同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)教案多元函數(shù)微分學(xué)

高等數(shù)學(xué)教學(xué)教案第六章多元函數(shù)微分學(xué)授課序號0教學(xué)基本指標(biāo)教學(xué)課題第六章第一節(jié) 多元函數(shù)的概念、極限與連續(xù)課的類型復(fù)習(xí)、新知識課教學(xué)方法講授、課堂提問、討論、啟發(fā)、自學(xué)教學(xué)手段黑板多媒體結(jié)合教學(xué)重點(diǎn)極限與連續(xù)的概念和性質(zhì)教學(xué)難點(diǎn)極限不存在的情況參考教材同濟(jì)版、人大版《高等數(shù)學(xué)》；同濟(jì)版《微積分》作業(yè)布置課后習(xí)題大綱要求理解多元函數(shù)的概念，了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)性的概念，了解有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)教學(xué)基本內(nèi)容一、基本概念:1、多元函數(shù)的概念{(%,y)|%,ywR}表示xOy坐標(biāo)平面，設(shè)M1(x1,y1)與M2(x2,y2)為xOy平面上的兩點(diǎn)則d=J(x2—xj+(y2—yj表示M1(x1,y1)與M2(x2,y2)的距離.坐標(biāo)平面上具有某種性質(zhì)的點(diǎn)的集合，稱為平面點(diǎn)集，記作E={(x,y)(x,y)具有某種性質(zhì)}，設(shè)D是平面上的點(diǎn)集，如果D中的點(diǎn)滿足下面兩個條件，則稱D為開區(qū)域.(1)對于D中的任意一點(diǎn)P，如果都能找到它的一個鄰域(見圖6-2)，使得鄰域能夠包含在點(diǎn)集D中(這樣的點(diǎn)P稱為點(diǎn)集的內(nèi)點(diǎn)).(2)對于D中的任意兩點(diǎn)，都能用包含在D中的折線連接起來，即折線上的點(diǎn)都在D中，見圖6-3.開區(qū)域簡稱區(qū)域.2、二元函數(shù)的概念設(shè)D是平面上的一個非空點(diǎn)集，如果對于D內(nèi)的任一點(diǎn)(x,y)，按照某種法則了，都有唯一確定的實(shí)數(shù)z與之對應(yīng)，則稱f是D上的二元函數(shù)，它在(%,y)處的函數(shù)值記為f(%,y)，即z=f(x,y)，其中x,y稱為自變量，z稱為因變量.點(diǎn)集D稱為該函數(shù)的定義域，數(shù)集｛zIz=f(x,y),(%,y)eD｝稱為該函數(shù)的值域.3、二元函數(shù)的極限定義2設(shè)函數(shù)z=f(x,y)的定義域?yàn)镈，P(x,y)是xOy平面內(nèi)的定點(diǎn)(見圖6-7),若存在常數(shù)A，0 0 0Vs>0，35>0，當(dāng)點(diǎn)P(x,y)eDcU(P0,5)時，恒有f(P)-A=f(x,y)-A<s，則稱常數(shù)A為函數(shù)f(x,y)當(dāng)(x，yLt，y0)時的極限，記作A，(x,y).(x0,y0).lim f(xA，(x,y).(x0,y0).(x,y)—(x0,y0)也可記作limf(P)=A或f(P)fA，P.P0.4、二元函數(shù)的連續(xù)性定義3設(shè)二元函數(shù)z二八x,y)在點(diǎn)(x0，y0)的某一鄰域內(nèi)有定義，(x，y)是鄰域內(nèi)任意一點(diǎn)，如果limf(x，y)=f(x0，y0)，則稱z=f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)處連續(xù).如果函數(shù)z=f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)處不連續(xù),則稱函數(shù)z=八x,y)在(x0，y0)處間斷.由常數(shù)及具有不同自變量的一元基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算和復(fù)合步驟而得到的可用一個式子表示的函數(shù)稱為多元初等函數(shù).二、定理與性質(zhì)：性質(zhì)1(有界性與最大值最小值定理)若函數(shù)f(P)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，則f(P)在D上必有界，且能取得最大值和最小值.性質(zhì)2(介值定理)若函數(shù)f(P)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，則f(P)必取得介于最大值和最小值之間的任何值.三、主要例題:例1求二元函數(shù)f(x，y)=J3—x2-y2的定義域.例2求函數(shù)z=lnQ2+y2-2x)+In(4-x2-y2)的定義域… 、了2—V2例3已知函數(shù)f(x+V,x—V)二——乙，求f(x,V)的表達(dá)式，并求f(2,1)的值.X2+V2X2V 八例4證明lim——二二0(x,V)-(。,0)X2+V2XV例5證明lim--一不存在.x-0x2+V2V-0例6求極限lim(x2+V2)sinx—0例7求極限lim(x,V)—(0,0)1―：osQ+例7求極限lim(x,V)—(0,0)ex+v例8求lim .x—0x+VV—1例9求limln(V—x)+ry:Ix―0_ 71—x2_|V—1一3一、:x2+V2+9例10 求極限lim——X .x—0 x2+v2V—0

