2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 空間幾何體的外接球（精練）（解析版）

7.7空間幾何體的外接球（精練）【題組一漢堡模型】1．（2021·西藏拉薩市·高三二模（理））已知三棱錐的所有頂點都在球的球面上，且平面，，，，則球的表面積為（）A． B．C． D．【答案】D【解析】因為平面，所以，，所以，在中，，所以．如圖所示：三棱錐的外接球即為長方體的外接球，設(shè)球的半徑為，則，解得，所以球的表面積為．故選：D．2．（2021·四川省華鎣中學(xué)高三其他模擬（理））已知邊長為的正的頂點和點都在球的球面上.若，且平面，則球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意知：球為三棱錐的外接球，為邊長為的正三角形，的外接圓半徑，又平面，，球的半徑，球的表面積.故選：B.3．（2021·全國高三專題練習(xí)）已知各頂點都在同一球面上的正四棱柱的底面邊長為，高為，球的體積為，則這個正四棱柱的側(cè)面積的最大值為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)球的半徑為，則，解得.如圖，正四棱柱底面對角線，在中，由，，，則側(cè)面積，即側(cè)面積的最大值為.故選：B.4．（2021·遼寧葫蘆島市·高三二模）（多選）在四面體中，，，直線，所成的角為60°，，，則四面體的外接球表面積為（）A． B． C． D．【答案】CD【解析】當(dāng)四面體如下圖示，過作且，連接、、，且與交于O點，則△為等邊三角形，為矩形且O點為外接圓圓心，即，又，，∴面，面，則面面，過為中點，連接、，若為面外接圓圓心，為四面體的外接球球心，則，，有，如下圖示，∴四面體的外接球半徑，則外接球表面積為.當(dāng)四面體如下圖示，過作且，連接、、，且與交于O點，則△為等腰三角形，為矩形且O點為外接圓圓心，即，又，，∴面，面，則面面，過為中點，連接，若為面外接圓圓心，為四面體的外接球球心，則，，如下圖示，∴四面體的外接球半徑，則外接球表面積為.故選：CD5．（2021·山西高三三模（理））已知四棱錐的五個頂點都在球的球面上，平面，底面是高為的等腰梯形，，，，則球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】取的中點，過作面，如圖，因為，，，,所以在中，,所以，由余弦定理可知，，故,設(shè)底面ABCD外接圓半徑為r，圓心為M，球О的半徑為R，由正弦定理知故，又因為平面所以所以球的表面積為故選：D6．（2021·全國高三其他模擬（理））在四棱錐中，已知底面，且，則該四棱錐外接球的體積為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖所示，連接，設(shè)的中點為G，因為，所以是底面外接圓的直徑，又，所以，又，得，又底面，則，所以，即是球的直徑，則的中點Q為球心，連接，易知，所以，且底面.在中，，則，又在中，球半徑，則該四棱錐外接球的體積.故選：C7．（2021·南昌市八一中學(xué)高三三模（文））設(shè)直三棱柱的所有頂點都在一個球面上，且球的體積是，，，則此直三棱柱的高是______．【答案】【解析】設(shè)．，，于是是外接圓的半徑），．又球心到平面的距離等于側(cè)棱長的一半，球的半徑為．球的體積為，解得．于是直三棱柱的高是．故答案為：．【題組二墻角模型】1．（2021·沈陽市）（多選）一棱長等于1且體積為1的長方體的頂點都在同一球的球面上，則該球的體積可能是（）A． B． C． D．【答案】BCD【解析】設(shè)長方體未知的兩棱長分別為，則，，設(shè)外接球半徑為，則，球體積為，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以．故選：BCD．2．（2021·黑龍江哈爾濱市·哈師大附中高三月考（文））長方體的長、寬、高分別為2，2，1，其頂點都在球的球面上，則球的表面積為______.【答案】【解析】因為長方體的外接球的直徑為長方體的體對角線，長方體的長、寬、高分別為2，2，1，所以長方體的外接球的直徑，故長方體的外接球的半徑為，所以球的表面積為.故答案為：3．（2021·貴溪市實驗中學(xué)高三其他模擬）棱長為的正四面體的外接球體積為___________.【答案】【解析】如圖，棱長為的正四面體可以嵌入到棱長為的立方體中，所以正四面體的外接球與所嵌入的立方體的外接球相同.