第4章機械振動湘潭大學(xué)大學(xué)物理期末復(fù)習(xí)

孟利軍第四章機械振動1、振動和波動是物質(zhì)的基本運動形式，是自然界中的普遍現(xiàn)象。2、從物理學(xué)角度看，振動和波動是唯一一個橫跨物理學(xué)所有學(xué)科，既與經(jīng)典物理緊密聯(lián)系，又與現(xiàn)代物理融為一體的概念。3、振動和波動在各分支學(xué)科中，具體內(nèi)容不同、本質(zhì)不同，但描述形式卻具有相似性，，并且都具有干涉、衍射等波動特征。如：機械波和電磁波：物質(zhì)波：振動（Vibration）

：任何一個具有質(zhì)量和彈性的系統(tǒng)在其運動狀態(tài)發(fā)生突變時都會發(fā)生振動波動：如果空間某處發(fā)生的振動，以有限的速度向四周傳播，這種傳播著的振動稱為波動。如：機械波：機械振動在連續(xù)介質(zhì)中的傳播；電磁波：電磁振動在真空或介質(zhì)中的傳播；物質(zhì)波：和實物粒子相聯(lián)系的波。廣義地說，任何一個物理量在某一量值附近隨時間做周期性變化都可以叫做振動。如彈簧振子、單擺、復(fù)擺等。如位移，電流，電場，磁場，溫度等機械振動：物體在某固定位置附近的往復(fù)運動；非線性振動：不能用線性微分方程描述的運動。如：忽略空氣阻力的情況下，彈簧振子、單擺、復(fù)擺的小幅度振動；地震儀原因：a)內(nèi)部：出現(xiàn)非線性回復(fù)力；b)外部：存在非線性影響，如非線性阻尼力。線性振動：能用線性微分方程描述的運動；§4-1簡諧振動的動力學(xué)特征簡諧振動是自然界中最簡單最基本的振動形式.任何一個復(fù)雜的振動都可以看成若干個或無限多個簡諧振動的合成，任何一個復(fù)雜的振動都可以分解為若干個或無限多個簡諧振動。簡諧振動：一個做往復(fù)運動的物體，如果其偏離平衡位置的位移（角位移）隨時間按余弦（或正弦）規(guī)律變化，即：則這種振動稱為簡諧振動（SimpleHarmonicMotion

）。一、彈簧振子模型（Springoscillator）平衡位置：物體所受合外力為零處。----運動學(xué)方程忽略摩擦阻力1、運動學(xué)特征：加速度與其位移大小成正比，而方向相反；2、動力學(xué)特征：物體所受合力大小與位移成正比，而方向相反。運動學(xué)特征和動力學(xué)特征可以作為判斷一個物體是否做簡諧振動的根據(jù)。二、兩類簡諧振動：單擺、復(fù)擺1、單擺（Simplependulum）忽略空氣阻力的小角度擺動對C點的力矩：轉(zhuǎn)動定律：2、復(fù)擺（Physicspendulum)：繞不過質(zhì)心的水平固定軸轉(zhuǎn)動的剛體忽略空氣阻力的小角度擺動運動學(xué)方程：§4-2簡諧振動的運動學(xué)一、簡諧振動的運動學(xué)方程解運動學(xué)方程得：位移：速度：加速度：物體做簡諧振動時，其速度和加速度都隨時間做周期性變化.為積分常數(shù)，由初始條件決定，若初始條件：

（代回原式?jīng)Q定取舍）二、描述簡諧振動的三個重要參量1、振幅（Amplitude）：作簡諧振動的物體偏離平衡位置的最大位移（或角位移）的絕對值。給出了振動物體的運動范圍，即反映振動強弱，振幅越大，振動越強，平衡位置速度越大。2、周期、頻率、圓頻率（Period,Frequency,Circularfrequency）：反映振動的快慢。周期：物體完成一次全振動所需的時間彈簧振子：單擺：復(fù)擺：頻率：單位時間內(nèi)系統(tǒng)所完成的完全振動的次數(shù)圓頻率：2π時間內(nèi)系統(tǒng)所完成的完全振動的次數(shù)由于周期、頻率、圓頻率都只與系統(tǒng)性質(zhì)有關(guān)，故稱為固有周期、固有頻率、固有圓頻率，與系統(tǒng)處于什么振動狀態(tài)及是否在振動無關(guān)。如：可繞其一端轉(zhuǎn)動的質(zhì)量為m，長度為l的細直棍的周期為：