授課序號02教學(xué)基本指標(biāo)教學(xué)課題第六章第二節(jié) 多兀函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分課的類型新知識課教學(xué)方法講授、課堂提問、討論、啟發(fā)、自學(xué)教學(xué)手段黑板多媒體結(jié)合教學(xué)重點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念教學(xué)難點(diǎn)全微分存在的必要和充分條件參考教材同濟(jì)版、人大版《高等數(shù)學(xué)》；同濟(jì)版《微積分》作業(yè)布置課后習(xí)題大綱要求理解偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念，了解全微分存在的必要條件和充分條件，了解一階全微分形式的不變性，會解全微分方程教學(xué) 基本內(nèi)容一、基本概念：1、偏導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)z=f(%,y)在點(diǎn)(x0,y0)的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)y固定在y0,而％在5處有增量故時，相應(yīng)的函數(shù)有增量f(%jAx,yo)-f(%o,yo).如果lim“0——'g%f(o，y0)存在，則稱此極限為函數(shù)z=f(%,y)在點(diǎn)(%0,y0)處對%的偏導(dǎo)數(shù)，記為8f瓦'瓦'入%0或f%(%0,y0).%=%0 %=%0 y=y0y=y0 y=y0例如，f(%,y)=limf(%0+A%'y0)-f(%0,y0),%00以-0 A%類似地，函數(shù)z=f(%,y)在點(diǎn)(%0,y0)處對y的偏導(dǎo)數(shù)為limf(%0,y0+Ay)-f(%0,y0),Ay—0 Ay記為df正'五'zy%二%0或嚇%0,y0).%=%0 %=%0 y=y0y=y0 y=y0二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的定義可以類推到三元及三元以上的函數(shù).

如果函數(shù)z=f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)每一點(diǎn)處對x的偏導(dǎo)數(shù)都存在，那么這個偏導(dǎo)數(shù)是x,y的二元函數(shù)，那么稱為函數(shù)z=f(x,y)對自變量x的偏導(dǎo)函數(shù)，簡稱為偏導(dǎo)數(shù)，記作azafa’不’zx或f.(x,y)?同樣，函數(shù)z=f(x,y)對自變量y的偏導(dǎo)數(shù)記作2、偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義設(shè)曲面的方程為z二f(x,y)，M0(x0，y0，f(x0，y0))是該曲面上一點(diǎn),過點(diǎn)M0作平面y二y0,截此曲面得一條曲線，其方程為z=f(x,y)0y=y0則偏導(dǎo)數(shù)fx(x0,y°)表示上述曲線在點(diǎn)M0處的切線M05對x軸正向的斜率.同理,偏導(dǎo)數(shù)fy(x0，y0)就是曲面被平面x二xo所截得的曲線在點(diǎn)叱處的切線Mo「對y軸正向的斜率.3、高階偏導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)具有偏導(dǎo)數(shù)S二a,y)，三=f(x,y)，則在D內(nèi)f(x,y)和f(x,y)都是x,y的函數(shù).如果這兩個函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)存在，則稱它們是函數(shù)z=f(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù).按照對變量求導(dǎo)次序的不同，共有下列四個二階偏導(dǎo)數(shù):=f(x,y),xxdy=f(x,y),xxdy(ax)=f(x,y),xya(a.zax(ay)aya.x=f(x,y)，丁?cyx ay(ay)ay=f(x,y),yy其中第二、第三兩個偏導(dǎo)稱為混合偏導(dǎo)數(shù)4、微分的定義如果函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)的全增量Az=f(x+Ax,y+Ay)-f(x,y)可以表示為Az-AAx+BAy+o(p),其中A,B不依賴于Ax,Ay而僅與x,y有關(guān),p-1(Ax)2+(Ay)2,則稱函數(shù)z-f(x,y)在點(diǎn)(x,y)可微分，AAx+BAy稱為函數(shù)z-f(x,y)在點(diǎn)(x,y)的全微分，記為dz，即dz-AAx+BAy.若函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)各點(diǎn)處可微分，則稱這函數(shù)在D內(nèi)可微分.*5、全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用設(shè)二元函數(shù)z-f(x,y)在點(diǎn)P(x,y)的兩個偏導(dǎo)數(shù)fx(x,y),fy(x,y)連續(xù)，且IAx1,1AyI都較小時，則根據(jù)全微分定義，有Az氏dz,Azxf(x,y)Ax+f(x,y)Ay.x yf(x+Ax,y+Ay卜f(x,y)+f(x,y)Ax+f(x,y)Ay.