設(shè)立方體的外接球半徑為，則，所以立方體外接球的體積.故正四面體的外接球體積為.故答案為：4．（2021·云南紅河哈尼族彝族自治州·高三三模（文））在三棱錐中，已知，，兩兩垂直，且，，，則三棱錐的外接球的表面積為【答案】【解析】以線段PA，PB，PC為相鄰三條棱的長方體被平面ABC所截的三棱錐符合要求，如圖：長方體與三棱錐有相同外接球，其外接球直徑為長方體體對角線長，設(shè)外接球的半徑為，則，則所求表面積.5．（2021·吉林長春市·高三其他模擬（文））已知正四棱柱(底面為正方形且側(cè)棱與底面垂直的棱柱)的底面邊長為3，側(cè)棱長為4，則其外接球的表面積為【答案】【解析】正四棱柱即長方體，其體對角線長為，因此其外接球的半徑為，則其表面積為，故選:B.6．（2021·河南高三三模（理））在四面體中，平面，三內(nèi)角，，成等差數(shù)列，，，則該四面體的外接球的表面積為【答案】【解析】由題意，內(nèi)角成等差數(shù)列，可得,因為，可得，即，在中，由余弦定理可得，即，解得，所以，所以，所以該四面體的外接球與該長方體的外接球是相同的，根據(jù)長方體的對角線長等于其外接球的直徑，可得，解得，所以該四面體的外接球的表面積為.（2021·貴州黔東南苗族侗族自治州·凱里一中高三三模（文））如圖，在中，，，是棱的中點，以為折痕把折疊，使點到達點的位置，則當(dāng)三棱錐體積最大時，其外接球的表面積為【答案】【解析】在中，因為，，由余弦定理可得，所以，當(dāng)，即平面，三棱錐體積最大，此時??兩兩垂直，可把三棱錐補形為一個長方體，且長方體長、寬、高分別為：，所以三棱錐的外接球半徑為：，所以外接球的表面積為：.8．（2021·南昌市八一中學(xué)高三三模（理））在三棱錐中，點在平面中的投影是的垂心，若是等腰直角三角形且，，則三棱錐的外接球表面積為【答案】【解析】設(shè)的垂心為，連接則平面，如圖所示：由垂心知，，又，則平面所以，又，，所以平面，得同理所以兩兩垂直，則三棱錐的外接球是以為長寬高的長方體的外接球，故所以，三棱錐的外接球表面積為9．（2021·遼寧朝陽市·高三二模）已知三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直且，此三棱錐的外接球的表面積為，則______________．【答案】【解析】設(shè)，由題意可得：，三棱錐的外接球的表面積為，三棱錐擴展為長方體，長方體的對角線的長度，就是外接球的直徑，所以，，可得，解得，所以．故答案為：10．（2021·廣西來賓市·高三其他模擬（理））三棱錐中，平面，直線與平面所成角的大小為，，，則三棱錐的外接球的表面積為________．【答案】【解析】如圖，設(shè)外接球的球心為O，設(shè)的外接圓圓心為，因為平面，所以為直線與平面所成角，即，所以，又，所以，所以，設(shè)的外接圓半徑為R，則由正弦定理可得，解得，則在中，，則三棱錐的外接球表面積為．故答案為：【題組三斗笠模型】1．（2021·黑龍江齊齊哈爾市·高三二模（文））某圓錐的側(cè)面展開后，是一個圓心角為的扇形，則該圓錐的體積與它的外接球的體積之比為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)圓錐的母線長為，則展開后扇形的弧長為，再設(shè)圓錐的底面圓半徑為，可得，即，圓錐的高為，設(shè)圓錐外接球的半徑為，則，解得．圓錐的體積為，圓錐外接球的體積，∴該圓錐的體積與它的外接球的體積之比為．故選：C．2．（2021·全國高三其他模擬（文））已知圓錐的頂點和底面圓周都在球O的球面上，圓錐的母線長為3，側(cè)面展開圖的面積為，則球O的表面積等于（）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)底面半徑為，圓錐母線為，所以，所以，如圖，是圓錐軸截面，外接圓是球的大圓，是圓錐底面的圓心，設(shè)球半徑為，則，，所以，如圖1，，即，解得，不符合題意，當(dāng)為如圖2時，即，解得，所以球表面積為．故選：A．3．（2021·寧夏銀川市·高三二模（文））已知一個圓錐的底面圓面積為，側(cè)面展開圖是半圓，則其外接球的表面積等于（）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)圓錐的底面圓半徑為，高為，母線長為，圓錐的外接球半徑為，則，可得，由于圓錐的側(cè)面展開圖是半圓，則，可得，，由圓錐的幾何特征可知，圓錐的外接球心在圓錐的軸上，所以，，解得,因此，該圓錐的外接球的表面積為.