第3章3.4DFT的應(yīng)用-線性卷積-譜分析

2023/2/613.4DFT的應(yīng)用舉例

3.4.1用DFT計(jì)算線性卷積1.

循環(huán)卷積定理：如果：則由時(shí)域循環(huán)卷積定理有

Y(k)=DFT［y(n)］=X1(k)X2(k),0≤k≤L-10≤k≤L-1

3.4.1用DFT計(jì)算線性卷積1.

循環(huán)卷積定理：如果：2023/2/62循環(huán)卷積可以在時(shí)域計(jì)算，也可以在頻域計(jì)算，而DFT有快速算法FFT，當(dāng)N很大時(shí)，在頻域計(jì)算的速度要快的多，故常用DFT來(lái)計(jì)算循環(huán)卷積。

圖3.4.1用DFT計(jì)算循環(huán)卷積2023/2/63

2.線性卷積的計(jì)算：希望用DFT(FFT)計(jì)算線性卷積。而DFT只能直接用來(lái)計(jì)算循環(huán)卷積，為此導(dǎo)出線性卷積和循環(huán)卷積之間的關(guān)系以及循環(huán)卷積與線性卷積相等的條件。假設(shè)h(n)和x(n)都是有限長(zhǎng)序列，長(zhǎng)度分別是N和M。它們的線性卷積和循環(huán)卷積分別表示如下：

(3.4.1)(3.4.2)其中，L≥max［N,M］，2023/2/64對(duì)照式(3.4.1)可以看出，上式中

(3.4.3)循環(huán)卷積是線性卷積以循環(huán)卷積點(diǎn)數(shù)L為周期的周期延拓序列的主值序列。循環(huán)卷積長(zhǎng)度：L;線性卷積長(zhǎng)度：N+M-1;只有當(dāng)循環(huán)卷積的長(zhǎng)度L≥M+N-1時(shí)，以L為周期進(jìn)行周期延拓才無(wú)混疊現(xiàn)象。此時(shí)，取主值才有線性卷積和循環(huán)卷積相等的條件：

L≥M+N-1

2023/2/652023/2/66圖3.4.3用DFT計(jì)算線性卷積框圖當(dāng)循環(huán)卷積的長(zhǎng)度L≥M+N-1時(shí)，線性卷積和循環(huán)卷積相等，這時(shí)，可用DFT來(lái)計(jì)算線性卷積，框圖如下：2023/2/67圖3.4.2線性卷積與循環(huán)卷積2023/2/683.4.2用DFT對(duì)信號(hào)進(jìn)行譜分析

1．用DFT對(duì)連續(xù)信號(hào)進(jìn)行譜分析目的：時(shí)域頻域都離散化，便于計(jì)算機(jī)處理。連續(xù)信號(hào)xa(t)連續(xù)函數(shù)Xa(jΩ)

離散信號(hào)xa(nT)離散信號(hào)X(k)X(k)則是x(n)的傅里葉變換X(ejω)在頻率區(qū)間［0，2π］上的N點(diǎn)等間隔采樣。這里x(n)和X(k)均為有限長(zhǎng)序列。FTDFT2023/2/69用DFT對(duì)信號(hào)進(jìn)行譜分析是一個(gè)近似的過(guò)程：FT要求：“時(shí)域有限，頻域無(wú)限”；“頻域有限，時(shí)域無(wú)限”；DFT要求：時(shí)域頻域均有限。工程上經(jīng)過(guò)預(yù)處理：頻譜很寬的信號(hào)，預(yù)濾波器濾除幅度較小的高頻成分，使連續(xù)信號(hào)的帶寬小于折疊頻率。對(duì)于持續(xù)時(shí)間很長(zhǎng)的信號(hào)，截取有限點(diǎn)進(jìn)行DFT。用DFT對(duì)連續(xù)信號(hào)進(jìn)行頻譜分析必然是近似的，其近似程度與信號(hào)帶寬、采樣頻率和截取長(zhǎng)度有關(guān)。矛盾2023/2/6102.用DFT對(duì)連續(xù)信號(hào)進(jìn)行譜分析的過(guò)程：x(n)d(n)信號(hào)的頻譜分析：計(jì)算信號(hào)的傅立葉變換xa(t)Xa(jΩ)x(n)xN((n))NxN(n)Xa(ejw)XN((k))NXN(k)抽樣t=nTs截短周期延拓周期延拓取一個(gè)周期周期延拓Ωs=2π/TsXa(ejw)*D(ejw)卷積抽樣Ω0=Ω/N周期延拓取一個(gè)周期FTDTFTDTFTDFSDFT如何利用XN(k)近似Xa(jΩ)?2023/2/6112023/2/612假設(shè)xa(t)是經(jīng)過(guò)預(yù)濾波和截取處理的有限長(zhǎng)帶限信號(hào)。已知連續(xù)信號(hào)xa(t)持續(xù)時(shí)間為Tp，最高頻率為fc。1）、將xa(t)采樣，即，等間隔(T)分段

