3.1函數的概念及其表示方法-(人教A版2019必修第一冊) (教師版)

函數的概念及其表示方法一函數的概念1概念設A、B是非空的數集，如果按照某個確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數．記作：y=f(x),x∈A．其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域；與x的值相對應的y2定義域①概念函數自變量x的取值范圍.②求函數的定義域主要應考慮以下幾點(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被開方數不小于零；(3)對數式的真數必須大于零；(4)指數、對數式的底必須大于零且不等于1；(5)指數為零底不可以等于零；(6)抽象函數的定義域較為復雜.3值域 ①概念函數值y的取值范圍②求值域的方法(1)配方法(2)數形結合(3)換元法(4)函數單調性法(5)分離常數法(6)基本不等式法4區(qū)間實數集R表示為(-∞,+∞).二函數的表示方法1表格法如上表，我們很容易看到y(tǒng)與r之間的函數關系.在初中剛學畫一次函數圖像時，第一步就是列表，其實就是用表格法表示一次函數.2圖像法如上圖，很清晰的看到某天空氣質量指數I與時間t兩個變量之間的關系，特別是其趨勢.數學中的“數形結合”也就是這回事，它是數學一大思想，在高中解題中識圖和畫圖尤為重要.3解析式求函數解析式的方法(1)配湊法(2)待定系數法(3)換元法(4)構造方程組法(5)代入法

【題型一】函數概念的理解【典題1】設集合M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},給出如下四個圖形，其中能表示從集合M到集合N的函數關系的是()【解析】(本題相當把M={x|0≤x≤2}看成定義域，N={y|0≤y≤2}看成值域)圖象A不滿足條件，因為當1<x≤2時，N中沒有y值與之對應.圖象B不滿足條件，因為當x=2時，N中沒有y值與之對應.圖象C不滿足條件，因為對于集合M={x|0<x≤2}中的每一個x值，在集合N中有2個y值與之對應，不滿足函數的定義.只有D中的圖象滿足對于集合M={x|0≤x≤2}中的每一個x值，在N={y|0≤y≤2}中都有唯一確定的一個y值與之對應，故選D.【典題2】給定的下列四個式子中，能確定y是x的函數的是()①x2+③x-1+y-1=1A．① B．② C．③ 【解析】①由x2+y比如x=0，y=±1，所以②由|x－1|+y2-1所以x=1,y=±1，所以②不是函數．③由x-1+y-1=1得y=④要使函數y=x-2+1-x有意義，則x-2≥01-x≥0，解得故選：C．【點撥】函數中自變量x與函數值y的關系是“一對一或多對一”的關系，不能是“一對多”.【題型二】求函數的定義域【典題1】函數y=-x2+2x+3【解析】要使函數有意義，則-x2+2x+3≥0x≠0，即即-1≤x<0或0<x≤3，即函數的定義域為[-1,0)?0,3【典題2】下列各組函數中表示的函數不同的是()A．f(x)=x,g(x)=3x3C．fx=【解析】A,B,C的定義域和對應法則相同，表示同一函數，D中g(x)=x+2的定義域是R，fx=x兩個函數的定義域不相同，不是同一函數.故選：D．【點撥】①判斷兩個函數是否是同一函數，看函數的定義域和解析式是否均相同；②函數反應的是兩個變量的關系，至于用什么字母表示都一樣，故選項C的fx=【典題3】已知fx2-1定義域為[0,3]，求【解析】∵0≤x≤3∴-1≤∴-1≤2x-1≤8∴0≤x≤故函數f(2x-1)的定義域是0,9【點撥】抽象函數的定義域理解起來不容易，由于函數的解析式與字母的選擇無關，若把題目換成“已知fx2-1定義域為[0,3]，求f(2t-1)的定義域①謹記定義域指的是自變量的取值范圍，所以由“fx2-1定義域為[0,3]”得到的是“0≤x≤3”，“求f(2t-1)的定義域”指的就是求②把“x2-1”和“2t-1”都看成整體，它們的范圍這樣就有“-1≤【題型三】求函數的值域方法1配方法【典題1】求函數y=5x2-4x+1【解析】y=∵x∈14,1即y=5x2【點撥】配方法針對二次函數型的函數值域.方法2數形結合【典題2】求函數fx=【解析】(這是分段函數，兩段函數均為二次函數，其圖像易得，故可用數形結合求值域)fx=2x-而f(0)=0,f(3)=-3,fx=x2可得到函數圖像如右圖，易得函數值域為[-8,1].【點撥】數形結合最大的好處是直觀.方法3換元法【典題3】求函數fx=2x+【解析】令t=1-x(t≥0)，(要注意新變量t得x=-t∴原函數化為y=-2t2+t+2=-2∴函數fx=2x+1-x【點撥】本題利用換元法把不熟悉函數值域問題轉化為熟悉的二次函數值域問題，即求函數fx=2x+1-x的值域?y=-2t【典題4】函數f(x)=-9-x+(13)x-1【解析】f(x)=-(本題主要是注意到了9-x和(13)x-1均可令t=(13)x，因為原函數的值域等價于函數g(t)=-由二次函數的性質可知，f(x)=[34,3]【點撥】①換元法的本質就是“整體思想”，它能把“不太友善的”表示形式轉化為“友善的”，前2題均用換元法把復雜形式函數轉化為二次函數，故解題過程中特別要注意式子的結構特征.