故選：B.4．（2021·河南高三月考（理））一圓臺的兩底面半徑分別為，高為，則該圓臺外接球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)該圓臺的外接球的球心為，半徑為，則或，解得，所以該圓臺的外接球的表面積為.故選：C.5．（2021·浙江高三專題練習(xí)）已知圓錐的頂點和底面圓周都在球面上，圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角為，面積為，則球的表面積等于（）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)圓錐母線為，底面半徑為，則，解得，如圖，是圓錐軸截面，外接圓是球的大圓，設(shè)球半徑為，，，，，所以球表面積為．故選：A．6．（2021·天津南開區(qū)·高三一模）已知一個圓錐的底面半徑為，高為，其體積大小等于某球的表面積大小，則此球的體積是（）A． B． C． D．【答案】D【】解析設(shè)球的半徑為，圓錐的體積為，由于球的體積大小等于某球的表面積大小，則，，因此，該球的體積為.故選：D.7．（2021·天津高考真題）兩個圓錐的底面是一個球的同一截面，頂點均在球面上，若球的體積為，兩個圓錐的高之比為，則這兩個圓錐的體積之和為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】如下圖所示，設(shè)兩個圓錐的底面圓圓心為點，設(shè)圓錐和圓錐的高之比為，即，設(shè)球的半徑為，則，可得，所以，，所以，，，，則，所以，，又因為，所以，，所以，，，因此，這兩個圓錐的體積之和為.故選：B.8（2021·全國高三專題練習(xí)（理））設(shè)圓錐的頂點為，為圓錐底面圓的直徑，點為圓上的一點（異于、），若，三棱錐的外接球表面積為，則圓錐的體積為___________.【答案】或【解析】設(shè)圓錐的外接球球心為，則在直線上，設(shè)球的半徑為，則，解得.由勾股定理得，即，可得，即，解得或.當(dāng)時，圓錐的體積為；當(dāng)時，圓錐的體積為.故答案為：或.【題組四L模型】1．（2021·寧夏銀川市·賀蘭縣景博中學(xué)高三二模（理））如圖所示，在三棱錐中，平面平面，是以為斜邊的等腰直角三角形，，，則該三棱錐的外接球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)中點為，連接，

因為是以為斜邊的等腰直角三角形，所以，，過點作，因為平面平面，平面平面所以平面，平面，所以三棱錐的外接球的球心在上，設(shè)外接球的半徑為，則由得，由得，又因為，所以為等腰直角三角形，設(shè)球心為，中點為，連接，則，所以，即，解得，所以三棱錐的外接球的表面積為.故選：B2（2021·安徽高三月考（文））已知三棱錐的每個頂點都在球的球面上，平面平面，，，，，則三棱錐外接球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖所示：取的中點，連接，則.因為為直角三角形，所以其外接圓圓心為的中點，設(shè)四面體的外接球球心為，則平面，易知點，點位于平面同側(cè)，又因為平面，所以，連接，，故四邊形為直角梯形，過作于點，則四邊形為矩形，連接，設(shè)四面體的外接球的半徑為，.在中，，，所以，.在中，，所以，①在中，，在直角梯形中，，，.在中，，即.②解①②組成的方程組，得，所以，解得(負(fù)值舍去).所以四面體的外接球的表面積.故選：C3．（2021·江西撫州市·高三其他模擬（文））在三棱錐中，平面平面，，，，若三棱錐的四個頂點都在同一個球面上，則該球的表面積為___________.【答案】【解析】設(shè)的外心為，半徑，三棱錐的外接球球心，半徑，過作的平行線，過作的平行線，兩條直線交于，∵面面，面面，，面，∴平面，又平面，∴，則四邊形為矩形，而，即為中點，即，在中，由正弦定理得：，所以，∵，∴.故答案為：.4．（2021·遼寧沈陽市·高三三模）在四面體ABCD中，是邊長為2的等邊三角形，是以為斜邊的等腰直角三角形，平面平面BC，則四面體ABCD的外接球的表面積為__________．