x y二、定理與性質(zhì)：d2z a2z定理1如果函數(shù)z-f(x,y)的兩個二階混合偏導(dǎo)數(shù)一及kk在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)，則在該區(qū)域內(nèi)有cyaxaxaya2z_a2zayaxaxay"定理2(必要條件)如果函數(shù)z-f(x,y)在點(diǎn)(x,y)處可微分，則(1)該函數(shù)在點(diǎn)(x,y)連續(xù);azaz 八/ 、 ,、(2)該函數(shù)的兩個的偏導(dǎo)數(shù)k,—都存在，且z-f(x,y)在點(diǎn)(x,y)處的全微分axaydz-生Ax+史Ay.

ax ay、一,一. 八/ 、 azaz ,、定理3(充分條件)如果函數(shù)z-f(x,y)的偏導(dǎo)數(shù)k,—在點(diǎn)(x,y)存在且連續(xù)，則函數(shù)在該點(diǎn)處可微分.axay三、主要例題：… - dz Sz例1設(shè)函數(shù)z=X3+2X2戶+Jex，求丁及丁.Sx Sj例2求z=f(x,j)=x2+3xj+j2在點(diǎn)(1,2)處的偏導(dǎo)數(shù).例3求z=xj的偏導(dǎo)數(shù).例4設(shè)f(x,J)=(x-1)g(j)+(j-1)h(x)，求((1,1).例5求三元函數(shù)u=sin(x+J2―ez)的偏導(dǎo)數(shù).例6已知一定量的理想氣體的狀態(tài)方程為PV=RT(R為常數(shù))，證明SPSVST1 -1SVSTSP例7設(shè)z=4x3+3x2例7設(shè)z=4x3+3x2J-3xj2-x+J,求S.x2'SySx'SxSy，Sj2'sx3例8求z=xln(x+J)的二階偏導(dǎo)數(shù).例9求函數(shù)z=xj的二階偏導(dǎo)數(shù).S2u S2u c例10驗(yàn)證函數(shù)u(x,J)=ln、,：x2+J2滿足方程+--=0.Sx2 Sy2例11求函數(shù)z=4xy3+5x2j6的全微分.例12計(jì)算函數(shù)z=xj在點(diǎn)(2,1)處的全微分.例13求函數(shù)u=x+sinj+eJz的全微分.例14求函數(shù)u=xyz的偏導(dǎo)數(shù)和全微分.例15計(jì)算(1.04)2.02的近似值.例16當(dāng)x、y的絕對值很小時，推出函數(shù)(1+x)-(1+y＞的近似公式試用全微分估計(jì)例17測得矩形盒的邊長為75cm、60cm以及40cm，且可能的最大測量誤差為0.2cm.利用這些測量值計(jì)算盒子體積時可能帶來的最大誤差.