②換元法要注意換元后變量的取值范圍，比如典題3的“t≥0”，典題4中的“方法4函數單調性法【典題5】函數f(x)=2x2【解析】由復合函數的單調性可知，函數f(x)在[0,1]上單減，在[1,3]又f0∴函數值域為[4,64]．【點撥】①利用函數單調性是求函數值域最常見的方法，高二還會學到導數，它是一把利器.②復合函數的單調性是"同增異減".方法5分離常數法【典題6】求函數fx=【解析】函數fx(在分子2x2-1中“湊出”分母x2∵x故函數fx=【點撥】形如f(x)=a?g(x)+bc?g(x)+d均可用分離常數法求函數值域，比如求函數y方法6基本不等式法(對勾函數法)【典題7】求函數f(x)=x2【解析】∵f(x)=x2+4x+1∴①當x=0時，fx=1；(x=0②當x>0時，0<4xx2+1=此時1<fx≤3，(利用對勾函數∴函數f(x)=x2+4x+1【點撥】利用基本不等式法(對勾函數法)能處理二次分式函數y=dx2鞏固練習1(★)函數y=f(x-1)與函數y=f(x+1)()A．是同一個函數B．定義域相同C．圖象重合 【答案】D【解析】由于函數y=f(x－1)中x－1的范圍與函數y=f(x+1)中故函數y=f(x－1)與函數故選：D．2(★)函數f(x)=-x2+4x+12+1x-4【答案】[-2,4)∪【解析】解-x2+4x+12≥0x-4≠0得，∴f(x)的定義域為：[3(★★)已知函數f(x+1)定義域為[1,4]，則函數f(x－1)的定義域為【答案】[3,6]【解析】∵f(x+1)的定義域為[1,4]；∴∴f(x)的定義域為[2∴f(x－1)滿足：2∴f(x－1)4(★★)函數y=2--x2+4x的值域是為【答案】0,2【解析】∵0≤－x∴0≤2-故函數y=2--x2+4x的值域是5(★★)函數y=x-1+x+1,(x≥1)的值域為【答案】2,+∞【解析】函數y=x-1+x+1顯然在6(★★)函數f(x)=x-1x+3(x≥1)的值域為【答案】[0,1)【解析】f(x)=x+3-4則當x≥1時，f(x)為增函數，則f(1)≤f(x)＜1，即即函數的值域為[0,1)．7(★★)函數y=4x+2x+1+3【答案】(3,+∞)【解析】令t=2∴函數y=4x∴f(t)>3，即函數y=4x+8(★★★)求函數y=2x【答案】[【解析】y=∵x>12，∴x-當且僅當x-12=12x-所以原函數的值域為[12+【題型四】分段函數【典題1】設函數f(x)=x2+2(x≤2)2x(x>2)，若f(x0【解析】由題意，得①當x0≤2時，有x0而6>2不符合，所以x②當x0>2時，有2x綜上所述，得x0=4或【典題２】已知函數f(x)=x2-6x+6,x≥0f(x1)=f(x2)=f(x【解析】(乍眼一看，不太理解題意，設fx1=t，本題就函數y=t與y函數f(x)=x不妨設x1則x2,x3關于直線且x1滿足-則x1+x即x1【點撥】分段函數本質上是“分類討論”，特別要注意“每段函數”的定義域.處理分段函數的性質問題(值域、交點等)常常用數形結合的方法.【題型五】求函數解析式方法1配湊法【典題1】已知f(x+1x)=x【解析】∵x>0∴x+∵fx+1x=x+1【點撥】本題主要是觀察到x+1x與x2+1x方法2待定系數法【典題２】已知函數f(x)是二次函數，若f(0)=0,且f(x+1)=f(x)+x+1，求【解析】依題意可設fx若f(0)=0，且f(x+1)=f(x)+x+1，∴c=0且即c=0且∴c=02a+b=b+1a+b+c=c+1∴f(x)=【點撥】當函數的類型已知，利用待定系數法可求函數解析式.方法3 換元法【典題３】已知f(x+1)=x+2x【解析】令t=x+1，則∵f(∴f(t)=t-12∴fx+1【點撥】用換元法時注意新變量的取值范圍.②用配湊法fx+1方法4構造方程組法【典題４】設f(x)滿足f(x)-2f(1x)=x,求【解析】∵f(x)-2f(1x)=x顯然x≠0，將x換成1x，得：f(1解①②聯(lián)立的方程組，得：f(x)=-x方法5代入法【典題５】與函數y=x2-3x+2的圖象關于點(0,1)對稱的函數是【解析】設P(x,y)為所求函數圖象上的任意一點，它關于點(0,1)對稱的點是Q(-x,2-y)．由題意知點Q(-x,2-y)在函數則2-y=x2+3x+2【點撥】①由下圖可對本題有個更清晰的理解.②求與一已知函數關于點對稱或軸對稱的函數解析式均可以用“代入法”.若把本題的函數y=x2-3x+2換成y=2x或者把“關于點鞏固練習1(★)已知函數y=x2+1(x≤0)2x(x>0)，若f(a)=10，則a的值是【答案】－3或5【解析】由題意，當x≤0時，fx又x≤0，所以當x>0時，fx=-2(★★)已知函數f(x)=(2a-1)x+7a-2(x<1)ax(x≥1)在(-∞,+∞)上單調遞減，則實數a的取值范圍為【答案】[3【解析】若函數f(x)=(2a-1)x+7a-2(x<1)ax則2a-1<0故答案為：[3(★★)已知一次函數f(x)滿足條件f(x+1)+f(x)=2x，則函數f(x)的解析式為．【答案】f(x)=x-【解析】設f(x)=kx+b，k≠∵f(x+1)+f(x)=2x∴k(