例1：一質(zhì)量為m的平底船，其平均水平界面積為S，吃水深度為h，如不計水的阻力，求此船在豎直方向的振動周期（水的密度為ρ）3、位相、初位相、位相差（Phase,Initialphase,Phasedifference）從簡諧振動的運動學(xué)方程，可以看到，對于振幅和圓頻率都已知的諧振動中，任意時刻的振動狀態(tài)完全取決于物理量.位相：確定振動系統(tǒng)任意時刻運動狀態(tài)的物理量。初位相：T=0時刻的位相。如：彈簧振子可見在一個周期內(nèi)不同的位相表示不同的振動狀態(tài)，不同周期內(nèi)凡位移和速度都相同的振動狀態(tài)，它們對應(yīng)的位相必然相差2π的整數(shù)倍.由此可見，相位反映了振動的周期性特征。為了比較兩個相同或不同物理量振動步調(diào)上的差異，引入相位差。位相差：兩振動位相之差：討論：1、同相（inphase）

兩振動同時達到位移的最大值，同時通過平衡位置且向同方向運動，它們的振動步調(diào)完全一致。2、反相振動步調(diào)完全相反。振動2超前振動1位相Δψ

或振動1落后振動2位相Δψ

其時間差為：3、其他如：比較位移、速度、加速度的位相。故速度比位移超前位相π/2，加速度比位移超前π或落后π

，加速度比速度超前π/2或落后3π/2三、簡諧振動的旋轉(zhuǎn)矢量表示法為了直觀形象的領(lǐng)會簡諧振動表達式中三個物理量的意義，并為后面討論簡諧振動的合成提供簡潔的方法，引入簡諧振動的旋轉(zhuǎn)矢量表示法。旋轉(zhuǎn)矢量A的末端在x軸的投影點

P點做簡諧振動：2、用旋轉(zhuǎn)矢量法表示位移、速度、加速度：例1:如圖m=2×10-2kg,彈簧的靜止形變?yōu)閘=9.8cmt=0時,x0=-9.8cm,v0=0,1）取開始振動時為計時零點，寫出振動方程；2）若取x0=0，v0>0為計時零點，寫出振動方程,并計算振動頻率。XOmx⑴確定平衡位置取為原點：k=mg/l

由初始條件得由x0=Acos0=-0.098<0

cos0<0,取0=振動方程為：x=9.810-2cos(10t+)m令向下有位移x,則：f=mg-k(l+x)=-kx作諧振動設(shè)振動方程為：(2)按題意t=0

時x0=0，v0>0x0=Acos0=0,cos0=00=/2,3/2v0=-Asin>0,sin0<0,取0=3/2x=9.810-2cos(10t+3/2)m可見，對同一諧振動取不同的計時起點不同，但、A不變固有頻率XOmx例2:如圖所示，振動系統(tǒng)由一倔強系數(shù)為k的輕彈簧、一半徑為R、轉(zhuǎn)動慣量為I的定滑輪和一質(zhì)量為m的物體所組成。使物體略偏離平衡位置后放手，任其振動，試證物體作簡諧振動，并求其周期T.mm取位移軸ox，m在平衡位置時，設(shè)彈簧伸長量為l，則當m有位移x時聯(lián)立得周期：§4-3簡諧振動的能量彈簧振子：動能：勢能：總能量：說明1）動能和勢能都隨時間作周期性變化（周期減半），總機械能不變，如圖。2）動能和勢能在一個周期內(nèi)的平均值相等，等于總能量的一半；同樣：3）判斷實際系統(tǒng)是否作簡諧振動，只需證明其是否滿足簡諧振動的動力學(xué)特征，即所受力是否為線性回復(fù)力。如：系統(tǒng)沿x軸振動，勢能函數(shù)為Ep(x)