【答案】【解析】因為是以為斜邊的等腰直角三角形，所以，又因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，平面，，所以，所以，于是，即兩兩垂直，以為棱構(gòu)造正方體，正方體的外接球就是四面體的外接球，可得四面體的外接球半徑，所以表面積為故答案為：．【題組五矩形模型】1．（2021·安徽合肥市·高三三模（文））在三棱錐中，，，.若三棱錐的體積為1，則該三棱錐外接球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，所以和為以為斜邊的直角三角形，則的中點到各個頂點的距離都相等，則為外接球的球心.即為直徑.過做平面，垂足為，連結(jié)，，則，解得：.，，，，則分別為在平面內(nèi)的射影，所以有，又，為公共邊，所以，則，所以在的角平分線上，，，，，所以有平面，平面，則有，因為，，所以，則，則故外接球的表面積為.故選：D.2．（2021·甘肅酒泉市·高三三模（文））已知三棱錐，當(dāng)三棱錐的體積最大時，則外接球的表面積為___________.【答案】【解析】如圖，在中，由，可得：，所以為直角三角形，由，若要三棱錐的體積最大，則平面時三棱錐的體積最大，由為直角三角形，所以外接圓直徑為，所以外接球直徑，，所以外接球的表面積，故答案為：3．（2021·江西南昌市·高三二模（文））四面體中，，，，則該四面體的外接球表面積為__________．【答案】【解析】由題意，，，則，所以，，同理，取中點，則到四點的距離相等，即為外接球的球心，所以球半徑為，球表面積為．故答案為：．【題組六懷表模型】1．（2021·江西贛州市·高三二模（文））如圖，菱形的邊長為，，將其沿著對角線折疊至直二面角，連接，得到四面體，則此四面體的外接球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】取的中點，連接、，因為、都是邊長為的等邊三角形，且為的中點，則，，所以，二面角的平面角為，且，設(shè)、分別為、的外心，過點作平面的垂線，過點作平面的垂線，設(shè)，易知，同理可得，，，，平面，平面，，同理可得，所以，四邊形是邊長為的正方形，由正弦定理可得，，因此，四面體的外接球的表面積為.故選：D.2．（2021·安徽高三月考（理））已知菱形的邊長為4，對角線，將沿著折疊，使得二面角為，則三棱錐的外接球的表面積為___________.【答案】【解析】如圖所示：將沿折起后，取中點為，連接，，則，，所以即為二面角的平面角，所以；與是邊長為4的等邊三角形.分別記三角形與的重心為、，則，；即；因為與都是邊長為4的等邊三角形，所以點是的外心，點是的外心；記該幾何體的外接球球心為，連接，，根據(jù)球的性質(zhì)，可得平面，平面，所以與都是直角三角形，且為公共邊，所以與全等，因此，所以；因為，，，且平面，平面，所以平面；又平面，所以，連接，則外接球半徑，所以外接球表面積為.故答案為：.【題組七其他模型外接球】1．（2021·全國高三其他模擬）在四面體中，，，，則其外接球的表面積為___________.【答案】【解析】如圖所示，將該四面體補成長方體，設(shè)該長方體的長?寬?高分別為，，，則解得所以，即，從而其外接球的半徑為，其外接球的表面積為.故答案為：．2．（2021·貴州高三期末（理））在三棱錐中，，底面是等邊三角形，三棱錐的體積為，則三棱錐的外接球表面積的最小值是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)三棱錐外接球的球心為，三棱錐底面邊長和高分別為，.底面的外接圓半徑為，則.由題意可知是三棱錐的外接球的一條直徑，則，即.設(shè)三棱錐的外接球半徑為，球心到底面的距離為.則，故三棱錐的外接球表面積為.故選：A.3．（2021·安徽安慶市·安慶一中高三三模（文））已知球O的半徑為R，A，B，C三點在球O的球面上，球心O到平面的距離為，，，則球O的表面積為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵中，，，∴平面截球所得圓的半徑（即的外接圓半徑）為又球心到平面的距離，球O的半徑，解得，故球O的表面積，故選：A．4．（2021·黑龍江大慶市·鐵人中學(xué)高三一模（文））已知四面體中，，，，是的中點，，，則四面體的外接球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖，四面體的外接球為球，連接，．因為，則為所在小圓的直徑．又因為，且，則．又是的中點，所以．又因為，則或．設(shè)球的半徑為，則．