第4章直線與平面、平面與平面的相對位置

辛聲2015年3月第4章直線與平面、平面與平面的相對位置第1節(jié)平行問題

直線與平面相對位置有：平行、相交、垂直三種情況(實際只有兩種，垂直是相交的特例).判斷定理：

若一直線平行于平面內的任一直線，則該直線平行于該平面。

一.直線與平面平行

〖例〗已知直線EF和△ABC的兩面投影，檢驗直線EF是否與△ABC互相平行。

解題過程：①過b’作b’d’∥e’f’，求出db；②檢驗bd是否與ef平行，

結論：平行

平面與平面的相對位置有:平行、相交和垂直三種情況二.平面與平面平行

判定定理：若一平面上的一對相交直線分別與另一平面上的一對相交直線互相平行，則二平面平行。

若屬于一平面的相交兩直線對應平行于屬于另一平面的相交兩直線，則此兩平面平行EFDACB[例題1]試判斷兩平面是否平行mnmnrrss結論：兩平面平行[例題2]已知定平面由平行兩直線AB和CD給定。試過點K作一平面平行于已知平面。emnmnfefsrsrkk一.

直線與平面相交

直線與平面相交于一點，該點稱為交點。直線與平面的相交問題，主要是求交點和判別可見性的問題。直線與平面的交點，既在直線上，又在平面上，是直線和平面的公有點。第2節(jié)相交問題1.

一般位置線與投影面垂直面相交1）找出交點K的V投影k’，得點K的H投影k；

2）觀察直線MN的可見性。2.

投影面垂直線與一般位置面相交

〖例〗求作正垂線AB與一般面CDEF的交點K，并判別可見性。

1）在V面找出k’點，連接d’k’，延長后交c’f’

于m’點；

2）由m’

得m，連接dm與ab交得k；

3）根據(jù)重影點Ⅰ、Ⅱ判別可見性。作圖步驟：3.

一般位置線與一般位置面相交

〖例〗如圖所示，求作直線MN和平面△ABC的交點K，并判別投影的可見性。1）在V面投影圖中標出直線MN與AC、AB的重影點1’、2’。

2）由1’、2’

得1、2，連接12與mn交得點k。

3）由k得k’。

4）根據(jù)重影點Ⅳ、Ⅴ判別可見性。作圖步驟：兩平面的交線是一條直線，這條直線為兩平面所共有MFKNL二.

平面與平面相交

平面與平面相交的問題，主要是求交線和判別可見性的問題。1．兩特殊位置平面相交

投影面垂直面相交：兩個平面的投影均積聚為直線，若兩直線相交，則空間兩平面相交，交點即為兩平面交線。（交點必為該投影面垂直線）2．一般位置面與特殊位置平面相交

〖例4〗求作一般位置平面△ABC與正垂面△DEF的交線MN，并表明可見性。1）在V面上分別標出交點m’、n’，由m’、n’

得m、n。

2）連接mn，即為交線MN的H面投影；m’n’為交線MN的V面投影。

3）由觀察法判別可見性。作圖步驟：3．兩一般位置平面相交

〖例5〗求作平面△ABC與四邊形DEFG的交線MN的兩面投影，并表明可見性。1）經(jīng)試求選定求作ED、FG與△ABC平面的交點。

2）分別求出ED、FG與△ABC交點的投影m、m’，n、n’。

3）連接mn和m’n’，即為所求。

4）根據(jù)重影點判別可見性。作圖步驟：兩平面垂直的幾何條件

若一直線垂直于一定平面，則包含這條直線的所有平面都垂直于該平面。ADg[例]平面由

BDF給定，試過定點K作已知平面的垂面。hacachg一.

直線與平面垂直

直線與平面垂直的幾何條件是：若直線垂直于平面內任意兩條相交直線，則直線與平面必然相互垂直。定理1：若一直線垂直于一平面、則直線的水平投影必垂直于屬于該平面的水平線的水平投影；直線的正面投影必垂直于屬于該平面的正平線的正面投影。第3節(jié)垂直問題klkl定理1：

若一直線垂直于一平面、則直線的水平投影必垂直于屬于該平面的水平線的水平投影；直線的正面投影必垂直于屬于該平面的正平線的正面投影。定理2（逆）

若一直線的水平投影垂直于屬于平面的水平線的水平投影；直線的正面投影垂直于屬于平面的正平線的正面投影，則直線必垂直于該平面。1．一般位置直線與平面垂直

〖例〗已知空間點M和平面ABCD的兩面投影,求作過M點垂直于平面ABCD的垂線MN的投影1）作a’1’∥OX軸，求得1’

和1，過點m作a1的垂線。

2）作a2∥OX軸，由2得2’，過m’作a’2’的垂線m’n’。

3）由n’得n點，將m’n’和mn畫成粗實線。作圖步驟：2．特殊位置的直線與平面垂直

2)與投影面垂直線相垂直的平面，一定是該投影面的平行面；與投影面平行面相垂直的直線，一定是該投影面的垂直線。1)與投影面平行線相垂直的平面，一定是該投影面的垂直面；與投影面垂直面相垂直的直線，一定是該投影面的平行線；hhhhhh（a）（c）（b）

〖例〗求作A點到△BCD平面的垂線AE和垂足E，并確定A點與△BCD平面間的真實距離。1）在H面過a點作ae⊥bdc。

2）過a’作OX軸的平行線a’e’。

3）ae、a’e’即為所求垂線AE的兩面投影，e、e’為垂足.4）ae即為A點到△BCD平面的真實距離。作圖步驟：二.平面與平面垂直

〖例〗已知A點和直線MN的投影，正垂面P