如果勢能曲線存在一個極小值，則該位置就是系統(tǒng)平衡位置。證明：取該位置為x=0,

將勢能在x=0附近用級數(shù)展開：若系統(tǒng)作微振動，有

x3為高階無窮小，略去，得：

4）振動過程中機械能守恒，從力學(xué)觀點看，為保守系統(tǒng)。由能量守恒可導(dǎo)出運動學(xué)方程：

通過能量守恒得到動力學(xué)方程，有時會使我們的計算得到簡化。例1：在橫截面積為S的U形管中有適量液體，液體總長度為l，質(zhì)量為m，密度為ρ，求液面上下起伏的振動頻率。（忽略液體與管壁間的摩擦）S

y

y-

y0例2：一物體質(zhì)量為0.25kg，在彈性力作用下作簡諧振動，彈簧的倔強系數(shù)k=25Nm-1，如果起始振動具有勢能0.06J和動能0.02J，求（1）振幅；（2）經(jīng)過平衡位置時物體的速度。（1）總能（2）過平衡點時x=0，此時動能等于總能量§4-4簡諧振動的合成如：兩列聲波同時傳到空氣中某點，該處空氣質(zhì)點將如何振動呢？一、同方向、同頻率簡諧振動的合成設(shè)質(zhì)點同時參與兩個同方向、同頻率的簡諧振動：合成后：

一個物體它同時參與兩個或多個振動，情況會怎么樣呢？顯然，此時物體應(yīng)該是兩個振動在該點的合成。用旋轉(zhuǎn)矢量法我們?nèi)菀椎玫剑?/p>

可見，合成振動的振幅與兩振動位相差有關(guān)：1）同相（inphase）

這是合成振幅可能達到的最大值，這時合成的結(jié)果使振動加強，稱為振動相長；2）反相（inopposition）

，

這是合成振幅可能達到的最小值，這時合成的結(jié)果使振動減弱，稱為振動相消；3）正交

4）其他

如：兩諧振動振動方程分別為：求它們的合成振動。例3：N個同方向，同頻率的簡諧振動，它們的振幅相等，初位相分別為α，2α

，3α

…，依次相差為α

，振動表達式可寫成：求它們合成振動的振幅和初相。振幅初相二、同方向、不同頻率簡諧振動的合成設(shè)質(zhì)點同時參與兩個同方向不同頻率的簡諧振動（初位相相同）：合成后：

第一個因子

可看作振幅，作長周期緩慢變化；

第二個因子為頻率等于

因此，合成結(jié)果可看作振幅作周期性變化的準周期振動。

的準諧振動。拍(Beat)：振幅時大時小的現(xiàn)象。合振幅每變化一個周期稱為一拍，單位時間內(nèi)拍出現(xiàn)的次數(shù)稱為拍頻。由于

易得：

可見，拍頻等于兩個分振動頻率之差。用旋轉(zhuǎn)矢量法說明：兩旋轉(zhuǎn)矢量同方向時，振動加強，振幅最大；反方向時，振動減弱，振幅最小。（類比時針和分針）音叉：一個套上橡皮，同時敲擊時可聽到“嗡嗡嗡”的聲音。注：拍現(xiàn)象只限于線性疊加，當兩個不同頻率的振動系統(tǒng)出現(xiàn)物理上非線性耦合時，可能出現(xiàn)“同步鎖?！?，即兩個振動系統(tǒng)鎖定在同一頻率上。惠更斯首先觀察到同步鎖?，F(xiàn)象（發(fā)現(xiàn)家中掛在同一木板墻壁上的兩個掛鐘因相互影響而同步的現(xiàn)象）。激光未鎖模激光鎖模不同縱模的振蕩可以彼此獨立地發(fā)生，它們相互之間的位相關(guān)系對時間來說是隨機變化的，彼此之間不能產(chǎn)生持續(xù)的相干作用眾多縱模之間保持同步振蕩和彼此之間相互“干涉”作用的結(jié)果，導(dǎo)致輸出激光呈現(xiàn)為一系列規(guī)則的脈沖系列三、兩個相互垂直的同頻率簡諧振動的合成合振動分振動討論合振動的軌跡為通過原點且在第一、第三象限內(nèi)的直線質(zhì)點離開平衡位置的位移合振動的軌跡為通過原點且在第二、第四象限內(nèi)的直線質(zhì)點離開平衡位置的位移合振動的軌跡為以x軸和y軸為軸線的橢圓質(zhì)點沿橢圓的運動方向是順時針的。合振動的軌跡為以x軸和y軸為軸線的橢圓質(zhì)點沿橢圓的運動方向是逆時針的。