2)、將x(n)截短，，共N個(gè)采樣點(diǎn)由于時(shí)域采樣周期為T，則由時(shí)域采樣定理，頻域產(chǎn)生以Ωs=2πfs=2π/Ts為周期的周期延拓。如果xa(t)是帶限信號(hào)，則采樣信號(hào)的頻譜不會(huì)產(chǎn)生混疊，周期為Ωs=2π/Ts，取其中的一個(gè)周期的FT，則（2）變?yōu)椋?023/2/6133)、頻域采樣，一個(gè)周期Ωs分N段，采樣間隔為Ω0，且,F稱為頻率分辨率則，公式（3）、（4）分別為：2023/2/6142023/2/615重寫(5)、(6)如下：上式即是由DFT求連續(xù)非周期信號(hào)的傅里葉變換的采樣值的近似計(jì)算公式2023/2/6162023/2/6173.譜分析過(guò)程中的參數(shù)選擇：TP：xa(t)的持續(xù)時(shí)間；fc：xa(t)的最高頻率T或TS：時(shí)域采樣間隔；N：采樣點(diǎn)數(shù)fs：時(shí)域采樣頻率F：頻域采樣間隔（頻率分辨率）1.各參數(shù)之間的關(guān)系：2023/2/618譜分析范圍和頻率分辨率：譜分辨率F=fs/N，如果保持采樣點(diǎn)數(shù)N不變，要提高頻譜分辨率(減小F)，就必須降低采樣頻率，采樣頻率的降低會(huì)引起譜分析范圍變窄和頻譜混疊失真。如維持fs不變，為提高頻率分辨率可以增加采樣點(diǎn)數(shù)N，因?yàn)?/p>

只有增加對(duì)信號(hào)的觀察時(shí)間Tp，才能增加N。Tp和N可以按照下面兩式進(jìn)行選擇：2023/2/619

【例3.4.2】對(duì)實(shí)信號(hào)進(jìn)行譜分析，要求譜分辨率F≤10Hz，信號(hào)最高頻率fc=2.5kHz，試確定最小記錄時(shí)間Tpmin，最大的采樣間隔Tmax，最少的采樣點(diǎn)數(shù)Nmin。如果fc不變，要求譜分辨率提高1倍，最少的采樣點(diǎn)數(shù)和最小的記錄時(shí)間是多少？解因此Tpmin=0.1s。因?yàn)橐骹s≥2fc，所以2023/2/620

為使用DFT的快速算法FFT，希望N符合2的整數(shù)冪，為此選用N=512點(diǎn)。為使頻率分辨率提高1倍，即F=5Hz，要求：用快速算法FFT計(jì)算時(shí)，選用N=1024點(diǎn)。上面分析了為提高譜分辨率，又保持譜分析范圍不變，必須增長(zhǎng)記錄時(shí)間Tp，增加采樣點(diǎn)數(shù)。應(yīng)當(dāng)注意，這種提高譜分辨率的條件是必須滿足時(shí)域采樣定理，甚至采樣速率fs取得更高。2023/2/6212023/2/6224．用DFT進(jìn)行譜分析的誤差問(wèn)題

(1)混疊現(xiàn)象。

對(duì)連續(xù)信號(hào)進(jìn)行譜分析時(shí)，首先要對(duì)其采樣，變成時(shí)域離散信號(hào)后才能用DFT(FFT)進(jìn)行譜分析。采樣速率fs必須滿足采樣定理，否則會(huì)在ω=π(對(duì)應(yīng)模擬頻率f=fs/2)附近發(fā)生頻譜混疊現(xiàn)象。這時(shí)用DFT分析的結(jié)果必然在f=fs/2附近產(chǎn)生較大誤差。因此，理論上必須滿足fs≥2fc(fc為連續(xù)信號(hào)的最高頻率)。

措施：對(duì)fs確定的情況，一般在采樣前進(jìn)行預(yù)濾波，濾除高于折疊頻率fs/2的頻率成分，以免發(fā)生頻率混疊現(xiàn)象。2023/2/623

(2)柵欄效應(yīng)。

N點(diǎn)DFT是在頻率區(qū)間［0，2π］上對(duì)時(shí)域離散信號(hào)的頻譜進(jìn)行N點(diǎn)等間隔采樣，而采樣點(diǎn)之間的頻譜函數(shù)是看不到的。這就好像從N個(gè)柵欄縫隙中觀看信號(hào)的頻譜情況，僅得到N個(gè)縫隙中看到的頻譜函數(shù)值。因此稱這種現(xiàn)象為柵欄效應(yīng)。由于柵欄效應(yīng)，有可能漏掉(擋住)大的頻譜分量。2023/2/624改進(jìn)：為了把原來(lái)被“柵欄”擋住的頻譜分量檢測(cè)出來(lái)，對(duì)有限長(zhǎng)序列，可以在原序列尾部補(bǔ)零；對(duì)無(wú)限長(zhǎng)序列，可以增大截取長(zhǎng)度及DFT變換區(qū)間長(zhǎng)度，從而使頻域采樣間隔變小，增加頻域采樣點(diǎn)數(shù)和采樣點(diǎn)位置，使原來(lái)漏掉的某些頻譜分量被檢測(cè)出來(lái)。對(duì)連續(xù)信號(hào)的譜分析，只要采樣速率fs足夠高，且采樣點(diǎn)數(shù)滿足頻率分辨率要求，就可以認(rèn)為DFT后所得離散譜的包絡(luò)近似代表原信號(hào)的頻譜。2023/2/625截?cái)嘈?yīng)。對(duì)x(n)截?cái)?形成有限長(zhǎng)序列w(n)稱為窗函數(shù)，長(zhǎng)度為N。w(n)=RN(n),稱為矩形窗函數(shù)。根據(jù)傅里葉變換的頻域卷積定理，有2023/2/626其中對(duì)矩形窗數(shù)w(n)=RN(n)，有幅度譜Wg(ω)~ω曲線如圖3.4.12所示(Wg(ω)以2π為周期，只畫低頻部分)。圖中，|ω|<2π/N的部分稱為主瓣，其余部分稱為旁瓣。