在中，由余弦定理知，，則（不合題意，舍去）．又，則，則，解得，則球的表面積為．故選：D5．（2021·云南紅河哈尼族彝族自治州·高三三模（理））在棱長為的正方體中，為棱上一點，且到的距離與到的距離相等，則四面體的外接球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】連接交于點，連接、、、，如下圖所示，在正方體中，四邊形為正方形，且，則為的中點，因為，所以.設(shè)，則，易知，，，由已知可得，可得，解得，將三棱錐補成長方體，設(shè)三棱錐的外接球半徑為，則，則，因此，三棱錐的外接球的表面積為.故選：B.6．（2021·遼寧丹東市·高三二模）球的兩個相互垂直的截面圓與的公共弦的長度為2，若是直角三角形，是等邊三角形，則球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖，過作直線平面，過作直線平面，則與相交于，即為球心，連接，則為該球的半徑，取的中點，連接，因為是直角三角形，，所以，因為是等邊三角形，所以，因為平面平面，平面平面，所以平面，所以，因為平面，所以∥，同理∥，所以四邊形為矩形，所以，因為平面，所以，所以,所以球的表面積為，故選：D7．（2021·山東高三其他模擬）如圖是一個由6個正方形和8個正三角形圍成的十四面體，其所有頂點都在球的球面上，若十四面體的棱長為1，則球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)圖形可知，該十四面體是由一個正方體切去八個角得到的，如圖所示，十四面體的外接球球心與正方體的外接球球心相同，建立空間直角坐標(biāo)系，∵該十四面體的棱長為1，故正方體的棱長為，∴該正方體的外接球球心的坐標(biāo)為，設(shè)十四面體上一點為，則，所以十四面體的外接球半徑，故外接球的表面積為.故選：B.8．（2021·湖南高三月考）已知三棱錐的四個頂點都在半徑為的球面上，且，，若三棱錐體積的最大值為，則該球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖，外接圓的半徑為，當(dāng)為正三角形(的面積最大)且，，三點共線時，三棱錐的體積最大.因為，所以.在中，由，得，故該球的表面積為.故選：A.【題組八內(nèi)切球】1．（2021·河南高三（文））已知球是棱長為24的正四面體的內(nèi)切球，球與球外切且與正四面體的三個側(cè)面都相切，則球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖，設(shè)球的半徑為，球半徑為，由正四面體的性質(zhì)，取中點，連接，是棱錐的高，且與兩球分別切于點，交于，則與底面垂直，是底面中心．記正四面體棱長為，則，，在中，，由，所以，解得，又由（它們在平面內(nèi)都與垂直）得，即，，代入解得，所以球的表面積為．故選：A．2．（2021·江蘇南京田家炳高級中學(xué)高三期末）已知直三棱柱的底面ABC為等邊三角形，若該棱柱存在外接球與內(nèi)切球，則其外接球與內(nèi)切球表面積之比為（）A．25：1 B．2：1 C．5：1 D．：1【答案】C【解析】設(shè)正三棱柱底面正三角形的邊長為，當(dāng)球內(nèi)切于正三棱柱時，球的半徑等于正三棱柱的底面正三角形的內(nèi)切圓半徑，所以，故正三棱柱的高為，當(dāng)球外接于正三棱柱時，設(shè)球的半徑為，則球心是上下底面中心連接線段的中點，如圖所示：因為，，所以，外接球與內(nèi)切球表面積之比為，故選：C3．（2021·廣東高二月考）設(shè)球O內(nèi)切于正三棱柱，則球O的體積與正三棱柱的體積的比值為________．【答案】【解析】設(shè)球O半徑為R，正三棱柱的底面邊長為a，則R＝＝a，即a＝2R，又正三棱柱的高為2R，所以球O的體積與正三棱柱的體積的比值為＝＝故答案為：4．（2021·廣東）已知球是棱長為2的正方體的內(nèi)切球，球(在正方體內(nèi)部)與平面，平面和平面都相切，并且與球相切，則球與球的半徑之比為___________.【答案】【解析】球的半徑為1，設(shè)球的半徑為r，則有，解得，所以球與球的半徑之比為.故答案為：5．（2021·重慶一中高三月考）已知有兩個半徑為2的球記為，，兩個半徑為3的球記為，，這四個球彼此相外切，現(xiàn)有一個球O與這四個球，，，，都相內(nèi)切，則球O的表面積為______【答