=5/4

=3/2

=7/4

=0

=

=/2

=3/4Q

=/4P

·.時，逆時針方向轉(zhuǎn)動。時，順時針方向轉(zhuǎn)動。四、垂直方向不同頻率簡諧振動的合成可看作兩頻率相等而2-1隨t緩慢變化，合成運動軌跡將按上頁圖依次緩慢變化。yxA1A2o-A2-A1兩分振動頻率相差很小若兩振動的頻率成整數(shù)比合成的軌跡為穩(wěn)定的閉合曲線，稱為李薩如圖形xy213132x=0：y=0

y

x0五、振動的頻譜分析振動的分解：把一個振動分解為若干個簡諧振動。諧振分析：若周期振動的頻率為

:0則各分振動的頻率為:0、20、30(基頻,二次諧頻,三次諧頻,…)按傅里葉級數(shù)展開任一周期性振動可以分解為有限個諧振動之和。任一非周期性振動可分解為無限個頻率連續(xù)變化的簡諧振動之和。分立頻譜連線頻譜方波的分解x00x10x30x50x1+x3+x5+x0xot鋸齒波A03050鋸齒波頻譜圖一個非周期性振動可分解為無限多個頻率連續(xù)變化的簡諧振動。xot阻尼振動曲線阻尼振動頻譜圖oA一、阻尼振動（Dampedharmonicmotion）阻尼振動能量隨時間減小的振動稱阻尼振動（減幅振動）。摩擦阻尼：系統(tǒng)克服阻力作功使振幅受到摩擦力的作用，系統(tǒng)的動能轉(zhuǎn)化為熱能。輻射阻尼：振動以波的形式向外傳波，使振動能量向周圍輻射出去?！?-5

阻尼振動受迫振動共振如：音叉,不僅因為摩擦而消耗能量，同時也因為輻射聲波而減少能量。注：通常將輻射阻尼當作某種等效的摩擦阻尼處理。阻尼振動的振動方程（系統(tǒng)受到弱介質(zhì)阻力而衰減）振子運動學(xué)方程振子受阻力弱介質(zhì)阻力是指振子運動速度較低時，介質(zhì)對物體的阻力僅與速度的一次方成正比?！枇ο禂?shù)系統(tǒng)固有角頻率阻尼系數(shù)弱阻尼每一周期內(nèi)損失的能量越小，振幅衰減越慢，周期越接近于諧振動。阻尼振動的振幅按指數(shù)衰減阻尼振動的準周期弱阻尼臨界阻尼臨界阻尼系統(tǒng)不作往復(fù)運動，而是較快地回到平衡位置并停下來過阻尼過阻尼系統(tǒng)不作往復(fù)運動，而是非常緩慢地回到平衡位置在過阻尼和弱阻尼情況下，振動物體都需要較長時間才能靜止，而只有在臨界阻尼情況下，物體才能最快的回到平衡位置。二、受迫振動（Forcedoscillation）受迫振動:振動系統(tǒng)在周期性外力作用下的振動。弱阻尼諧振子系統(tǒng)在策動力作用下的受迫振動的方程令周期性外力——策動力（Drivingforce）穩(wěn)定解(1)頻率:

等于策動力的頻率p(2)振幅:(3)初相:特點:穩(wěn)態(tài)時的受迫振動按簡諧振動的規(guī)律變化阻尼振動簡諧振動注：受迫振動在穩(wěn)定之前一個周期內(nèi)，阻尼力總是做負功，而策動力有時做正功，有時做負功，但總功肯定為正功，并且要大于阻尼力作功的絕對值。三、共振（Resonance）在