試用全微分估計(jì)授課序號03教學(xué)基本指標(biāo)教學(xué)課題第六章第三節(jié)復(fù)合求導(dǎo)、隱函數(shù)求導(dǎo)及方向?qū)?shù)課的類型復(fù)習(xí)、新知識課教學(xué)方法講授、課堂提問、討論、啟發(fā)、自學(xué)教學(xué)手段黑板多媒體結(jié)合教學(xué)重點(diǎn)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，隱函數(shù)求導(dǎo)教學(xué)難點(diǎn)復(fù)合函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)，隱函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)參考教材同濟(jì)版、人大版《高等數(shù)學(xué)》；同濟(jì)版《微積分》作業(yè)布置課后習(xí)題大綱要求掌握復(fù)合函數(shù)一階偏導(dǎo)數(shù)的求法，會求復(fù)合函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，會求隱函數(shù)(包括由兩個方程組成的方程組確定的隱函數(shù))的偏導(dǎo)數(shù)，了解方向?qū)?shù)與梯度的概念及其計(jì)算方法教 學(xué) 基本內(nèi)容一、基本概念：設(shè)函數(shù)工=于Q,P在點(diǎn)M0(x0,七)的某個鄰域U(M0)內(nèi)有定義，/是指向點(diǎn)M0(x0,y0)的一射線，它與x軸正向的夾角為a,p—q(Ax}+(Ay},Mq+Pcosa,y°+psina)eU(MJ為l上的任點(diǎn)(見圖6-11)，若limAz_[imf(%0+Pcosa,y。+psina)-f(x。,y。)pf0+p P-0+ p存在，則稱此極限為函數(shù)z—f(X,y)在點(diǎn)M(x,y)沿方向l的方向?qū)?shù)，記作工 .000 alM0即az _limf(x0+Pcosa,y0+psina)-f ,y°)_a1M0 P—0+ P二、定理與性質(zhì)：1.復(fù)合函數(shù)的中間變量為一元函數(shù)的情形設(shè)u—u(t),V—V(t)土均在t處可導(dǎo)，函數(shù)z—f(u,v)在對應(yīng)點(diǎn)(u,V)處有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，則它們構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)z—f[u(t),V(t)]在t處可導(dǎo)，且有導(dǎo)數(shù)公式dzazduazdv— + .dtaudtavdt公式中的導(dǎo)數(shù)df稱為全導(dǎo)數(shù)..復(fù)合函數(shù)的中間變量為多元函數(shù)的情形duCu CvCv設(shè)u=u(%,y),v=v(%,y)在點(diǎn)(%,y)處都具有偏導(dǎo)數(shù)丁,丁及，丁，C%cy C%cy一。，、,一，/、一，一，、,,dz dz函數(shù)z=f(u,V)在對應(yīng)點(diǎn)(u,V)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)丁和二，Cu OV則復(fù)合函數(shù)z=f[u(%,y),V(%,y)]在(%,y)處的兩個偏導(dǎo)數(shù)存在，并有求導(dǎo)公式CzCzCuCzCv

= + Cy CuCyCvCy.復(fù)合函數(shù)的中間變量既有一元也有為多元函數(shù)的情形這種情形比較復(fù)雜，我們僅以一種情況為例，其他的類似可得.定理3如果函數(shù)u=u(%,y)在點(diǎn)(%,y)具有對%及對y的偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù)v=v(y)在點(diǎn)y可導(dǎo)，函數(shù)z=f(u,V)在對應(yīng)點(diǎn)(u,V)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)z=f[u(%,y),V(y)]在對應(yīng)點(diǎn)(%,y)的兩個偏導(dǎo)數(shù)存在，且有(4)Cz_CzCu(4)C%CuC%CzCzCuCzdv = + .CyCuCyCvdy4、全微分形式的不變性無論z是自變量u、V的函數(shù)，還是中間變量u、V的函數(shù)，它的全微分形式是一樣的，這個性質(zhì)就叫做全微分形式的不變性.5、隱函數(shù)的求導(dǎo)公式(隱函數(shù)存在定理1)設(shè)函數(shù)F(%,y)在點(diǎn)P(%0,y0)的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且Fy(%0,y0)中0,F(%0,y0)=0,則方程F(%,y)=0在點(diǎn)P(%0,y0)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)y=f(%),它滿足y0=f(%0),并有dy_F =——%-.d% Fy6、(隱函數(shù)存在定理2)設(shè)函數(shù)F(x,y,z)在點(diǎn)P(X0,y0,z。)的某一鄰域內(nèi)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且F(F(X0,y0,z0)=0,”X0,y0,z0)*0,