圖3.4.12矩形窗的幅度譜2023/2/627

例如，x(n)=cos(ω0n)，ω0=π/4,其頻譜為截?cái)嗲?、后的幅頻曲線如下圖所示：泄漏譜間干擾2023/2/628

由上述可見(jiàn)，截?cái)嗪笮蛄械念l譜Y(ejω)與原序列頻譜X(ejω)必然有差別：

(1)泄露。由圖可知，原來(lái)序列x(n)的頻譜是離散譜線，經(jīng)截?cái)嗪?，使原?lái)的離散譜線向附近展寬，通常稱這種展寬為泄露。顯然，泄露使頻譜變模糊，使譜分辨率降低。頻譜泄露程度與窗函數(shù)幅度譜的主瓣寬度直接相關(guān)，在第7章將證明，在所有的窗函數(shù)中，矩形窗的主瓣是最窄的，但其旁瓣的幅度也最大。2023/2/629

(2)譜間干擾。在主譜線兩邊形成很多旁瓣，引起不同頻率分量間的干擾(簡(jiǎn)稱譜間干擾)，特別是強(qiáng)信號(hào)譜的旁瓣可能湮沒(méi)弱信號(hào)的主譜線，或者把強(qiáng)信號(hào)譜的旁瓣誤認(rèn)為是另一頻率的信號(hào)的譜線，從而造成假信號(hào)，這樣就會(huì)使譜分析產(chǎn)生較大偏差。

2023/2/630改進(jìn)措施：

由圖3.4.12可以看出，增加N可使Wg(ω)的主瓣變窄，減小泄露，提高頻率分辨率，但旁瓣的相對(duì)幅度并不減小。為了減小譜間干擾，應(yīng)用其它形狀的窗函數(shù)w(n)代替矩形窗(窗函數(shù)將在FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)中介紹)。但在N一定時(shí)，旁瓣幅度越小的窗函數(shù)，其主瓣就越寬。所以，在DFT變換區(qū)間(即截取長(zhǎng)度)N一定時(shí)，只能以降低譜分析分辨率為代價(jià)，換取譜間干擾的減小。

圖3.4.12矩形窗的幅度譜2023/2/631

柵欄效應(yīng)與頻率分辨率是兩個(gè)不同的概念：如果在長(zhǎng)度為N的序列后補(bǔ)N個(gè)零，再進(jìn)行2N點(diǎn)DFT，使柵欄寬度減半，從而減輕了柵欄效應(yīng)，得到高密度譜。但是這種截短后補(bǔ)零的方法不能提高頻率分辨率。因?yàn)榻囟桃呀?jīng)使頻譜變模糊，補(bǔ)零后僅使采樣間隔變小，但得到的頻譜采樣的包絡(luò)仍是已經(jīng)變模糊的頻譜，所以頻率分辨率沒(méi)有提高。因此，要提高頻率分辨率，只有通過(guò)增加信號(hào)的有效持續(xù)時(shí)間Tp，來(lái)增加采樣點(diǎn)數(shù)，才能得到高分辨率譜?？偨Y(jié)：譜分析的步驟首先，確定信號(hào)抽樣頻率fs

滿足時(shí)域抽樣定理，即：fs≥2fc，T=1/fs≤1/2fc（1）然后，確定抽樣信號(hào)的長(zhǎng)度N

N應(yīng)滿足頻率分辨率Δf的要求，即：N≥fs/Δf（2）最后，根據(jù)譜線間隔Δfd確定DFT的點(diǎn)數(shù)L，即：L≥fs/Δfd

（3）L一般取滿足式2的整數(shù)冪次。2023/2/632結(jié)合實(shí)例進(jìn)行頻譜分析實(shí)例1：已知一連續(xù)信號(hào)為其中f0=100HZ，f1=130HZ?，F(xiàn)以頻率fs=600HZ對(duì)該信號(hào)進(jìn)行抽樣，試?yán)肈FT分析其頻譜。分析：首先，信號(hào)最高頻率f1=130HZ，采樣頻率fs=600HZ，滿足采樣定理要求；然后，信號(hào)的相鄰兩個(gè)譜峰間隔Δfd=f1-f0=30，L≥fs/Δfd=600/30=20（個(gè)）2023/2/6332023/2/634實(shí)例2：已知一連