5.2 任意角的三角函數(shù)-(人教A版2019必修第一冊) (教師版)

任意角的三角函數(shù)1任意角的三角函數(shù)的概念設α是一個任意角，α∈R，它的終邊OP與單位圓相交于點P(x,y).①把點P的縱坐標y叫做α的正弦函數(shù)，記作sinα，即y=sinα；②把點P的縱坐標x叫做α的余弦函數(shù)，記作cosα，即x=cosα；③把點P的縱坐標yx叫做α的正切函數(shù)，記作tanα，即y正弦函數(shù)fx=sinx,x∈R；余弦函數(shù)fx它們統(tǒng)稱三角函數(shù).2三角函數(shù)在各個象限的符號各象限點坐標的符號α第一象限第二象限第三象限第四象限sinα++－－cosα+－－+tanα+－+－根據(jù)三角函數(shù)定義可知它們在各個象限符號(設α的終邊上一點Px,y，sinα符號看y，cosα符號看x，3特殊角的三角函數(shù)值表α0ππππ2π3π5ππ3π2πsinα012313210-0cosα13210----01tanα0313－---0－0利用三角函數(shù)的定義求α=0、πEg如圖所示，α=π的終邊在x軸的負半軸，與x軸交點為P(-1,0)則sinπ=0，cosπ=-1，tanπ=04同角三角函數(shù)基本關系式si拓展sinα+cosα【題型一】求三角函數(shù)值【典題1】已知角α的終邊與單位圓的交點為P(-45,35)【解析】角α的終邊與單位圓的交點為P(-45,35則2sinα+tanα=6【典題2】已知角θ的始邊為x軸非負半軸，終邊經(jīng)過點P(1,2)，則sinθsinθ+cosθ=【解析】∵角θ的始邊為x軸非負半軸，終邊經(jīng)過點P(1,2)，∴tanθ=2，則sinθsinθ+cosθ【點撥】①P(1,2)不在單位圓上，故sinθ≠2，cosθ≠1.②設α是任意角，它的終邊上任意一點P(x,y)，它與原點的距離是r，則sinα=yr【題型二】確認三角函數(shù)的符號【典題1】sin2?cos3?tan4的值（）A．小于0B．大于0C．等于0D．不存在【解析】因為π2<2<π，所以2、3是第二象限角，所以sin2>0，從而sin2?cos3?tan4<0，選A.【典題2】若cosθ<0且tanθ<0，則θ2終邊在(A．第一象限B．第二象限C．第一或第三象限 D．第三或第四象限【解析】∵cosθ<0,∴∵tanθ<0，∴θ∴θ是第二象限，即∴k∴可得θ2終邊在第一或第三象限．故選：C【題型三】同角三角函數(shù)基本關系式【典題1】已知α∈(0,π)，tanα=－2，則cosα=【解析】方法1∵tanα=-2，又sin∵α∈0，∴α為第二象限角，∴cosα<0∴cosα=-方法2∵tanα=-2，構(gòu)造直角三角形Rt△ABC在直角三角形中，cosα=BC∵α∈0，∴α為第二象限角∴cosα<0∴cosα=-【點撥】①若知sinα、cosα、tanα三者中一個的值，可求另外兩個的值，即②在非解答題中用方法二解題速度更快些，只是要多留意三角函數(shù)的符號.【典題2】已知sinθ、cosθ是關于x的方程(1)求實數(shù)a的值；(2)若θ∈(-π【解析】(1)∵sinθ、cosθ是方程∴sinθ+cosθ=22a①，sinθcosθ=a△=b2-4ac=8a2∴sinθ+cosθ即8a2-2a-1=0，解得a=(2)∵θ∈(-∴sinθ<0，cosθ>0，可得sinθcosθ=a<0，由(1)可得a=-∴sinθcosθ=-∴sinθ-cosθ又sinθ-cosθ<0∴sinθ-cosθ=-6(注意判斷sinθ－cosθ【點撥】①sinα+cosα2=1+2sinαcosα②sinθ+cosθ、sinθ－cosθ【典題3】已知tanα是關于x的方程2x2-x-1=0(1)求2sinα-cosαsinα+cosα(2)求3sin【解析】(1)∵tanα是關于x的方程2x2-x-1=0∴tanα=1或tanα=-12∴2sinα-cosα(2)3===3-1+2【點撥】①弦化切技巧若已知tanα，可求a?sinα+b?cosαc?sinα+d?cosα或a?si除以cosα或cos2α，化為關于②本題巧妙利用了sin2α+cos2α=1，當遇到類似3sin③本題若是選擇填空題當然也可以通過tanα=1，求出sinα、cosα【典題4】已知3sinα+4cosα=5，求tanα.【解析】方法1解方程組法由3sinα+4cosα=5sin2α+cos∴cosα=4方法2“對偶式”法設4sinα-3cosα=x，等式兩邊平方得16sin將3sinα+4cosα=5兩邊平方，得9sin2由①+②得，25=x2+25∴4sinα-3cosα=0方法3“弦化切”法將3sinα+4cosα=5兩邊平方，得9即9sin即9tan2α鞏固練習1(★)已知角α的項點與坐標原點重合，始邊與x軸的非負半軸重合，若點P(2,-1)在角α的終邊上，則tanα=(A．2 B．12 C．-【答案】C【解析】∵點P(2,－1)在角α的終邊上，∴2(★)若θ為第二象限角，則下列結(jié)論一定成立的是()A．sinθ2>0B．cosθ2>0C．tanθ【答案】C【解析】∵θ為第二象限角，∴π2則π4+kπ<θ∴θ為一或三象限角，得tanθ23(★)已知cosα=-45，且α為第二象限角，那么tanα=【答案】-3【解析】∵cosα∴sinα=4(★)如果角θ滿足sinθ+cosθ=2，那tanθ+1tanθ【答案】2【解析】∵sinθ+cosθ=2，∴那么tanθ+15(★★)已知α∈(π2,π)，且sinα+cosα=15【答案】75【解析】∵sinα+cosα=∴兩邊平方，可得1+2sinαcosα∵α∴可得sinα>0，cosα∴sin6(★★)若α∈(π2,π)，且cos【答案】-3【解析】∵cos2即4sin2α+4sinα－3=0∵α∈(π27(★★)已知tanα=2，則1sin2【答案】53【解析】∵∴1