xué)院院士銜頭.最后不幸于1754年11月27日在英國倫敦逝世.2023/2/6

在十八世紀(jì)中，費(fèi)爾馬、帕斯卡和惠更斯在概率論方面的先驅(qū)思想得到相當(dāng)詳盡的闡述；而概率論之所以能快速發(fā)展，其中還有雅可比·伯努利的功勞，他在《猜測(cè)術(shù)》一書中對(duì)概率論作了進(jìn)一步論述,而棣莫弗在概率論方面的貢獻(xiàn)更大.1711年，他寫了《抽簽的計(jì)量》，并在七年后修改擴(kuò)充為《機(jī)遇論》發(fā)表.這是早期概率論的專著之一，當(dāng)中首次定義了獨(dú)立事件的乘法定理，給出二項(xiàng)分布公式，更討論了許多擲骰和其它賭博的問題.2023/2/6

棣莫弗以其著作《人壽保險(xiǎn)》引人注目，這在實(shí)用數(shù)學(xué)上占重要位置.他的《機(jī)會(huì)論》包括概率論方面的許多新材料.他的《分析雜論》對(duì)循環(huán)小數(shù)、概率論和解析三角都有貢獻(xiàn).棣莫弗被譽(yù)為論述概率積分

和正態(tài)頻率曲線

的第一人。對(duì)于很大的

n被誤稱為斯特林公式,其實(shí)起源于棣莫弗.2023/2/6以他的名字命名的還有熟悉的棣莫弗公式而且，他還以復(fù)數(shù)證明了求解方程等同于把圓周分為n等分。棣莫弗還于1725年出版專門論著，把概率論應(yīng)用于保險(xiǎn)事業(yè)上.

一個(gè)關(guān)于棣莫弗死的有趣傳說：棣莫弗發(fā)現(xiàn)他每天需要比前一天多睡1/4小時(shí).當(dāng)此算術(shù)級(jí)數(shù)之和達(dá)到24時(shí)，棣莫弗就逝世了.2023/2/6拉普拉斯資料Pierre-SimonLaplaceBorn:23Mar.174